微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》论文
《拉格朗日乘子法的应用》
拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）是一种有效的
优化方法，其可以用于求解多元函数的极值问题。
该方法最初由拉格朗日在十九世纪中期提出，并得到广泛的应用，如求解微分方程、线性系统、多元函数和约束优化等问题。
本文将讨论拉格朗日乘子法在约束优化、最小化和寻求函数的极值问题中的应用。
首先，拉格朗日乘子法在约束优化问题中的应用。
约束优化问题是一类重要的操作研究问题，它解决的是如何有效的将计算机的资源发挥到最大效率。
拉格朗日乘子法能有效的帮助我们解决这一类问题，它将原来的优化问题转化为求解一组不等式，而这些不等式系数就是拉格朗日乘子。
根据不同的约束条件，拉格朗日乘子法能够求解各种有约束条件的多元函数问题。
其次，拉格朗日乘子法在最小化问题中的应用。
最小化问题是一类典型的优化问题，它需要求解一组变量使函数值得到最小。
拉格朗日乘子法可以帮助我们实现这一目的，将原来的最小化问题转化为求解一组相应的不等式，即拉格朗日乘子，通过求解这一组不等式可以得到最小值。
最后，拉格朗日乘子法在寻求函数的极值问题中的应用。
函数的极值问题涉及到函数的最大值和最小值的查找，拉格朗日乘子法可以有效的应用于此。
通过将极值问题转化为求解一组不等式，由拉格朗日乘子可以有效的求解函数的极值问题。
综上所述，拉格朗日乘子法是一种简单有效的优化方法，它可以用于解决多元函数的约束优化问题，最小化问题以及极值问题。
它的有效性和灵活性可以满足不同的应用情况，使得优化问题得到有效解决。
拉格朗日乘子法
拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。
举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等⾼线图，如下图。
此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。
显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。
于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。
想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。
⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。
如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。
假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。
当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。
不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。
梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。
浅谈拉格朗日乘数法的应用
“高观点”下的初等数学许高峰11数本一班摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。
关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为5)(2135)(25445544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为1310，当且仅当y x=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。
如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。
容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：222222)(55)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++用待定系数法求得23=A ，210=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为310.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为1310.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是.（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为222222)2(8522(23)2()2(23)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。
微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论
关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤摘要本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。
从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。
关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法问题的提出在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。
而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。
如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。
方法的发现及其证明首先，引入拉格朗日乘数法步骤：（1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)（2）、根据方程组000(,,)0x x x y y y zz z F f F f F f F x y z λλϕλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪==⎩ 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点现给出方法发现过程：在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。
例如：题目1：求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有35()527a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2)222212012053200x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪==⎩++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。
拉格朗日条件极值的方程组怎么解
拉格朗日条件极值的方程组怎么解拉格朗日条件极值的方程组怎么解在微积分中，我们经常会遇到求极值的问题。
当我们要求一个函数在一定条件下取得最大值或最小值时，就需要用到拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种利用拉格朗日乘数来处理带有约束条件的极值问题的方法，它的核心是通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的问题转化为无约束条件的问题。
在实际应用中，求解拉格朗日条件极值的方程组是一个非常重要的问题，下面我将对这个问题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章来帮助你更好地理解这个问题。
一、概念解析1. 拉格朗日乘数法我们先来了解一下拉格朗日乘数法的基本概念。
拉格朗日乘数法是用来求解带有约束条件的最优化问题的一种常用方法。
通常情况下，约束条件可以写成g(x, y, z) = k的形式，其中k为常数。
而最优化问题的目标就是极小化或者极大化一个多元函数f(x, y, z)。
利用拉格朗日乘数法，我们可以通过构造拉格朗日函数L(x, y, z, λ)来转化求极值的问题。
其中，λ为拉格朗日乘数，通过对L(x, y, z, λ)对x, y, z, λ分别求偏导，然后解方程组来求得极值点。
这就是拉格朗日乘数法的基本思想。
2. 拉格朗日条件在应用拉格朗日乘数法求解极值问题时，我们需要考虑拉格朗日条件。
拉格朗日条件是指，对于最优化问题的解，约束条件和目标函数的梯度（或导数）应当在最优解点成比例。
这个条件在数学上可以用方程组来表示，通常称为拉格朗日条件方程组。
解这个方程组就是求解拉格朗日条件极值的方程组，是非常重要的一步。
二、具体示例为了更好地理解拉格朗日条件极值的方程组怎么解，我们来看一个具体的示例。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2在条件g(x, y) = x + y - 1 = 0下的极小值。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来解决。
我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ为拉格朗日乘数。
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种用于求解约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为不带约束的问题。
拉格朗日乘数法的基本思想是，在满足约束条件的前提下，寻找目标函数的最优解。
假设有一个目标函数f(x)和一组约束条件g(x)=0，其中x是待求解的自变量。
根据拉格朗日乘数法，我们可以构建一个拉格朗日函数L(x,λ)，它由目标函数和约束条件共同决定：
L(x,λ) = f(x) + λg(x)
在拉格朗日函数中，λ称为拉格朗日乘子，用于表示约束条件的重要程度。
通过求解拉格朗日函数的驻点，即对x和λ同时求导并令导数为0，可以得到原问题的最优解。
具体而言，拉格朗日乘数法的求解步骤如下：
1. 构建拉格朗日函数：根据目标函数和约束条件，构建拉格朗日函数L(x,λ)。
2. 对拉格朗日函数求偏导数：对拉格朗日函数L(x,λ)分别对x 和λ求偏导数，得到如下方程组：
∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0
∂L/∂λ = g(x) = 0
3. 解方程组：求解上述方程组，得到x和λ的值。
4. 检验解的有效性：根据解得的x和λ，验证解是否满足约束条件。
通过以上步骤，就可以求解约束最优化问题，得到目标函数的最优解。
拉格朗日乘数法的优势在于能够将约束条件与目标函数相结合，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为在优化过程中考虑的因素。
这样一来，原问题可以转化为简单的无约束优化问题，更容易求解。
拉格朗日乘数法的原理说明
拉格朗日乘数法相关理论--------陈小胖整理于20190413中午问题：设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 .分析：当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =。
（注意到此时(,)()(,)x y x y g x x y φφ'=-）。
于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极值点（同时也必然是驻点） , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, 简写成 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)垂直, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)平行, 即存在实数λ,使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕ 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的可能的条件极值点应是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数：),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 此时该方程的解即为约束条件0),(=y x ϕ之下，函数=z ),(y x f 的可能的极值点。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.引言2.拉格朗日乘数法的基本原理3.拉格朗日乘数法解方程的步骤4.拉格朗日乘数法解方程的优点和限制5.结论正文（篇1）一、引言拉格朗日乘数法是一种常用的数学方法，用于解决包含一个或多个约束条件的优化问题。
该方法起源于18世纪法国数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的研究成果，具有广泛的实用价值。
二、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本思想是将约束条件转化为等式，并通过求解优化问题的函数来求解方程。
这种方法基于一个基本公式：对于一个包含n 个变量和m个约束条件的优化问题，其目标函数可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = f(x1, x2, ..., xn, lambda1, lambda2, ..., lambdam)其中，lambda1, lambda2, ..., lambdam是约束条件。
通过求解这个函数，可以得到一组方程，这些方程包含了变量和约束条件的信息。
三、拉格朗日乘数法解方程的步骤1.定义目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为等式，并添加到目标函数中。
3.求解目标函数，得到一组方程。
4.解方程得到变量的取值。
5.检查解是否满足约束条件。
如果不满足，则重新求解目标函数，直到得到满足约束条件的解。
四、拉格朗日乘数法解方程的优点和限制1.优点：拉格朗日乘数法提供了一种简洁的方法来处理包含约束条件的优化问题。
这种方法允许我们在优化过程中同时考虑约束条件，避免了传统方法中需要额外求解子问题的缺点。
此外，拉格朗日乘数法还可以处理具有多个变量和约束条件的复杂问题。
2.限制：拉格朗日乘数法虽然可以处理包含多个约束条件的优化问题，但它的计算复杂度较高。
对于大规模的问题，可能需要使用数值优化算法来加速计算过程。
此外，对于一些特殊类型的约束条件，例如非线性约束条件，拉格朗日乘数法可能无法直接应用。
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关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤
摘要
本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。
从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。
关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法
问题的提出
在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。
而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。
如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。
方法的发现及其证明
首先，引入拉格朗日乘数法步骤：
（1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)
（2）、根据方程组
000(,,)0
x x x y y y z
z z F f F f F f F x y z λλϕλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪==⎩ 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ
（3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点
现给出方法发现过程：
在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。
例如：
题目1：
求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有
35(
)5
27a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)
在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2)
2222120
12053200
x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪==⎩++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。
而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A 、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B 、F λ=0 。
可以这样想：A 部分用以求解x,y,z 之间的关系，B 部分用以给x,y,z 定值。
所以，求解该方程组的关键在于A 部分的求解。
现在剔出A 部分观察分析：
222120120120120320320x x y y z z F x x F x F y F y y F z F z z
λλλλλλ⎧=+=⎪⎧=+=⎪⎪⎪=+=⇒=+=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪=+=⎪⎩ 可以发现上述方程组很有规律。
即x 与y
分别与z 地位对等。
怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x 变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx 后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同，则称kx 与y 地位对等。
我们假设x=t,则观察易得
（~表示地位对等），同时上述方程组可划为：
112020
1112020201200t t t t t t t t t
t t t t λλλλλλ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=⇒+=⇒+=⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎩ 我们可以把这个过程叫做统一化过程。
因而易知，能进行统一化过程的充分条件是：方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。
经验证可以发现：若一个方程组能进行统一化过程，且有对等关系x~k1y~k2z~…，则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=…。
（结论）
现给出方法证明过程：
证：
00
1,2x x x y y y z z z x x x F f F f F f F f y k x z k x
λϕλϕλϕλϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩=+=∴==对于方程组：
若观察发现x,y,z 间存在关系k1x~y,k2x~z 。
则易知，对于y=k1x,z=k2x
带入方程组后，符合原方程组条件：即y=k1x,z=k2x 客观成立
若有y~ k1x,z~ k2x
则存在解
同理，可推广到更多变量的方程组中
证毕
结论：
若一个方程组能进行统一化过程，且具有对等关系x~k1x1~k2x2~…~knxn ，则此方程组中多元变量关系为x=k1x1=k2x2=…=knxn 。
总结：
首先，不得不说的是，虽然该方法看起来很麻烦，其实很简单（主要是要讲清楚很麻烦）。
只用观察，就能非常轻松地发现变量之间的倍数关系，非常方便。
而且由于决定x,y,z 等变量关系的方程是由同一方程求偏导得到，因而很多时候该方法都很适用，能大大减少计算量以节约时间。
但是，也有部分问题不适用，例如：
题目2：
求曲面z=4-x^2-y^2平行于平面pi:2x+2y+z=8的切平面，并求曲面到平面pi 的最短距离。
（辅导教程P251，例5.49）
该题后一问运用拉格朗日乘数法解决时，有：
G(x,y,z, λ)=(2x+2y+z-8) ^2+λ(x^2+y^2+z-4)
224(228)204(228)202(228)040x y z G x y z x G x y z y G x y z G x y z λ
λλλ=++-+=⎧⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎩
但是对于此种方程组方法就不适用了，原因在于：
对原方程组A 部分
4(228)204(228)202(228)0x y z x x y z y x y z λλλ++-+=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩
我们无法找到x ，y 与z 之间的地位对等关系。
但是很明显可以看出x,y 之间是存在x~y ，即一定有解x=y ，这样虽然没能直接看出x,y,z 间关系，但是对于方程组来说也解决了23的问题，余下工作量也会少一些。
其次，也不得不说的是，虽然该结论方法原理十分简单，但是我觉得这种根据外在形式观察并推测结果，然后进行验证证明猜想的思维过程值得记录。
最后想说的是，很遗憾，该题经抽象后得到的方法的原理十分简单，但由于知识所限也实在想不出如何进行更为广泛的推广了。
参考文献
[1] 傅英定，谢云荪. 《微积分下册》. 第二版. 高等教育出版社.2009.7
[2] 傅英定. 彭年斌. 《微积分学习指导教程》.高等教育出版社.2005.6。