最新拉格朗日乘数法
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法【最新版】目录一、引言二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍2.拉格朗日乘数法的基本思想三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内2.极值点在可行域外四、总结与展望正文一、引言拉格朗日乘数法是一种应用于优化问题的数学方法，可以帮助我们求解带有约束条件的极值问题。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样具有很好的应用效果。
本文将从不等式约束的拉格朗日乘数法的基本思想和应用实例两个方面进行介绍。
二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍在实际问题中，我们常常需要考虑一些不等式约束条件。
例如，在求解一个线性规划问题时，我们可能会遇到一些不等式约束条件，如某个变量的取值范围等。
不等式约束条件使得问题变得更加复杂，需要采用专门的方法进行求解。
2.拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法的基本思想是将原始问题转化为一个新的问题，新问题中的目标是求解一个带有拉格朗日乘数的函数的最小值。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原始问题的约束条件转化为函数的导数为零的条件，从而简化问题的求解过程。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样可以发挥作用。
三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内当极值点落在可行域内时，我们可以通过构建拉格朗日函数，并求解其梯度方程来找到最优解。
在这个过程中，我们需要分别讨论极值点在可行域内的不同情况，如极值点在可行域的边界上等。
2.极值点在可行域外当极值点落在可行域外时，我们需要通过求解拉格朗日函数在可行域边界上的最小值来找到最优解。
这种情况下，我们需要考虑拉格朗日乘数法的边界条件，以确定最优解的具体取值。
四、总结与展望不等式约束的拉格朗日乘数法是一种有效的求解优化问题的方法，在实际应用中具有广泛的应用前景。
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它的原理是将约束条件引入目标函数中，通过求解构造出的拉格朗日函数的极值来得到最优解。
具体来说，假设我们要求解一个优化问题，其中有若干个约束条件。
我们可以将这些约束条件用等式或不等式的形式表示出来，然后将它们加入目标函数中，构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
拉格朗日函数的形式为：
L(x, λ) = f(x) + λg(x)
其中，x 是优化问题的决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 是约束条件，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值。
为了找到极值点，我们需要对L(x, λ) 分别对x 和λ求偏导数，并令它们等于0。
也就是说，我们需要求解以下方程组：
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ= 0
求解这个方程组可以得到x 和λ的值，从而得到目标函数的最优解。
需要注意
的是，拉格朗日乘数λ的值是由约束条件决定的，它的物理意义是在满足约束条件的前提下，目标函数的变化率。
拉格朗日乘数法的优点在于它可以将约束条件转化为目标函数中的一部分，从而使得求解问题更加简单。
此外，它还可以应用于多个约束条件的情况，而不需要对每个约束条件都进行单独的求解。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧
（最新版）
目录
一、拉格朗日乘数法简介
二、拉格朗日乘数法的应用
三、解方程技巧
四、总结
正文
一、拉格朗日乘数法简介
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找多元函数的极值。
这种方法由数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，其核心思想是将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的极值问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将约束方程的梯度与目标函数的梯度结合起来，从而构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
求解拉格朗日函数的极值点，即可得到原问题的最优解。
二、拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法广泛应用于各种最优化问题，如线性规划、非线性规划、动态规划等。
在实际问题中，我们通常需要解决带有约束条件的优化问题，例如在给定资源限制下最大化利润、在满足特定条件下最小化成本等。
这些问题可以借助拉格朗日乘数法来求解。
三、解方程技巧
在运用拉格朗日乘数法解方程时，我们需要遵循以下步骤：
1.构造拉格朗日函数：将目标函数和约束条件带入拉格朗日函数的定义式，得到拉格朗日函数。
2.求导：对拉格朗日函数分别对 x 和 y 求一阶偏导数，并令其等于零，得到方程组。
3.解方程组：求解方程组，得到极值点。
4.判断极值性：通过二阶导数检验或梯度检验，判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
5.应用极值点：将极值点代入原目标函数，得到最优解。
四、总结
拉格朗日乘数法是一种强大的数学工具，可以帮助我们在给定约束条件下解决最优化问题。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧（最新版3篇）目录（篇1）I.引言A.方程求解的重要性B.拉格朗日乘数法的基本原理II.拉格朗日乘数法原理A.拉格朗日函数的概念B.方程的等式约束条件C.拉格朗日乘数的定义III.解方程步骤A.求解拉格朗日函数的最大值B.解出拉格朗日乘数C.解出方程的其他未知数IV.应用示例A.简单的线性方程B.非线性方程的求解C.约束条件下的优化问题正文（篇1）拉格朗日乘数法是一种常用的数学方法，用于解决具有等式和不等式约束条件的优化问题。
这种方法基于拉格朗日函数的基本原理，通过最大化或最小化拉格朗日函数来求解方程。
首先，我们定义拉格朗日函数，它是一个关于方程中未知数的函数，以及等式和不等式约束条件的函数。
例如，对于一个具有两个未知数的方程，我们可以定义如下的拉格朗日函数：L(x1, x2, lambda) = f(x1, x2) + g(lambda)其中，f(x1, x2)是关于未知数x1和x2的函数，g(lambda)是关于拉格朗日乘数lambda的函数。
接下来，我们可以通过最大化或最小化拉格朗日函数来求解方程。
为了求解方程，我们需要求解拉格朗日函数的最大值。
我们可以使用微积分的知识来求解这个问题。
首先，我们需要找到拉格朗日函数的导数为零的点，即：f1 + f2 + g = 0其中，f1和f2分别是关于未知数x1和x2的偏导数，g是关于拉格朗日乘数lambda的导数。
这个方程组包含了所有未知数和拉格朗日乘数。
目录（篇2）I.引言A.方程求解的重要性B.拉格朗日乘数法的基本原理II.拉格朗日乘数法步骤A.构造拉格朗日函数B.对方程进行变形C.求解拉格朗日方程D.解得方程的解正文（篇2）方程求解在数学和工程学中具有广泛的应用。
传统的直接求解方法可能因方程的复杂度而变得困难。
在这种情况下，拉格朗日乘数法提供了一种有效的技巧。
拉格朗日乘数法是一种通过构造拉格朗日函数并求解其方程来求解方程的方法。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）
首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导
例如φ(x,y)=
则其对x的偏导数为：=2x+y
其对y的偏导数为：=2y+x
做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，
则用偏导数方法列出方程：
解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：
考虑两个变元的情况，
如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=
F(x,y,)= 2x y+()
求偏导数：=2+(8x+y)=0
=1+(2y+x)=0
两方程联立：可得2x=y，代入方程
解得：y=
则：2x y
令f(x,y)=, φ(x,y)=
F(x,y,)=+()
偏导数：=2x+(8x-5y)
=2y+(8y-5x)
显然易得=时方程成立
解得，==。
拉格朗日乘数法
拉格朗⽇乘数法 拉格朗⽇乘数法是⽤于求条件极值的⽅法。
对于条件极值，通常是将条件⽅程转换为单值函数，再代⼊待求极值的函数中，从⽽将问题转化为⽆条件极值问题进⾏求解。
但是如果条件很复杂不能转换，就要⽤到拉格朗⽇乘数法了。
拉格朗⽇乘数法使⽤条件极值的⼀组必要条件来求出⼀些可能的极值点（不是充要条件，说明求出的不⼀定是极值，还需要验证）。
如寻求函数z =f (x ,y ) 在条件φ(x ,y )=0 下取得极值的必要条件。
如果在(x 0,y 0)下取得z 的极值，则⾸先应该有：φ(x 0,y 0)=0 另外，假定在(x 0,y 0)的某⼀领域内f (x ,y )与φ(x ,y )均有连续的⼀阶偏导数（没有连续导数让导数为0求极值就没有意义了），并且φy (x 0,y 0)≠0。
由隐函数存在定理（对于z =φ(x ,y )若∃φy (x ,y )≠0与φx (x ,y )则d yd x =−φx (x ,y )φy (x ,y )）可知，条件⽅程φ(x ,y )=0在(x 0,y 0)某领域确定具有连续偏导数的函数y =ψ(x )，代⼊z 得：z =f [x ,ψ(x )] 于是这个极值可以直接由⼀个变量x 来确定，由⼀元可导函数取极值必要条件得：d zd xx =x 0=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)d y d x x =x 0=0 即：f x (x 0,y 0)−f y (x 0,y 0)φx (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=0 设f y (x 0,y 0)φy (x 0,y 0)=−λ。
为什么要这么设呢？我觉得是因为它本⾝就是未知的，但⼜不是完全未知，是两个偏导数之商，在这⾥⾯⾸先不容易计算，其次这个偏导数商的条件也没什么⽤，因此就直接设为完全未知的参数λ了。
结合以上可以获得条件极值(x 0,y 0)应该满⾜的必要条件（第⼆⾏式⼦直接代⼊λ可以发现就等于0）：f x (x 0,y 0)+λφx (x 0,y 0)=0f y (x 0,y 0)+λφy (x 0,y 0)=0φ(x 0,y 0)=0 为了⽅便表达，引⼊辅助函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y ) 必要条件就变成L x (x 0,y 0)=0L y (x 0,y 0)=0L λ(x 0,y 0)=0 于是通过这个联⽴式求得的(x ,y )就是可能的条件极值点。
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
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拉格朗日乘数法§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为«Skip Record If...»的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为«Skip Record If...»，则水箱容积«Skip Record If...»焊制水箱用去的钢板面积为«Skip Record If...»这实际上是求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件«Skip Record If...»限制下，求函数«Skip Record If...»的极值条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面«Skip Record If...»被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面«Skip Record If...»平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件设在约束条件«Skip Record If...»之下求函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»的极值 . 当满足约束条件的点«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的条件极值点 , 且在该点函数«Skip Record If...»满足隐函数存在条件时, 由方程«Skip Record If...»决定隐函数«Skip Record If...», 于是点«Skip Record If...»就是一元函数«Skip Record If...»的极限点 , 有«Skip Record If...».代入«Skip Record If...», 就有«Skip Record If...»,( 以下«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»均表示相应偏导数在点«Skip Record If...»的值 . )即«Skip Record If...»«Skip Record If...»—«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» , 亦即 («Skip Record If...» , «Skip Record If...» ) «Skip Record If...»«Skip Record If...» ,«Skip RecordIf...»)«Skip Record If...» .可见向量(«Skip Record If...» , «Skip Record If...» )与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)正交. 注意到向量«Skip RecordIf...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)也与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)正交, 即得向量(«Skip Record If...» , «Skip Record If...» )与向量«Skip Record If...»«Skip Record If...» , «Skip Record If...»)线性相关, 即存在实数«Skip Record If...», 使(«Skip Record If...»,«Skip Record If...» ) + «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»)«Skip Record If...».亦即«Skip Record If...»Lagrange乘数法 :由上述讨论可见 , 函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»在约束条件«Skip Record If...»之下的条件极值点应是方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»的解.引进所谓Lagrange函数«Skip Record If...», ( 称其中的实数«Skip Record If...»为Lagrange乘数 )则上述方程组即为方程组«Skip Record If...»因此，解决条件极值通常有两种方法1）直接的方法是从方程组（１）«Skip Record If...»中解出«Skip Record If...»并将其表示为«Skip Record If...»代入«Skip Record If...»消去«Skip Record If...»成为变量为«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...»将问题化为函数«Skip Record If...»的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出«Skip Record If...»来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求«Skip Record If...»的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数«Skip Record If...»的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一. 用Lagrange乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面«Skip Record If...»被平面«Skip RecordIf...»截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3求函数«Skip Record If...»在条件«SkipRecord If...»下的极小值. 并证明不等式«Skip Record If...», 其中«Skip Record If...»为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例，看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程解：这个问题的实质是求函数«Skip Record If...»在条件«Skip Record If...»下的最小值问题，应用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令Ｌ的各偏导等零，解方程组求稳定点s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V] [ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义，所以Ｌ的稳定点只有下面一个«Skip Record If...»又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点，即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。