数学：第一章证明(二)复习课件(北师大版九年级上)

等腰三角形的其他性质： 等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC/2,∠ACE=∠ACB/2,那么 A BD=CE吗? 如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3 呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果 E AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么 B 结论? (3)你能证明得到的结论吗？
• 直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（AAS）. • 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
试一试P14
2
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分 别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折, 使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么 ∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? B C B C
E
A (1)
F
D
E A G A
定理:经过证明的真命题称为定理
(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 :
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,
那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等 A (等边对等角).
在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等角对等边).
推论: 等腰三角形顶角的平分线,底 边上的中线,底边上的高互相重 合(三线合一).
B 1 A 12
2C
B
D
C
推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中 A 线,底边上的高互相重合(三线合一). 12 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). B C D ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）. 轮换条件 如图,在△ABC中, ∠1=∠2, ∵AB=AC, BD=CD (已知). BD=CD,AD ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一） ⊥BC可得 . 如图,在△ABC中, 三线合一 ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). 的三种不 ∴BD=CD,∠1=∠2 （三线合一） 同形式的 证明后的结论,以后可以直接运用. 运用.
A
O
D
C
B
11、判断下列命题（1）对顶角相等；（2） 内错角相等，两直线平行；（3）两个全等 的三角形的面积相等；（4）直角三角形两 条直角边的平方和等于斜边的平方。其中 逆命题正确的是_______________
8、在⊿ABC中，O是⊿ABC内的一点，且 OB=OC，∠1=∠2，∠3=∠4，
M
E F
A
C
B
12、如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点， BE、CD交于O点，且AO平分∠BAC
求证：OB=OC
A
D
O B
E C
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且 AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1)求证：DC=BC
(2) E 是 梯 形 内 一 点 ， F 是 梯 形 外 一 点 ， 且 ∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明 你的结论； (3) 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 当 BE ： CE=1 ： 2 ， B ∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. A
E
F D C
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). B B′ C A C′ A′
4、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是9， 则它的周长是_____________
5、已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 则它的腰上的高是______________ 6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 则它的底角是___________
7、在⊿ABC与⊿DCB 中，已知AB=CD，要使 ⊿ABO≌ ⊿DCO，请你补充条件 _____________
C
定理:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于 斜边的一半. B 在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC= 0.5AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于 300 A C 斜边的一半).
逆命题:在直角三角形中, 如果一条直角边 等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
证明：AO⊥BC
A
O
B
D
C
9、在⊿ABC中，已知∠ABC与∠ACB的平分 线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D， 交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为 多少？ A
D
F
E C
B
10、如图，点C为线段AB上的一点，⊿ACM， ⊿CBN是等边三角形，AN，CM交于点E， CN，BM交于点F。 （1）求证：AN=BM （2）求证：⊿CEF是等边三角形 N
第一章证明（二）
复习
回顾与思考
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直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗 人,下面的例子就是最好的证明!
a b d a b
a bc
回顾与思考
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“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性 都通过推理的方法证实.推理的过程称为 证明.
F (2)
D1Biblioteka 已知：如图CA与BD相交于点O，AB//CD， OA=OB，
求证：三角形DOC是等腰三角形
C
D O
A
B
2、等腰三角形有一个内角是40度，则它其余的 两个角的度数是______________
3、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的 两个角的度数是_______________
●
●
D C
等腰三角形的判定
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角 A 对等边）. 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. B C 小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证 法(reduction to absurdity)
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边 三角形.
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形(有一个 角是600的等腰三角形是等边三 角形). 定理:三个角都相等的三角形是 等边三角形.
∵在△ABC,∠A=∠B=∠C. ∴ △ABC是等边三角形.
A
600
B
C
A
B