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线性代数的应用案例解析
案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。
（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：5 10 3 0.10 0.15D0.15 0.204 5 50.10 0.10此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.102.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。
（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
线性代数在实际生活中应用实例
大陆桥视野
线性代数在实际生活中应用实例
靳宝霞 ／ 广西科技大学鹿山学院
【摘 要】 线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。 随着科学技术的发展， 特别是电子计算机使用的日益普遍， 作为重要的数学工具之一， 线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言，仍然感 到其理论比较枯燥，不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方，本文将举出几个其在实际生活中的例子来展示线性代数应用的广泛性， 同时也能更好的加深学生对知识点的理解。 【关键词】线性代数； 矩阵； 方程组
162 大陆桥视野·２０１５ 年第 ２０ 期
教育教学・Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
探讨建立高职室内设计专业模拟实验的教学模式
谢复兴 ／ 湖南城建职业技术学院
【摘 要】 高职教育是我国面向社会培养技术人才的主要教育模式， 高职室内设计专业在三年的教学时间中， 既要培养出熟悉装饰工程技术， 又有一定设计能力、艺术修养的人才，其有效的途径就是要做充足的模拟实验和实训教学。本文就高职室内设计专业模拟实验的方法做出讨论， 希望对提高高职室内设计专业教学效果有所帮助。 【关键词】高职；室内设计；模拟实验；教学
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
建筑的室内设计是设计者根据建筑的具体结构，综合运用建 筑结构与装饰材料对室内空间进行合理的组织利用，创造出满足 用户需求的生活、生产空间与环境。从定义上看，环境、材料、 空间结构对于室内设计工作的影响很大。高职室内设计专业教育 作为向建筑室内设计劳动市场输送人才的主要渠道，毕业生从学 校出来就要进入工作岗位，甚至需要熟练的技能去找工作，因此， 对于高职教育，提高学生的技能水平是关键。高职教育中，模拟 实验对于学生的技能提高十分有效。 而我国高职教育在教学方式上，很多需要重点应用模拟实验 的学科，在硬件设备和课程安排上都起不到很好的效果，甚至， 我国的高职教育越来越倾向于普通高等教育，高职院校都在申请 成为普通本科学校，在学术研究上面下的功夫太大，造成了高职 院校重理论而轻实践的错误倾向，高职学生，尤其是像室内设计 这样专业的学生，并不适合。 一、高职室内设计专业模拟实验存在的问题 （一）高职室内设计专业模拟实验与课堂教育的传统观念差 别较大 我国无论是在哪个阶段的教育教学中，都脱离不了课堂就是 按课本教书的传统观念。而对于室内设计专业的内容，在装饰环 境设计上要重点考虑空间环境、心理环境、声光热等物理环境、 通风环境等的设计，在空间设计上分为室内居住空间设计、室内 办公空间设计、室内公共空间设计等等，这些方面的教学单单靠 书本是学不来的。 课堂教学的内容往往从理论出发，交给大家经典理论了前沿 观念，甚至比较超前，这些教学虽然给学生开阔了眼界，并且提 高了品味，树立了理论方向，但学生在学习中，并不一定理解， 且不会与实际对照，很难融会贯通。 （二）模拟实验案例缺乏 模拟实验教学对于高职室内设计的专业的教材上包括的内容， 很难做到全面，不是所有的章节都有模拟实验，模拟实验的内容 也比较单一，加上教材更新慢，实验有可能不具有代表性，不具 有时代感。 同时，我国高职院校由于专业众多，学校师资力量有限，专 门为一个专业设置实验室的能力十分有限。因此，就要依托社会 的实训模拟机会，而我国典型的室内设计机会不会允许实习学生 参与，学校只能寻找一些小的设计公司或是居民室内设计项目， 越小的项目之间差别越小，教学中能涉及到的内容也不多。即便 这样，实习机会依然难得，依托社会给学生找锻炼机会并不轻松， 不是每名学生都能得到锻炼机会。 （三）模拟实验硬件需要不断的完善 室内设计专业对专业模拟实验十分的依赖。模拟实验在设计 表现、功能实现、艺术创意、文化传达、思维拓展等环节的教学
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
线性代数在实际生活中应用实例
0
（１） 某医院要购买这七种特效药，但药厂的第 ３ 号药和第 ６ 号 药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？ （２） 现在医院想用这 ７ 种草药配制三种新的特效药，表 ２ 给出 了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ １ 号新药 ４０ ６２ １４ ４４ ５３ ５０ ７１ ４１ １４ ２ 号新药 １６２ １４１ ２７ １０２ ６０ １５５ １１８ ６８ ５２ ３ 号新药 ８８ ６７ ８ ５１ ７ ８０ ３８ ２１ ３０
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
解：（１）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析 ７ 个列 向量构成向量组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药； 若向量组线性相关，并且能找到不含 ｕ３，ｕ６ 的一个最大线性无 关组，则可以配制 ３ 号和 ６ 号药品。 经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为 ｕ１，ｕ２，ｕ４，ｕ５，ｕ７ 且 ｕ３＝ｕ１＋２ｕ２，ｕ６＝３ｕ２＋ｕ４＋ｕ５． 所以可以配置处这两种脱销的药品。
解 将 Ｍ 和 Ｐ 相乘，得到的矩阵设为 Ｑ，Ｑ 的第一行第一列元 素为 Ｑ（１，１）＝０．１０×４０００＋０．３０×２０００＋０．１５×５８００＝１８７０ 其中 Q =
1870 3450 1670
2220 4020 1940 2070 3810 1830 1960
1740
线性代数的应用案例
已知不同商店三种水果的价格、D 「10|(4 5迅10卫.10.152.303.050.20 =」1.652.100.10 」 -此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为 2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为 此结果说明，城镇案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A 商店B苹果- 0.10 0.15] 橘子 0.15 0.20梨' 0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3 人员B ||45 5人员A 人员B城镇 1 1000 500 城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B ,而第三个矩阵为 C 。
(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D ，则D=BA ，即:1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。
(2)设该矩阵为E ，贝U E=CB ，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|〔4 5 5- 7000 12500 5500 *4000 25000 11000一1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）;城镇1中有人员A（1000人）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000人）和人员B（1000人）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5;现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
线性代数的应用举例和分析
解决方法：遍乘直除法 -------Gauss消去法
3.2 文学作品中的方程组
射 雕 英 雄 传
郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺 细沙，沙上画 着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元 ”、 “地元”、“人元”、“物元”等 字。郭靖看得不知所云，生怕 落足 踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导， 颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那 是算经中的“天元之 术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也 无甚难处
化简整理得：
x1 x2
800
x2 x3 x4 300 x4 x5 500
x1
x5 600
x3
400
解之得：
x1 600 x5
x4
x2
200 500 x5
x5
x3 400
注意：由于本问题中 的道路是单行道，所 以每一个变量不能 取负值
x5是 自 由 变 量
3.4电路网络
三、线性方程组的应用
❖ 3.1 《九章算术》中方程术 ❖ 3.2 文学作品中的方程组 ❖ 3.3 交通流量 ❖ 3.4 电路网络 ❖ 3.5 化学平衡方程式 ❖ 3.6 构造有营养的减肥食谱
3.1《九章算术》
❖ 从先秦到西汉中叶经众多学者编撰、修 改的一部数学著作
全书246个问题，分为9章： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股
0
R 5 R 5R 6R 7ic 0
把已知数据代入，得：
18 12 0 ia 10 12 28 12ib 0 0 12 18ic 0
解之得：
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中成药2
中成药3
车间工时（时/周）
车间1
1
1
2
40
车间2
3
2
3
75
车间3
1
1
1
28
解：设3种中成药每周的产量分别为 ，则由题意得
利用matlab将方程组的增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵，得
由此可以得出
所以三种中成药每周的产量分别为7件，9件，12件。
案例9解线性方程组应用—人口迁移模型
在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模，此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量，这样就产生了与时间间隔相应的向量序列 其中 表示第n次测量时系统状态的有关信息，而 常被称为初始向量。
取 ，则方程组的全部解为
又由题意可知， 都为正整数，则方程组有唯一解 。
所以设计方案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A，2层采用方案B，8层采用方案C。
（2）在一个原始部落中，农田耕作记为F，农具及工具的制作记为M，织物的编织记为C。人们之间的贸易是实物交易系统（见下图）。由图中可以看出，农夫将每年的收获留下一半，分别拿出四分之一给工匠和织布者；工匠平均分配他们制作的用具给每个组。织布者则留下四份之一的衣物为自己，四分之一给工匠，二分之一给农夫。
，
从而得到下列方程组：
利用matlab将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，为
A=
令 ，写成方程组，为
写成向量形式为
所以当农作物价值、工具价值与织物价值的定价之比为 时，才能公正地体现原有的实物交易系统。
（3）某药厂生产3种中成药，每件中成药的生产要经过3个车间加工。3个车间每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问3中中成药每周的产量各是多少？
解：由题意可得迁移矩阵为
设2009年的初始人口为 ，2010年和2011年的人口分别为 ，则
即2011年的人口分布情况是：城市人口为6255380，农村人口为6544620.
(2)在某个地区，每年约有4%的城市人口移居到周围的农村，大约5%的农村人口移居到城市中。在2009年，城市中有400000居民，农村有600000居民。建立一个差分方程来描述这种情况，用 表示2009年的初始人口，然后估计两年之后，即2011年城市和农村的人口数量（忽略其他因素对人口规模的影响）
为了便于研究，表中√为1，空白为0，得到下列数表：
列表表示到站
A
B
C
D
行标表示发站
A
√
√
0
1
1
0
B
√
√
√
1
0
1
1
C
√
√
√
1
1
0
1
D
√
0
1
0
0
(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表
40
50
60
70
1.5
60
80
70
20
1.6
30
120
150
90
1.7
10
15
80
150
1.8
0
2
5
10
此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的4行4列的矩形数表，
随着社会的发展，实物交易形式需要改为货币交易。假设没有资本和负债，那么如何对每类产品定价才能公正地体现原有的实物交易系统？
也可以用下表表示：
组名
F
M
C
F
M
C
解：令 为农作物的价值， 为工具的价值， 为织物价值。那么从上表第一列，农夫生产的价值应该等于他们交换到的产品的价值，即
同理可以得到工匠和纺织者产品价值的方程
，
利用matlab求解，可知 ，所以方程组有唯一解，其解为
所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。
案例8求解线性方程组
（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？
案例6矩阵乘法的应用
某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：
美国
德国
日本
3000
1500
2000
1400
1300
800
单位价格（万元）
单位重量（吨）
单位体积（ ）
0.5
0.04
0.2
0.4
0.06
0.4
利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
煤矿
发电厂
铁路
燃料费（元）
0
0.65
0.55
电力费（元）
0
0.05
0.10
运输费（元）
0.25
0.05
0
对于一个星期的周期，设 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路的总产值。
煤矿的总消耗为
电厂的总消耗为
铁路的总消耗为
则
联立三个方程并整理得方程组
上述方程组可化为 ，其中
联立以上方程的方程组：
取 ，则网络的流量模式表示为
线性规划问题
案例1、.生产计划问题
（1）假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要原料有A类3600kg，B类2000kg,C类3000kg.每件甲产品需用材料A类9kg,B类4kg,C类3kg。每件乙产品需用材料A类4kg,B类5kg,C类10kg。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
行列式的应用
案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养
单位食物所含的营养
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
则
所以，星期三时，机场有310辆车，东部办公区有48辆车，系部办公区有92辆车。
案例10解线性方程组应用—网络流模型
网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题是，线性方程组就自然而然地产生了，例如：城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网络内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等。大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。
方案
一居室（套）
两居室（套）
三居室（套）
A
8
7
3
B
8
4
4
C
9
3
5
解：设公寓的每层采用同一种方案，有 层采用方案A，有 层采用方案B，有 层采用方案C，根据题意，可得
利用matlab计算方程组的系数矩阵A、增广矩阵 的秩：
，
所以方程组有无穷多个解。
利用matlab将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵：
矩阵对应的方程组为 ，
实际收入
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
解：设矩阵
则矩阵
=
案例7逆矩阵的应用
一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿0.65元的燃料费，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。而提供一块钱的运输费铁路需支付煤矿0.55元的燃料费，0.10元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？
利用matlab可以求得
x =
1.52173913043478
2.39130434782609
0.65217391304348
矩阵的应用
案例1矩阵概念的引入
（1）线性方程组
的系数 按原来的位置构成一数表
该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。