线性代数及其应用第5节线性方程组的解
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
线性代数方程组的解法
(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有： Jacobi 迭代法、Gauss Seidel 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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5.1.1 向量空间及相关概念和记号
1 向量的范数
设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 ,
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 ,
a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4 .
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若 a11 0 ，则以第 i(i 2, 3,4) 个方程减去
证明 我们只证按行严格对角占优的情形，这时有
n
aij | aii |, i 1, 2,L , n
j 1 ji
假设 Ax 0有非零解x (x1, x2,L , xn ),
则存在下标1 i n，使得 xi
max 1 jn
xj
0,
考虑 Ax 0的第i 行 ai1x1 ai2x2 L ain xn 0
j 1 ji
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,L , n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵. 类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
占优矩阵的定义.
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定理 5.8 若 A为严格对角占优矩阵，则 A非奇异.
此时 A ( AT A) 2
若 A Rnn 为对称阵， A ( A) 2 （ 因为 ( AT A) ( A2 ) ）
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VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
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目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中重要的概念，它是由一系列线性方程组成的方程组。
解决线性方程组的问题在实际应用中具有重要意义，因为它们可以描述许多自然和社会现象。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵法以及向量法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常用方法之一。
它通过对方程组进行一系列的消元操作，将方程组转化为简化的等价方程组，从而求得方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将所有系数按照变量的次序排列，并在最后一列写上等号右边的常数。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列第一个非零元素作为主元素。
3. 消去主元素所在的列的其他非零元素，使得主元素所在列的其他元素都变为零。
4. 选取下一个主元素，继续重复消元操作，直到将所有行都消为阶梯形。
5. 进行回代，从最后一行开始，求解每个变量的值，得到线性方程组的解。
二、矩阵法矩阵法是另一种解决线性方程组的常用方法。
它将线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求解方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵乘以未知数向量等于常数向量。
2. 对系数矩阵进行行变换，将系数矩阵化为行阶梯形矩阵。
3. 根据行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
三、向量法向量法是解决线性方程组的一种简洁的方法。
它将线性方程组转化为向量的内积形式，通过求解向量的内积计算方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成向量的内积形式，即一个向量乘以一个向量等于一个数。
2. 根据向量的性质，求解向量的内积，得到线性方程组的解。
以上是几种常见的线性方程组的解法。
在实际应用中，根据具体情况选择适合的解法，以高效地求解线性方程组的解。
通过掌握这些解法，可以更好地解决与线性方程组相关的问题，提高问题的解决能力。
结论线性方程组是数学中重要的概念，解决线性方程组的问题具有重要意义。
通过高斯消元法、矩阵法和向量法等解法，可以有效求解线性方程组的解。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中最基本的代数方程组之一，它包含了一组线性方程，并且求解这些方程能使所有方程都成立。
线性方程组求解的重要性不言而喻，它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、线性方程组的求解方法：在解线性方程组之前，首先需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是形如以下形式的方程组：```a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m```其中a_ij为方程组的系数，x_i为未知变量，b_i为常数项，m为方程的数量，n为未知变量的数量。
线性方程组的求解方法有多种，常见的有高斯消元法、克拉默法则和矩阵求逆法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它的思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角形矩阵，然后再通过回代求解未知变量。
具体步骤如下：- 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A与常数项向量b合并为[A|b]；- 选取一个主元，通常选择系数矩阵的第一列第一个非零元素作为主元，并通过行交换将主元移到第一行第一列位置；- 通过消元操作，将主元下方的元素置零，使得系数矩阵变换为上三角形矩阵；- 通过回代，求解未知变量的值。
高斯消元法是一种直观易懂且常用的线性方程组求解方法，但它在处理大规模方程组时计算量较大。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种基于线性方程组的行列式表示的求解方法。
根据克拉默法则，只需求解方程组的每个未知变量对应的行列式即可。
具体步骤如下：- 计算系数矩阵的行列式，即Δ；- 依次计算将系数矩阵的第i列替换为常数项向量所得的行列式，即Δi；- 未知变量xi的值等于Δi除以Δ。
克拉默法则适用于小规模的线性方程组，但在大规模方程组中计算量较大。
线性代数线性方程组求解
线性代数线性方程组求解线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。
在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。
本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如：[[a11, a12, a13, ..., a1n, b1],[a21, a22, a23, ..., a2n, b2],...[an1, an2, an3, ..., ann, bn]]其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。
然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。
具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。
接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。
由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。
2. 矩阵的逆和行列式除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。
当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。
假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组：X = A^(-1) * B其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。
当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。
如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。
3. MATLAB求解线性方程组除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。
MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。
使用MATLAB求解线性方程组通常先定义系数矩阵A和常数向量B，然后通过相关函数求解。
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x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
零，则
1 0
0 1
0 0
b 11 b 21
b1,n r b 2,n r
d 1 d2
B
(A
,
b
)
初等行变换
0 0
0 0
1 0
b r1 0
b r ,n r 0
dr d r 1
C
0 0 0 0
0
0
0 0 0 0
0
0
由定理8容易得出线性方程组理论中的两个基本 定理，这就是
有解的充要条件为
R(A) = R(B). 当R(A) = R(B) = n 时，方程组（1）有唯一解； 当R(A) = R(B) < n 时，方程组（1）有无穷多个
解；
当R(A) R(B)时，方程组（1）有无解．
证 明 设 R(A) = r 则 ， A 中 必 有 一 个 不 等 于 零 的
r 阶 子 式 ，不 妨 假 设 A 的 左 上 角 的 r 阶 子 式 不 等 于
3x5 6x5
a, 3,
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b.
（1）无解；（2）有无穷多个解，并求出方程
组的通解．
解 写出其增广矩阵并进行初等行变换，化为行
阶B
(
A,
b)
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 6 1
a
3 b
初等行变换
1 1 1 1 1 1
三、举例
例12 求解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 x5 7,
x1 x2 x3 x4 2x5 2,
2x1 x2 x3
2x5 7,
2x1 2x2 5x3 x4 x5 18.
解
例13 确定 a，b 的值，使方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1,
3x1
2x2 x3 x4 x2 2x3 2x4
Step3 设 R(A) = R(B) = r ，把行最简形矩阵中 r 个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未 知量，其余 n – r 个未知量取作自由未知量，并令自 由未知量分别等于 c1 , c2 , … , cn – r ，由 B ( 或 A ) 的行最简形矩阵，即可写出含 n – r 个参数的通解.
定理9 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条
件是 R(A) = R(B) ．
定理10 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
二、线性方程组的求解步骤
对于线性方程组 Ax = b 当 R(A) = R(B) < n 时,
由于含 n – r 个参数的解
第 5 节 线性方程组的解
有解的条件
方程组的求解步骤
举例
定理８（线性方程组有解的判别定理）
线性方程组
a 11 x1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 ,
a
21
x1
a 22 x 2 a 2 n x n
b2 ,
（ 1）
a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n b m .