数学专业论文—线性方程组的求解及其应用

嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目：线性方程组的求解及其应用专业：数学与应用数学班级学号：姓名：指导教师：完成日期： 2011.5.5诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得嘉兴学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置．论文(设计)作者签名：签名日期：年月日线性方程组的求解及其应用***（**学院）摘要：线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，它在科学和工程计算等领域都发挥着重要的作用．本文主要讨论线性方程组解的基本结构，并运用克拉默法则，高斯消元法和追赶法等来求解．另外还研究了它在解析几何，高等代数，运筹学等学科以及其他学科领域中的一些简单的应用．通过线性方程组的求解及其应用，使很多繁琐的问题变得方便快捷．关键词：线性方程组；克拉默法则；高斯消元法；LU分解；应用The Solution of Linear System of Equations and It’s Application***（** University）Abstract：Linear system of equations is one of the most basic content in linearalgebra. It plays an important role in many areas, for example in science and engineering calculation. This article discusses the basic structure solution of linear equations, and use Cramer's rule, Gauss-elimination and chase way to find solutions. In addition, it also examines it’s in analytic geometry, higher algebra, operations research, as well as other areas of some simple applications. By the solution of linear system of equations and it’s application, we can make a lot of complicated problems becoming more convenient.Key words：Linear equations; Cramer's rule; Gauss-elimination; LU-decomposition;Application目录1 引言 (1)2 线性方程组求解 (2)2.1 概念 (2)2.2 解的情况及其通解 (3)2.3 克拉默法则 (5)2.4 高斯消元法 (7)2.5 追赶法 (9)2.5.1 LU分解 (9)2.5.2 追赶法 (10)3 线性方程组的应用 (13)3.1 在解析几何中的应用 (13)3.2 在高等代数中的应用 (13)3.3 在运筹学中的应用 (14)3.4 在化学中的应用 (15)3.5 在经济学中的应用 (16)3.6 在控制科学中的应用 (18)4 结束语 (21)致谢 (22)参考文献 (23)1 引言线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中．线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等．而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义．因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要[]1．本文主要内容是讨论了线性方程组解的几种基本情况，以及有不唯一解时的通解表示形式．其次还介绍了线性方程组当解唯一时的三种求解方法，分别是：1、克拉默法则；2、高斯消元法；3、追赶法．另外本文还介绍了线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学领域以及在其他学科领域中的一些基本的应用．2 线性方程组求解线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么．本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式．另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等．对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法．而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法．2.1 概念错误!未找到引用源。

线性方程组的一般形式如下：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (2.1)其中12,,,n x x x 是n 个未知量，ij a 是m 个一次方程的系数，i b 称为方程组的常数项．我们总是假设系数和常数项在某个领域K 中取值．如果所有的常数项i b 都等于0，即111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ (2.2)则方程组(2.2)称为齐次线性方程组．否则称为非齐次线性方程组．线性方程组(2.1)的解是数域K 的一个有序数组()12,,,n c c c ，当未知量12,,,n x x x 分别用12,,,n c c c 代入时，(2.1)中的每个方程都成立．我们将方程组(2.1)记为矩阵形式Ax B =其中111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12.m b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们称A 为此线性方程组的系数矩阵，如果再把常数项B 也添加进去，使它成为矩阵的最后一列：11121121222212n n m m mnm a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称它为此线性方程组的增广矩阵，记为A ．2.2 解的情况及其通解一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况．它可能无解，可能只存在唯一解或者可能有无穷多组解．本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式．对于一般情况下的线性方程组(2.1)，将它的增广矩阵A 化为行阶梯矩阵记R 221111122210000,00000000rj n j n rj rn r r c c c d c c d c c d Rd+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：r ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭(2.3)其中R 比R 少了最后一列，R rank r =为R 的主元所在列的个数，即2112,,,r j rj c c c 全不等于零．①若R rank rankR ≠(即10r d +≠)，则原方程组(2.1)无解．②若R rank rankR =(即10r d +=)，且rankR n =，则原方程组(2.1)有唯一解．③若R rank rankR =(即10r d +=)，且rankR n <，则原方程组(2.1)有无穷多组解．这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有n r -个，主变量有r 个[]2．如果对于一般情况下的齐次线性方程组(2.2)，它显然有一组零解[]0,0,,0T．我们将方程组(2.2)的系数矩阵A 化为行阶梯矩阵R (比(2.3)少最后一列)．①若rankR n =，则齐次线性方程组(2.2)只有零解． ②若<rankR n ，则齐次线性方程组(2.2)有无穷多个解． ③若m n <，则齐次线性方程组(2.2)必有非零解．一般线性方程组的求解步骤大致为：1，写出它的增广矩阵；2，将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断方程组是否有解；3，如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4，写出原方程组的通解．下面我们通过例子来说明线性方程组的通解的表示形式． 例2.2.1 求线性方程组的通解1234123412341234322,521,26333,1154 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=-⎪⎨+--=⎪⎪--++=-⎩ 解：首先把增广矩阵A 化为行阶梯矩阵．311221521115211016755.263330000011154400000A R ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为42)()(<==R r R r ，所以方程组有解，且解有无穷多个．R 399101521116161601675575501,16161600000000000000000000R ⎡⎤----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦所以134234939,161616575.161616x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩其中12,x x 为主变量，34,x x 为自由变量．由于齐次线性方程组的增广矩阵最后一列元素全为零，在作初等变换时，所得矩阵的最后一列元素仍为零，所以只写出其系数矩阵求解即可．2.3 克拉默法则对于其次线性方程组来说，它有一个零解：()0,0,,0．因此对于其次线性方程就是研究它何时有非零解及非零解的形式如何．这一节，我们只考虑方程个数等于未知量个数，即当(2.1)中m n =时的情况，即11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2.4)并且系数矩阵的行列式不等于0．如果线性方程组(2.4)中，系数矩阵()ij A a =的行列式不等于0，即1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，那么，此方程有唯一解： []1212,,,,,,,TTn n B B B x x x A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中111,111,111,1,11,1,1,1,2,,.j j n i i j ii j in j n n j nn j nn a a b a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这就是克拉默(Cramer)法则．如果对于齐次线性方程组11112212112222112200,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩它的系数矩阵()ij A a =的行列式不等于0，那么它只有零解．下面我们通过具体的例子来应用克拉默法则求解线性方程组． 例2.3.1 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解： 12422151075130751313061306130620212021202121476147607712A r r r r ---------=--------751321227.7712-=--=-而181********,52120476B ---==---228511906108,0512176B --==----3218113962702521406B --==-- 42158130927.02151470B --==---所以[][]1212,,,,,,3,4,1,1.TTTn n B B B x x x A AA ⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦即原方程组的解为[]3,4,1,1T--．例2.3.2 λ取何值时，下述方程组有非零解：()()()1231231232220,2140,2410.x x x x x x x x x λλλ-+-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=⎩ 解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵A λ的行列式2222140,241A λλλλ--=+-=--+所以32232222222422142142542410333A r r c c λλλλλλλλλλλ------=+-++--+---+--- 24(3)25λλλ-=-+2(3)(6).λλ=-+因此，当36λλ==-或时，所给齐次方程组有非零解．2.4 高斯消元法高斯(Gauss)消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作《九章算术》中．《九章算术》第八章“方程”主要研究线性方程组的解法．其基本思想是消元．在解方程组时，将方程组的系数(包括常数)分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元．此方法在西方被称为“高斯消元法”]3[．高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组．本节将简单介绍高斯消元法的基本思想，并且运用它来解决形如(2.1)，并且存在唯一解的线性方程组．下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程． 例2.4.1 解线性方程组1231231232426,50,42 2.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (2.5)解：首先，我们将(2.5)中第二个方程减去第一个方程的12倍，再将第三个方程减去第一个方程的2倍，则得到等价方程组12323232426,363,7210.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-+=-⎩(2.6)其中(2.5)中的第二，第三个方程中的1x 已经消去了．类似的，我们将(2.6)中的第三个方程减去第二个方程的73倍，又可以消去第三个方程中的变量2x ，最后得到与(2.5)等价的方程组1232332426,363,12 3.x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=-⎩(2.7)这个方程很容易求解．由第三个方程解出，31,4x =将其带入第二个方程解出23,2x =再将23,x x 代入第一个方程解出11.4x =其中，将原方程组(2.5)化成方程组(2.7)的过程叫做消元过程，求解方程组(2.7)的过程称为回代过程．下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程． 线性方程组(2.5)可以写成矩阵的形式12324261150,4122x Ax x B x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦其增广矩阵为A 24262426242611500363036341220721000123A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦11004121330121010.21001100144⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把增广矩阵变成阶梯形矩阵后，再写出它代表的方程组1232331,2426,43363,,212 3.1.4xx x x x x yx z ⎧=+-=⎧⎪⎪⎪-+=-=⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩或用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解．2.5 追赶法求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法．将线性方程组的系数矩阵A 分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组．而如何将系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要用到LU 分解法，也称三角形分解法．LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变时，能够方便地求解方程组．本小节将讨论LU 分解的方法以及用如何用追赶法解线性方程组．2.5.1 LU 分解设A 的前n -1个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵L ，及上三角阵U ，使,A LU =而且这样的分解是唯一的．设矩阵A 有LU 分解，即111211112121212222221,112110.01n n n n n n n n n nn nn a a a u u u l aa a u u l l a a a u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两端的第一行元素得11,1,2,,;k k u a k n ==比较两端的第一列元素得1111,2,3,,;k k a l k n u ==比较两端的第二行的其余元素得22211,2,3,,;k k k u a l u k n =-=比较两端的第二列其余元素得()2112222,2,3,,.k k k a l u l k n u -==则对于一般的2,3,,i n =用递推关系得出1111,,1,,,,1,2,,,i ik ik ij ik j i ki ki kj ji iij u a l u k i i n l a l u u k i i n -=-=⎧=-=+⎪⎪⎨⎡⎤⎪=-=++⎢⎥⎪⎣⎦⎩∑∑ (2.8)即可求出U 和L ，从而实现A 的三角分解．这一过程就是矩阵A 的LU 分解]4[．2.5.2 追赶法将线性方程组的系数矩阵A ，通过公式(2.8)进行LU 分解后，再通过追赶法解出该线性方程组，是最有效快捷的方法．追赶法的关键在于它的追过程和赶过程．记11112222221111=,,1n n nnn n e f r f d e f r f l A L U f f l d e r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a)LU 分解11r e =对2,,,i n =计算11,i i i i i i i l d r r e l f --==-⨯b) 追过程11y b =对于2,,,i n =计算1i i i i y b l y -=-⨯c) 赶过程n n n x y r =对于1,,1,i n =-计算1()i i i i i x y f x r +=-⨯而对于线性方程组（2.1）中，可得该线性方程组的Jacobi 迭代公式如下：()()()()()()()()()()()(1)11122111(1)22211233222(1)1122,11111m m m n n m m m m n n m m m m n n n n n n n nn x b a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a +++--⎧=---⎪⎪⎪=----⎪⎨⎪⎪⎪=----⎪⎩简记成：()()1(1)111,(1,2,)i mm m m ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i a -+==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑ 下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程． 例2.5.1 用追赶法解线性方程组121232343423,233,37410,25 2.x x x x x x x x x x +=⎧⎪+-=-⎪⎨-+=-⎪⎪+=⎩ 解：系数矩阵2101230,03740025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦利用公式(2.8)对A 进行LU 分解， 21002102103112303012302220374037402740025002500252102100331130302222.02140214002500213A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以210010003110003022,.02100014002100013L U⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦追过程：解,Ly B=即1122334431000391100322.1002101200210y yy yyy yy y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎣⎦赶过程：解,Ux y=即1122334421003239030122.100141000130x xx xxx xx x⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得线性方程组的解．线性方程组的形式多种多样，对应的解法也不胜枚举．本节只是讨论了平时最常用的几种特殊的求解方法．随着现代工业的发展，线性方程组应用到了各方各面的领域中，对于线性方程组的解的各种研究也将持续的进行下去．3 线性方程组的应用线性方程组一直都是理工科中最基础且最重要的知识之一，在很多的解题过程中都会运用到线性方程组来进行求解．并且随着现代化工业的发展，线性方程组的应用也越来越多的运用到了各个领域研究中．这一节，我们主要讨论线性方程组在高等代数，解析几何，运筹学等数学学科以及在其他学科中的一些基本的应用．3.1 在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合，它将几何体用代数形式巧妙的表示出来，然后通过研究代数方程的相关性质，从而揭示几何图形的内在本质]5[．例 3.1.1 已知三次曲线230123y a a x a x a x =+++过4个点(,),i i i P x y 1,2,3,4,i =其中，1234,,,x x x x 互异．试求方程的系数0123,,,a a a a ．解：将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到非齐次线性方程组3,01,2,3,4.jj ii j a xy i ===∑这个关于0123,,,.a a a a 的方程组的系数行列式D 是范德蒙(Vandermonde)行列式，即231112322223143332344411()0.11j i i j x x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤==-≠∏]6[根据克拉默法则，它有唯一解1,(0,1,2,3)j j D a j D+==，其中1j D +是以1234,,,y y y y 替代D 中第j列元素所得的行列式．3.2 在高等代数中的应用线性方程组在高等代数中的一个应用是，当我们已知一组字母构成有非零解的齐次线性方程组的系数，可以求出或证明这组字母间的关系式]7[．例3.2.1 已知ax by by az bx ayc z x z+++=-=-=-，求证：a b =或a c =或0a b c ++=． 证明：由已经条件可得齐次线性方程组0,0,0.ax by cz cx by az bx ay cz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩因为0,0x z ≠≠，所以该方程组存在非零解．又因为齐次线性方程组的系数行列式不等于零时，只有非零解]8[，所以有0a b c c b a b ac=．展开此行列式并合并后可得()()()0a b c a b a c ++--=． 即：a b =或a c =或0a b c ++=．3.3 在运筹学中的应用在运筹学中，很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解．例3.3.1 有三个生产同一产品的工厂，1A ，2A 和3A ，其年产量分别为40（吨），20（吨），10（吨），该产品每年有两个用户1B 和2B ，其用量分别为45（吨），25（吨），由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C （公里）如下表所示（1,2,3,1,2i j ==）．各厂的产品如何调配才能使运费最少？解：为了解决这个问题，我们假设各厂调运到各户的产品数量分别如下表所示：那么，容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，因此有 1440,x x += ① 2520,x x += ②3610.x x +=③同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因此又有 12345,x x x ++= ④45625.x x x ++=⑤从①到⑤就是16,x x 应满足的一些条件．我们再来看如何刻画运费，我们知道，在道路情况相同的情况下运费与距离成正比，因此把1x (吨)的货物由1A 运到1B 的运费为451x 的倍数，而把1x (吨)的货物由1A 运到1B 的运费为584x 的同一倍数，因此，它们的和s=451x +582x +923x +584x +725x +366x 就可以用来刻画运费．3.4 在化学中的应用线性方程组在化学中应用到最多的，是化学方程式的配平问题．化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量．配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等]9[．一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解．例3.4.1 配平化学方程式14243242524624x KMnO x MnSO x H O x MnO x K SO x H SO ++→++ 其中126,,,x x x 为正整数．解：上述化学反应式中包含5类原子（钾、锰、氧、硫、氢），所以对方程式的每一种反应物和生成物构造一个5R 中的向量，其中每一种反应物和生成物构成如下向量：411:4,00KMnO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦401:4,10MnSO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200:1,02H O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦201:2,00MnO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2420:4,10K SO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2400:4.12H SO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目．为了配平化学方程式，系数126,,,x x x 必须满足方程组123456100020110100441244.010*********x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求解该齐次线性方程组，得到通解：123456232,512x x x c x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c R ∈． 由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取1c =即得配平后的化学方程式：4422242423252.KMnO MnSO H O MnO K SO H SO ++→++3.5 在经济学中的应用当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组．例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售，许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．一个网络包含一组称为接合点或者节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点．流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记．网络流的基本假设是网络的总流入量等于总流出量，且流经一个节点的总输入等于总输出]10[．例3.5.1 如图(3.5.1)中的网络是巴尔的摩市区一些单行道路在一个下午早些时候（以每小时车辆数目计算）的交通流量．计算该网络的车流量．图(3.5.1)解： 写出该流量的方程组，并求其通解．如图（3.5.1）所示，标记道路交叉口（节点）和未知的分支流量．在每个交叉口，令其车辆驶入数目等于车辆驶入数目．并且，网络中的总流入量（500+300+100+400）等于总流出量（300+3x +600），经简化得3x =400．该方程与上面四个方程联立并重排后得到下面的方程组：1223445153800300500600400x x x x x x x x x x +=-+=+=+==行化简相应的增广矩阵得到1525345600200400500x x x x x x x +=-==+=该网络的车流量为15253455600200400500x x x x x x xx =-⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩是自由变量网络分支中的一个负流量对应模型中显示方向相反的流量．由于本问题中的道路是单行线，这里不允许有负值变量．这种情况给变量的可能取值增加了某种限制．例如，因为4x 不能取负值，因此5500x ≤．3.6 在控制科学中的应用在现代鲁棒控制问题中，求解矩阵的Lyapunov 方程的基本思想是将方程转化成线性方程组，然后进行求解．其中运用到ker Kronec 积．定义：设()()=,ijij m np qA aB b ⨯⨯=，则称由111212122212n n m m mn a B a B a B a B a B a B a B a B a B ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭所确定的mp nq ⨯矩阵是A 和B 的ker Kronec 积或称A 和B 的直积，记作A B⊗]11[．性质：a)()()()k A B kA B A kA ⊗=⊗=⊗b) ()()A B C A B A C B C A B A C A⊗+=⊗+⊗+⊗=⊗+⊗c) ()()A B C D A C A D B C B D +⊗+=⊗+⊗+⊗+⊗ d)()()A B C A B C A B C ⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗e) 设(),(),(),()ij m n ij l r ij n p ij r s A a B b C c D d ⨯⨯⨯⨯====则()()A B C D AC BD ⊗⊗=⊗f)设(),(),ij m n ij p q A a B b ⨯⨯==则()()TT TH H HA B A B A B A B⊗=⊗⊗=⊗g) 设,m mn n A CB C ⨯⨯∈∈1) 若,A B 均为对称矩阵，则A B ⊗也是对称矩阵． 2) 若,A B 均为正规矩阵，则A B ⊗也是正规矩阵．h) 设A 与B 分别是m 阶与n 阶可逆矩阵，则A B ⊗也为可逆矩阵，且111()A B A B ---⊗=⊗考虑矩阵方程12A P PA Q +=-(3.6.1)式中，11221212;;.n n n n n n A RA R Q R ⨯⨯⨯∈∈∈定理：方程（3.6.1）存在唯一解12n n P R ⨯∈的充分条件是，矩阵1A 和2A 的任何两个特征值只和不为零，即1()i A λ和2()j A λ使式 1212()+()0,1,2,,;j 1,2,,i j A A i n n λλ≠==成立．利用ker Kronec 积，可以将矩阵方程（3.6.1）写成线性方程组 2112()Tn n cs cs I A A I V P V Q ⊗+⊗=-(3.6.2)式中122121221211211121121112=,,,,,,,=,,,,,,,Tcs n n n n n Tcs n n n n n V P p p p p p p V Q q q q q q q ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦1212112121221221111111111212211,n n n T n n n n n n n n n n n n i A a I a I i A I A A I a Ia I a I a I i A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⊗=⊗= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组（3.6.2）有唯一解的充分条件是它的系数矩阵2112()Tn n I A A I ⊗+⊗（3.6.3）非奇异，即（3.6.3）的矩阵的特征值不为零，为2112121212()=()()1,2,,1,2,,,1,2,,Tk n n i j I A A I A A k n n i n j n λλλ⎫⊗+⊗+⎪⎬===⎪⎭； 所以式1212()()01,2,,1,2,,i j A A i n j n λλ+≠==；；不为零，是方程（3.6.1）有唯一解的充要条件]12[．很多复杂繁琐的问题，运用线性方程组的知识就能很方便快捷的求出它的解．本节所举出的几个应用只是线性方程组在其他领域中一些最简单基本的应用．在今后的研究道路上，随着新问题的不断涌现，线性方程组的应用将越来越广泛，线性方程组的重要性也将越来越呈现出来．4 结束语本文主要讨论了线性方程组解的几种基本结构以及通解的表示形式，并且举出了当线性方程组存在唯一解时的三种常见的解题方法，还举出了线性方程组在各个领域的几种基本的应用．线性方程组是线性代数中一个最重要的内容，它除了本文介绍的几种解题的方法以及应用外，还有很多其它的解题方法以及更多广泛的应用．它是数学以及其它理工科解题时必不可少的知识之一．对线性方程组的解题方法以及它的应用，也会一直不断的研究下去．而且随着现代工业的发展，现代科技的进步，线性方程组的思想也将越来越多的被应用到各个领域中去．致谢行文至此，已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声．离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生．生我者父母，感谢生我养我，含辛茹苦的父母．是你们，为我的学习创造了条件；是你们，一如既往的站在我的身后默默的支持着我．没有你们就不会有我的今天．谢谢你们，我的父亲母亲！育我成才者老师．感谢我的论文指导老师舒伟仁老师，这篇论文是在舒老师的的悉心指导与鼓励下完成的．舒老师为我提供了良好的开题条件，在撰写论文方面提供了很多专业性的指导．舒老师渊博的学识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风和诲人不倦的高尚师德，都将深深地感染和激励着我．感谢我的生活指导老师马宗蔚老师．在四年的大学学习生活中，马老师不仅在学业上给我悉心指导，同时还在思想、生活上给我无微不至的关怀，在此谨向马老师致以诚挚的感谢！感谢数学N07级的同学们．四年来，是你们让我的大学生活变得更加丰富多彩，我们一起经历了大学的别样生活，愿同窗友谊之树长青．最后感谢徐虹同学，一直陪伴我度过大学的四年时光，有福同享，有难同当．她曾让我感受到前所未有的自信与快乐，曾向我展示了一个特别的世界，让我意识到自己的许多不足，真诚地道一声“谢谢”!本文参考了大量的文献资料，在此，向各位学术界的前辈们致敬！参考文献[1]李排昌, 左萍. 行列式与解线性方程组[J]. 中国人民公安大学学报(自然科学版). 2001, (01): 100-102 .[2]Bernard Kolman, David R.Hill. Linera Algebra An Applied First Course[M]. Beijing: Higher Education Press, 2005.[3]朱家生. 数学史[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.[4]黄明游, 刘播, 徐涛. 数值计算方法[M]. 北京: 科学出版社, 2005.[5]张俊祖, 葛键. 线性方程组理论在解析几何中的应用[J]. 陕西教育学院学报. 2006, (01): 105-107 .[6]陈志杰. 高等代数与解析几何(上)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.[7]刘祖望. 有非零解的齐次线性方程组的应用[J]. 涪陵师范学院学报. 2002, (05):69-70 .[8]潘杰,汪泉.齐次线性方程组有非零解条件的应用[J].大学数学,2005,21(3):70-73.[9]天津大学数学系代数研究组. 线性代数及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.[10]David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications(Third Edition)[M]. Beijing:China Machine Press,2005.[11]史荣昌,魏丰.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,2005.[12]姜长生,吴庆宪,陈文华等.现代鲁棒控制基础[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2005.。