数学与应用数学专业毕业论文

合集下载

数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之，得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

数学与应用数学毕业论文开题报告

数学与应用数学毕业论文开题报告“Hapionl”投稿了18篇数学与应用数学毕业论文开题报告，以下是我为大家准备了数学与应用数学毕业论文开题报告，欢迎参阅。

篇1：数学与应用数学毕业论文开题报告数学与应用数学毕业论文开题报告模板论文题目不定积分的计算方法文献综述：不定积分是大学数学中非常重要的知识，但是当今许多大学生学习不定积分的时候，感觉学习和理解的难度很大，所以不定积分有一定的研究价值。

不定积分是导数运算的逆运算，要想学好不定积分，必须要理解原函数f(x)的意义，知道原函数的性质，学会求简单的原函数。

然后就是理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，学会定义求简单函数的不定积分。

本文研究了不定积分的几种解题方法，在前人的研究成果上作进一步的探索与探究。

社会在不断的进步，许多高科技的技术，都涉及到不定积分，研究不定积分也是社会发展的需要。

人类在17世纪的时候就发现了微积分，当时被誉为人类精神上的重大发现。

后来人类创立了微积分学，专门研究微积分，是数学有了重大发展和进步，解决了许多以前人们无法解决的数学问题，可见微积分在数学中的重要地位，而不定积分是微积分中最基础的知识之一，也是最重要的知识之一、人们常用的不定积分的解题方法有：一.利用不定积分的定义性质和基本积分公式求不定积分;二.利用换元积分法求不定积分;三.利用分部积分的方法求不定积分;有时有一些特殊函数也有一些特殊的解题方法，例如有理函数和无理函数，可以用有理函数的积分法和无理函数的积分法。

由此可见前人对不定积分的解题方法和思路有了一定的研究成果，但是后人也不会停下脚步，继续研究下去。

不定积分的解题方法和思路有很多种，这就要求学生有很高的抽象思维和逻辑理解能力，而且学生在学习不定积分的过程中计算和理解的难度比较大，很多老师讲课的时候，学生根本就没听懂，所以对不定积分和不定积分的计算方法的'研究，不管是从客观需求还是客观实际上都有着必然的研究需求。

数学与应用数学毕业论文(剁树枝问题,组合数学、初等数论方向)

摘要有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。

剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。

本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。

采用例举、分析、归纳、证明的流程，给出了剁树枝问题最少次数的递推关系和具体表达式，并对其进行了证明。

关键词初等数论；组合数学；递归；数学归纳法AbstractSuppose there is a positive integer units long branches, to chop them into a certain length of short branches. During the cutting process overlap is allowed, then how many times is needed at least? This problem is known as cutting the tree problem. The cutting branches-problem is a model for many practical problems, with a wide range of applications. Based on the idea of dynamic programming, the recursion formula of the least number of movements necessary for this problem is presented. The direct formula of the least number of movements necessary for this problem is given and proved by triple mathematical induction and pure combinatorics.Key words number theory；combinatorial mathematics；recursive; mathematical目录摘要 (2)第一章．绪论 (4)1.1 剁树枝问题的简介 (4)1.2 剁树枝问题的研究意义及主要方法 (4)第二章．主要理论：递归关系 (5)第三章．推导过程 (6)3.1 剁成1分米长的短树枝的情况 (6)3.2 剁成2或3分米长的短树枝的情况 (9)第四章．结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)附录：外文参考文献 (16)参考文献翻译 (18)第一章.绪论1.1 剁树枝问题的简介有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。

数学与应用数学专业毕业论文--易拉罐的形状和尺寸的最优设计

摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。

将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。

也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。

通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。

本文还对模型进行了推广。

关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。

但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。

为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。

需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。

(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。

（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。

(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。

进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。

最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

应用数学本科毕业论文

应用数学本科毕业论文数学以及应用数学是网络技术和电子信息技术的基础,随着这些行业的快速发展,相关行业需要大量能掌握应用数学知识并能将其转化为生产力的专业人才。

下面是店铺为大家整理的应用数学本科毕业论文，供大家参考。

应用数学本科毕业论文范文一：应用数学课程多元化的教学模式改革一、开展应用数学课程多元化的教学模式改革1.使应用数学课程资源数字化、网络化学习资源的数字化与网络化已成为现今各科发展的必然趋势。

我们通过建立应用数学课程电子试题库和网络公共邮箱等方式实现了数学资掘的共享。

2.建立应用数学课程的公共网络交流平台建立“应用数学交流QQ群”，使用QQ群公共邮箱进行群发邮件，资源共享，并在周末和晚上设立了应用数学课程公共答疑时间，进行每周的课程答疑，通过撰写群博客对教学内容进行补充。

这些活动的展开已在一些职业院校中得到了广泛的认可，对职业院校应用数学教育的改革将产生深远的影响。

二、开展数学实验课的教学1.教学目标数学实验课程的教学目标应该是培养学生的数学思维能力、科学计算能力和数据处理能力，使学生学会数学概念中的思想方法。

培养学生熟练使用数学软件解决实际问题的能力，让学生通过数学软件或者自编的程序自由地探索，从中发现、总结出可能存在的规律，然后加以验证。

2.教学内容选取数学实验课的教学内容应遵循实用性、开放性、适度性、趣味性的原则，以解决实际问题为出发点，以建立解决实际问题的数学模型为训练目的。

实验题材应具有启发学生思维、引导学生探索的特点，既能对理论教学进行适当的补充，使学生掌握所学的知识，又能培养学生独立解决问题的能力。

同时，要尽量选择生活中常见的问题，提高学生的学习兴趣。

在此原则基础上，将实验教学内容分为三个部分：(1)课堂演示实验。

对于抽象数学概念的引入，通过大量的实例，使学生对概念有一个感性的认识，再通过归纳，提炼出共性的定义，既能帮助学生理解概念，又能培养学生的归纳能力。

(2)基础计算实验。

数学与应用数学毕业论文范德蒙行列式的应用研究

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：范德蒙行列式的应用研究作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院2006级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：完成日期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。

答辩小组签名答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。

除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。

参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期： 2010年5月26日。

论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

签名：指导教师签名：日期： 2010年5月26日。

范德蒙行列式的应用研究摘要行列式是一个重要的数学工具,它不仅有着悠久的历史,更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单,化繁琐为简便.然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用,并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用.关键词:行列式;范德蒙行列式;应用;构造Study on Application of Vandermonde DeterminantAbstract: Determinant is an important mathematical tool, it is not only has a long history, but also more widely used. vandermonde determinant was proposed a mathematician whose name is Vandermonde in 1772. As a special determinant ——vandermonde determinant not only unique in the structure and graceful form, and it is of wide application. The right to use vandermonde determinant to solve the problem can be reached the effect of half paying double getting. The nature of using vandermonde determinant to solve problem is to make complex become simple, complicated to easy. However, it is not easy to solve the problem effectively by constructing and application vandermonde determinant is not in a right and proper way. Therefore, this thesis systematically researches the application of the vandermonde determinant and makes a little summary of its methods and techniques from six aspects: the calculation of determinant, solving n-order k loop determinant, solving problems finding roots of polynomials, linear correlation vectors answer questions, questions and answers divisible. In the hope that it can help beginners to better understand and master the vandermonde determinant and its wide range of applications.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; applications; structure目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (1)2.3 提出问题 (2)3 范德蒙行列式简介 (2)4 范德蒙行列式的应用探讨 (3)4.1 计算行列式 (3)4.2 求解n阶k循环行列式 (6)4.3 解决多项式的求根问题 (8)4.4 解答向量线性相关性问题 (9)4.5 解答整除问题 (11)4.6 解答微积分问题 (14)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是一个重要的数学工具,活跃在数学的各个分支.行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中,行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的.18世纪,法国著名数学家范德蒙（A,T,Vandermonde,1735—1796）将行列式的理论脱离线性方程组,放到理论高度作为专门的理论进行研究,在此基础上确立了行列式的一些性质,从而使行列式逐步发展成一门独立的数学课题.到了19世纪,数学家柯西、凯莱和西尔维斯特等人给出了真正现代意义上的行列式理论.行列式(Determinant)这个名称是柯西1815年首先使用的,随其后,凯莱于1841年使用了行列式记号| |[1].范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式,范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有广泛而丰富的应用.基于范德蒙行列式结构的独特性,学习者在计算行列式时不易掌握,尤其是需要通过变换构造这一行列式来解决相关方面的问题就显得更加困难.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面来探究范德蒙行列式的应用,希望对初学者提供一定的参考.2 文献综述2.1 国内外研究现状从目前参阅的文献资料[1—20]中了解的信息来看,针对范德蒙行列式的应用,近几年来研究者们得出了许多成果.真所谓仁者见仁,智者见智,不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同.例如:北京大学第三版《高等代数》教材[2]和其他不同版《高等代数》教材[3、4]、习题集[5、6]中就提到了范德蒙行列式在行列式的计算和多项式根存在问题中的应用.在许多高校的学报中我们可以找到范德蒙行列式应用的文章.比如:在《范德蒙行列式应用三则》一文[7]中张文治、赵艳给出了通过构造范德蒙行列式计算缺项行列式;在《范德蒙行列式的应用》一文[8]中徐杰探讨了应用范德蒙行列式证明向量的线性相关性问题;在《范德蒙行列式在微积分中的应用》一文[9]中程伟健、贺冬冬研究了利用范德蒙行列式求高阶无穷小和证明k阶导数极限的存在问题;此外文献[10]、[11]、[12]中也提到了范德蒙行列式的相关应用,等等.2.2国内外研究现状评价综上所述,目前国内外对范德蒙行列式的应用研究虽然是比较多的，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺,比较零散,不够全面,系统性、规范性不足.同时对如何构造范德蒙行列式的研究不是很透彻,使初学者在实际处理具体问题时不易运用和掌握.2.3 提出问题利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单、化繁琐为简便.正确的使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.虽然对范德蒙行列式在各个方面的应用研究是许多学者关注的焦点,但是对范德蒙行列式应用的方法、技巧的总结还比较欠缺、零散、不够全面.因此本毕业论文通过探讨范德蒙行列式在计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题中的一些应用,总结了构造范德蒙行列式解题的一些方法和技巧,希望能给广大学者提供一定的参考. 3 范德蒙行列式简介形如:113121122322213211111----=n nn n n nna a a a a a a a a a a a D的行列式称为n 级范德蒙(Vandermonde)行列式.可以证明：对任意的n ()2≥n ，n 级范德蒙（Vandermonde ）行列式等于1a ,2a , ,na 这n 个数的所有可能的差()j i a a -()n i j ≤<≤1的乘积．即：()∏≤<≤-----==ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a D 1113121122322213211111因为D D T =，所以范德蒙行列式还可以写成：()∏≤<≤-----==ni j j i n nnnn n n a a a a a a a a a a a a a a D 1121323312222112111111从定义可以得出，范德蒙行列式等于零的充分必要条件是1a ,2a , ,n a 这n 个数中至少有两个相等．4 范德蒙行列式的应用探讨范德蒙行列式常做为行列式理论的一个教学实例而出现，虽然未被明确提出和探讨研究，但出于它结构独特、形式优美，在数学的各个分支都具有十分广泛的应用．下面将从计算行列式、求解n 阶k 循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面探讨研究范德蒙行列式的应用． 4.1 计算行列式范德蒙行列式在行列式的计算问题中起着举足轻重的作用．利用范德蒙行列式计算行列式已被确立为一种特殊的方法被广泛使用．下面先来看几个例子．例1[13]计算行列式：n n n n n n n n n n n n n nnn n ny y x y x x y y x y x x y y x y x x A 111111112122212211111111+-+++-++----=,其中0121≠⋅⋅⋅+n x x x ．分析：A 不是范德蒙行列式，但仔细观察发现它具有范德蒙行列式的影子，可考虑构造范德蒙行列式．解：将第1行提出n x 1,第2行提出 ,2nx ,第n 行提出n n x ,第1+n 行提出n n x 1+,则有:nn n n n n n n n n nn nn n i n i x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++-++++++--+=∏11111211112212222222111112111111111因此,构造出了一个1n +阶的范德蒙行列式:=1A nn n n n n n n n n nn nn x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++++--1111121111221222222211111211111111j i j i n i j y y x x ≤<≤⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∏()∏∏∏∏+≤<≤+=≤<≤+=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==11111111n j i i j j i n i n i j j j i i nin i n iy x y x x y x y x A x A 所以：.点评:本例的解题技巧在于从第i 行中提出n i x ()1,3,2,1+=n i ,从而构造了一个1n +阶的范德蒙行列式.例2[8]计算行列式:n nn n nn nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a D321223222122322213211111----=．分析:D 不是范德蒙行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造1n +阶范德蒙行列式,再根据范德蒙行列式的结果间接地求出D 的值.解:考察此行列式,构造1n +阶范德蒙行列式:nn nn nn n nn n nna a a a a a a a a a a a a a a a D211112112222212111111----=则行列式D 等于1D 中元素1-n a 的余子式,将行列式1D 按1n +列展开得:1,11,11,321,21,11+++-++++++++=n n n n n n n n n A a A a A a aA A D其中1-n a 的系数为:()D M M A n n n n n n n -=-=-=++++1,1,121,1即行列式D 等于1n +阶范德蒙行列式1D 的展开式中1-n a 的系数的相反数.又因为 ()()j ni j j ia a a aD --=∏≤<≤11.对()1j j na a ≤≤-∏展开得1-n a的系数为∑=-nj j a 1,因此在1D 中1-n a 的系数为:()∏∑≤<≤=--ni j jinj ja a a 11.故行列式()∏∑≤<≤=-=ni j j inj ja aa D 11.点评:本例通过添加了第n 行、第1n +列构造了1n +阶范德蒙行列式1D ,再利用行列式D 与1D 中某元素余子式的关系来计算行列式.例3[7] 计算行列式:()()()()()()()()()nn n nn nn nn nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x A +++++++++=101110101000解:利用二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0和行列式的乘法规律得: 01122000010112222211110112201111n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nnnC xC x C x Cy y y C xC xC xC A y y y C x C x C x C y y y ------=⋅ ()()20000121012222111212011111111n n n n n n n n nnn n n nn nnnnx x xy y y x xx C C CCy y y x x x y y y +=-⋅()()()()()()1012200012001n n n n n nnijijj i nj i nnn n nnji ijj i nj i nC C CCx x y y C C C C xx y y +≤<≤≤<≤≤<≤≤<≤=---=--∏∏∏∏点评:本例先按照二项式定理的展开式()ii n ni i nny x C y x -=∑=+0将行列式A 中的每一个元素展开,可变为乘积之和,再根据行列式的乘法规则分别构造出1n +阶范德蒙行列式进行计算.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式计算行列式的一点技巧: (1)、观察要计算的行列式是否具有范德蒙行列式的某些结构特征; (2)、通过适当方法(如:拆项法、添项法等)构造出范德蒙行列式; (3)、结合范德蒙行列式和题目的要求进行计算. 4.2 求解n 阶k 循环行列式形如[11]:1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=的行列式，称为n 阶k 循环行列式，其中123,,,,,n b b b b k 是常数且0≠k .特别地,当1=k 时,叫做n 阶循环行列式;当1-=k 时,叫做n 阶反循环行列式. 对于n 阶k 循环行列式的计算.利用范德蒙行列式可证明以下定理.定理1:对n 阶k 循环行列式1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b B n n n n nn n ---=构造多项式函数: ()21123n n f x b b x b x b x -=++++．若方程0=-k x n 的n 个根为()n i x i ,,3,2,1 =,则必有:()∏==ni i n x f B 1 .证明:考察方程0=-k x n ,设()k x x n -=ϕ,则()1'-=n nx x ϕ,由于存在()kx h 1-=,()x nkx l 1=.使得: ()()()()111111'=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n nxx nk k x k x x nk x k ϕϕ 故得多项式()x ϕ与()x 'ϕ互质,因此多项式()x ϕ没有重根,即方程0=-k x n 没有重根.也即方程0=-k x n 有n 个互异根.以方程0=-k x n 的n 个根()n i x i ,,3,2,1 =构造n 阶范德蒙行列式:112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D显然0≠n D ,()n i k x n i ,,3,2,1 ==.因为()12321-++++=n n x b x b x b b x f ,故()12321-++++=n i n i i i x b x b x b b x f ()n i ,,3,2,1 =.考察⋅=---1432211121321b kb kb kb b b kb kb b b b kb b b b b D B n n n n nn n n 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()()()()()()()()()n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f 1212111221121---= ()()()n n D x f x f x f ⋅⋅ 21 所以()()()()∏==⋅=ni i n n x f x f x f x f B 121 .例4[14]计算行列式:11111011110=n A ．解:经观察,此行列式n A 为n 阶循环行列式且1,0321=====n b b b b .设()132-++++=n x x x x x g .若方程01=-n x 的根记为()n i x i ,,3,2,1 =.不妨设11=x 则()()01111121111=++++-=--n n x x x x x 故对()n i x i ,,3,2 =必有:0112=++++-n i i i x x x .既有()()n i x g i ,,3,21 =-=,故得:()()()()()121111-==--=⋅==∏∏n ni i ni i n n x g x g x g D .n 阶k 循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙行列式进行探讨n 阶k循环行列式的初等解法，方法简便易行，有一定的实用价值． 4.3 解决多项式的求根问题多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是高等代数的重要内容，是学习代数学及其他数学分支的必要基础，是中学数学有关知识的加深和扩充．虽然它在整个高等代数中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数的基本内容提供了理论依据．研究学习多项式、多项式根的存在问题、多项式求根等是多项式理论的重点和难点．由于多项式理论的高度抽象性，初学者在学习时不好把握．多数多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙的应用它们之间的联系，对解决会起到化繁为简的作用．例5[8]证明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明:设n 次多项式为()n n x k x k x k k x f ++++= 2210，假设()x f 有1n +个互异的根为121,,,,+n n x x x x ,则有:()()1,,2,102210+==++++=n i x k x k x k k x f n i n i i i即: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=+++++++00001212110221022222101212110n n n nn n n n n nnn n n x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k x k x k x k k因此,这个关于n k k k k ,,,,210 的齐次线性方程组的系数行列式为:()∏+≤<≤++++-==11121122222121111111n i j j i nn n n nnn n nnn x x x x x x x x x x x x x x A.因为121,,,,+n n x x x x 是互异的.所以01≠+n A , 因此0210=====n k k k k .矛盾.故()x f 至多有n 个互异的根,即n 次多项式至多有n 个互异根,证毕.例6[6]设()112111222211211121111-------=n n n n n n n k k k k k k k k k x x x x f. 其中121,,,-n k k k 是互不相同的数,证明:()x f 是一个关于x 的1n -次的多项式,并求出()x f 的根.证明:因为()x f 中只有第一行含有x 的幂次,而最高幂次为1n -,另外展开后1-n x 的系数为:()011111212112222221211≠-=∏-≤<≤------n i j j in n n n n n k kk k k k k k k k k故()x f 是一个关于x 的1n -次多项式.又因为当121,,,-=n k k k x 时.()()()121,,,-n k f k f k f 都有两行相同,从而()()1,,2,1,0-==n i k f i .故互不相同的数121,,,-n k k k 就是()x f 的根.在多项式理论中，很多问题都涉及求根问题，在分析题目时，范德蒙行列式起到了关键作用,再结合范德蒙行列式为零的充要条件,更起到了化繁为简的作用.若能熟练有效的运用范德蒙行列式,对我们最终解决问题会有直接帮助. 4.4 解答向量线性相关性问题向量的线性相关性是向量研究的一个重点也是一个难点,比较抽象,且对逻辑推理有较多要求,不容易理解其实质.无论是判断还是证明或者计算,初学者往往会感到困惑,难以掌握.但将其与行列式适当相结合,对于判断、证明和计算相应问题就比较容易理解、掌握,尤其是与特殊行列式—范德蒙行列式相结合,效果更显而易见.例7[10]设t ααα,,,21 是t 个互不相同的数，t n ≤.证明:向量组()211,,,,n i i i i βααα-'=线性无关,1,2,,i n =.证明:考察向量组()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,可构造一个t 阶的范德蒙行列式:121222211211111---=t t t tt t t D ααααααααα因为t ααα,,,21 是互不相同的,所以0≠t D .故()12',,,,1-=t i i i i αααβ ,t i ,,2,1 =,线性无关.在每个'i β的后面再添上t n -个分量11,,,-+n i t i t i ααα 所得向量组()112',,,,,,,1--=n i t i t i i i i αααααβ ,1,2,,i n =,仍线性无关.例8[15] 设A 是n 阶矩阵，证明：A 的不同特征值的特征向量线性无关.证明：是t ξξξ,,,21 是A 的两两不相同的t 个特征值，存在非零向量t βββ,,,21 有：i i i A βξβ=，1i t ≤≤.假设02211=+++t t y y y βββ ，那么()t j y y y A t t j ≤≤=+++1,02211βββ .所以().1,01111t j y y A y y A ti i i j i t i i ji i t i i j i t i i i j≤≤====⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑====βξβξββ即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0222111222221121222111t t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y βξβξβξβξβξβξβξβξβξ所以 022113212232221321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t t tt t t t y y y βββξξξξξξξξξξξξ考察系数矩阵B ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----1131211321211111t t t t t t t B ξξξξξξξξξξξ因为t ξξξ,,,21 是两两互不相同的特征值.所以0B ≠,因此必有0332211=====t t y y y y ββββ .于是021====t y y y ,因此t βββ,,,21 线性无关.在向量空间理论中,我们经常会碰到证明向量线性无关的问题,而有些问题需要用范德蒙行列式进行转化,通过转化,我们就很容易地得到所需要的结论,这就要求我们充分掌握范德蒙行列式及其结构特征.达到灵活应用. 4.5 解答整除问题多项式整除性理论是多项式理论中的重点，也是难点.由于多项式整除多项式的抽象性，它也成为学生学习时的难点[15].下面将结合范德蒙行列式来探讨多项式整除的相关问题.先介绍两个特殊的行列式的计算．(1)、行列式 ()()()()()()()()()()∏≤<≤----==ni j j i n n n n n n n x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f A 1121112221212111111其中()kk k k k k t x t x x f +++=- 11．证明：因为()kk k k k k t x t x x f +++=- 11,所以⋅=------10100100011,31,21,1122211n n n n n n n t t t t t t A 112112222121111---n nn n nnx x x x x x x x x=()∏≤<≤-ni j j i x x 1．(2)、行列式()()∏≤<≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i j j i n n n n x x n n x n x n x n x x x x x x x x x B 1321321321!1!3!2!111111222211111111．证明：因为()()!11r r x x x r x +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111222211111111321321321n x n x n x n x x x x x x x x x B n n n n()()()()()()()()()()212121111111!11!31!21!11222111221121+--+--+------⋅⋅=n x x x n x x x n x x x x x x x x x x x x n n n n n n n再令()()()11+--=r x x x x f r ,所以()()()()()()()()()()()()1112121222111121111111!2!3!1!1!2!3!1!n n n ijj i nn n n n f x f x f x f x f x f x B x x n n f x f x f x ≤<≤---==---∏．例9[11]设n k k k ,,,21 是正整数，证明n 阶行列式121222211211111---=n nn nn n n k k k k k k k k k f能被()1)2(21221----n n n n 整除．证明；直接运用以上两行列式的结果得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121112111211!1!2!1222111n k k k n k k k n k k k n f n n n n因为()!1!2!1-n =()1)2(21221----n n n n ，所以n f 能被()1)2(21221----n n n n 整除．例10[16]设()()()t g t g t g n 121,,,- 是1n -（2n ≥）个多项式,证明:多项式()()++n n t tg t g 21()n n n t g t 12--+ 能被211n t t t -++++整除,则每个()()1,,2,1-=n i t g i 的所有系数之和为0.证明:设()()()()()2211211n n n n n n g t tg t t g t t t t q x ---+++=++++. ①要证()t g i 的系数之和为0,即要证()01=i g . 设211n t t t -++++的1n -个根为121,,,-n r r r ,它们都是n 次单位根即有1=n i r ,现令()()1,,2,11-==n i t g i i ,并把121,,,-n r r r 依次代入①得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------0121321211122322221121321211n n n n n n n n n t r t r t r t t r t r t r t t r t r t r t② 这是一个关于121,,,-n t t t 的齐次线性方程组,其系数行列式212112222221211111------=n n n n n n r r r r r r r r r A是一个1-n 阶的范德蒙行列式,由于121,,,-n r r r 是互不相同的,因此0≠A ,从而方程组②只有零解,即12310n t t t t -=====即()()1,,2,101-==n i g i .因此,原命题得证.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式解此类问题的方法: (1)、变换形式,构造出范德蒙行列式； (2)、结合题目已知信息进行解题. 4.6 解答微积分问题无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分研究的主要内容，这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的[18]．然而初学者在学习掌握这些概念时常常会遇到困难．在解决此类问题时，有时构造范德蒙行列式变换一下形式，可巧妙地得到解答．例10[19] 设()t g 至少有k 阶导数,且对某个实数r ,有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .试证:()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t .其中()()()t g t g =0.证明:因为()t g 至少有k 阶导数,对某个实数r ，有()0lim =∞→t g t r t 和()()0lim =∞→t g t k r t .要证()()()1,,2,10lim -==∞→k i t g t i r t ，只要将()()t g i 写成()t g 与()()t g k 的线性组合即可.利用泰勒公式[20]:()()()()()()()()()m k k k k g k m t gk m t g m t mg t g m t g ξ!!1!211"2'+-++++=+-- (*) 其中()k m m t t m ,3,2,1=+<<ξ,这是()()()()1'",,,k g t g t g t -线性方程组,其系数行列式为:()()()()()12121212122211111!11!21!11!1!11!12!2221!11!2111-----⋅=----=k k k k k k kk k k k kkk k B.故构造了一个k 阶的范德蒙行列式,其值为()!1!3!2!1-⋅⋅k ,所以1=B .于是可将方程组(*)中的()()()()t g t g t g k 1"',,,- 写成()()()()k m g m t g m k ,,2,1 =+ξ与的线性组合.我们只要证明()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ即可.事实上,设k t x t +<<,于是()()()()()()()k i x g x x t x g x x t x g t i r x rt i r r t i r t ,00lim lim lim lim ==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→∞→在此式中分别令0,=+=i m t x 和令k i x m ==,ξ,则得()()()()k m g t m t g t m k r t r t ,,2,10lim lim ===+∞→∞→ξ. 通过对以上例题的分析,可归纳出利用范德蒙行列式解这类问题方法:(1)、运用泰勒公式构造范德蒙行列式；(2)、结合范德蒙行列式和题目要求解题.从范德蒙行列式在以上六个方面的应用可以看出,巧妙的构造范德蒙行列式确实可化繁为简,达到事半功倍的效果.5 结论5.1 主要发现范德蒙行列式的构造，为问题的求解提供十分有效的手段．对范德蒙行式的应用，不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的运用，善于将知识之间衔接起来．因此，只有不断地分析解决典型的题目，找出内在规律，对范德蒙行列式的应用才能进一步掌握．总之，以上问题出现的形式灵活多变，题目有一定难度，又有一定的技巧性，但只要我们善于思考、总结，就能找到解决问题的突破口，最终解决问题．5.2 启示范德蒙行列式应用中构造范德蒙行列式是解决问题的难点，也是关键点．要巧妙的构造范德蒙行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，能够将知识融会贯通．5.3 局限性由于本人的能力水平有限，这里提供的仅是范德蒙行列式在几方面的应用．不能提供更多的有关范德蒙行列式的应用，这是本毕业论文的不足之处.5.4 努力方向在今后的学习研究中将不断地深入探讨，发现更多范德蒙行列式的应用和构造范德蒙行列式的方法，为学习者提供更多的帮助．除了文中所涉及的几种应用外，根据问题不同可能还有其他的用法，这些方法将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本毕业论文的不足．参考文献[1] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2002:177-206.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003:55-83.[3] 姚慕生.高等代数学[M].上海:复旦大学出版社,1999:23-32.[4] 丘维声.高等代数学习指导书（上册）[M].北京:清华大学出版社,2005:42-43.[5] 刘丁西.高等代数习题精解[M].第二版.合肥:中国科学技术大学出版社,2004:38-66.[6] 杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社,2009:307-366.[7] 张文治,赵艳.范德蒙行列式应用三则[J].北华航天工业学院学报,2007,17（4）:38-39.[8] 徐杰.范德蒙行列式的应用[J].职校论坛,2009,(17):584-586.[9] 程伟健,贺冬冬.范德蒙行列式在微积分中的应用[J].大学数学,2004,20（3）:127-130.[10]徐仲,陆全等.高等代数（导数.导学.导考）[M].西安:西北工业大学出版社,2004:85-130.[11]孙宗明.高等代数的内容与方法[M].兰州:兰州大学出版社,1990:109-114.[12]陈文磊,肖俊起,莫延文.一类特殊矩阵多项式计算方法浅谈[J].高等函授学报（自然科学版）,2008,21（4）:58-59.[13]牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].中国科教创新导刊,2008,(17):140.[14]杨培国.n阶k循环行列式的初等解法[J].上海工程技术大学学报,2004,18（1）:37-39.[15]王寿生.考研数学常见题型解析及模拟试题[M].西安:西北工业大学出版社,2000:216-218.[16]邓敏.多项式余数定理的推广形式[J].数学理论与应用,2006,26（3）:108-110.[17]刘玉琏,傅沸仁,林玎等.数学分析讲义[M].第四版.北京:高等教育出版社,2003:97-205.[18]华青,邵之泉,俞颂.基础微积分[M].上海:知识出版社,1987:1-12.[19]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:180-181.[20]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社,2001:168-169.。

数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ，可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ，因为0022m m PE BC ⋅=-+=，所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -，依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ，面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ，设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =，令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ，二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析如图，本题可以用几何法求出SB ，但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点，直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

数学系优秀毕业论文（通用12篇）

数学系优秀毕业论文（通用12篇）数学系优秀毕业论文（通用12篇）难忘的大学生活将要结束，同学们毕业前都要通过最后的毕业论文，毕业论文是一种有计划的检验学生学习成果的形式，那么问题来了，毕业论文应该怎么写？下面是小编精心整理的数学系优秀毕业论文（通用12篇），欢迎大家分享。

数学系优秀毕业论文篇1摘要：《数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。

关键词：应用数学；走进生活；数学活动《义务教育数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。

引领学生通过自主探究、合作交流等实践活动，发现、理解、掌握数学知识，并在运用所学知识解决实际问题的过程中形成技能，提升能力。

下面结合自己的教学实践，谈几点粗浅做法与思考。

一、走进生活，应用有价值的数学知识数学来源于生活，离开了生活，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的。

同样，生活离开了数学，那将是一个无法想象的世界。

因此，在教学中，应从学生的生活经验和已有知识出发，巧妙创设真实的生活场境，提供大量的数学信息。

这样，既让学生感受到了数学与生活的密切联系，又彰显了数学鲜活的生命力，促使学生萌生主动运用数学解决实际问题的意识。

（一）课前调查，萌发应用意识教师要善于把日常生活中遇到的问题呈现在学生面前，引领学生用数学的眼光观察生活，为数学知识的学习收集素材，让学生在生活的每个角落都感受到数学的存在，切实体会到数学渗透在我们生活的方方面面，促使学生自觉地将数学与生活联系起来，萌发应用意识。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文学号 1322060006 编号 201522060006 分类理工

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 成人教育本科生毕业论文

Adult Education Bachelor’s Thesis

论文题目多项式理论在初等数学中的应用作者姓名郭莉娜

指导教师所在院系数学科学学院

专业名称数学与应用数学

完成时间 2015年3月20日多项式理论在初等数学中的应用潇洒（指导教师：张永新）（洛阳师范学院数学科学学系河南洛阳 435002）

摘要：多项式理论是高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题。本文将从因式分解、一元高次方程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的教师提供帮助。关键词:因式分解一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判断法

洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文

1 多项式理论在初等数学中的应用多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用.

1 判断能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域F上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式22x在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘

积，但这个多项式在实数域上可约，因为)2)(2(22xxx. 因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.

1.1 待定系数法按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数. 例1 判断43281xxx在有理数域上能否分解因式.

解令43()281fxxxx，因为(1)0f，所以()fx无一次因式.若一个整系洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 2 数)0(nn多项式()fx在有理数域上可约，那么()fx总可以分解成次数都小于n的两个整数系数多项式的乘积.则可设22()(1)(1)fxxmxxnx，其中nm,为整数.即43432281()()1xxxxmnxmnxnmx

比较等式两端的对应项系数，得20?8mnmnnm①②③

由②知 0m或0n，若0m，则2n 但8202mn；若0n，

则2m，但82mn ，所以()fx不可约.即()fx在有理数域上不能分解因式.

1.2 艾森斯坦判断法

定理1]1[ （艾森斯坦判断法）设01()nnfxaaxax是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数p使（i) 最高次项系数na不能被p整除； (ii) 其余各项的系数都能被p整除；（iii) 常数项0a不能被2p整除，那么多项式)(xf在有理数域上不可约. 例2[1] 判断2nx在有理数域上能否分解因式.

解令()2nfxx，易找到素数2p，满足上述条件，21，2|2 ，222，故()fx在有理数域上不可约.即2nx在有理数域上不能分解因式. 艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p不一定存在.若是对于某一多项式)(xf找不到这样的素数p，那么)(xf可能在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式232xx与21x来说，都找不到洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 3 一个满足判断法的条件素数p，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式)(xf来说，艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我们可以把()fx适当变形后，就可以应用这个判断法，例如21x，令1xy 得2()22gyyy

，因为21，2|2，222，所以21x在有理数域上不可约.

以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.

2 分解因式在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.

2.1 综合除法综合除法用以寻找所给整系数多项式()fx的一次因式，()fx有因式xa的充要条件是()0fa，a就是()fx的一个根.当a是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：如果整系数多项式

0111)(axaxaxaxfnnnn

有因式qxp（p，q是互质的整数）则p一定是na的约数，q一定是0a的约数. 具体做法是：

（1）先写出整系数多项式()fx的首项系数na和常数项0a的所有因数，然后以n

的因数为分母，0a的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数），如果()fx有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是()fx可能的试除数. 洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 4 （2）从上述既约分数中合理地选择试除数.首先，1与 -1永远在有理数jipq中出现，计算f（1）.若f（1）=0，则1是()fx的有理根.若有理数(1)是()fx的

有理根，则只需对那些使商(1)1f与(1)1f都是整数的jipq来进行试除.（假定(1)f都不等于零，否则可以用(1)x或(1)x除()fx而考虑所得的商式.）（3）选好试除数后，即用综合除法试除. 例3 在有理数域上分解多项式326+1514xxx. 解这个多项式的最高次项系数1的因数是1，常数项14的因数是1,2,7,14.所以可能的有理根是1,2,7,14.我们算出，(1)4,(1)36ff.所

以都不是()fx的根.另一方面，由于44444,,,121717114114都不是整数，所以2,7,14都不是()fx的根.但44,1212都是整数，所以有理数2在试验之列，

应用综合除法 2 | 1 6 15 14 2 8 14 1 4 7 0 所以2是()fx的一个根，同时我们得到2()(2)(47)fxxxx.容易看出，2不是()fx的一个重根.从而2()(2)(47)fxxxx

应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难.

2.2 待定系数法用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值. 洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文 5 例4 在有理数域上分解多项式4353xxx. 解先用综合除法，可能的试除数是1，3，试除结果都被排除，因此原式在有理数域上没有一次因式.假定原式含有x的二次因式，设 432243253()()()()()xxxxmxkxnxlxmnxkmnlxmlnkxkl

比较等式两端对应项的系数，得方程组1053mnmnklmlnkkl①②③④ 上面④的,kl同是原式常数项3的因数，因此k和l的值可能有下面四组. 13kl

或13kl或 31kl或31kl

将13kl代入③式得 35mn ⑤ 将①、⑤联立，解得31,22mn. 但是31,,1,322mnkl不满足②式,因此不是方程的解. 将13kl代入③，得35mn ⑥ 将①、⑥联立，解得1,2mn. 并且1,2,1,3mnkl满足②，因此是方程组的解.

所以432253123xxxxxxx 待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度.

2.3 分离重因式法

设()0,()ofxfx有典型分解式