《线性代数》应用例题
(完整版)线性代数复习——计算或应用题.doc
一21. 设 α1, α2, α3 线性无关，证明β112，β2α2α3 ， β3 α3 α1也线性无关。
1 1 1 022.计算行列式11 0 1 。
1 0 1 10 1 1 123. 1 1 0 1 2利用逆矩阵解矩阵方程0 1 1 X -1 1 。
1 0 1 1 -124.1 a 1 2已知A 0 1 a 2 ，求 a 的值，使得 r ( A)2。
1 0 1 225. 求向量组 α11111 ， α2 1 ， α3 2 ， α4 0 的秩和一个极大线性无关组，并111把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26. 求矩阵 A =21的特征值与特征向量。
1 2x 1 4 x 2 3x 3 027.讨论当 取何值时， 齐次线性方程组2 x 1 3x 2 x3 0 有非零解， 并在有非零解时求其x 1x 2 2 x 3通解。
参考答案 ： 21. 如果k1 1k 22k 33O ，k 1 ( 12)k 2(23)k 3(31) O ，于是(k 1 k 3 ) 1 (k 1k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 O ，由 1 , 2 ,k 1k 3 0, 3线性无关知k 1 k 2 0,k 2k 30,此方程组只有零解 k 1 0, k 2 0, k 30 ，因此 1, 2,3 线性无关。
1 1 1 01 1 1 01 10 1 1 1 0 11 10 10 0 1 122. = =101=10 1=-01 131011 0 1 0 10 11 10 1111 110 3 00 31 1 0 11 -1 1123.0 1 1 1 1 -1 故1 0 12 -11 11 1 0 12 1-1 1 1 23 01X0 1 1 -1 1 1 11-1-11 1 -1 41 0 11 -12-1 111 -12 -1 -21 a 1 20 a0 0 1 0 1 224.A01 a2 0 1 a 2 0 1 a 2 1 01 2 1 01 20 a 0 0当 a=0 时， r (A) 2。
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a= | i－j|得n阶行列式、ij解方法1 由题设知,=0,,,故其中第一步用得就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用得每列加第列.方法2=例2、设a, b, c就是互异得实数, 证明:得充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前得系数、于就是=所以得充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D=解: 方法1 递推法按第1列展开,有D= x D+(－1)a = x D+ a由于D= x + a,,于就是D= x D+ a=x(x D+a)+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a= 方法2 第2列得x倍,第3列得x倍,,第n列得x倍分别加到第1列上===方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.Dx k= x( + +++a+x)=方法4 ++++=(－1)(－1)a+(－1)(－1) ax++(－1)(－1)ax +(－1)( a+x) x=例4.计算n阶行列式:()解采用升阶(或加边)法.该行列式得各行含有共同得元素,可在保持原行列式值不变得情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)得元素,使得下一步化简后出现大量得零元素.=这个题得特殊情形就是=可作为公式记下来.例5.计算n阶“三对角”行列式D=解方法1 递推法.DD—D－D即有递推关系式D=D－D (n3)故＝递推得到＝＝＝＝而,＝＝,代入得(2、1)由递推公式得＝＝αD ＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式=β于就是得递推公式,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D= =-2= =于就是猜想,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当nk 时成立.当n=k+1就是,由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN,等式都成立例6.计算阶行列式:其中.解这道题有多种解法.方法1 化为上三角行列式其中,于就是.方法2 升阶(或加边)法方法3 递推法.将改写为+由于因此=为递推公式,而,于就是======。
线性代数行列式经典例题22998
线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式 即为y 2前的系数. 于是 =所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4． 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋ 解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6． 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ． 方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。
线性代数例题
例题例1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ， 试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T2。
解：1）;4189332141,6158228114,.2317116055⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4）B A T2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412168223462220。
例2、求D=30124025312613442-----解：D 1812341358161812034130126158160-----=------= 14418120202303244-=----=求D=1111111111111111--- 解：D 82000020000201111-=---=例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4。
例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123。
例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。
解：因为,211*--==A A A A 所以21)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A。
例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。
大一线性代数知识点例题
大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。
3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。
4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。
a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。
b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。
5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。
a) 计算 T((3, 2))。
b) 判断 T 是否为一一映射。
6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。
7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。
a) 计算 A 和 B 的内积。
b) 判断 A 和 B 是否正交。
c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。
8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。
以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。
希望能够为你的学习提供一些帮助。
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
线性代数例题讲解学习
线性代数例题[ 1]行列式例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()(A) 必有一列元素全为零；(B) 必有两列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算A E .例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.1 0 0例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .0 1 0111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .2 3 4例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A求B1例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：(1)A2 A的充要条件是’1 ；(2)当’1时，A是不可逆矩阵.例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.101003081 0 0例9:设f (x)1x2 x100 典x ，A0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第 列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为0 1 00 1 00 1 0 0 1 1(A )1 0 0（B ） 1 0 1（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 01 0 10 0 11 10 0 1例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆一 1例16：求n 阶行列式例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩 阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.an a 12 a 13a 21 a 22 a 例12：设Aa 31 a 32 a33a 41 a 42 a430 0 0 1 0 1 0 0PP 20 0 1 0 1 0 0 0其中A 可逆，则 B 1（）a 14 a 14 a 13 a 12 ana 24a 24 a 23 a 22 a 21，Ba 34 a 34 a 33 a 32 a 31a 44 a 44 a 43 a 42 a 411 1(A)A PR ； (B)R A P 2 ；1 1(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M0 CA 1BC 1中所有元素的代数余子式的和求B 的办法，若不存在，说明理由10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n1 2 3例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()3 6 9(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中a b bb a bAb b aA B例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且C DAC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：R(AB) R(B)例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:(1) R( 1, 2, ，t) R(C)(2)当t s时，有s线性无关C是可逆矩阵.的转置.证明：（1）秩r（A） 2⑵若,线性相关，则秩r（A） 2（2008年数学一）例26：设AB均为2阶方阵，A*, B*分别为AB的伴随矩阵，若A 2,B 3, O A则分块矩阵B O的伴随矩阵为O*3B O*2B(A)"O (B)"O2A3AO*3A O2A（C）心O(D) *O2B3B（答案：B）（2009年数学一、例25:设,为三维列向量，矩阵A T,其中T分别是例1:设向量组例2:设向量组例3:设向量组3线性无关，证明向量组1 1也线性无关.关，则向量可由向量组例4：设向量佝&,m线性无关，讨论向量组1的线性相关性.m线性无关，向量组2, ，m线性表示.m?线性相,a n）'，A为n阶矩阵，如A m 1A m，则，A ,A2, ,A m1线性无关.例5:设A为n阶矩阵，证明R（A n） R（A n1）例6：设向量组m1（m 3）线性相关，向量组2，3? ，m线性无关，问（1）1能否由3? ，m 1线性表示？（2）m能否由1, 2，，m 1线性表示?例7：设向量组I线性无关，向量1可由它线性表示，向量2不能由它线性表示，证明I1个向量1, 2, ，l,k 1 2线性无关.例8：设向量组A {2, ，m}与向量组B { I}的秩相同，且向量组A可由向量组B线性表示，证明A与B等价.例9：设A为n阶矩阵, s是一组n维向量，满足A i i 1 i , i 2,3, ,S，并且 1 0，证明向量组s线性无关.例10：设3是线性无关的5维向量组, 3也是5维向量组,满足(i, j) 0,i, j 1,2,3。
线性代数应用题库(含答案)
线性代数应用题库(含答案)本题库旨在帮助学生巩固和应用线性代数的知识，并提供详细的解答。
题库包括以下几个主题：行列式1. 求解以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}3 & 1 \\-2 & 4\end{vmatrix}$$- 答案：142. 计算以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & -1 & 2 \\4 & 3 & -1\end{vmatrix}$$- 答案：-24矩阵运算1. 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ 和向量 $x = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，求 $Ax$ 的结果。
- 答案：$Ax = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$2. 给定矩阵 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$，求 $BC$ 的结果。
- 答案：$BC = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}$ 特征值与特征向量1. 给定矩阵 $D = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$，求其特征值和对应的特征向量。
- 答案：特征值为 5 和 2，对应特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$2. 已知矩阵 $E = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ 的特征值为 2 和 5，分别求其对应的特征向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5，8，10，21，7，2，10，8，3 其中 S 表示为 5，E 表示为 8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中， 我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若 8 为编码信息中最常 出现的数字，则它最有可能表示字母 E，即英文中最常出现的字母。
0.1 0.2 0.15
4000 4500 4500 4000 ������ = [2000 2600 2400 2200]
5800 6200 6000 6000
第三个表格通过������������来计算。
2
信息编码
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92
一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。 例如，信息
由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证������−1的元 素是整数非常重要，否则，如果������−1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信 息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证������−1的元素是整数，我们要求|������| = ±1。
为构造编码矩阵������，我们可以从单位矩阵������开始，多次采用如下运算： 将某一行(列) ������(������ ≠ 0)倍加到另一行(列)
232
需要编码的信息放置在三行矩阵������的各个列上。
乘积
5 21 10 ������ = [ 8 7 8 ]
10 2 3
1 2 1 5 21 10 31 37 29 ������������ = [2 5 3] [ 8 7 8 ] = [80 83 69]
2 3 2 10 2 3 54 67 50
C 0.15 0.25 0.15
产品
A B C
春季 4000 2000 5800
夏季 4500 2600 6200
季度 秋季 4500 2400 6000
冬季 4000 2200 6000
计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量
原料 工资 管理费和其它
春季
夏季
季度 秋季
冬季
0.1 0.3 0.15 ������ = [0.3 0.4 0.25]
3
交换两行(列) 结果矩阵������的元素还是整数，且
|������| = ±|������| = ±1 因此������−1的元素也是整数。如果满足|������| = ±1条件的矩阵很少，则这个加密的算法就没有实 际意义，因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。从上面的构造过程看，满足|������| = ±1条件的矩阵有很多，所以这个加密算法具有实际意义。
《线性代数》应用题
生产成本
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P33
某工厂生产三种产品，它的成本分为三类，第一类成本中，给出生产单个产品时估计需 要的量，同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所：
成本
管理费和其它
0.1
产品 B 0.3 0.4 0.2
给出了用于传输的编码信息：
31，80，54，37，83，67，29，69，50 接收到信息的人可以通过乘以������−1进行解码
������−1(������������) = ������ 因为
1 −1 1 ������−1 = [ 2 0 −1]
−4 1 1
则
1 −1 1 31 37 29 5 21 10 [ 2 0 −1] [80 83 69] = [ 8 7 8 ] −4 1 1 54 67 50 10 2 3
参考书中提供的参考文献 1. Hansen, Robert, Two-Year College Mathematics Journal, 13(1), 1982.
我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的加密。设������是所有元素均为整数的矩阵，且其 行列式为±1，由于������−1 = ± ������∗，则������−1的元素也是整数，我们可以用这个矩阵对信息进行加 密，加密后的信息将很难破译。下面介绍具体的加密方法。令
121 ������ = [2 5 3]