_线性代数_新教材精彩案例之一_李尚志
４ ３ ２ ） １ ５ １ ４ １ ３ １ ｎ（ ６ ｎ ＋１ ５ ｎ ＋１ ０ ｎ －１ Ｓ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ＝ ． ｎ＝ ５ ２ ３ ３ ０ ３ ０ 例 １ 的一次方程组左边好像一个上宽下窄的三角形 ， 可以由下而上依次求出各未知数的值 ． 如果一
次方程组不是三角形 ， 但可以通过同解变形化成三角形 ， 仍能够仿照例 １ 的方法求解 ． 中学用加减消去法解二元一次方程组 ， 将原方程分别乘常数再相加得到新方程 ， 则原方程组的解都 是新方程的解 ． 一般地 ， 方程组 Ｕ 的各方程分别乘常数再相加到新方程称为方程组 Ｕ 的 线性组合 ． 如果 原方程组 Ｕ 的每个方程也都是新方程组 Ｗ 的线 新方程组 Ｗ 的每个方程都是原方程组 Ｕ 的线性组合 ， 性组合 ， 则方程组 Ｕ 与 Ｗ 同解 ， Ｕ →Ｗ 是同解变形 ． 易见方程组的如下三种变形是同解变形 ， 称为方程组的 初等变换 ． （ ）将第ｉ 个方程与第ｊ 个方程互相交换位置 ， 记为 Ｕ →Ｗ ． ｉ （ ）将第ｉ 个方程两边同乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． （ ）将第ｉ 个方程的λ 倍加到第ｊ 个方程 ： ｉ ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， ） 例 ２ 二次函数 ｙ＝ｆ（ 的图象经过三个已知点 求 ｆ（ ｘ １， １ ２， ２ ３， ０ ４ ．
烄 １ ０
） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３
烄 １ １ １
１烌
０ 烆 －２ ０烌 ２ －３ 烎
２ ８ －１ 烎
烄 １ ０ ０
－３烌 １ １ ２ ． ３ ２烎
→ ０ １ ３ ０ 烆
烄 ｃ
（ ） ） ， ） ） －２ ２ ＋（ ３ －（ ２ ＋（ １
３ ａ ａ ０ ａ ０， ３ －６ ４ ＋１ ５＝ ４ ａ ０ ａ ０， ４ －１ ５＝ ５ ａ １． ５＝
（ ） １ （ ） ２ （ ） ３ （ ） ４ （ ） ５
烅
烆
解得ａ ５） 由方程 （ ５＝ １ 得到 ａ ． １ ＝－ ３ ０
１， １， １， ， 代入方程（ 解出ａ 由 下 而 上 依 次 代 入， 解得ａ ４） ａ ４＝ ３＝ ２ ＝０ ５ ２ ３
（ ） １． ２
ａ ａ ａ ｂ＝ ｂ ２ ． １＝ １ ， ２＝ ２ ， ３＝ ４ ，
１ 烆 烎 ３ 烆 烎 ９ 烆 烎 在空间直 角 坐 标 系 中 分 别 以 ａ 如 果Ｏ ａ ａ ｂ 为 坐 标 作 几 何 向 量Ｏ Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ ， Ｏ Ｂ． Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， １， ２， ３，
１ →Λ＝
３ ） （） （ ） ） ， ３ ＋（ １ － （ ３＋１ ２
０ １ ０
０
烆
０ ０ １ －
＝－３，
１ １ ｂ＝ ， 最后得到的矩阵 Λ＝烅 ２
烆
ａ＝－
３ ． ２
直接给出了原方程组的解 ， 仍得 １ ３ ２ １ ） ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－３， ４ ＝－５． ｆ（ ｆ（ ２ ２ 例 ３ 在一次智力测验中 ， 老师写出某个数列的前两项 １， 让学生按照前两项的规律写出第 ３ 项 ， ２， 有的学生写 ３， 有的学生写 ４， 老师都判为正确 ． 有一个学生给的答案是 ０， 老师判为错误 ． 试给出某个数列的通项公式使这个数列的前 ３ 项依次是 １， 来说明这个学生的答案也是正 确 ２， ０， 并按照这个通项公式写出第 ４ 项 ． 的， ３ ２ １ １ 解 与例 ２ 同样可求出二次函数 ｆ（ 以 ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－４ 满 足 ｆ（ １） ＝１， ２） ＝２， ３） ＝０． ｆ（ ｆ（ ２ ２ ３ ２ １ １ ） 第 ４ 项为 ｆ（ ａ ｎ） ＝－ ｎ ＋ ｎ－３ 为通项公式的数列的前 ３ 项就是 １， ２， ０． ４ ＝－５． ｆ（ ｎ＝ ２ ２ 例 ４ 方程组
ｂ ｙ＋ ｚ＝ １， ｘ＋２ ｚ＝ ｂ 烅 ｙ＋４ ２，
烄 ｘ＋
（ ） １． １
ｘ＋３ ｚ＝ ｂ ｙ＋９ ３ 烆
是否对任意实数ｂ ｂ ｂ １， ２， ３ 都有惟一解？ ） 解 方程组 （ 可以写成向量形式 １． １
ｘ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ｚ ａ３ ＝ ｂ ｙ
的形式 ， 其中
烄 烌 １ 烄 烌 １ 烄 烌 １ 烄 烌 ｂ １
５ ４ ） ， 满足恒等式 ｆ（ 则 式 ｆ（ ｎ） ＝ ａ ａ ｎ＋ … ＋ ａ ｎ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ０＋ １ ５ ４ ４ ４ ｎ Ｓ ｎ ＝１ ＋２ ＋ … ＋
） ） ） ） ） ） ） ） ＝（ １ －ｆ（ ０ ＋（ ２ －ｆ（ １ ＋ … ＋（ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ｆ（ ｆ（ ｆ（ ） ＝ｆ（ ｎ） －ｆ（ ０ ． ） ， 只要取 ｆ（ 则Ｓ 对所有的正整数 ｎ 成立 ． ０ ＝ ａ ｎ） ｆ（ ０ ＝０ ｎ＝
将方程组 （ 通过一系列初等行变换化成三角形 ： Ｕ） （ Ｕ） →烅
烆 ） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３ 烄 ｃ＋ 烄 ｂ＋ ａ＝１， ｃ＋ ｂ＋ ａ＝１， （ ） ） －２ ２ ＋（ ３ ｂ＋３ ａ＝１， ａ＝１， →烅 ｂ＋３ 烆
（ Ｔ）
第２ ７ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ７， №． ４ Ａ ｕ ． ２ ０ １ １ ｇ
《 线性代数 》 新教材精彩案例 （ 之一 ）
李尚志
（ ） 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ １
２ ｂ＋８ ａ＝－１
２ ａ＝－３．
１ １ 从三角形方程组 （ 由下而上解出 ａ＝－ ３ ， 所求函数 Ｔ） ｂ＝ ， ｃ＝－３． ２ ２ ３ ２ １ １ ） ｘ） ＝－ ｘ ＋ ｘ－３， ４ ＝－５． ｆ（ ｆ（ ２ ２ 考察以上例 ２ 通过初等变换化简方程组的过程可以发现 ， 实际上只有各项系数参与了加 、 减、 乘、 除 运算 ， 表示未知数的字母并没有参加运算 ． 可以将代表未知数的字母略去 ， 将等号也略去 ， 只剩下各项系 数及常数项 ， 将例 ２ 的线性方程组用矩形数表
３ 精彩案例
线性方程组 ． １．
４ ４ ４ 例 １ 已知正整数 ｎ， 求１ ＋２ ＋…＋ ｎ ．
ｋ ｋ ｋ ｋ ， ） 分析 Ｓ 是ｎ 的函数Ｓｎ ＝ｆ（ 满足条件 ｆ（ ｎ ｎ） ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ． ｎ ＝１ ＋２ ＋ … ＋
２
大 学 数 学 第 ２ ７卷 ） 如果ｆ（ 是多项式 ， 则 Δｆ＝ｆ（ 是比ｆ（ 低一次的多项式 ． 用待定系数法求５ 次多项 ｎ） ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ｎ）
２ ３ ４ ５ ４ ） ， 解 将 Ｓ 代入 ｆ（ 整理并比较对应项系 ｎ） ＝ ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ＋ ａ ｎ ｎ） －ｆ（ ｎ－１ ＝ ｎ ｆ（ ｎ＝ １ ２ ３ ４ ５ 数， 得
烄ａ １－
ａ ａ ０， ２＋ ａ ３－ ａ ４＋ ５＝ ２ ａ ａ ａ ａ ０， ２ －３ ３ ＋４ ４－ ５ ５＝
《 第 ４ 期 李尚志 ： 线性代数 》 新教材精彩案例 （ 之一 ）
烄 烌 １ １ １ １
３
Ｍ＝ １ ２ ４ ２
１ 烆 为矩阵的 初等行变换 ． （ ）将第ｉ 行与第ｊ 行互相交换位置 ： ｉ Ｍ →Ｍ１ ． （ ）将第ｉ 行乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｍ →Ｍ１ ． （ ）将第ｉ 行的λ 倍加到第ｊ 行 ： ｉ ｉ ｉ Ｍ →Ｍ１ ． 例 ２ 的方程组的变形过程成为用初等行变换化简矩阵 Ｍ 的过程 ：
２ 解 设所求二次函数为 ｆ（ 其中 ａ， 则 ｘ） ＝ ａ ｘ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ， ｂ， ｃ 是待定常数 ， 烄 ｃ＋ ｂ＋ ａ ＝１，
（ ， ） ｉ ｊ
） ｉ λ（
） ） ｉ ＋（ λ（ ｊ
烅 ｃ＋２ ｂ＋４ ａ ＝２，
（ ） ６ （ ）（ ７ Ｕ） （ ） ８
ｂ＋９ ａ ＝０． 烆 ｃ＋３
烄 烌 １ １ １ １ ） ） ｉ ＋（ λ（ ｊ ） ｉ λ（ （ ， ） ｉ ｊ
３ ９ ０ 烎
来表示 ． 这样的矩形数表称为 矩阵 ． 线性方程组的三类初等变换分别由 矩 阵 的 各 行 的 如 下 变 换 表 示 ， 称
Ｍ ＝ １ ２ ４ ２ → ０ １ ３ １ １ 烆 ３ ９ ０ 烎
ｂ ３ 烆 烎 → → → →
→ →
４
→ →
大 学 数 学 第 ２ ７卷
→
则它们组成空间的一 组 基 ， 空 间 每 个 向 量Ｏ 满足条件 Ｏ Ａ３ 不共面 ， Ｂ在 这 组 基 下 有 惟 一 的 坐 标 （ ｘ， ｚ） ｙ， （ ） ） 就是方程组 （ 的惟一解 ， 也就是原方程组 （ 的惟一解 ． Ｏ Ｂ＝ｘ Ｏ Ａ１ ＋ Ｏ Ａ２ ＋ ｚ Ｏ Ａ３ ． ｘ， ｚ） １． ２ １． １ ｙ ｙ， 三个向量Ｏ Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ 共 面 其 中 某 个 向 量 是 另 外 两 个 向 量 的 线 性 组 合 方 程 组 ｘ ａ１ ＋ｙ ａ２ ＋ ｚ ａ３ ＝０ 有非零解 当ｂ ｂ ｂ １＝ ２＝ ３ ＝０ 时原方程组有非零解 ． 将ｂ 解之得惟一解 （ 可见Ｏ 组 ｂ ｂ ｘ， ｚ） ＝（ ０， ０， ０） ． Ａ１ ， Ｏ Ａ２ ， Ｏ Ａ３ 不共面 ， ｙ， １＝ ２＝ ３ ＝０ 代入原方程组 ， 成空间的一组基 ， 原方程组对任意实数ｂ ｂ ｂ １， ２， ３ 有惟一解 ． 例 ４ 的推广 ： …， …， …， ， 一般地 ， 任给一组向量 ａ 如果方程 ｘ ａ ａ ｘｍ ａ１ ＝０ 有非零解 （ ｘ ｘｍ ） ０， ０） ≠（ １， ｍ， １ １＋ … ＋ １， …， …， …， ） ， 就称向量组 ａ 如果只有惟一解 （ 就称这个向量组 线性无关 ． ａ ｘ ｘｍ ） ＝（ ０， ０ １， ｍ 线性相关 ， １， 任意 ｎ 元线性方程组
李尚志为非数学专业编写的 《 线性代数 》 教材已于 ２ 本文介绍了 ０ １ １ 年 ８ 月由高等教育出版社出版 ． 书中一部分精彩内容 ．
在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算课件
线性代数概念引入 之四: 矩阵运算
李尚志 中国科学技术大学
矩阵乘法
1. 线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P‘的 坐标(x',y')之间的函数关系式.
(2) 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角α得到 直线 lα. 平面上任一点P关于直线 lα的对称 点为 P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的坐标
A = (A1,…,An) = x1A1+…+xnAn.
3、行变换: B AB 列变换: B BA A：施工方案，B：被施工的材料
例.
5. 初等变换与初等矩阵 解。 B AB 与 I AI 经过相同的行变换。
谢谢
将 X,B 按列分块, A(X1, … ,Xk)=(B1,…,Bk) 即 (AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk), AXj = Bj (j=1,2,…,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换:
(A B) (I X），X=A-1B。 2、
• 函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘:
2. 线性映射的矩阵 • f : 自变量
• 旋转
因变量
• 轴对称
• 一般地, 考虑映射 f: X=
Y=
• 如果每个 yi 都是 x1 ,…, xn 的一个线性函数
• 决定, 则映射 f: X Y由 m 个行向量 fi 决定. • f 称为线性映射. 写成
看作矩阵 A=
与列 X 相乘的结果.
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
从问题出发引入线性代数概念 李尚志
从问题出发引入线性代数概念*李尚志 (北京航空航天大学理学院 北京 100083)线性代数是大学最重要的基础课程之一.它的内容比起另一门最重要的基础课一微积分要少得多,但是还是有很多学生感到线性代数难学,特别是难以入门,其主要原因在于线性代数一开始就从天而降许多抽象的概念,将初学者先打了 一百杀威棒 .在我们通过建设国家精品课程!线性代数∀形成的十五规划教材!线性代数∀(李尚志著,高教出版社,2006)中,为了帮助初学者克服学习抽象概念时所遇到的困难,我们不是从定义出发而是从问题出发来组织课程内容,首先提出一些重要而又能引起学生兴趣的问题,引导学生一步步建立数学模型来描述和解决这些问题,在解决问题的过程中引出概念和方法.本文介绍的是其中两个例子.更多详细的例子请参见我们的教材.一、线性相关与线性无关问题1 试研究线性方程组的解集大小与方程的个数的关系大体上,我们感觉到,方程越多,解集越小.但是,什么叫 方程的个数 ?怎样衡量 解集的大小 ?这并不是一件简单的事情.比如,线性方程组x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)3x +2y +6z =0(3)(1.1)中有几个方程?这个问题看来很容易:3个方程!但是,容易看出,方程(3)可以由方程(1),(2)相加得到,假如将方程(3)删去,保留其余的两个方程,得到的方程组x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)(1.1#)与原方程组(1.1)同解.可以认为两个方程组(1.1),(1.1#) 实质上 是相同的.既然方程(3)可以由其余两个方程相加得出来,将它删去不会改变原方程组的解,就可以认为方程(3)是 多余的 ,方程组(1 1)中实质上没有3个方程,只有两个方程.由此看来,要讨论方程组中方程个数与解集大小的关系,首先要对 方程个数 进行 打假 .如果某个方程是其余方程的组合,这个方程就可以认为是 多余的 ,可以从方程组中删去而不改变解集.如果剩下的方程还有多余的,就再删去.不断删去多余的方程,将 打假 进行到底,直到剩下的方程没有一个是多余的,一个都不能少,这时的方程个数可以认为是 货真价实 的.如果一个方程组中有某个方程是其余方程的线性组合,就称这个方程组中的方程线性相关.如果其中每个方程都不是其余方程的线性组合,就称这些方程线性无关.例1 线性方程组6高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M ATHEMA T ICS V o.l 9,N o.5Sep .,2006*收稿日期:2006-04-24x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)x -3y +13z =0(3)(1.2)中的方程是否线性相关?解 将3个方程依次记为u 1,u 2,u 3,看其中是否有某一个方程是其余方程的线性组合.每个方程都可以分别用它们的未知数系数和常数项组成的数组向量来表示.由于这里的方程的常数项全部为0,可以不必考虑,只用未知数系数来表示.这样,3个方程分别表示为u 1=(1,1,1), u 2=(2,1,5), u 3=(1,-3,13)先看是否可以用u 1,u 2组合出u 3,也就是说:是否存在常数 1, 2,使1u 1+ 2u 2=u 3(1.3)即1(1,1,1)+ 2(2,1,5)=(1,-3,13)(1.4)( 1+2 2, 1+ 2, 1+5 2)=(1,-3,13)(1.5) 1+2 2=1(1) 1+ 2=-3(2) 1+5 2=13(3)(1.6)这是以 1, 2为未知数的方程组.解之得 1=-7 2=4.这个答案告诉我们:-7u 1+4u 2=u 3(1.7)就是说:方程组(1.2)中的方程(2)的4倍减去方程(1)的7倍,就得到方程(3).直接计算容易检验确实如此.注意:例1中将向量等式(1.4)写成方程组(1.6)之后,向量u 1=(1,1,1)的3个分量分别成为3个方程中 1的系数,u 2=(2,1,5)的3个分量分别成为3个方程中 2的系数,u 3=(1,-3,13)的3个分量分别成为3个方程的常数项.如果在(1.3)中将u 1,u 2,u 3不写成行向量而写成列向量,就可以由1111+ 2215+1-313 即 1+2 2 1+ 2 1+5 2=1-313直接写出方程组(1.6).例2 在建立了直角坐标系的三维几何空间中,四点O (0,0,0),A (1,1,1),B (2,1,5),C (1,-3,13)是否在同一个平面上?解 O,A,B,C 四点共面 3个几何向量OA =(1,1,1),OB =(2,1,5),OC =(1,-3,13)中有某一个是其余两个的线性组合.由例1知=-7OA +4因此O,A,B,C 四点在同一个平面上.例3 求方程x 2+x +1+2x 2+x +5=x 2-3x +13的实数解.解 令u =x 2+x +1,v =2x 2+x +5,w =x 2-3x +13,则原方程成为u +v =w(1.8)在例1中已经求得-7(1,1,1)+4(2,1,5)=(1,-3,13).可见-7(x 2+x +1)+4(2x 2+x +5)=x 2-3x +137第9卷第5期 李尚志:从问题出发引入线性代数概念即-7u2+4v2=w2(1.9)将(1.8)代入(1.9)得-7u2+4v2=(u+v)2,整理得3v2-2uv-8u2=0.左边因式分解得(v-2u)(3v+4u)=0(1.10)易见当x为实数时,x2+x+1,2x2+x+5都是正实数,因此3u+4v>0.(1.10)仅当v-2u=0即v=2u时成立,即2x2+x+5=2x2+x+1.两边平方并整理得2x2+3x-1=0.易解出x=-3∃32+84=-3∃174.经检验它确实是原方程的解,因此就是原方程的全部实数解.例4 线性方程组x+y+z=02x+y+5z=0x-3y+4z=0(1.11)的3个方程是否线性相关?解 将3个方程分别用数组向量表示:u1=(1,1,1),u2=(2,1,5),u3=(1,-3,4).仿照例1,解方程组 1u1+ 2u2=u3,发现此方程无解.可见u3不是u1,u2的线性组合.再分别解方程组x1u2+x2u3=u1和y1u2+y2u3=u2发现它们都没有解.因此,方程组(1.11)的3个方程中没有一个是其余方程的线性组合,它们线性无关.例2中需要解三个方程组才能得出结论,太繁,也太笨.更好的办法是解一个方程组1u1+ 2u2+ 3u3=0(1.12)就能判断u1,u2,u3是线性相关还是线性无关.如果方程组(1.12)有使 1, 2, 3不全为0的解( 1, 2, 3),设其中 i%0,其余两个分量分别是 j, k,则i u i+ j u j+ k u k=0 u i=- ji u j-ki u ku i是u j,u k的线性组合.反过来,如果u1,u2,u3中有某一个u i是其余两个u j,u k的线性组合:u i=x j u j+x k u k,则u i-x j u j -x k u k=0,可见( 1, 2, 3)=(1,-x j,-x k)是(1 12)的非零解.这说明:如果(1 12)只有唯一的解( 1, 2, 3)=(0,0,0),则u1,u2,u3中每一个向量都不是其余向量的线性组合.例如,对例1中的u1,u2,u3解方程组(1 12),可以得到非零解( 1, 2, 3)=(7,-4,1),即7u1-4u2+u3=0.由此可得u1=47u2-17u3,还可得到u2=74u+14u3及u3=-7u1+4u2,可见u1,u2,u3中每个方程都是其余两个方程的线性组合,而对例4中的u1,u2,u3解方程得到唯一解( 1, 2, 3)=(0,0,0),可见u1,u2,u3线性无关.一般地,对于数域F上的一组n维数组向量u1&,u m,要判断是否有某个向量u i是其余向量的线性组合,只要看是否存在不全为0的数 1,& m使1u1+&+ m u m=0.(1.13)如果存在不全为0的一组数 1,&, m∋F使上述等式(1.13)成立,就称向量组u1,&,u m线性相关.此时其中某个u i是其余向量的线性组合.反之,如果等式(1.13)当且仅当 1=&= m=0时成立,就称向量组u1,&,u m线性无关,此时其中每个向量都不是其余向量的线性组合.线性方程由数组向量表示,如果表示方程组中各方程的数组向量线性相关(无关),也就是说方程组线性相关(无关).(下转第15页)8高等数学研究 2006年9月证 由于li m x (x 0f(x )g (x )-f(x 0)g (x 0)x -x 0=li m x (x 0f (x )g (x )x -x 0=li m x (x 0f (x )x -x 0li m x (x 01g (x )=f )(x 0)A ,故(f (x )g (x )))|x =x 0=f )(x 0)A注 定理5与定理6中的条件若改为f (x )在x 0左(右)可导或g (x )当x (x 0的左(右)极限存在,则结论相应地改为左(右)可导.有了这些定理,就可以对一些函数在特殊点的可导性作出迅速的判断.例如若f (x )=x,g (x )=|x |,则x ∃|x |在x =0不可导,但f (x )g(x )=x |x |=x 2, x ∗0-x 2,x <0在x =0可导,且(f (x )g (x )))|x =0=0.又如若f (x )=x -1,g (x )=a rcsin x,则f (x )∃g (x )=x -1∃arcsin x 在x =1不可导,而f (x )g (x )=(x -1)arcsin x 在x =1左可导,且左导数为 2;同时,f (x )g (x )=x -1arcsin x在x =1的左导数也存在,且为2.利用这些定理,可以判定某些函数在特殊点是否为不可导点,这为求极值,找拐点等问题的解决提供了方便.参考文献[1]同济大学数学教研室 高等数学(第四版) 高等教育出版社,1996[2]华东师范大学数学系 数学分析(第二版) 高等教育出版社,1991(上接第8页)不难看出,以上对线性相关和线性无关的定义并不依赖于其中的向量是数组还是方程还是几何向量还是多项式.只要这些向量能够做加法和数乘运算,而且加法和数乘运算满足我们所熟悉的那些运算律,以上定义就仍然适用,而且我们对线性无关和线性相关的性质的讨论仍然成立.如果线性方程组线性相关,必有某个方程是其余方程的线性组合,这个方程可以认为是多余的,将它从方程组中删去不会改变方程组的解.剩下的方程组如果仍然线性相关,再删去一个多余的方程.重复进行这一过程直到剩下的方程组成的方程组线性无关.最后剩下的这些方程组成的方程组与原方程组同解,其中不再有 多余 方程,所含方程的个数 货真价实 ,可以认为是原方程组的 真正个数 ,称为原方程组的秩.例如,例1中的方程组的3个方程线性相关,其中任何一个方程都是其余方程的线性组合,都可以从原方程组中删去,剩下的两个方程线性无关,组成的方程组可以将原方程组重新组合出来,因而与原方程组同解.可见例1的方程组所含方程的真正个数是2而不是3.也就是说原方程组的秩是2.注意:从例1的方程组可删去任何一个方程得到线性无关方程组,剩下的线性方程组可以由原方程组中任何两个方程组成,并不唯一.但不论剩下的方程组由哪两个方程组成,它包含方程的个数都是2,因此秩是唯一的.一般地,由任意的线性方程组不断删去多余方程最后得到线性无关的方程组的过程并不唯一,经过不同的过程可能得到不同的线性无关方程组,但可以证明其中所含的方程个数是唯一的,也就是说方程组的秩是唯一的.(未完待续)15第9卷第5期 陈玉:函数可导性的几点注记。
《线性代数》新教材精彩案例(之一)
２ 前
言（ ） 选
有人 说 ， 学 的永 恒 主题 是爱 与死 ． 文 数 学 的永 恒 主 题 是 什 么 ？ 问题 的 答 案 也 许 会 众 说 纷 纭 ， 且 随 着 科 学 的 发 展 而 不 断 变 化 ． 无 论 如 并 但 何 ， 以说 函数与 方程 是数 学 的重 要 主题 ， 少 是 中学 数学 与 大学 数学 的重 要 主题． 可 至
将 方程 组 （ 通过 一系 列初 等行变换 化成 三角形 ： Ｕ）
ｃ卜 ｂ — ＋ （ ） Ｕ ａ一 １， Ｃ ｂ＋ 口一 １， ＋ ６＋ ３ ａ一 １，
眼 ， 高实 现这 种转 化 的能 力 ， 提 这需 要在 长期 的实践 中努 力 ， 不是 仅 仅 通过 几 十 学 时 的课 堂 教 学 就 能做
到的． 是 ， 堂 教 学 至 少 应 当 让 学 生 有 一 个 良 好 的 开 端 和 正 确 的 前 进 方 向 ， 不 要 背 道 而 驰・ 但 课 而 ，
的连 续剧 ． 每个 故 事从 颇具 悬 念 的问题 开 始 ， 解决 问题 的过程 中将所 要学 习 的知识 一 步一 步“ 明” 在 发 出 来． 随着 剧情 的发 展 ， 知识 的 引入 如“ 随风潜 入 夜” 知识 的应用 如“ ， 润物 细无 声 ” 都成 为 自然 而然 的 了． ，
线性 代数 干什 么 ？“ 性 ” 线 就是 “ 次 ” 线 性代 数 的主 要 内容 就 是 研 究 多元 的一 次 方程 组 与 一 次 函 一 ． 数组 ． 次方程 组 也称 线性 方 程 组． 数 项 为 ０的 多 元 一 次 函数 Ｙ—ａ ＋ … ＋ａ ｚ 一 常 ｎ 称 为 线 性 函数 ． 个 元线 性 函数 组成 的函数组 Ｙ 一 ． ＋ … ＋ａ ． （ ≤ ｎ 称为 线性 变换 ． 学非 数学 专业 线 性代 ｚ １ ≤ ） ｚ 大
李尚志教授线性代数
案例5.6 图解特征向量
• 例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆.
案例5.7 利用线性变换引入e
• 求双曲线围成的面积
案例5.8 实对称方阵的正交相似
• 例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. • 分析.
• 直角坐标变换 X=UY 使
• • • • Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. 选择正交方阵 U 使 B =diag(l1,l2). 则 AU=UB,A(U1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的两列是 A 的特征向量.
案例5.3 勾股定理的理由
• (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2
• 对向量 a,b 仍成立: • AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC • 完全平方公式 = 余弦定理（含勾股定理) • 对数组向量 a,b 也成立。
联系办法: lisz@
新书介绍
数学的神韵
科学出版社 2010.4
2018/11/21
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,21.1 解n元一次方程组
• 与中学接轨：加减消去法 • 各方程乘常数再相加 = 线性组合 • 原方程组解新方程解原方程解? • 怎样保证:变形前后互为线性组合! • 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 • 只计算系数:矩阵消元. • 只用到加减乘除:数域
• (2)X,Y有若干列: 逐列比较
案例4.3 矩阵乘法运算律
• 结合律 (AB)C = A(BC). • (AX)l=(a1x1+…+anxn)l • =a1(x1l)+…+an(xnl)= A(Xl) • (AB)L= • = A(BL) • (AB)Cj=A(BCj)
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
李尚志：大学视角-分式线性递推数列
李尚志：大学视角-分式线性递推数列大学视角-分式线性递推数列
1981年12月—2006年1月在中国科技大学数学系，教授（1989），博士生导师（1992）；
1992.10起享受政府特殊津贴。
1983--1990担任中华全国青年联合会第六届委员会委员。
1998.11-2001.11，担任中国科技大学数学系主任；
2003— 2008担任国务院学位委员会数学学科评议组成员。
2004.10-2008.12，担任北京航空航天大学理学院院长；
2008.12-2009.5，担任北京航空航天大学数学与系统科学学院院长。
现任北京航空航天大学数学与系统科学学院学术委员会主任、教学委员会主任。
2001年至今连续两届担任教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会委员、数学基础课程教学分委员会副主任。
01-第三周PPT
线性代数启蒙李尚志北京航空航天大学第3周行列式§3.1行列式判定线性无关旧题新解•例1.任取数列前三项u1,u2,u3,能否找到通项公式u n = an2 +bn+c ?•分析. 方程组总是有唯一解⇔系数矩阵A=⇔以OA1,OA2 ,OA3 为棱的平行六面体体积 det A ≠ 0 .利用Mathematica算行列式•det A =2 ≠0 => AX=b总有惟一解。
•还可对每个b 求唯一解X=A-1b. 例如:•得X=(-3,11/2,-3/2)推广到n元方程组例2. 任给5个数作为数列{un }前5项, 是否都存在满足条件的通项公式un=a0+a1n+a2n2+a3n3+a4n4解.•det A =288 ≠ 0 => AX= b总有惟一解。
•取数列前5项为 1,2,3,4,2013利用MATLAB§3.2几何性质决定代数算法二元一次方程组的求解公式例3.二元一次方程组解. 原式两边点乘=> x D=D1=(a1,a2)⋅(b2,-b1)=a1b2-a2b1D=|OA||OB’|cos∠AOB’=|OA||OB|cos(∠AOB-p/2) =|OA||OB|sin∠AOB=S OAPB=有向面积=|OA|OB| sin∠AOB|D|=|S OAPB|. D>0 (< 0) ⇔∠AOB (0,p) ,(-p,0).=|OB||OA|sin∠BOA=|OA||OB|(-sin∠AOB)⇔两列互换, 行列式变号.⇔两列相等,值为0.⇔提取列公因子.割补法与初等变换单位正方形:对角阵(矩形):割补法:初等列变换3.一列的常数倍加到另一列, 行列式值不变.乘法分配律det(a,b)+det(a1,b)=det(a+a1,b). 记为a*b+a1*b=(a+a1)*b (分配律) = (a1e1+a2e2)*(b1e1+b2e2)= a1b1 (e1*e1)+a1b2 (e1*e2)+a2b1(e2*e1)+a2b2(e2*e2) = a1b2 det(e1,e2)-a2b1det(e1,e2) = a1b2-a2b1写成行列式形式三阶行列式d(ijk)=det(e i,e j,e k) 经过s次两列对换变成d(123)=1 => d(ijk)=(-1)s 例. d(231)→ d(213)→ d(123) => d(231)=(-1)2=1. s=t(231) = 逆序数.n 阶行列式D=(i1i2…i n)取遍1,2,…,n的全部n!个排列.a i1a i2…a in是行列式各列取不同行的元素的一个乘积.d(i1i2…i n)= det(e i1,e i2,…,e in)=(-1)s, s=s1+s2+…+s n-1奇偶性.s k是(i1i2…i n)中比k大排在k之前面的数的个数. s=t(i1i2…i n)是排列的逆序数.经过s次对换可将排列变成标准排列 (12…n).§3.3 行列式的初等变换初等变换计算行列式例4.例5.n阶行列式=[x+(n-1)a](x-a)n-1.行列式判定线性无关系数行列式det A≠0=> 各列线性无关=> rank A=n,a2,a3) 线性相关=>以n =3 为例: A=(a1=>某列是其余各列的线性组合例如a=x1a1+x2a23det A = det(a1,a2,a3) = det (a1,a2, x1a1+x2a2)det(a1,a2,0) = 0以上叙述适用于任意n .唯一解公式(Crammer法则) •以n = 3 为例:=>左边第2列的-y 倍及第3列的-z 倍加到第1列再提取公因子x, 得x D=D=> x =D1/D.1类似可得y=D2/D, z =D3/D.展开定理3 阶行列式D== a1⋅(a2×a3)=(a11, a21, a31)⋅(A11, A21, A31) = a11A11+a21A21+a31A31 ,a2×a3 与a2,a3 都正交.n 阶行列式 det A = a1j A1j + …+ a nj A nj = a j ⋅ A j∙A j= 0且当k≠j 时ak。
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
近世代数学习系列四-北航李尚志抽象代数的人间烟火
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。