线性方程组的求解方法与应用

湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用学生姓名：付世辉学号： 0专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University forNationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016The calculation method and application of the system of linear equationsStudent Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu XianpingDate of Thesis Defense:Date of Bookbinding:摘要线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法AbstractLinear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the commonly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU decomposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU decomposition method目录摘要 ................................................................. Abstract (I)1 绪言 (1)课题背景 (1)课题研究的目的和意义 (1)国内外概况 (1)2 预备知识 (2)线性方程组 (2)线性方程组的定义 .............................. 错误!未定义书签。

线性方程组有解判别定理 (2)线性方程组解的结构 (3)齐次线性方程组的性质 (3)基础解系及其存在性 (4)一般线性方程组的解的结构 (5)3 线性方程组的求解方法 (5)一般消元法 (5)克拉默法则 (5)克拉默法则求解具备的条件 (5)克拉默法则 (6)LU分解法 (9)4 线性方程组的应用 (13)线性方程组在几何学中的应用 (13)线性方程组在高次方程理论中的应用 (14)线性方程组在化学中的应用 (15)5 总结与展望....................................................................... .. (16)致谢 (17)参考文献 (18)1 绪言本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国内外许多著名的数学学家对线性方程组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.课题背景线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开始了对线性代数的研究. 而方程组理论则是代数学发展的一个重要方向，也是代数学的核心内容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进行了研究.对线性方程组的研究，最早记录在公元初《九章算术》中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方程组是用一些比较基本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文主要运用了一般消元法、克拉默法则、LU分解法等解法.针对不同的问题，我们解决这些问题所选择的方法也不尽相同，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科学计算中的许多问题，例如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解有关.课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食健康、经济平衡联系的比较紧密，我们可用它解决生活中的一些基本问题。

国内外概况对于线性方程组求解方法的研究，国内外许多著名的数学学家对此作出了不少的贡献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国内外学家的著作.在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决策，这些决策中的关键要素就是我们重点研究的对象.。

2 预备知识线性方程组的定义形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.q y p y p y p,q y p y p y p ,q y p y p y p s n sn 22s 11s 2n n 22221211n n 1212111 （） 的方程组的叫做线性方程组.其中，n y y y 21,代表n 个未知量，s 是方程的个数，()n j s i p ij 2,1,2,1==称为方程组的系数，()s j q j 2,1=称为常数项；系数ij p 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数.常记为Q Py =.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n p p p p p p p p p P 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s q q q Q 21 当线性方程组的右端全为零时，该线性方程组就称为齐次线性方程组；当线性方程组的右端不全为零时，该线性方程组就称为非齐次线性方程组.线性方程组有解判别定理定理 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.q y p y p y p,q y p y p y p ,q y p y p y p s n sn 22s 11s 2n n 22221211n n 1212111 有解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n p p p p p p p p p P 212222111211 与它的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-s sn s s n n q q q p p p p p p p p p P 21212222111211 有相同的秩.证明：不妨先引入向量 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn n n n s s q q q Q p p p P p p p P p p p P 2121222122121111,,,, （） 于是定理中的线性方程组就可以写成Q y P y P y P n n =++ 2211 （）很明显，该线性方程组有解得充要条件是向量Q 可以由向量组n P P P ,,,21 线性表出，定理证明过程如下：必要性 假设该线性方程组有解，那么就是说向量Q 是向量组n P P P ,,,21 的线性组合，从而可以得到n P P P ,,,21 与向量组Q P P P n ,,,,21 等价，又已知等价的向量组有相同的秩，故这两个向量组有相同的秩. 并且这两个向量组分别是系数矩阵P 与增广矩阵-P 的列向量组. 所以，系数矩阵P 和增广矩阵P 有相同的秩.充分性 假设系数矩阵P 与增广矩阵-P 有相同的秩，那么它们的列向量组n P P P ,,,21 与Q P P P n ,,,,21 有相同的秩，不妨让它们的秩都等于r .n P P P ,,,21 中的极大线性无关组是由r 个向量组成的，可以假设r P P P ,,,21 是它的一个极大线性无关组，故向量Q 可以由Pr ,,,21 P P 线性表出，再加上n r r P P P,,,21 ++等r n -个线性无关的向量，可以知道向量Q 可以经n P P P ,,,21 线性表出. 所以，该线性方程组有解.证毕 线性方程组解的结构在上一节，我们解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们这一节还需要探讨一下线性方程组解的结构.齐次线性方程组的性质对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0y p y p y p,0y p y p y p ,0y p y p y p n sn 22s 11s n n 2222121n n 1212111 （） 它的解所构成的集合有以下两个重要性质：性质1:两个解的和还是方程组的解.假设()n 21a ,,a ,a 与()n 21b ,,b ,b 是该线性方程组的两个解. 即将这两个解代入到方程组中，每个方程都变成了恒等式.01=∑=nj j ij a p , ),,2,1(s i =01=∑=nj j ij b p , ),,2,1(s i =将这两个解的和()n n b a b a b a +++,,,2211代入到该线性方程组中，可以得到()=+∑=n 1j j j ij b a p +∑=n 1j j ij a p 000b p n1j j ij =+=∑= )s ,,2,1i ( =. （）这就说明了两个解的和还是方程组的解.证毕性质2：一个解的倍数还是方程组的解.设()n 21a ,,a ,a 是该线性方程组的一个解，则有0a p n 1j j ij=∑= )s ,,2,1i ( =. （） 将这个解的c 倍代入到方程组中，就可以得到 ()00c a p c ca p n 1j j ijn 1j j ij =⨯==∑∑== )s ,,2,1i ( =. （）这就说明了一个解的倍数还是方程组的解.证毕基础解系及其存在性（1）如果满足a.方程组的任意一个解可以表示成n P P P ,,,21 的线性组合；b.n P P P ,,,21 线性无关.那么这组解n 21P ,,P ,P 就称为齐次线性方程组的一个基础解系.（2）在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含 有的解的个数等于r n -，这里r 表示的是系数矩阵的秩.一般线性方程组的解的结构（1）线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；（2）线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解；（3）在方程组有解的情况下，解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解.3 线性方程组的求解方法一般消元法例 求消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.10y 4y 2y 4,8y 10y 4y 8,2y 6y 2y 4321321321解：下面对这三个方程进行加减运算从而达到消元的目的.第二个方程减去第一个方程的2倍，得4y 2y 832=-,第三个方程减去第一个方程得8y 2y 432=-,将第一个方程、第四个方程、第五个方程综合起来就得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧.8y 2y 4,4y 2y 8,2y 6y 2y 43232321=-=-=+-再分别对这个方程组中的第二个和第三个方程进行加减运算，即第二个方程减去第三个方程的2倍就可以得到⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.122,824,2624332321y y y y y y 可以解出⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.6y ,1y ,9y 321从而原方程组的解为（9，-1，-6）.一般消元法用来计算一些比较简单的线性方程组，是最简单最直接最有效的方法，它的基本思想就是将方程进行加减和代入运算，要转换成矩阵的行初等变换来求解.克拉默法则克拉默法则求解具备的条件利用克拉默法则求解线性方程组时需要具备两个条件：（1）线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等；（2）线性方程组的系数行列式不等于零.克拉默法则设含有n 个未知数的线性方程组的系数行列式Q =nnn n n np p p p p p p p p212222111211≠ （） 则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为QQ y ,,Q Q y ,Q Q y n n 2211===（）其中),,2,1(n j Q j =是把系数行列式Q 中第j 列的元素用常数项n b b b ,,21代替后所得到的n 阶行列式，即nnj n nj n n n j j n j j j p p b p p p p b p p p p b p p Q1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-=n j ,2,1= （）定理中包含着三个结论：)1(方程组有解；)2(解是唯一的； )3(解由公式给出.下面来证明一下克拉默法则： 证明：1.该线性方程组简写成n i b y pnj i j ij2,1,1==∑=. （）首先需要证明（）是（）的解. 将（）代入到第i 个方程，那么左端就为∑∑===nj j ij nj jij Q p Q Q Q p 111.（）由于 ∑==++=ns sj s nj n j j j A b P b P b P b Q 12211 .故有 ∑∑∑====n1j n1s sj s ij n 1j j ij P b p Q 1Q p Q 1=∑∑==n 1s s n1j sj ij b )P p (Q 1=i i b Qb Q1=. 这就与第i 个方程的右边是一致的，故（）是该线性方程组的解. 2.假设)c c ,c (n 21 是该线性方程组的一个解，那么就有那个恒等式n ,,2,1i ,b c p n1j i j ij ==∑=. （）下面证明QQ c kk =，不妨取矩阵中第k 列元素的代数余子式nk k 2k 1P ,,P ,P ，再用他们乘上面这n 个恒等式，就可以得到 ∑===n1j ik i j ij ik n ,,2,1i ,P b c p P .将它们加起来，就可得∑∑∑====n1i n1j n1i ik i j ij ik P b c p P . （）再来看（）的左边，∑∑∑∑=====n 1i n 1j n 1i n1j jikij jij ikcP p c p P=∑∑==n 1j j n1i ik ij c )P p (.已知∑=⎩⎨⎧≠==n1j ik ij .k j ,0,k j ,Q P p 当当故有 .Qc c P p k j n1j n 1i ik ij =⎪⎭⎫⎝⎛∑∑==就可得 .n ,,2,1k ,QQ c kk ==即方程组的一个解为)c ,,c ,c (n 21 ，它必为⎪⎭⎫⎝⎛Q Q ,,Q Q ,Q Q n 21故方程组最多有一组解.证毕例 用克拉默法则解线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-.4y y 3y y 3,3y 2y y y 3,5y 2y 3y 3y 3,6y 2y 3y y 24321432143214321 解：该线性方程组的系数行列式为0701********3332312Q ≠-=------=， 0701314211323352316Q 1≠-=------=， 0701********3532362Q 2≠-=--=， 0701413231325332612Q 3≠-=-----=， 0704313311353336312Q 4≠-=-----=，从而该线性方程组的唯一解为1,1,1,144332211========QQy Q Q y Q Q y Q Q y . （） 克拉默法则只适用于系数行列式不等于0的线性方程组，那么对于系数行列式为0的情况就不能用克拉默法则解题了，克拉默法则主要在于理论上的应用.定理 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0y p y p y p ,0y p y p y p ,0y p y p y p n nn n 2n n 1n nn 2222221n n 1212111 （）的系数矩阵的行列式，那么它只有零解. 即，如果该齐次线性方程组有非零解，那么必然有0Q =. 下面来证明一下定理：证：对该齐次线性方程组应用克拉默法则，因为行列式j Q 中有一列全为零，则有.0Q Q Q n 21==== （）故它的唯一解为()0,0,0 . 从而定理得证.例 求λ在什么条件下，方程组()()⎩⎨⎧=+λ+=λ++.0x x 1,0x 1x 2121 有非零解.解:根据定理，若该齐次线性方程组有非零解，那么系数矩阵的行列式 (),011112=λ+λ-=λ+λ+故1,021-=λ=λ.可以验证当1021=λ=λ或时，该齐次线性方程组确有非零解.克拉默法则在计算一些基本的线性方程组是可行的，但是对于n 个未知量n个方程的线性方程组就必须得计算1+n 个n 级行列式，相对而言计算量非常大.LU 分解法LU 分解法，又称三角形分解法，是求解线性方程组的重要方法之一. 当方程组左边的系数矩阵不变，仅仅是方程组右边列向量发生改变，能够很好地求解方程组.设n 阶线性方程组为.Q Py =若可以将方程组左边的系数矩阵P 分解成两个三角阵的乘积，即可以写成LU P =，其中，L 为主对角线以上的元素均为零并且主对角线元素均为1的下三角矩阵，U 为主对角线以下的元素均为零的上三角矩阵。