线性方程组的应用
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一个非常重要的概念，在实际生活中也有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和解法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次方程。
一般形式为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1...a11, a12, ...,a2n为方程组的系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b1, b2, ..., bm 为常数。
线性方程组的解是一组解x1*, x2*, ..., xn*，满足每个方程都成立。
根据线性方程组的定义，我们可以使用多种方法来求解线性方程组。
下面是常用的几种解法：1. 直接代入法直接代入法是最简单的求解线性方程组的方法之一。
我们可以将一个方程的解代入另一个方程，从而得到一个只有一个未知数的方程。
然后，我们可以继续代入得到下一个只有一个未知数的方程，直到求解出所有的未知数。
2. 消元法消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
我们可以通过将多个方程相加或相减，从而消除一个或多个未知数。
通过反复进行消元操作，我们可以将线性方程组化简为一个更简单的形式，最终求解出未知数。
3. 矩阵法线性方程组在实际生活中有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1. 经济学在经济学中，线性方程组常用于描述供求关系和价格变动等经济现象。
通过求解线性方程组，我们可以分析市场的平衡价格和数量，评估供求关系的弹性，预测价格的变动趋势等。
2. 物理学在物理学中，线性方程组常用于描述天体运动、电路分析、力学问题等。
通过求解线性方程组，我们可以计算物体的位置、速度、加速度等物理量，预测天体的运动轨迹，分析电路中的电流和电压分布等。
3. 工程学4. 计算机科学在计算机科学中，线性方程组常用于解决图像处理、计算机图形学、机器学习等问题。
通过求解线性方程组，我们可以进行图像恢复、图像分割、边缘检测等图像处理操作，进行三维图形的渲染、变换和模拟，训练机器学习模型等。
线性方程组的应用知识点总结
线性方程组的应用知识点总结线性方程组是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、计算机科学等。
在解决实际问题时，掌握线性方程组的应用知识点可以帮助我们更好地分析和解决问题。
本文将总结线性方程组的应用知识点，并利用这些知识点来解决实际问题。
一、线性方程组和矩阵的表示方法线性方程组可以用矩阵表示，通过矩阵的运算可以简化方程组的求解过程。
矩阵表示法简洁明了，便于计算机程序的实现。
对于一个m×n的线性方程组，可以将其表示为一个m×n的系数矩阵A和一个n×1的常数向量b，即Ax=b。
二、线性方程组的解法1. Cramer's法则：当系数矩阵的行列式不等于零时，可以使用Cramer's法则求解线性方程组的解。
该方法通过计算行列式的值来得到每个变量的解，但计算量较大，适用于小规模的线性方程组。
2. 列主元消去法：列主元消去法通过选取主元素（即绝对值最大的系数）来消去其他元素，从而将线性方程组转化为三角形式，即上三角形或下三角形。
通过反向代入可以求得线性方程组的解。
该方法适用于不论规模大小的线性方程组，但对于计算精度要求较高。
3. 高斯-约当消去法：高斯-约当消去法通过矩阵的行变换和列变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，即对角矩阵。
通过反向代入可以求得线性方程组的解。
该方法适用于不论规模大小的线性方程组，但对于计算精度要求较高。
三、线性方程组的应用1. 最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，可以通过求解线性方程组得到拟合曲线。
例如，可以利用最小二乘法来拟合实验数据，从而得到物理模型的参数。
2. 线性规划：线性规划是一种优化方法，其目标是使目标函数取得最大值或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
线性规划可以通过求解线性方程组得到问题的最优解。
例如，在生产计划中，可以利用线性规划来确定最佳的生产量和资源分配。
3. 电路分析：电路分析可以通过线性方程组来描述电路元件之间的关系。
_线性方程组的应用
线性方程组的应用一、网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。
当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程.一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成. 网络中的点称作联结点(或节点),网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定,并且流量(或流速)已知或者已标为变量.网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等,并且每个联结点流入和流出的总量也相等. 例如,下面两图分别说明了的流量从一个或两个分支流入联结点,321,x x x 和分别表示从其它分支流出的流量,54x x 和表示从其它分支流入的流量. 因为流量在每个联结点守恒,所以有1260x x +=和80354+=+x x x . 在类似的网络模式中,每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示. 网络分析要解决的问题就是:在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下,确定每一分支中的流量.(a)601x 2x 803x 4x 5x (b)二、人口迁移模型 在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模,此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量,这样就产生了与时间间隔相应的向量序列,,x ,x ,x 210其中k x 表示第k 次测量时系统状态的有关信息,而0x 常被称为初始向量．如果存在矩阵A ,并给定初始向量0x ,使得1021,x Ax x Ax == ，,即 n n Ax x =+1( ,2,1,0=n ) (*) 则称方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程．人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动．但是这个模型还可以广泛应用于生态学、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型,即某城市及其周边郊区在若干年内的人口变化的情况．该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题.设定一个初始的年份,比如说2002年,用00,r s 分别表示这一年城市和农村的人口．设0x为初始人口向量,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000s r x , 对2003年以及后面的年份,我们用向量 312123312,,,r r r x x x s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示出每一年城市和农村的人口. 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系．假设每年大约有5％的城市人口迁移到农村(95％仍然留在城市),有12％的郊区人口迁移到城市(88％仍然留在郊区), 如图下图所示,忽略其它因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与郊区人口的分布分别为:移居农村留在城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛05.095.00r ,留在农村移居城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛88.012.00s . 0.050.120.880.95因此,2003年全部人口的分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00101188.005.012.095.088.012.005.095.0s r r r s r 即 10x Mx =其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=88.005.012.095.0M 称为迁移矩阵. 如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,…的人口分布公式: 21x Mx =, ,Mx x 23=一般地,有n n Ax x =+1( ,2,1,0=n )这里,向量序列{}012,,,x x x 描述了城市与郊区人口在若干年内的分布变化.注:如果一个人口迁移模型经验证基本符合实际情况的话,我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况,从而为政府决策提供有力的依据．关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究.三、电网模型一个简单电网中的电流可以用线性方程组来描述并确定,本段将通过实例展示线性方程组在确定回路电流中的应用. 电压电源(如电池等)迫使电子在电网中流动形成电流．当电流经过电阻(如灯泡或者发动机等)时,一些电压被“消耗”．根据欧姆定律,流经电阻时的“电压降”由下列公式给出:IR U =其中电压U 、电阻R 和电流I 分别以伏特(记作v )、欧姆(记作Ω)和安培为单位．下图中的电网连接了三个闭回路．回路1,2和3中的电流分别用321,I I I 和表示．回路电流的方向是任意的．如果一个电流为负,则表示实际的电流方向与图中闭回路的电流方向相反．如果电流所示的方向由电池正极(长的一端)指向负极(短的一端),则电压为正；否则电压为负.电网模型 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I根据物理学,回路中的电流服基尔霍夫电压定律,即沿某个方向环绕回路一周的所有电压降IR 的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和．注:电网中的回路电流可以用来确定电网中每一分支中的电流．如果只有一个回路电流流经一个分支,如图3-7-3中的AB,则分支电流等于回路电流．如果多于一个回路电流流经一个分支,例如从DA,则分支电流为该分支中回路电流的代数和．如DA 分支中的电流为12312I I -=-=安培,方向与1I 相同,CB 分支中的电流为932=+I I 安培．四、配平化学方程式化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量. 下面我们以举例的方式来说明配平化学方程式的基本原理.例题选讲例1(E01) 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式.303020104050A B C D 3x 4x 5x 1x 2x解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D 处,我们可以分别得到下列方程:1554432211050:40:30:3020:x x D x x C x x x B x x A +=++=+=++=+此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(30+3x +40+10),化简得203=x .把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=--=-20404030103515443221x x x x x x x x x x 取5()x c c =为任意常数,则网络的流量模式表示为c x c x x c x c x =+==+=+=54321,40,20,30,40网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值. 这导致变量在取正值时也有一定的局限.例2(E02) 已知某城市2008年的城市人口为500 000 000,农村人口为780 000 000．计算2010年的人口分布．解 因2008年的初始人口为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7800000005000000000x , 故对2009年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=71140000056860000035000000085000000088.005.012.095.01x ,对2010年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65446200062553800071140000056860000088.005.012.095.02x . 即2010年中国的人口分布为城市人口为625538000,农村人口为654462000．例3(E03) 确定下图电网中的回路电流． 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I解 在回路1中,电流1I 流过三个电阻,且电压降IR 为111122688I I I I =++；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D 到A 的分支,对应的电压降IR 为26I 伏特．然而,回路1中电流在DA 段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降IR 的代数和为21622I I -．由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为6062221=-I I ,同理,可得回路2的方程为102126321=-+-I I I ,其中,16I -是回路1中流经DA 分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；212I 是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和；32I -是回路3中流经CB 分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反．回路3的方程为506232-=+-I I注意,在CB 分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为-10伏特．出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=-5062102126606223232121I I I I I I I写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5056062021260622321I I I (*)对增广矩阵进行行变换,得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8100101030015062052126600622从而解得1I =3安培,2I =1安培,3I =-8安培．3I 取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为R ,右端列向量记为u , =i T )I ,I ,I (321,则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:Ri u =.例4(E04) 燃烧丙烷时丙烷(C 3H 8)和氧气(O 2)结合,生成二氧化碳(CO 2)和水(H 2O),其化学方程式为:138223242()C H ()O ()CO ()H O x x x x +→+ (*)为了配平该方程式,必须找出一列14,,x x ,使得方程式左端的碳原子(C)、氢原子(H)和氧原子(O)的总数与右端对应的原子总数相等(因为化学反应中原有的原子不可能消失,也不可能产生新原子).解 配平化学方程式的一个系统的方法,就是建立能描述反应过程中每种原子数目的向量方程. 方程(*)包含了3种不同的原子(碳、氢、氧),于是在R 3中为(7.1)的每一种反应物和生产物构造如下向量,在其中列出每个分子所包含的不同原子的数目:382223010C H :8,O :0CO 0H O 20221←⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪←⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭碳，：，：氢氧为了配平方程式(*),系数14,,x x 必须满足1234301080020221x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭经整理得到如下方程组131423430820220x x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 取4x c =(c 为任意常数),得到如下通解.c x ,c x ,c x ,c x ====1121434541 由于化学方程式中的系数必须为整数,取44x =,此时11x =,235 3.x x ==且配平后的方程式为38222C H 5O 3CO 4H O +→+如果将每个系数翻倍,方程式仍然平衡. 不过,在大多数场合下化学家更倾向于使用尽可能小的整数来配平方程式.。
浅谈线性方程组在生活中的应用
浅谈线性方程组在生活中的应用通过对课本上第二章线性方程组的研究,我认为其在生活中的应用是非常广泛和深入的，经过自己的调查，我决定通过生活中的例子来说明线性方程组的应用及其重要性。
1.配平化学方程式【例】化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量.配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。
一个方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。
下面利用此思路来配平如下化学反应方程式其中均取正整数.【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢）,于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量:其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目.为了配平化学方程式，系数必须满足方程组求解该齐次线性方程组，得到通解由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式：。
2.营养食谱问题【例】一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。
其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。
这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出【解】设分别表示这三种食物的量.对每一种食物考虑一个向量,其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1：，食物2：，食物3:，需求：；则分别表示三种食物提供的营养成分，所以,需要的向量方程为解此方程组，得到,因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。
通过生活中的两个小例子，我们可以发现，线性方程组真的很有用,而其在科学研究等很多方面的确有更广泛深入的应用。
希望同学们学好线性方程组，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一种重要的问题，它常常在物理、经济学、工程学等领域中被应用。
线性方程组求解是一种常见的数学方法，其重要性不言而喻。
在本文中，我们将详细介绍线性方程组的定义、求解方法以及其在实际中的应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程的一般形式为：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b，其中a1, a2, …, an为已知系数，b为已知值，x1, x2, …, xn 为未知数。
线性方程组通常以方程组的形式给出，如下所示：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm二、线性方程组的求解方法1. 列主元消去法列主元消去法是线性方程组求解的一种常见方法，其基本思想是利用行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形，然后利用回代的方法求解未知数的值。
下面以一个简单的二元一次方程组为例进行演示。
设有线性方程组：2x + y = 53x - 2y = 8首先将其写成增广矩阵的形式：2 1 | 53 -2 | 8然后通过行变换将其化为阶梯形：2 1 | 50 -7 | 2通过回代的方法求解得到未知数的值：y = -2x = 3继续以上述二元一次方程组为例进行演示。
首先将方程组写成矩阵的形式：| 2 1 | | x | | 5 || 3 -2 | * | y | = | 8 |以上就是线性方程组求解的两种常见方法，实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
三、线性方程组在实际中的应用线性方程组在实际中有着广泛的应用，下面主要介绍其在经济学、物理学和工程学中的应用。
1. 经济学在经济学中，线性方程组常常被用来描述市场供需关系、生产成本等问题。
假设某种商品的市场需求量与价格之间存在线性关系，可以通过观察市场上的实际数据得到一个线性方程。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组的应用问题
线性方程组的应用问题线性方程组是数学中常见的一种问题求解形式，它可以用来描述多元线性关系。
在实际生活中，线性方程组的应用非常广泛，涉及到经济学、物理学、工程学等多个领域。
本文将通过几个具体的例子来介绍线性方程组在实际问题中的应用。
例一：商品购买问题假设有三种商品A、B、C，其单价分别为x元、y元、z元，小明购买了a个A商品、b个B商品、c个C商品，总共花费了m元。
我们可以建立如下的线性方程组：a * x +b * y +c * z = m在这个方程组中，未知数是a、b、c，代表小明购买的数量；系数x、y、z分别是A、B、C商品的单价；常数m表示小明花费的总金额。
通过求解这个线性方程组，可以得到小明购买的商品数量。
例二：流水线生产问题假设一个工厂有两条流水线，分别生产甲、乙两种产品。
第一条流水线每小时生产a个甲产品，第二条流水线每小时生产b个乙产品。
经过调整，两条流水线工作8小时，共生产了m个甲产品和n个乙产品。
我们可以建立如下的线性方程组：8 * a = m8 * b = n在这个方程组中，未知数是a、b，代表每小时生产的甲、乙产品数量；常数m、n分别代表实际生产出的甲、乙产品总数量。
通过求解这个线性方程组，可以得到每小时生产的甲、乙产品数量。
例三：混合液体问题假设有两种不同浓度的溶液A和B，分别含有a%和b%的溶质。
我们需要根据这两种溶液制备出m升含有c%溶质的混合溶液。
我们可以建立如下的线性方程组：(a * x + b * y) / (x + y) = cx + y = m在这个方程组中，未知数是x、y，代表混合溶液A、B的体积；常数a、b分别代表溶液A、B的浓度；常数c代表所需混合溶液的浓度；常数m代表所需混合溶液的总体积。
通过求解这个线性方程组，可以得到制备所需混合溶液所需的溶液A、B的体积。
总结线性方程组是实际问题求解中常用的数学工具，它能够准确描述多个变量间的线性关系。
通过将实际问题转化为线性方程组，并通过求解线性方程组，我们可以得到实际问题的具体解答。
线性方程组的应用
线性方程组的应用一、引言线性方程组是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨线性方程组的应用，并介绍其中一些常见的应用案例。
二、经济学中的线性方程组应用1. 定价模型在经济学中，定价模型是一种常见的应用线性方程组的方法。
通过分析市场需求、成本和利润等因素，可以建立一个包含多个变量的线性方程组，以决定最优价格。
2. 生产计划线性方程组在生产计划中也有广泛应用。
通过建立产品产量、原材料使用和生产成本之间的关系，可以使用线性方程组来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、物理学中的线性方程组应用1. 物体的运动在物理学中，线性方程组可以用于描述物体的运动。
通过考虑物体所受的力和其运动状态之间的关系，可以建立包含时间、加速度、速度和位移等变量的线性方程组，从而预测其运动轨迹。
2. 电路分析电路分析是另一个物理学中常见的线性方程组应用。
通过考虑电流、电压和电阻之间的关系，可以建立描述电路中各个元件的线性方程组，以分析电路的运行状况和性能。
四、工程学中的线性方程组应用1. 结构力学在工程学中，线性方程组在结构力学中的应用尤为重要。
通过考虑结构物体所受的外力和内力之间的平衡关系，可以建立一个包含应力、应变和变形等变量的线性方程组，以确定结构物体的稳定性和安全性。
2. 电力系统分析电力系统分析是工程学中广泛应用线性方程组的领域之一。
通过建立供电网中各个节点之间的电流平衡关系，可以使用线性方程组来分析电力系统的稳定性、电压调节和功率分配等问题。
五、计算机科学中的线性方程组应用1. 图像处理在计算机科学中，线性方程组在图像处理中的应用非常常见。
通过建立图像的颜色和像素之间的关系，可以使用线性方程组来处理图像的变换、增强和恢复等任务。
2. 数据挖掘线性方程组在数据挖掘中也有着广泛的应用。
通过建立数据集中的变量之间的线性关系，可以使用线性方程组来挖掘数据集中隐藏的模式和规律。
六、总结线性方程组作为一个重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
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大连理工大学出版社
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1.工资问题 2.交通流量问题
1. 工资问题
例 3.7.1 现有 1 个木工，1 个电工和 1 个油漆工，3 个人相互 同意彼此装修他们自己的房子.在装修之前，他们达成了如下协议：
(1) 每人总共工作 10 天(包括给自己家干活在内);
~ (2) 每人的日工资据一般的市价在 60 80 元之间；
有一组初始市场分配数据使以后每年的市场分
配成为稳定不变？
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
作答
问题分析与数学模型: 根据两家公司每年顾客转移的数据资料，形成一下转移矩阵 ：
A
1/ 3 /
4 4
1/ 3 2 / 3
根据产品制造之初，市场的初始分配数据可得如下向量：
3/ 5 X 0 2 / 5
所以一年后，市场分配为：
建立数学模型确定图 1 所示交通网络未知部分的 具体流量.
100
300
① x4 ④ 400 ⑦
200
x2
x5
x7
300
②
x1
600
⑤
⑧
x8
500
200
400
300
③
x9
⑥
x10
⑨
500
600
700
图1
解 设流入为正，流出为负，由网络流
量假设(1),从 x3 开始，计算得
x3 300 300 300 600 700 500 x8 200 x6 100 0
4x1 5x2 x3 10 x2,4x1 4x2 3x3 10 x3
联立得线性方程组为
42xx11
x2 5x2
6x3 x3
10x1, 10x2 ,
4x1 4x2 3x3 10x3.
2. 交通流量问题
例 3.7.2 某城市部分单行街道的交通流量(每小 时通过车数)如图 1 所示，假设 (1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； (2)全部流入 1 个节点的流量等于全部流出此节点的 流量.
即：
3/ 4
3/4
1/ 3 a 1/ 3b
0
这是一个齐次方程组问题。如果方程组有解，则应该在 非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额。
小结
1.工资问题 2.交通流量问题
分析背景 明确条件 建立数学模型 求解
(3) 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等. 他们协商后制定出的工作天数的分配方案如表 1 所示，如何计算出 他们每人应得的工资？
工种
天数
木工
ห้องสมุดไป่ตู้
电工
油漆工
在木工家的工作天数
2
1
6
在电工家的工作天数
4
5
1
在油漆工家的工作天数
4
4
3
解 设 x1, x2 , x3 分别表示木工，电工，
油漆工的日工资。木工的 10 个工作日总收
入为10 x1 ，木工，电工，油漆工 3 人在木工
家工作的天数分别为:2 天，1 天，6 天，则
木工的总支出为 2x1 x2 6x3 .由于木工
总支出与总收入相等，于是木工的收支平衡 关系课描述为
2x1 x2 6x3 10 x1 .
类似地，可以分别建立描述电工，油漆 工的收支平衡关系的 2 个等式
x9 - x10 -200 ,x6 x7 200 , x7 x8 1000 ,
x10 600
得到所给问题满足如下线性方程组
x3 x6 x8 1000,
x2
x3
x4
300,
x1
x2
800, x9 400,
x4 x5 500, x1 x5 800,
x9 x10 200,
主观题 10分
有两家公司R和S经营同类的产品，他们相互 竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S 公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R 公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份 额，而S公司占有2/5的市场份额。
问两年后，两家公司所占的市场份额变化
怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否
1/ 4 1/ 33 / 5 X1 AX0 3 / 4 2 / 32 / 5
两年后，市场分配为：
X 2 AX1 A2 X 0
以向量Xn记第n年后市场分配的份额，则
X n AX n-1 An X 0 （n=1,2…）
为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的 规律有 ：
1/ 4 1/ 3a a 3 / 4 2 / 3b b
X 的每 1 个分量即为交通网络未知部分的具体流量， 它有无穷多解.
习题 3.7
某城市对在法定工作年龄的人口进 行就业情况统计发现，目前有80% 的人
有工作，其余 20% 人失业. 为了降低失 业率，准备采取一系列措施提高就业率， 估算以后每年大约在已就业的人中有 10% 将失去工作，而失业人口中 60% 将 找到工作. 假设该市的工作适龄人口在 若干年内保持不变，问 3 年后该市工作 适龄人口的失业率是多少？
x6 x7 200,
x7 x8 1000,
x10 600.
此方程组的通解为
X 0 k11 k22 ，( k1, k2 为任意常数)
0 800,0, 200,500,0,800,1000,0, 400,600, 1 1,1, 0, 1,1, 0, 0, 0, 0, 0 2 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,1, 0, 0
整理有 x3 x6 x8 1000 ,
利用网络流量假设(2),计算节点①,得
x3 300 x2 x4 0 ， 即 x2 x3 x4 300 .
~ 类似地，计算节点② ⑨,分别得
x1 x2 800 , x9 400 , x4 x5 500 , x1 x5 800 ,