线性代数及其应用
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第四章 4.1
分必要条件是： A 的列向量组是两两正交的单位
向量组．
由于 AT A E 与 AAT E 是等价的，因
此，上面的第三种定义还可叙述为： A 的行向量
组是两两正交的单位向量组．
例 4.4 判别矩阵 A 是否是正交阵：
1
6
2 6
1
6
A
1 2
0
1
2
个实数．且易验证，此内积满足下列三条性质：
（1）对称性： ( x, y) ( y, x) ；
（2）线性：
(x y, z) (x, z) ( y, z), z Rn ，
(kx, y) k(x, y), k Rn ； （3）正定性： (x, x) 0 ，
(x, x) 0 x 0 ．
利用内积的正定性，我们可以定义向量长度．
2
此时，称向量 x 与向量 y 正交，也记作 x y ．
当 x 0 时，它与任何向量皆正交．
二、正交向量组与规范正交基 当一组向量两两正交，就称为正交向量组．通 常，我们所讨论的正交向量组里的向量，皆为非
零向量．在 n 维向量空间中，正交向量组有些什
么性质？
定理 4.1 若 n 维向量 α1, , αr 是一组两两正
在向量空间V 中，使用规范正交基有何优点呢？
设 dim(V ) r, l1, , lr 是它的一组规范正交
基，即有
1, j i, (li , l j ) 0, j i,
则 α, β V ， α x1l1
xrlr (l1,
x1
,
lr
)
，
xr
β y1l1
yrlr (l1,
(li , l j )
线性代数及其应用第八版课程设计
线性代数及其应用第八版课程设计一、引言线性代数是数学的一个分支，也是自然科学和工程学中的重要工具。
线性代数及其应用第八版课程设计的主要目的是帮助学生更好地掌握线性代数的基本理论与方法，并且能够通过实际应用来深入理解和应用线性代数知识。
本文将从课程设计的目的、内容、教学方法、评价体系等方面进行详细阐述。
二、课程设计目的1.熟练掌握线性代数的基本理论知识；2.了解线性代数的实际应用，并能够独立分析和解决实际问题；3.能够设计和实现使用线性代数方法解决实际问题的算法；4.能够进行团队协作，掌握项目管理和文档编写技能。
三、课程设计内容线性代数及其应用第八版课程设计包括以下内容：1.线性代数基本概念：矩阵运算、向量、线性变换等；2.矩阵消元与矩阵逆；3.行列式的定义与性质；4.线性相关性与线性无关性；5.向量空间与线性变换；6.特征值、特征向量与对角化。
四、教学方法本课程设计采用“导论 + 实践 + 团队合作”的教学方法。
1.导论阶段：通过教材提供的线性代数及其应用第八版的知识，掌握基本的线性代数理论知识，学会运用线性代数的基本方法和算法；2.实践阶段：通过实际案例和应用题目，培养学生解决实际问题和运用线性代数方法进行分析和解决问题的实践能力；3.团队合作阶段：通过小组合作解决实际问题，加强学生间的合作沟通能力，提高团队合作能力。
五、评价体系线性代数及其应用第八版课程设计的评价体系采用综合评价方法，包括以下几个方面：1.课堂测试（占比20%）：主要考察线性代数的基础理论概念和基本方法；2.作业与实验报告（占比30%）：主要考察学生掌握线性代数的实际应用能力和编程能力；3.项目实践（占比40%）：主要考察学生团队协作和解决实际问题的能力；4.平时表现（占比10%）：主要考察学生的出勤情况、积极参与课堂讨论、作业完成情况等。
六、总结线性代数及其应用第八版课程设计，是一个重要的学科课程，通过本课程的学习，学生将掌握基本的线性代数理论与方法，能够通过实际应用把这些知识转换成实际的解决方案。
线性代数及其应用 (原书第4版)
线性代数及其应用（原书第4版）
《线性代数及其应用（原书第4版）》是Gilbert Strang所著的一本流行的线性代数教材。
该教材旨在为学生提供深入学习线性代数及其应用的机会。
本书内容将从最基本的概念开始，以逐步深入和广泛解释线性代数的概念为目标。
此书包含6个部分，每个部分由几个章节组成。
首先，本书介绍向量、矩阵和线性方程组的基本概念，然后深入讲解矩阵的运算、线性变换、特征值和特征向量等内容。
本书还包含一些应用章节，例如离散数学、最小二乘拟合、图像处理等说明线性代数的实际应用。
该书采用清晰、易懂的语言和注重细节的讲解方式，适用于数学、科学和工程专业的学生、教师和研究人员。
为了帮助学生更好地理解和掌握概念，本书还配备了数百个例题和应用题。
其中一些题目包括详细的解决方案和代码。
总的来说，该书是一本广泛使用的线性代数教材，涵盖了许多应用领域，并通过数百个例子和应用展示了数学原理在实际应用中的强大力量。
线性代数及应用 高淑萍
线性代数及应用高淑萍线性代数是数学的一个重要分支，研究的是线性空间及其上的线性变换、线性方程组，以及向量和矩阵的关系。
它是许多学科的基础，如物理、计算机科学和工程学等。
本文将介绍线性代数的基本概念和应用。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间和线性变换。
向量可以看作是有方向和大小的量，可以用一个有序数组表示。
向量之间可以进行加法和数乘运算，使得向量空间成为一个线性空间。
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量空间上的加法和数乘运算。
在线性代数中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵可以看作是一个有序的变量数组，它可以表示线性变换。
矩阵的乘法是线性代数中的重要运算，它可以描述多个线性变换的复合。
矩阵的逆和行列式是矩阵论中的重要概念，它们描述了矩阵的可逆性和奇异性。
线性代数在许多领域具有广泛的应用。
在物理学中，线性代数用于描述和求解物理问题。
例如，在力学中，可以用向量和矩阵描述力的作用和物体的运动。
在量子力学中，可以用矩阵表示算符，描述粒子的状态和演化。
在电路理论和信号处理中，线性代数可以用于描述电路和信号的行为。
在计算机科学中，线性代数是基本的数学工具之一。
计算机图形学中，线性代数用于描述三维空间中的几何变换和图像的渲染。
在机器学习和数据分析中，线性代数用于描述和求解数学模型，如线性回归和主成分分析。
在工程学中，线性代数用于描述和求解工程问题。
例如，在结构力学中，线性代数用于描述和求解物体的应力和变形。
在电力系统和控制理论中，线性代数可以用于描述电力网络和控制系统的行为。
总之，线性代数是数学的一个重要分支，具有广泛的应用。
它的基本概念和技巧可以应用于许多学科，如物理、计算机科学和工程学等。
通过学习线性代数，可以提高我们的数学思维能力，也可以帮助我们解决实际问题。
线性代数及其应用 第4章 相似矩阵及二次型
2 0 0
2
例1
已知A
0 0
0 1
13
x
1
,
求 x 和R( A) .
解 由于A ，有 A ，可得2 2x ，
即 x 1.
因为 R( A) R()，故R( A) 3 .
二、特征值与特征向量
例子：
设
A
3 1
2
0
,a
1
1
,b
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则
Aa
3
令 Q P 1
A PBP 1 Q1BQ
所以 B A；
性质1 (3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (3) 若A B, B C，则存在可逆矩阵P、Q
使得 P 1AP B， Q1BQ C.
有
Q1 P1AP Q C，
即
(PQ)1 A(PQ) C
令R PQ , 从而 R1AR C ，故 A C .
求齐次线性方程组( A E)x 0的非零解
1 1 2
例2
求矩阵
A
0 1
2 1
2 0
的特征值和特征
向量.
解 矩阵 A 的特征多项式为
AE 0
1 1 2 A E 0 2 2 ( 1)( 2)
1 1 故 A 的特征值为 1 0,2 1,3 2.
当 1 0 时，求解方程组 Ax 0.由
(4) 若A和 B都是可逆矩阵且 A B ，则 A1 B1 .
性质1 (1) 自反性：A A ; (2) 对称性：如果 A B，则B A；
(3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (1) 由于 E 1AE A ，故 A A; (2) 若A B，那么存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP B，则A PBP 1 ，
线代数及其应用
线性变换
通过矩阵对向量进行操作，保 持向量的线性关系不变。
02 线性方程组
线性方程组的解法
高斯消元法
通过行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的有雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，如LU分解、QR分解等，便于求解。
图像处理
线性代数在图像处理中有着广泛的应用， 例如在图像变换、图像滤波和图像压缩等 方面，可以通过线性代数的方法来实现。
3D计算机图形
动画制作
在动画制作中，线性代数可以用来描述物体 的运动轨迹和速度，例如在骨骼动画中，可 以通过线性代数的方法来计算骨骼的运动轨 迹。
在3D计算机图形中，线性代数是必不可 少的工具，例如在建模、光照和纹理映 射等方面，需要用到线性代数的知识。
行列式与矩阵的逆的应用
在线性方程组求解中的应用
在向量空间和线性变换中的应用
行列式可以用来判断线性方程组是否有解 ，而矩阵的逆可以用来求解具体的解。
行列式可以用来确定向量空间中的基底和 维数，矩阵的逆可以用来实现线性变换和 对角化。
在数值分析和计算物理中的应用
行列式和矩阵的逆在数值分析和计算物理 中有着广泛的应用，如求解微分方程、积 分方程、控制论、最优化问题等。
3
性质
特征值和特征向量具有一些重要的性质，如线性 变换性质、相似变换性质和可对角化性质等。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个特征值的线性组合，从而得到特征值和特征向量。
数学中的线性代数及其应用
数学中的线性代数及其应用线性代数是数学中的一个分支，它主要研究线性方程组、线性变换及其表示、以及线性空间等基本概念和性质。
线性代数不仅是数学中的一个基础学科，而且在各个领域都有着广泛的应用。
本文就介绍线性代数的一些基本概念和应用。
一、线性代数的基本概念1. 向量和向量空间向量是线性代数中的基本概念，可以用一个有限的实数序列来表示。
形式上，一个n维向量写成一维列向量的形式为：\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}将n个实数排成一个矩形，就形成了一个一维列向量。
向量空间是一组向量的集合，并满足一组规则，使得这个集合能够进行向量加法和数乘运算，并且满足向量加法和数乘运算的一些基本性质。
2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中的又一个重要概念，它由一些实数排成的矩形数组组成。
一个m行n列的矩阵可以用下面的形式表示：A = [a_{ij}]_{m×n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中a_{ij}是矩阵A的第i行第j列的元素，m和n分别为矩阵的行和列数。
可以定义矩阵的加法、数乘、和矩阵乘法这三种运算。
3. 线性变换和矩阵表示线性变换是一种多项式函数，它是线性代数中非常重要的一个概念。
线性变换就是把一个向量空间的向量映射为另一个向量空间的向量，且满足线性性质。
在矩阵中，每个向量都可以用一个n维列向量的形式表示。
在一个向量空间V中的线性变换，可以用矩阵A表示。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第一章 1.6
1 2 0 0
3
4
0
0
B = 5 6 6 5,
7
8
4
3
9 10 2 1
计算 AB.
解法一 直接求矩阵 A55 和 B54 的乘积.
1 2 1 0 0 1 2 0 0 12 16 6 5
2
0
0
1
0
3
4
0
0
9
12
4
3
AB = 3 1 0 0 1 5 6 6 5 9 12 2 1 .
显然将一个矩阵分块的分块方法很多,其中有两 个分块矩阵应予特别注意,这就是按列分块矩阵 和按行分块矩阵.
设 mn矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2 n
,
amn
把 A 的每个列作为一个子块,即在列的方向分成
n 块,就得到 A 的按列分块矩阵,记为
A = a1,a2, ,an ,
A 为分块对角阵如(1.25)式,则
(1) det A det A1 det A2 det As;
A1k
(2)
Ak
=
A2k
;
Ask
(3) A 可逆当且仅当子块 A1 , A2, , As 均可逆,且当 A 可逆时,
A11
A1
=
A21
.
As1
例 1.42 设六阶方阵
2 1
1
2
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
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2012级、2013级本科生《线性代数及其应用》考试安排
一、2012级、2013级本科生《线性代数及其应用》期中考试时间安排：
2013年12月20日（第18周周五）下午4：00－6：00
二、2012级本科生《线性代数及其应用》考试考场安排：
三、2013级本科生《线性代数及其应用》考试考场安排：
注：请各学院提前安排好监考人员，并提醒监考人员要严格按照《天津大学本科考试工作暂行规定》及其它管理规定履行职责，认真监考，以保证期中考试工作的顺利进行。
如有上课或其他教学活动与考试时间冲突，请提前做好调课或调整安排。
教务处
2013年12月5日。