拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法介绍
拉格朗日乘数法在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
目录定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用定义用“拉格朗日乘数法”求极值条件极值点的必要条件解应用问题举例拉格朗日乘数法举例拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用展开定义设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。
求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即L＇x(x,y)=ƒ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=ƒ＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=0由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
用“拉格朗日乘数法”求极值求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值方法（步骤）是：1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z)如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势.条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-mg(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z，则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为S=2xz+2yz+xy这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧
（最新版）
目录
一、拉格朗日乘数法简介
二、拉格朗日乘数法的应用
三、解方程技巧
四、总结
正文
一、拉格朗日乘数法简介
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找多元函数的极值。
这种方法由数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，其核心思想是将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的极值问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束方程的梯度与目标函数的梯度结合起来，从而构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
求解拉格朗日函数的极值点，即可得到原问题的最优解。
二、拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法广泛应用于各种最优化问题，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
在实际问题中，我们通常需要解决带有约束条件的优化问题，例如在给定资源限制下最大化利润、在满足特定条件下最小化成本等。
这些问题可以借助拉格朗日乘数法来求解。
三、解方程技巧
在运用拉格朗日乘数法解方程时，我们需要遵循以下步骤：
1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件带入拉格朗日函数的定义式，得到拉格朗日函数。
2.求导：对拉格朗日函数分别对 x 和 y 求一阶偏导数，并令其等于零，得到方程组。
3.解方程组：求解方程组，得到极值点。
4.判断极值性：通过二阶导数检验或梯度检验，判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
5.应用极值点：将极值点代入原目标函数，得到最优解。
四、总结
拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以帮助我们在给定约束条件下解决最优化问题。
拉格朗日乘数法的应用探究
拉格朗日乘数法的应用探究拉格朗日乘数法是一种在线性代数中用来求解约束最优化问题的有效技术。
它可以用来求解线性规划问题，即从一组给定约束条件中找到使一个最大(最小)化的目标函数的一个最优解。
拉格朗日乘数法可以用来求解一些有限个解的线性规划问题，拉格朗日乘数法也可以用来求解一些无限系统的最优化问题。
1. 基本概念拉格朗日乘数法是一种优化技术，使用它来求解某个函数的极值过程称为拉格朗日优化，常用于求解目标函数在一组约束条件下的极值。
拉格朗日乘数法的核心就是引入拉格朗日乘数，其目的是使得约束条件落实，即使目标函数的极值不在约束条件的“可行区域”内。
2. 拉格朗日乘数法的步骤(1) 首先将原问题转换为拉格朗日乘数优化问题，即构造一个函数L，将原问题中的目标函数f与约束条件组合在一起；(2) 对构造的函数L求导，构造可以求得最优解的拉格朗日二次函数；(3) 将求得的最小（大）值函数带入原方程，得到一组最优变量；(4) 将最优变量代入原方程，验证最优解，以此反复寻找更优解。
3. 拉格朗日乘数法的示例例如：有一个包含3个变量的目标函数，其中变量x,y,z，要求最大化下面的函数f：f=2x+3y+4z：该函数受到下面4个约束条件的限制：x+y+z=24；x+2y+3z=36；x≥0，y≥0,z≥0。
将上述函数和约束条件写成一个函数，即构建拉格朗日函数L：L=2x+3y+4z+λ(x+y+z-24)+μ(x+2y+3z-36)对上述函数求导，可将拉格朗日乘数函数写为：L=2x+3y+4z+λ(x+y+z-24)+μ(x+2y+3z-36)+λx+μy+2μz将上述函数中的拉格朗日乘数优化后的函数设置为0，得到最大值方程：x=12-λ-μ；y=8-λ-2μ；z=4-μ；带入原方程，即可得出最优解：x=2；y=2；z=8；最大值为：f=2x+3y+4z=38.4. 拉格朗日乘数法的应用（1）拉格朗日乘数法可以用来求解有限多解的线性规划问题，包括求解系统参数最优化问题；（2）可用来求解数学系统自动寻优技术、灰色系统寻优技术、数值交叉技术等；（3）拉格朗日乘数法可用于优化企业生产成本，优化生产计划和运输计划；（4）拉格朗日乘数法可应用于神经网络的训练及拟合，也是构建机器学习的基础方法之一；（5）拉格朗日乘数法可用于统计学习等领域，例如逻辑斯蒂回归、朴素贝叶斯和支持向量机等机器学习算法；（6）拉格朗日乘数法可用于信号处理等应用场景。
不等式约束的拉格朗日乘数法
不等式约束的拉格朗日乘数法大家好！今天我们要聊聊一个看起来有点复杂但其实很有趣的数学工具——不等式约束的拉格朗日乘数法。
别担心，我会尽量用简单的语言把它讲清楚。
拿起你的咖啡，放松心情，我们一起深入了解吧！1. 什么是拉格朗日乘数法？拉格朗日乘数法，听上去是不是很高大上？其实它是用来解决一些带约束的最优化问题的工具。
简单来说，就是当你想最大化或最小化一个目标函数，而这个目标函数还受到某些限制时，拉格朗日乘数法就派上用场了。
1.1 拉格朗日乘数法的基本概念假设你在玩游戏，目标是赢得更多的分数，但游戏规则说你必须在一定的时间内完成任务。
这个时间限制就是你的不等式约束。
拉格朗日乘数法就是帮你找到在这些限制下的最佳得分策略。
1.2 如何应用想象一下，你在超市里选择购买不同的商品，你的预算是固定的。
你的目标是尽量买到更多的商品，同时预算又是你必须遵守的约束。
拉格朗日乘数法就像是你手上的神奇指南，告诉你如何在这些预算限制下，达到最大化你想买的商品的数量。
2. 拉格朗日乘数法的步骤要搞清楚这个方法，我们可以一步步来。
2.1 定义目标函数和约束条件首先，搞清楚你的目标函数是什么。
例如，假设你想最大化利润，而利润是你可以计算的函数。
然后，确定约束条件，比如你的预算或资源限制。
2.2 建立拉格朗日函数接下来，咱们需要建立一个拉格朗日函数。
这个函数不仅包括你的目标函数，还要加入一个新的变量，叫做“拉格朗日乘数”，它代表了约束对目标函数的影响。
把这些都结合起来，就形成了一个新的函数。
3. 求解拉格朗日函数现在，咱们得求解这个拉格朗日函数来找到最优解。
3.1 求偏导数为了找出最优解，你需要对拉格朗日函数的每一个变量求偏导数，并把这些偏导数设为零。
这一步就像是在解谜一样，寻找那些关键的点。
3.2 解方程组最后，把这些方程解开，得到的结果就是在你设定的约束下的最优解。
就像是找到了游戏中的隐藏宝藏，你可以根据这些解来调整你的策略，达到最佳效果。
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用
拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用拉格朗日乘数法或增广拉格朗日乘数法在数学中，拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是求条件极值问题的常用方法。
它们的应用范围不仅限于数学，还在几何学中被广泛使用。
什么是条件极值问题条件极值问题是指在一定条件下，求出使某个函数取得最大或最小值的变量值。
这里的“条件”通常是一组约束条件。
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法用于求解约束条件下的极值问题。
它的基本思想是将约束条件加入到目标函数中，构造一个新的拉格朗日函数，并用拉格朗日乘数来表示约束条件。
增广拉格朗日乘数法增广拉格朗日乘数法是拉格朗日乘数法的一种扩展。
它在目标函数和约束条件中引入人工变量，将目标函数和约束条件转化为方程组的形式，然后应用高斯消元法求解。
在几何学中的应用拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法在几何学中有广泛的应用。
例如，在曲面拟合问题中，我们可以利用拉格朗日乘数法来求解平面或曲线与给定点云数据的最小距离。
在空间中，我们可以利用增广拉格朗日乘数法来求解平面或线段与空间点云数据的最小距离。
总之，拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的有力工具，也是几何学中不可或缺的一部分。
拉格朗日乘数法的步骤使用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的步骤如下：1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件相加得到拉格朗日函数2.求出拉格朗日函数的一阶偏导数并令其等于03.求解约束条件，并将解代入到求得的一阶偏导数中4.求出约束条件下目标函数的极值增广拉格朗日乘数法的步骤使用增广拉格朗日乘数法求解条件极值问题的步骤如下：1.引入人工变量：在目标函数和约束条件中分别引入人工变量2.构造增广拉格朗日函数：将目标函数、约束条件和人工变量相加得到增广拉格朗日函数3.转化为方程组：将增广拉格朗日函数转化为方程组的形式4.求解方程组：应用高斯消元法或其他方法求解方程组5.求出约束条件下目标函数的极值总结拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法是用于求解条件极值问题的有效工具，它们在求解几何学中的实际问题中也有着广泛的应用。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。
拉格朗日乘数法：求在约束条件
,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。
这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。
例．已知22
3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。
1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．
2.若正实数
的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________.
4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )
5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________
6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.
7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345a b c
-+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。
（若去掉条件a+b=1呢）
y x ，x y +。
使用拉格朗日乘数法,构建拉格朗日函数
拉格朗日乘数法引言拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）是一种用于求解约束优化问题的方法。
它基于拉格朗日函数的构建和优化理论，可以有效地解决具有约束条件的最优化问题，尤其是在数学和物理领域中广泛应用。
拉格朗日函数的定义在进一步解释拉格朗日乘数法之前，我们先来了解拉格朗日函数的定义。
设有一个优化问题，目标是最大化或最小化一个函数f(x)。
同时，存在一些函数g(x)使得满足一定的约束条件，即g(x) = 0。
那么，拉格朗日函数L(x,λ)定义如下：L(x,λ) = f(x) + λ * g(x) 其中，x是待求解变量，λ称为拉格朗日乘数。
拉格朗日乘数法的用途拉格朗日乘数法被广泛应用于约束最优化问题的求解过程。
这些问题可以涉及多个变量和多个约束条件，而拉格朗日乘数法能够通过构建拉格朗日函数的方式将其转化为等式的最优化问题。
利用拉格朗日乘数法的求解过程可以得出目标函数的最优解，同时还可以得到满足约束条件的最优解。
拉格朗日乘数法的工作方式下面，我们将详细解释拉格朗日乘数法的工作方式。
主要步骤如下：1. 定义目标函数和约束条件首先，我们需要确定需要优化的目标函数f(x)和约束条件g(x)。
目标函数可以是需要最大化或最小化的函数，约束条件可以是等式或不等式。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们根据目标函数和约束条件构建拉格朗日函数L(x,λ)。
这里的拉格朗日乘数λ起到了“调节”的作用，通过乘以约束条件来保证满足约束条件。
对于等式约束条件，使用λ乘以约束条件，对于不等式约束条件，使用一个非负拉格朗日乘数μ乘以约束条件得到类似的拉格朗日函数。
3. 求解拉格朗日函数的驻点通过对拉格朗日函数求导，将变量的一阶偏导数置零，得到一组方程。
这组方程就是拉格朗日函数的驻点解。
求解这组方程可以得到变量的取值和拉格朗日乘数的估计值。
4. 检验极值点对于驻点解，我们需要进一步检验是否为函数的极值点。
这可以通过二阶偏导数的符号来判断。
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§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．——————————————————————在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V =焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件 的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, ( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . )即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f ,y f ) + λ(x ϕ,y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕLagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x因此，解决条件极值通常有两种方法1）直接的方法是从方程组（１）,,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ==ϕ中解出 m x x x ,,,21 并将其表示为 m k x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21 ==++代入 ),,,(21n x x x f 消去 m x x x ,,,21 成为变量为 n m x x ,,1 +的函数 ),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x x f ++==将问题化为函数 ),,(1n m x x F + 的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 m x x x ,,,21 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 ),(1n x x f 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数∑=+=m k n k kn m n x x x x f x x L 11111),,(),,(),,;,,( ϕλλλ的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一. 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标 原点的最长和最短距离.例3求函数xyz z y x f =),,( 在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++-, 其中 c b a , , 为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例， 看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程 解： 这个问题的实质是求函数 xy yz xz z y x S ++=)(2),,(在条件 0=-V xyz下的最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令 Ｌ 的各偏导等零，解方程组求稳定点s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v =[ -2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义， 所以 Ｌ 的稳定点只有下面一个33221,2V z V y x === 又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点， 即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。
下面再看一个条件极值求解问题例2 抛物面 z y x =+22 被平面 1=++z y x 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长最短距离。
(x73)解： 这个问题的实质是求函数 222),,(z y x z y x f ++=在条件 022=-+z y x 与 01=-++z y x 下的最大、最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdh=diff(L,'h')dLdx =2*x+2*v*x+hdLdy =2*y+2*v*y+hdLdz =2*z-v+hdLdv =x^2+y^2-zdLdh =x+y+z-1s1='2*x+2*v*x+h';s2='2*y+2*v*y+h';s3='2*z-v+h';s4='x^2+y^2-z';s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);x0,y0,z0x0 =[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]y0 =[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2)即 L 的稳定点有两个 32,23132,231222111+=--==-=+-==z y x z y x 因为函数 ),,(z y x f 在有界闭集 }1,|),,({22=++=+z y x z y x z y x 上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点， 另一个是最小，其最大最小值为。
(x73)x1=-1/2+1/2*3^(1/2);x2=-1/2-1/2*3^(1/2);y1=-1/2+1/2*3^(1/2);y2=-1/2-1/2*3^(1/2);z1=2-3^(1/2);z2=2+3^(1/2);f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2) f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024。