第46课时 二次函数综合型问题
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型是一种难度较大的数学题目，通常涉及到二次函数的性质、图像、最值以及与其他数学知识的综合应用。
以下是一些常见的二次函数综合压轴题型的例子：
1. 二次函数与几何的综合：这类题目通常会涉及到二次函数图像与几何图形（如三角形、矩形、圆等）的结合，需要利用几何知识解决二次函数问题。
2. 二次函数与一次函数的综合：这类题目通常会涉及到两个函数图像的交点、性质以及与不等式相关的知识点，需要综合考虑一次函数和二次函数的性质。
3. 二次函数与方程根的综合：这类题目通常会涉及到求二次方程的根、判断根的情况以及与二次函数图像的关系，需要利用二次函数的性质和判别式的知识。
4. 二次函数的最值问题：这类题目通常会涉及到求二次函数的最值，需要利用配方法、顶点式等二次函数的性质和公式。
5. 二次函数的实际应用题：这类题目通常会涉及到生活中的问题，如抛物线的运动、物体下落等，需要将实际问题转化为数学问题，利用二次函数的知识求解。
解二次函数综合压轴题型需要熟练掌握二次函数的性质、图像和公式，同时还需要具备一定的数学思维和推理能力。
在解题过程中，要注意灵活运用所学知识，多角度思考问题，寻找最佳的解题方法。
中考复习 数学 二次函数综合型问题
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变式跟进答图
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① B 为直角顶点． 1 3 AB 的解析式为 y＝ x＋ ， 2 2 则 BM 的解析式为 y＝－ 2x＋ b， 把 B(5， 4)代入得 4＝－ 2× 5＋ b， ∴ b＝ 14，∴ BM 的解析式为 y＝－ 2x＋ 14， 5 y＝－ 2x＋ 14， x＝ ， 2 解得 5 x＝ 2， y＝ 9， 5 即 M 的坐标 ( ， 9)． 2 ②以 A 为直角顶点．
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1 3 AB 的解析式为 y＝ x＋ ， 2 2 则 AM 的解析式为 y＝－ 2x＋ b， 把 A(－ 3， 0)代入得 0＝－ 2×(－ 3)＋ b， ∴ b＝－ 6， ∴ BM 的解析式为 y＝－ 2x－ 6， 5 y＝－ 2x－6， x＝ ， 2 解得 5 x＝2， y＝－ 11， 5 即 M 的坐标 ( ，－ 11) 2
c 即 x1x2＝ c ＝ ，∴ ac＝ 1. a
2
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由 S1＝ S2 得
b2－ 4ac b2 ＝ － c， c＝ 4 a 4a
∴ b2＝ 4a· 2c＝ 8ac＝ 8. ∴ b＝－ 2 2(b＝ 2 2舍 )， 1 ∴方程可化为 x2－ 2 2x＋ c＝ 0， c 2 2－ 2 ∴ x1＝ ＝ ( 2－ 1)c， 1 2· c 又 ∵ x1＝ mc，∴ m＝ 2－ 1.
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二次函数综合性问题——线段的最值教学设计）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为二次函数综合性问题——线段的最值教学设计的全部内容。
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计重庆一中唐小力一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。
主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。
本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容,本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次:1、知识与技能通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法.2、过程与方法通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。
3、情感态度价值观（1)使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法,从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。
本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值)解决线段最值的方法"，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。
二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时， ()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证. 1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数x z a x f 22)(-=。
(教学设计)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题教学设计
教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。
二次函数形综合问题
3．2二次函数型综合问题这类综合题是以二次函数为中心，综合二次方程、二次三项式、不等式或几何、三角等知识，组成一个题组，重点、难点集中，综合性较强，灵活性较大，是当前各地中考命题的一个热门题型。
3．2．1直接与代数知识相结合的问题这类问题主要是代数知识的综合，解题时牢牢抓住二次函数的有关性质和其它二次三项式的有关知识和解题方法，并结合函数的图象就能找到解题的思路。
例1． 已知二次函数1)1(22-++-=m x m x y 。
（1）求证：无论m 为何值时，函数y的图象与x 轴总有交点，并指出当m 为何值时只有一个交点？（2）当m 为何值时，函数y 的图象经过原点，并求出此时图象与x 轴的另一个交点的坐标。
（3）如果函数y 的图象的顶点在第四象限，求职m 的取值范围。
例2． 已知二次函数m x m x m y (1)2()1(2--+-=为实数）。
求：（1）m 取何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）如果关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 的两个不相等的实数根倒数平方和等于2，求m 的值。
（3）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且2=∆ABC S 确定m 的值。
例3． （1）已知一个二次函数的图象经过)0,2(),3,2(),23,0(--三点。
求这个二次函数的解析式；（2）如果（1）中所求的二次函数图象的开口方向和形状保持不变，平行移动这个函数的图象，使之与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，若B 点坐标为)0,1(-，且|AC|=|AB|，求此时二次函数的解析式。
例4． 以x 为自变量的二次函数)34()22(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于点A ，B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数b kx y +=的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且10=∆ABC S ，求一次函数的解析式。
二次函数综合问题(存在性)
（2）点 P 是线段 AB 上的一点，过点 P 作 PQ∥AC，交 BC 于点 Q，连接 CP.当△CPQ 的面积 最大时，求点 P 的坐标；
（3）若点 M 是抛物线上一点，且横坐标为3，点 N 是 y 轴上一点，在（2）的条件下，是否
存在这样的点 N，使得△MPN 是直角三角形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说 明理由.
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
0 (舍去)， m 2
3 2
E（ 3 2
， 1）…………………………………………12
分
解：⑴AD： y x 1
⑵过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 M，易证△FGH≌△FGM
故 C△FGH C△FGM 设 F(m,m2 2m 3)
F m,1 2 m
2,
C 0， -2 ,
N m,2
5．
F N = 1 m ， CN=m
2
∴在 Rt△ CNF 中，CF=
△ FCN ∽△ FEM
CF
CN
EF EM ,
FN 2 CN 2
5 2m
5m
2 EF
5 3
3 EF= 2
m
m m EF=
225
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
完整版)二次函数含参综合专题
完整版)二次函数含参综合专题轴平移3个单位，得到抛物线y=x-2ax+(b+3)，求新抛物线的表达式；2）若a=2，b=3，求点P、Q的坐标和抛物线的对称轴；3）将抛物线在x轴上方的部分沿y轴平移2个单位，得到抛物线G，求G与x轴交点的横坐标。
综合专题：二次函数二次函数的特征很多时候是隐藏在式子中的，需要找到关键点才能解决问题。
下面分别对不等关系类、翻折类、平移类的例题进行分析。
例1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。
1) 当抛物线过原点时，a的值为0；2) ①对称轴为x=0，顶点纵坐标为0；②顶点为原点，纵坐标为0；3) 当AB≤4时，a∈[-2,2]。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。
1) 对称轴为x=2，A(-a,0)，B(3a,0)；2) 点C(t,3)在抛物线上，过C作x轴的垂线交x轴于D，①CD=AD时，a=t²-4t+3；②CD>AD时，t∈(-∞,0)∪(1,∞)。
例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx²-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），与y轴交于点A。
1) 顶点坐标为(M,n-1)，其中M=n；2) A(0,n-1)，B(3-n,n-1)；3) 翻折后的图象记为G，直线y=n-1与G有一个交点时，m∈(-∞,n-1)。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a的最高点纵坐标为2.1) 对称轴为x=1，表达式为y=(a-1)²-1；2) 图象G1在x∈[1,4]上，将G1沿直线x=1翻折得到G2，图象G由G1和G2组成，直线y=b与G只有两个公共点时，b∈(-∞,-1)∪(3,∞)，x1+x2=2.例3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-2ax+b 的顶点在x轴上，P(x1,m)、Q(x2,m)（x1<x2）是此抛物线上的两点。
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全效学习 中考学练测
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(Ⅰ)若有△PCM∽△BDC，则有 MC CD ＝ ， CP BD ∵BD＝1，CD＝3， MC·BD 2×1 2 ∴CP＝ ＝ ＝ ， CD 3 3 ∵CD＝DA＝3， ∴∠DCA＝45°， 若点 P 在 y 轴右侧，作 PH⊥y 轴， 2 ∵∠PCH＝45°，CP＝ ， 3 2 1 ∴PH＝ ÷ 2＝ ， 3 3
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∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋4. 如答图①，对称轴直线 x＝1 与△ABC 两边分别交于点 E，F. 把 x＝1 代入直线 AC 的解析式 y＝－x＋4，解得 y＝3，则点 E 坐标为(1，3)，点 F 坐标为(1，1)， ∴1＜5－m＜3，解得 2＜m＜4；
①
②
例2答图
②连结 AE，交 OB 于点 M，若△AMF 与△BGF 的面积相等， 3 2 则 m 的值是______ 2 ．
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(1)用含m的代数式表示BE的长；
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解： (1)由抛物线 y＝x2－mx－3 可知点 C 坐标为(0， －3)， AC⊥OC， ∴点 A 纵坐标为－3， y＝－3 时，－3＝x2－mx－3，解得 x＝0 或 m， ∴点 A 坐标为(m，－3)，∴AC＝m，∴BE＝2AC＝2m； (2)点 D 落在抛物线上，理由： ∵m＝ 3，∴点 A 坐标为( 3，－3)， ∴直线 OA 的解析式为 y＝－ 3x， ∴抛物线的解析式为 y＝x2－ 3x－3， ∴点 B 坐标为(2 3，3)，∴点 D 纵坐标为 3， 对于函数 y＝－ 3x，当 y＝3 时，x＝－ 3， ∴点 D 坐标为(－ 3，3)．
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(3)P 是直线 BC 上的一个动点(点 P 不与点 B 和点 C 重合)，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 2个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，△PMQ 的面积为 S，求 出 S 与 t 之间的函数关系式．
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图46－4
解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋1 经过点 A(4，－3)， 1 ∴－3＝16a＋1，解得 a＝－ ， 4 1 2 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋1，顶点 B 坐标为(0，1)； 4
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∵S△ AMF＝S△ BFG，
3 2 4 m － 6m 2 m － 3 1 m － ∴ · ＋ 3 2 2 6m2－3
1 1 ＝ · m·· (2m2－3)， 2 2 整理得到 2m4－9m2＝0， 3 ∵m＞0，∴m＝ 2. 2
∴抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3；
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(2)令y＝0，则x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴点C坐标为(3，0)， ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点D坐标为(1，－4)， 如答图①，过点D作DE⊥y轴，垂足为E， ∵OB＝OC＝3，点D坐标为(1，－4)， ∴BE＝DE＝1， ∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠DBE＝45°， ∴∠CBD＝90°， ∴△BCD是直角三角形；
过点Q作QF⊥PM，垂足为F， ∴△PQF是等腰直角三角形，全效学习 中ຫໍສະໝຸດ 学练测备考基础归类探究
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∵PQ＝ 2， ∴QF＝1， 如答图②，当点 P 在点 M 上方时，即 0＜t＜3 时， PM＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t， 1 1 12 3 2 ∴S＝ PM· QF＝ (－t ＋3t)＝－ t ＋ t， 2 2 2 2 当点 P 在点 M 下方时，即 t＜0 或 t＞3 时， 如答图③，PM＝t2－2t－3－(t－3)＝t2－3t， 1 1 2 12 3 ∴S＝ PM· QF＝ (t －3t)＝ t － t. 2 2 2 2
【点悟】
解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条
件求出二次函数的解析式，再结合图象，运用几何知识解决问
题．
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[2016· 温州]如图46－2，抛物线y＝x2－mx－3(m
＞0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A， 点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴， 交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC. 图46－2 (2)当 m＝ 3时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由； (3)若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G. ①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值；
∴二次函数的解析式为 y＝－x2＋2x＋4， 配方得 y＝－(x－1)2＋5，∴点 M 的坐标为(1，5)； (2)设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋n，把点 A(3，1)，C(0，4) 代入，得
3k＋n＝1， k＝－1， 解得 n＝4， n＝4，
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第46课时 二次函数综合型问题
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特征
二次函数综合型问题
(1)二次函数与三角形的综合；(2)二次函数与四边 类型 形的综合；(3)二次函数与相似形的综合；(4)二次 函数与圆的综合 充分运用数形结合思想，把“数”与“形”结合， 解题 互相渗透，把数量关系与空间形式巧妙结合起来寻 策略 找解题思路
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类型之二 二次函数与相似三角形的结合 [2016· 湖州]如图46－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋ c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为 M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于 点B，连结BC. (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移 后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括 △ABC的边界)，求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形 与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结 果，不必写解答过程)．
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例1答图
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(3)∵点B坐标为(0，－3)，点C坐标为(3，0)， ∴直线BC解析式为y＝x－3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t， ∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)，
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∵对于函数 y＝x2－ 3x－3，x＝－ 3时，y＝3， ∴点 D 落在抛物线上； (3)①如答图，∵∠ACE＝∠CEG＝∠EGA＝90°， ∴四边形 ECAG 是矩形， ∴EG＝AC＝BG， ∵FG∥OE， ∴OF＝FB，∴EO＝2FG， 1 1 ∵ DE· EO＝ GB· GF， 2 2 ∴BG＝2DE， 变式跟进答图 ∵DE∥AC， DE EO 1 ∴ ＝ ＝ ， AC OC 2
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2×3 ∴CP＝ ＝3 2， 1 ∴PH＝3 2÷ 2＝3，
若点 P 在 y 轴右侧，把 x＝3 代入 y＝－x＋4，解得 y＝1； 若点 P 在 y 轴左侧，把 x＝－3 代入 y＝－x＋4，解得 y＝7. ∴P3(3，1)；P4(－3，7)． 1 11 1 13 ∴所有符合题意的点 P 坐标有 4 个， 分别为 P13， 3 ， P2－3， 3 ， P3(3，1)，P4(－3，7)．
【点悟】
此类问题常涉及到运用待定系数法求二次函数、一
次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对 应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
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[2016· 十堰]如图46－4①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ＝ax2＋1经过点A(4，－3)，顶点为B，P为抛物线上的一个动 点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过点P作PH⊥l，垂足 为H，连结PO. (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标； 5 ，PH＝_____ 5 ， (2)①当点P运动到点A处时，计算：PO＝_____ ＝ PH(选填“＞”“＜”或“＝”)； 由此发现，PO______ ②当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系， 并证明你的猜想； (3)如图②，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以P，O， H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标； 若不存在，请说明理由．
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(3)由题意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则
要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两 种，然后利用边的对应比值求出点P坐标．
解：(1)把点 A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数 y＝－x2＋bx
－9＋3b＋c＝1， b＝2， ＋c，得 解得 c＝4， c＝4，
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类型之一
二次函数与三角形、四边形的结合
[2016· 德州]如图46－1，已知m，n是一元二次方程x2＋ 4x＋3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2＋bx＋c的 图象经过点A(m，0)，B(0，n)． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点 为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；