浅谈拉格朗日乘数法的应用

“高观点”下的初等数学

许高峰11数本一班

摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。

关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件

例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为

.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为

5)(2

135)(2

5445

544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为13

10，当且仅当y x

=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。

如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：

2

22222)(55

)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++

用待定系数法求得23=A ，2

10=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为3

10.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：

5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为13

10.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是

.

（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为2

22222)2(8

52

2(23)2()2(2

3)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5

102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。

拉格朗日乘数法：在求条件()0,=y x ϕ下),(y x f z =的极值.构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=，称),(y x f 为目标函数，λ为拉格朗日常数，),(y x ϕ是对于两个非独立y x ,的约束.由：

⎪⎩⎪⎨⎧===0

),,('0),,('0),,('λλλλy x L y x L y x L y x 解得的),(y x 为可能的极值点.下面从一些例题来说明拉格朗日乘数法的优越性.例一：已知+∈R c b a ,,，且632=++c b a ，求22232c b a ++的最小值.

解:记

22232),,(c b a c b a f ++=，632),,(−++=c b a c b a g ，由取得极值的条件：)

,,('),,('),,('),,('),,('),,('c b a g c b a f c b a g c b a f c b a g c b a f c c b a a a ==，可得c b a ==.又632=++c b a ，所以1===c b a ，即1===c b a 时，22232c b a ++的最小值为6.

说明：虽然本题也可以找到初等方法，即用柯西不等式求解，这里是为了说明拉格朗日的具体应用，另外前两个例题都可以用该种方法进行求解，这里不作具体展开.

例二：已知三角形的周长为p 2，将它绕其一边旋转构成一个立体，求使立体体积最大的那个三角形.

解：设三角形的三边长为c b a ,,，并设以AC 边为旋转轴（如图所示）

.3

12b h V π

=

又设三角形的面积为S ，于是有

.))()((22c p b p a p p b

b S h −−−==所以有).)()((34

c p b p a p b

p V −−−=π问题就化成),,(c b a V 在条件02=−++p

c b a 下的最大值点，等价于求b c p b p a p c p b p a p b

c b a V ln )ln()ln()ln())()((1ln ),,(0−−+−+−=−−−=在条件：02=−++p c b a 下的最大值点.应用拉格朗日乘数法.令：

)2(),,(),,,(0p c b a c b a V c b a F −+++=λλ，求解方程组

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−++=∂∂=+−−=∂∂=++−−=∂∂=+−−=∂∂)4(.

02)3(,01)2(,0)11()1(,01p c b a F

c p c F

b b p b F a p a F λλλλ比较)3(),1(得

c a =，再由)4(得).(2a p b −=)

5(比较)2(),1(得.

)()(p a p b p b −=−)6(由)6(),5(解出.4

3,43,2p c p a p b ===由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解，因而也是条件最大值点.所以当三角形的边长分别为43,43,2p p p 时，绕边长为2

p 的边旋转时，所得立体的体积最大.总结用拉格朗日乘数法解决有些最值问题非常简便容易，许多问题直接或间接地体现了拉格朗日乘数法的巨大作用，这是一种非常值得学习并推广的求二元极值得好方法，这种方法法对拓宽学生思路，提高学生分析问题、解决问题的