线性代数应用实例
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数的应用举例
三、人口迁徙模型
• 设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则 设在一个大城市中的总人口是固定的。 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有 的 市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市 市区居民搬到郊区去住，而有 的郊区居民搬到市 假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民 的居民住在市区， 区。假如开始时有 的居民住在市区 的居民 住在郊区， 住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多 年后市区和郊区的居民人口比例是多 少？30年、50年后又如何？ 年 年后又如何？ 年后又如何
x1
x4
D
260
x2
B 220 292
C 357
x3
单行道4节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交通图
320
• 问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都 问题：某城市有如图的交通图， 是单行道， 是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车 流量。 流量。 • 针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相 针对每一个十字路口， 等。 • 请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流 量xi（i=1,2,3,4） （ ）
一、药方配制问题
问题：某中药厂用 种中草药 种中草药（ ）， ），根据不同的比 问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比 例配制成了7种特效药 各用量成分见表1（单位： 种特效药， 例配制成了 种特效药，各用量成分见表 （单位：克） （1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和 ）某医院要购买这 种特效药，但药厂的第 号药和 种特效药 号药已经卖完， 第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两 号药已经卖完 种脱销的药品。 种脱销的药品。 种草药配制三种新的特效药， （2）现在该医院想用这 种草药配制三种新的特效药， ）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药 给出了三种新的特效药的成分， 表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？ 给出了三种新的特效药的成分 请问能否配制？ 如何配制？ 如何配制？
浅谈线性代数的一些应用实例
浅谈线性代数的一些应用实例一、关于矩阵运算的应用1．数学期望值准则。
把各种行动方案看成不同的随机变量，每个方案对应若干种状态，假设它们的概率是已知的，每个方案在各种状态下的效益看成随机变量的取值。
数学期望准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。
如果决策目标是利润、效益等最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是成本、损失等最小，则采用期望值最小的行动方案。
用X表示各行动方案的集合，N表示各具体行动方案所处各种状态的集合，它们的概率写成向量P，效益值写成矩阵A（其中，列向量代表不同的随机变量在各种状态的取值）：N=(N1,・・・,Nn)，P=(P1(N1),・・・,Pn(Nn))，X=(X1,・・・,Xm)，A=(aij)m×n。
则数学期望E(X)=(E(X1),・・・,E(Xn))=PA，决策就是确定向量E(X)的最大分量或最小分量所对应的行动方案。
例某投资者要在两种产品间作投资选择：生产领带或旅游鞋。
生产领带需投资800万元，生产旅游鞋需投资1000万元。
两者的生产年限都是8年，估计在此期间两个方案的产品销售状况出现好、中、差的概率都是0.5、0.3、0.2。
生产领带在好、中、差的状况下的年纯利润分别为400万元、300万元、50万元；生产旅游鞋在好、中、差的状况下的年纯利润分别为500万元、400万元、120万元。
试按数学期望值准则对这两种方案进行决策。
解：P=(0.5,0.3,0.2)，A=■T，X1=产领带，X2=产旅游鞋。
令Y=8X－Y0，这里Y0=(800,1000)，则EY=8(EX)－Y0=8PA－Y0=(1600,2152)，因此应采取生产旅游鞋方案。
2．矩阵乘幂的应用。
例某高校所在地本地学生度周末有回家和在校两种选择。
统计数据显示，本周末回家的学生，下周末回家的几率为2/5，本周末在校的学生下周末在校的几率是1/5。
已知第一周末有30%本地学生回家。
线性代数应用案例资料
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
40（kg）
50（kg）
60（kg）
70（kg）
1.5
60
80
70
20
1.6
30
120
150
90
1.7
10
15
80
150
1.8
0
2
5
10
如果只反映1.5米与体重的关系，则可以用（60 80 70 20）；如果只反映60kg与身高的关系，则可以用 。
线性代数在实际生活中应用实例
大陆桥视野
线性代数在实际生活中应用实例
靳宝霞 ／ 广西科技大学鹿山学院
【摘 要】 线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。 随着科学技术的发展， 特别是电子计算机使用的日益普遍， 作为重要的数学工具之一， 线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言，仍然感 到其理论比较枯燥，不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方，本文将举出几个其在实际生活中的例子来展示线性代数应用的广泛性， 同时也能更好的加深学生对知识点的理解。 【关键词】线性代数； 矩阵； 方程组
162 大陆桥视野·２０１５ 年第 ２０ 期
教育教学・Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
探讨建立高职室内设计专业模拟实验的教学模式
谢复兴 ／ 湖南城建职业技术学院
【摘 要】 高职教育是我国面向社会培养技术人才的主要教育模式， 高职室内设计专业在三年的教学时间中， 既要培养出熟悉装饰工程技术， 又有一定设计能力、艺术修养的人才，其有效的途径就是要做充足的模拟实验和实训教学。本文就高职室内设计专业模拟实验的方法做出讨论， 希望对提高高职室内设计专业教学效果有所帮助。 【关键词】高职；室内设计；模拟实验；教学
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
建筑的室内设计是设计者根据建筑的具体结构，综合运用建 筑结构与装饰材料对室内空间进行合理的组织利用，创造出满足 用户需求的生活、生产空间与环境。从定义上看，环境、材料、 空间结构对于室内设计工作的影响很大。高职室内设计专业教育 作为向建筑室内设计劳动市场输送人才的主要渠道，毕业生从学 校出来就要进入工作岗位，甚至需要熟练的技能去找工作，因此， 对于高职教育，提高学生的技能水平是关键。高职教育中，模拟 实验对于学生的技能提高十分有效。 而我国高职教育在教学方式上，很多需要重点应用模拟实验 的学科，在硬件设备和课程安排上都起不到很好的效果，甚至， 我国的高职教育越来越倾向于普通高等教育，高职院校都在申请 成为普通本科学校，在学术研究上面下的功夫太大，造成了高职 院校重理论而轻实践的错误倾向，高职学生，尤其是像室内设计 这样专业的学生，并不适合。 一、高职室内设计专业模拟实验存在的问题 （一）高职室内设计专业模拟实验与课堂教育的传统观念差 别较大 我国无论是在哪个阶段的教育教学中，都脱离不了课堂就是 按课本教书的传统观念。而对于室内设计专业的内容，在装饰环 境设计上要重点考虑空间环境、心理环境、声光热等物理环境、 通风环境等的设计，在空间设计上分为室内居住空间设计、室内 办公空间设计、室内公共空间设计等等，这些方面的教学单单靠 书本是学不来的。 课堂教学的内容往往从理论出发，交给大家经典理论了前沿 观念，甚至比较超前，这些教学虽然给学生开阔了眼界，并且提 高了品味，树立了理论方向，但学生在学习中，并不一定理解， 且不会与实际对照，很难融会贯通。 （二）模拟实验案例缺乏 模拟实验教学对于高职室内设计的专业的教材上包括的内容， 很难做到全面，不是所有的章节都有模拟实验，模拟实验的内容 也比较单一，加上教材更新慢，实验有可能不具有代表性，不具 有时代感。 同时，我国高职院校由于专业众多，学校师资力量有限，专 门为一个专业设置实验室的能力十分有限。因此，就要依托社会 的实训模拟机会，而我国典型的室内设计机会不会允许实习学生 参与，学校只能寻找一些小的设计公司或是居民室内设计项目， 越小的项目之间差别越小，教学中能涉及到的内容也不多。即便 这样，实习机会依然难得，依托社会给学生找锻炼机会并不轻松， 不是每名学生都能得到锻炼机会。 （三）模拟实验硬件需要不断的完善 室内设计专业对专业模拟实验十分的依赖。模拟实验在设计 表现、功能实现、艺术创意、文化传达、思维拓展等环节的教学
应用线性代数解决实际问题
应用线性代数解决实际问题线性代数作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等。
它不仅是数学家们研究的重要工具，更是解决实际问题的有效途径。
本文将通过具体案例，介绍线性代数在实际问题中的应用，从而展示其强大的解决能力。
案例一：网络流量优化现代社会离不开互联网，而网络流量的优化是提高互联网服务质量的重要问题之一。
假设我们有一组服务器，每个服务器的带宽和消耗成本有所不同，现在需要将用户的请求合理地分配到这些服务器上，以最大化带宽利用率并最小化消耗成本。
这就可以转化为一个线性代数中的线性规划问题。
首先，我们可以用一个向量表示服务器的带宽，用另一个向量表示服务器的消耗成本。
设请求到达的向量为x，那么我们的目标就是最大化带宽利用率和最小化消耗成本，可以构建如下优化模型：maximize cᵀx subject to Ax ≤ b其中，c是服务器的消耗成本向量，x是请求到达的向量，A是服务器带宽的矩阵，b是服务器的带宽上限。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最佳的请求分配方案，从而实现网络流量的优化。
案例二：图像处理线性代数在图像处理中有着广泛的应用。
以黑白图片为例，可以将其表示为一个矩阵，其中的元素代表每个像素点的灰度值。
通过矩阵的加减、乘除运算，以及线性变换等操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等处理效果。
举个例子，假设我们想要将一张黑白图片的亮度增加一倍。
我们可以将这张图片表示为一个矩阵A，然后构造一个倍增矩阵B，即每个元素都是2。
通过这两个矩阵的乘法运算，即可实现亮度的增加。
这个过程可以用下面的表达式表示：A' = BA其中，A'表示亮度增加后的图像矩阵。
通过线性代数的运算，我们可以方便地实现图像处理中的各种效果。
总结线性代数作为数学的重要分支，具有广泛的应用领域。
本文通过网络流量优化和图像处理两个具体案例，展示了线性代数在实际问题中的应用。
线性代数的强大解决能力不仅能帮助我们解决现实生活中的问题，同时也为我们提供了一种思维方式和方法论。
第7章 线性代数在工程中的应用实例
第7章在科技及工程中的应用实例 (1)7.1 由拉压杆组成的桁架结构 (1)7.2 格型梯形滤波器系统函数的推导 (1)7.3 计算频谱用的DFT矩阵 (2)7.4 显示器色彩制式转换问题 (4)7.5 人员流动问题 (5)7.6 二氧化碳分子结构的振动频率 (5)7.7 二自由度机械振动 (6)7.8 FIR数字滤波器最优化设计[12] (8)7.9 弹性梁的柔度矩阵 (9)7.10 用二次样条函数插值5个点 (11)7.11 飞行器三维空间运动的矩阵描述 (12)7.12 金融公司支付基金的流动 (14)7.13 质谱图实验结果分析 (15)7.14 用特征方程解Fibonacci数列问题 (16)7.15 简单线性规划问题 (18)第7章 在科技及工程中的应用实例7.1 由拉压杆组成的桁架结构由13根拉压杆件组成的桁架结构，如图7-1所示，13个平衡方程已给出，它们来自6个中间节点，每个节点有x,y 两个方向的平衡方程，还有一个整体结构的y 方向平衡方程。
现求其各杆所受的力。
解：按照题给方程组改写成矩阵形式，令112211cos 14/16^214^20.6585cos 16/16^216^20.7071sin 16/16^214^20.7526k k k θθθ==+===+===+=列方程时假设各杆的受力均为拉力，其相应的方程组及化为矩阵后的形式为： 22122634152121335718438910156935211721112123813211F +k F =0 k 100000000000-F +F =0 0-F =2000F +k F -k F =0k F +F +k F =-1000F +k F -F =0 k F +F = -500F -k F -F =0 F +k F = 4000k F -F =0, k F +F =-500F +k F = 2000F +k F =0⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭2123131322321000100000000010000000000-k 001k 00000000k 0 10k 00000000000-1001k 000000000000k 100000000-k -100010000000k 00010000000000-1000k 000000000000k 100000000k 000100000000000k 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦12345678910111213F 0F 0F 2000F 0F -1000F 0F -500(7.1.1)0F 4000F 0F -500F 2000F 0F ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦ 将它看作A*F=B ，编成的程序为pla701，核心语句为给A,B 赋值，再求F=A\B ，结果为： F=[ -7236; 5117; 2000; -6969; 2812; 5117; -4883; -3167; 1883; 6969; -6906; 4383; 4883 ] 其中负号表示杆受的是压力。
线性代数论文
论线性代数的应用实例线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
在日常学习、工作和生活中，有很多问题，运用线性代数的方法就可以使问题简化，以下举一些线性代数的应用实例。
一、药方配制问题问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？解:(1)把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。
若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含3u，6u的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。
可使用matlab软件进行运算：在Matlab窗口输入1 2 3 4 5 6 7[10;12;5;7;0;25;9;6;8];[2;0;3;9;1;5;4;5;2];[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; [12;25;0;5;25;5;25;10;0]; [20;35;5;15;5;35;2;10;0]; [38;60;14;47;33;55;39;35;6]; [100;55;0;35;6;50;25;10;20];u u u u u u u =======1234567 [,,,,,,]u u u u u u u u =[0u ,r]=rref(u )计算结果为0u =10100000120030000101000001100000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从矩阵中可以看出，有四个零行，r=1、2、4、5、7从最简行阶梯型0u 中可以看 出，R （u ）=5，向量组线性 相关，一个最大无关组为： 1u 2u 4u 5u 7u3u = 1u +22u 6u =32u +4u +5u故可以配制新药。
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线性代数应用实例 ● 求插值多项式右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式230123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。
解：令三次多项式函数230123()p t a a t a t a t =+++过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++=+++=627931842033210321032100a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入：>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近似等于23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。
在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+L 上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()nn p t a a t a t a t =++++L 对()f t 进行插值。
● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。
根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
由于迟延算子z -1不是数，要用符号代替，所以取q = z -1，按照图示情况，可以写出：1223312311844x qx ux q x u x x =+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=写成矩阵形式为11223300231100844010q x x x q x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-+⇒ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x u x =Qx -Pu经过移项后，系统函数W 可以写成：W =x/u =inv(I -Q)*P 现在可以列写计算系统函数的MATLAB 程序ea705，syms q% 规定符号变量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q -1/4; Q(3,1)=1; % 给非零元素赋值 Q(3,3)=0;% 给右下角元素Q （3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零P=[2;1/4;0]% 给P 赋值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W = [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q) ][ -2*(3*q -2)/(-8+3*q^2-2*q)-2/(-8+3*q^2-2*q)] [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q)]我们关心的是以y =x3作为输出的系统函数，故再键入 pretty(W(3)) 整理后得到 1222116288(3)832 1.54 1.54y q q z W u q q q q z z -----++====-+--++-++用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。
信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为,d d d d d d d d d d 111121u b t u b tu b y a t y a t y a t y a m m m m n n n n n ++-+++=++++ΛΛ n ≥m已知y 及其各阶导数的初始值为y (0)，y (1)(0)，…，y (n-1)(0)，求系统的零输入响应。
解：当LTI 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）t p n t p t p n C C C t y e e e )(2121+++=Λ其中p 1，p 2，…，p n 是特征方程a 1λn +a 2λn -1+…+ a n λ+ a n +1=0的根，它们可用roots(a)语句求得。
各系数C 1，…，C n 由y 及其各阶导数的初始值来确定。
对此有C 1+ C 2+…+C n = y 0 y 0 = y (0)p 1C 1+ p 2C 2+…+ p n C n =D y 0 (D y 0表示y 的导数的初始值y (1)(0))…………………………………011212111D y C p C p C p n n n n n n ----=+++Λ写成矩阵形式为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0100211121121D D 111y y y C C C p p p p p p n n n n n n n M M ΛM O M M ΛΛ 即 V ·C = Y 0 ， 其解为 C =V \ Y 0式中 112000[,,,];[,D ,,D ]n n C C C y y y -==T T0C Y L L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1121121111n n n n n p p p p p p ΛM OMM ΛΛV V 为德蒙矩阵，在MATLAB 的特殊矩阵库中有vander 函数可直接生成。
MATLAB 程序ea703.ma=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]= '); n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]= '); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf= ') t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t)); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t ，y)，grid⏹ 程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[3，5，7，1]; dt=0.2; tf=8;而Y0取[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]三种情况，用hold on 语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。
● 减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。
营养 每100g 食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪71.1312用量为x 3个单位（100g ），表中的三个营养成分列向量为：图2 三阶系统的零输入响应12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MATLAB 解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为27.7g ，大豆面粉的用量为39.2g ，乳清的用量为23.3g ，就能保证所需的综合营养量。
人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。
人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。
每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。
假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。
把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例，x s 为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。
在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
一年以后，市区人口为x c1= (1-0.02) x c0+0.06x s0，郊区人口x s1= 0.02x c0 + (1-0.06)x s0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120kk k k x Ax A x A x --====L ,用下列MATLAB程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=A^10*x0 x30=A^30*x0 x50=A^50*x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。
为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。
在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果。
选u 1为稳态向量[0.25,0.75]T 的任意一个倍数，令u 1=[1,3]T 和u 2=[-1,1]T。
可以看到，用A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：110.940.02110.060.9833Au u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220.940.0210.920.920.060.9810.92Au u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031x u u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅-⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此0120.250.05(0.82)k k k x A x u u ==-式中的第二项会随着k 的增大趋向于零。