线性代数及其应用
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第四章 4.1
分必要条件是： A 的列向量组是两两正交的单位
向量组．
由于 AT A E 与 AAT E 是等价的，因
此，上面的第三种定义还可叙述为： A 的行向量
组是两两正交的单位向量组．
例 4.4 判别矩阵 A 是否是正交阵：
1
6
2 6
1
6
A
1 2
0
1
2
个实数．且易验证，此内积满足下列三条性质：
（1）对称性： ( x, y) ( y, x) ；
（2）线性：
(x y, z) (x, z) ( y, z), z Rn ，
(kx, y) k(x, y), k Rn ； （3）正定性： (x, x) 0 ，
(x, x) 0 x 0 ．
利用内积的正定性，我们可以定义向量长度．
2
此时，称向量 x 与向量 y 正交，也记作 x y ．
当 x 0 时，它与任何向量皆正交．
二、正交向量组与规范正交基 当一组向量两两正交，就称为正交向量组．通 常，我们所讨论的正交向量组里的向量，皆为非
零向量．在 n 维向量空间中，正交向量组有些什
么性质？
定理 4.1 若 n 维向量 α1, , αr 是一组两两正
在向量空间V 中，使用规范正交基有何优点呢？
设 dim(V ) r, l1, , lr 是它的一组规范正交
基，即有
1, j i, (li , l j ) 0, j i,
则 α, β V ， α x1l1
xrlr (l1,
x1
,
lr
)
，
xr
β y1l1
yrlr (l1,
(li , l j )
线性代数及其应用第八版课程设计
线性代数及其应用第八版课程设计一、引言线性代数是数学的一个分支，也是自然科学和工程学中的重要工具。
线性代数及其应用第八版课程设计的主要目的是帮助学生更好地掌握线性代数的基本理论与方法，并且能够通过实际应用来深入理解和应用线性代数知识。
本文将从课程设计的目的、内容、教学方法、评价体系等方面进行详细阐述。
二、课程设计目的1.熟练掌握线性代数的基本理论知识；2.了解线性代数的实际应用，并能够独立分析和解决实际问题；3.能够设计和实现使用线性代数方法解决实际问题的算法；4.能够进行团队协作，掌握项目管理和文档编写技能。
三、课程设计内容线性代数及其应用第八版课程设计包括以下内容：1.线性代数基本概念：矩阵运算、向量、线性变换等；2.矩阵消元与矩阵逆；3.行列式的定义与性质；4.线性相关性与线性无关性；5.向量空间与线性变换；6.特征值、特征向量与对角化。
四、教学方法本课程设计采用“导论 + 实践 + 团队合作”的教学方法。
1.导论阶段：通过教材提供的线性代数及其应用第八版的知识，掌握基本的线性代数理论知识，学会运用线性代数的基本方法和算法；2.实践阶段：通过实际案例和应用题目，培养学生解决实际问题和运用线性代数方法进行分析和解决问题的实践能力；3.团队合作阶段：通过小组合作解决实际问题，加强学生间的合作沟通能力，提高团队合作能力。
五、评价体系线性代数及其应用第八版课程设计的评价体系采用综合评价方法，包括以下几个方面：1.课堂测试（占比20%）：主要考察线性代数的基础理论概念和基本方法；2.作业与实验报告（占比30%）：主要考察学生掌握线性代数的实际应用能力和编程能力；3.项目实践（占比40%）：主要考察学生团队协作和解决实际问题的能力；4.平时表现（占比10%）：主要考察学生的出勤情况、积极参与课堂讨论、作业完成情况等。
六、总结线性代数及其应用第八版课程设计，是一个重要的学科课程，通过本课程的学习，学生将掌握基本的线性代数理论与方法，能够通过实际应用把这些知识转换成实际的解决方案。
线性代数及其应用 (原书第4版)
线性代数及其应用（原书第4版）
《线性代数及其应用（原书第4版）》是Gilbert Strang所著的一本流行的线性代数教材。
该教材旨在为学生提供深入学习线性代数及其应用的机会。
本书内容将从最基本的概念开始，以逐步深入和广泛解释线性代数的概念为目标。
此书包含6个部分，每个部分由几个章节组成。
首先，本书介绍向量、矩阵和线性方程组的基本概念，然后深入讲解矩阵的运算、线性变换、特征值和特征向量等内容。
本书还包含一些应用章节，例如离散数学、最小二乘拟合、图像处理等说明线性代数的实际应用。
该书采用清晰、易懂的语言和注重细节的讲解方式，适用于数学、科学和工程专业的学生、教师和研究人员。
为了帮助学生更好地理解和掌握概念，本书还配备了数百个例题和应用题。
其中一些题目包括详细的解决方案和代码。
总的来说，该书是一本广泛使用的线性代数教材，涵盖了许多应用领域，并通过数百个例子和应用展示了数学原理在实际应用中的强大力量。
线性代数及其应用 第4章 相似矩阵及二次型
2 0 0
2
例1
已知A
0 0
0 1
13
x
1
,
求 x 和R( A) .
解 由于A ，有 A ，可得2 2x ，
即 x 1.
因为 R( A) R()，故R( A) 3 .
二、特征值与特征向量
例子：
设
A
3 1
2
0
,a
1
1
,b
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则
Aa
3
令 Q P 1
A PBP 1 Q1BQ
所以 B A；
性质1 (3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (3) 若A B, B C，则存在可逆矩阵P、Q
使得 P 1AP B， Q1BQ C.
有
Q1 P1AP Q C，
即
(PQ)1 A(PQ) C
令R PQ , 从而 R1AR C ，故 A C .
求齐次线性方程组( A E)x 0的非零解
1 1 2
例2
求矩阵
A
0 1
2 1
2 0
的特征值和特征
向量.
解 矩阵 A 的特征多项式为
AE 0
1 1 2 A E 0 2 2 ( 1)( 2)
1 1 故 A 的特征值为 1 0,2 1,3 2.
当 1 0 时，求解方程组 Ax 0.由
(4) 若A和 B都是可逆矩阵且 A B ，则 A1 B1 .
性质1 (1) 自反性：A A ; (2) 对称性：如果 A B，则B A；
(3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (1) 由于 E 1AE A ，故 A A; (2) 若A B，那么存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP B，则A PBP 1 ，
线代数及其应用
线性变换
通过矩阵对向量进行操作，保 持向量的线性关系不变。
02 线性方程组
线性方程组的解法
高斯消元法
通过行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的有雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，如LU分解、QR分解等，便于求解。
图像处理
线性代数在图像处理中有着广泛的应用， 例如在图像变换、图像滤波和图像压缩等 方面，可以通过线性代数的方法来实现。
3D计算机图形
动画制作
在动画制作中，线性代数可以用来描述物体 的运动轨迹和速度，例如在骨骼动画中，可 以通过线性代数的方法来计算骨骼的运动轨 迹。
在3D计算机图形中，线性代数是必不可 少的工具，例如在建模、光照和纹理映 射等方面，需要用到线性代数的知识。
行列式与矩阵的逆的应用
在线性方程组求解中的应用
在向量空间和线性变换中的应用
行列式可以用来判断线性方程组是否有解 ，而矩阵的逆可以用来求解具体的解。
行列式可以用来确定向量空间中的基底和 维数，矩阵的逆可以用来实现线性变换和 对角化。
在数值分析和计算物理中的应用
行列式和矩阵的逆在数值分析和计算物理 中有着广泛的应用，如求解微分方程、积 分方程、控制论、最优化问题等。
3
性质
特征值和特征向量具有一些重要的性质，如线性 变换性质、相似变换性质和可对角化性质等。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个特征值的线性组合，从而得到特征值和特征向量。
数学中的线性代数及其应用
数学中的线性代数及其应用线性代数是数学中的一个分支，它主要研究线性方程组、线性变换及其表示、以及线性空间等基本概念和性质。
线性代数不仅是数学中的一个基础学科，而且在各个领域都有着广泛的应用。
本文就介绍线性代数的一些基本概念和应用。
一、线性代数的基本概念1. 向量和向量空间向量是线性代数中的基本概念，可以用一个有限的实数序列来表示。
形式上，一个n维向量写成一维列向量的形式为：\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}将n个实数排成一个矩形，就形成了一个一维列向量。
向量空间是一组向量的集合，并满足一组规则，使得这个集合能够进行向量加法和数乘运算，并且满足向量加法和数乘运算的一些基本性质。
2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中的又一个重要概念，它由一些实数排成的矩形数组组成。
一个m行n列的矩阵可以用下面的形式表示：A = [a_{ij}]_{m×n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}其中a_{ij}是矩阵A的第i行第j列的元素，m和n分别为矩阵的行和列数。
可以定义矩阵的加法、数乘、和矩阵乘法这三种运算。
3. 线性变换和矩阵表示线性变换是一种多项式函数，它是线性代数中非常重要的一个概念。
线性变换就是把一个向量空间的向量映射为另一个向量空间的向量，且满足线性性质。
在矩阵中，每个向量都可以用一个n维列向量的形式表示。
在一个向量空间V中的线性变换，可以用矩阵A表示。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第一章 1.6
1 2 0 0
3
4
0
0
B = 5 6 6 5,
7
8
4
3
9 10 2 1
计算 AB.
解法一 直接求矩阵 A55 和 B54 的乘积.
1 2 1 0 0 1 2 0 0 12 16 6 5
2
0
0
1
0
3
4
0
0
9
12
4
3
AB = 3 1 0 0 1 5 6 6 5 9 12 2 1 .
显然将一个矩阵分块的分块方法很多,其中有两 个分块矩阵应予特别注意,这就是按列分块矩阵 和按行分块矩阵.
设 mn矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2 n
,
amn
把 A 的每个列作为一个子块,即在列的方向分成
n 块,就得到 A 的按列分块矩阵,记为
A = a1,a2, ,an ,
A 为分块对角阵如(1.25)式,则
(1) det A det A1 det A2 det As;
A1k
(2)
Ak
=
A2k
;
Ask
(3) A 可逆当且仅当子块 A1 , A2, , As 均可逆,且当 A 可逆时,
A11
A1
=
A21
.
As1
例 1.42 设六阶方阵
2 1
1
2
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
大学数学线性代数及应用
大学数学线性代数及应用线性代数是一门基础而又重要的数学课程，它的研究对象是线性空间及其上的线性变换。
线性代数是数学领域中最常用的工具之一，它在物理、工程、计算机科学等领域发挥着重要作用。
首先，线性代数的一个基本概念是线性空间。
线性空间是指一个非空集合V，其中存在两种运算，即加法和数乘，满足如下性质：（1）加法的闭性：对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v也在V中。
（2）加法的结合律：对于任意三个向量u、v、w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
（3）加法的交换律：对于任意两个向量u、v∈V，有u+v=v+u。
（4）加法的有零元素：存在一个0∈V，对于任意向量u∈V，有u+0=u。
（5）加法的有负元素：对于任意向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+v=0。
（6）数乘的结合律：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(a+b)u=au+bu；（7）数乘的分配律1：对于任意标量a∈F和向量u、v∈V，有a(u+v)=au+av；（8）数乘的分配律2：对于任意标量a、b∈F和向量u∈V，有(ab)u=a(bu)；（9）数乘的单位元：对于任意向量u∈V，有1u=u。
这些性质构成了线性空间的基本性质，可以看出，线性空间具有很强的结构性。
事实上，很多抽象的概念都可以用线性空间来描述。
其次，线性变换是线性代数中的重要概念之一。
线性变换是指一个线性空间到另一个线性空间的映射，它保持加法和数乘运算，即对于任意向量u、v∈V和标量a∈F，有：T(u+v)=T(u)+T(v)T(au)=aT(u)其中，T表示线性变换，也可以称为线性映射。
线性变换具有很多基本性质，例如：（1）零空间：线性变换T的零空间是指所有被T映射为0向量的向量所组成的空间，记为ker(T)。
显然，零空间是线性子空间。
（2）像空间：线性变换T的像空间是指T作用于来源空间的所有向量所组成的空间，记为Im(T)。
显然，像空间是线性子空间。
（3）可逆性：线性变换T如果存在逆变换T-1，即对于任意向量u∈V，有T-1(T(u))=u，那么称T是可逆的。
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明文“SEND MONEY”对应的9个数值3列被排成以下 矩阵
19 4 14 B 5 13 5 14 15 25
矩阵乘积
1 AB 2 2 2 5 3 1 19 4 14 43 45 49 3 5 13 5 105 118 128 2 14 15 25 81 77 93
网络流问题
网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一 些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。 例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的 市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电 路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商 的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的 方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。 一个网络包含一组称为接合点或节点的点集， 并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流 的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显 示或用变量标记。
脱脂牛奶是蛋白质的主要来源，但包含过多的钙， 因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少 量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上 乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多 的碳水化合物… 在这里我们把问题简化，看看这个问题在小 规模下的情形。表1是该食谱中的3种食物，以及 每种食物100克所含有的各种营养成分。
表 1 每100克食物所含营养（g） 减肥所要 求的每日 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 营养量 36 51 34 7 13 74 1.1 33 45 3
营养
蛋白质
碳水化合物 52 脂肪 0
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那 么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这 个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的 每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位， 大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条 件得
我们利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密文”后再行传送，以增 加破译的难度。若矩阵A的元素均为整数，而 且其行列式|A|=±1，那么由 A-1=A*/|A| 可知， A-1的元素均为整数。我们可以利用这样的 矩阵A来对明文加密。现在取
1 2 1 A 2 5 3 2 3 2
线性代数及其应用
密码问题
密码问题 矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是 基于利用可逆矩阵的方法。先在26个英文字母与数字 间建立起一一对应，例如
A B 1 2 Y Z
25 26
若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码， 则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25， 其中5表示字母E.
对应着将发出去的密文编码： 43，105，81，45，118，77，49，128，93 合法用户用A-1去左乘上述矩阵即可解密得到明文。
43 45 49 1 1 1 43 45 49 19 4 14 A1 105 118 128 2 0 1 105 118 128 5 13 5 81 77 93 4 1 1 81 77 93 14 15 25
网络流的基本假设是全部流入网络的总流 量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一 个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于 是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描 述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如 网络的输入）已知时，求每一分支的流量。
电路问题
电路问题
在工程技术中所遇到的电路，大多数是很 复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式 互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件 的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的 会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说， 就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。 对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫 （Kirchhoff）定律来解决。以图-2所示的电路 网络部分为例来加以说明。
36 x1 51x2 13x3 33, 52 x1 34 x2 74 x3 45, 7 x2 1.1x3 3.
方程组的近似解：
x1 0.2772,
x2 0.3919,
x3 0.2332.
即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日 需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克， 乳清23.32克。
射雕英雄传
第二十九回 黑沼隐女
黄蓉被裘千仞打伤，郭靖带黄蓉去求见一灯 大师疗伤。在半途的一个沼泽中遇到瑛姑。 当时瑛姑正在做筹算。金庸写道： 她（瑛姑）双目直瞪黄蓉，忽然手指内室， 说道：“跟我来。”拿起一盏油灯，走了进 去。郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙 壁围成圆形，地下满铺细沙，沙上画着许多 横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天 元”、“地元”、“人元”、“物元”等字。
郭靖看得不知所云，生怕落足踏坏了沙上符 字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导，颇精历数之术，见到地下符字，知道 尽是些术数中的难题，那是算经中的“天元 之术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法， 也无甚难处。 按：上述天元之术即今日代数中线性方程组， 我国古代算经中，天、地、人、物四字即相当 于今天代数中的 x、y、z、w 四个变量。 无疑，金庸先生认为消元法是很简单的。当 然金庸又说了郭靖是不知所云是一种在20世纪80年代曾经很流行的食 谱，是由Alan H. Howard领导的科学家团队在剑 桥大学经过8年对过度肥胖病人的临床研究得到的。 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、 高质量的蛋白质和脂肪、维生素、矿物质、微量 元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营 养，Howard在食谱中加入了多种食品。每种食品 供应了多种所需要的成分。