线性代数说课
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数讲稿
线性代数讲稿今天我给大家介绍一下线性代数的基础知识。
在这节课中，我将向同学们介绍：什么是线性代数，线性代数有哪些分支和各个分支之间有什么关系，以及线性代数研究的主要问题是什么？现在我们先看，这节课上所用的例题，以便同学们能够更好地理解并掌握线性代数的基本概念。
1。
比较矩阵A与矩阵B，设A的秩为n， B的秩为m， A与B 的转置矩阵定义为(x__a)__(y__b)。
则称A与B相似，记作A_B， A_B 与A相似等价于B_A，记作B_A。
A与B的相似关系称为矩阵A与B 的关系。
有的书上写成A与B的形式为A_B， A与B的形式是相似关系的矩阵，秩就是矩阵A的秩，形式上不做区分。
2。
矩阵的相似对角化问题。
若A、 B为n×n矩阵，并且A为n ×n对角矩阵，那么称B经过A的相似对角化可得到A经过B的相似对角化，则称A与B相似对角化。
3。
将矩阵的乘法表示成两个矩阵的乘法，这种矩阵乘法叫作线性变换。
也可以说，通过变换可以把一个矩阵的表示形式变成另一个矩阵的表示形式。
这种矩阵乘法称为线性运算。
线性运算按行(列)顺序进行运算，结果保持不变，但逆矩阵需进行反向运算。
3。
线性表示：把一个向量或一组向量映射成矩阵的乘积。
每个向量都用数值上最小的单位来度量，这种度量方法称为线性度量。
一个向量是线性表示的充分必要条件是该向量与所有其它向量线性相关，而且只有当该向量对应的矩阵的列向量线性无关时，这个向量才是线性表示的。
4。
线性表示的性质： 1)线性表示的两个向量必须线性无关； 2)两个线性表示之间的线性映射必须是可逆的； 3)线性表示之间的两个矩阵可以相等，即它们的行(列)逆阵必须相等； 4)如果两个线性表示是相似的，则它们的矩阵是相似对角化的。
5。
向量空间：定义：设a是实数集合C上的线性无关的，可测向量组成的集合，称a为X上的线性空间。
那么A就是线性空间X上的向量空间。
线性空间X上的线性变换是一个向量空间。
线性代数说课稿)
尤其离散模型中的层次分析法，与线性代数联系更为密切。
二、教学目标
1．知识目标
（1）了解: n阶行列式、矩阵、向量等一系列基本概念、性质
（2）掌握:
行列式的计算,克莱姆法则;
矩阵的线性运算,乘法运算,逆矩阵、矩阵的秩的计算方法;
求向量组的极大无关组和向量组的秩,用初等行变换求线性方程组通解
2.地位及作用
《线性代数》是参加数学建模竞赛必需的基础理论知识，其理论在物理、
化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。
举两个例子：
（1）美国经济学家华西里·列昂惕夫（W.Leontief于）20世纪30年代首先提出并成功地建立了研究国民经济投入产生的数学模型。他把美国的经济用500个变量的500个线性方程来描述，在1949年利用当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从而大大推动了线性代数的发展。
近几年的教材改革取得了很多成果,主要有以下几条思路:
(1)（美）莱（Lay,D.C.） 著，刘深泉 等译《线性代数及其应用》，机械工业出版社。教材中选取了一些有趣的应用问题，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧。
（2）王亮等编的《基于matlab的线性代数实用教程》，科学出版社。教材在讲授课程基本内容后,应用相关专业知识对实际问题数学建模并应用软件平台求解,部分解决了数学知识的应用问题,但对相关理论知识的训练有所减弱。
所以，我们应该在"实践-理论-实践"的思想指导下,在教学中从实际问题出发,通过对数学问题的分析引入相关数学概念,再从解决实际问题的需要引入相关数学理论,
例1:通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵运算;
线性代数知识点全归纳说课讲解
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m m n n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑L L ；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-L L g g g L g m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s αααL 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k L ，使得11220s s k k k ααα+++=L 成立；（定义）⇔1212(,,,)0ss x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<L ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-L 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩L ；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a L11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-g L L L 121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----g g L g ;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B :，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数试讲教案
线性代数试讲教案第一章：线性代数简介1.1 线性代数的定义与意义介绍线性代数的定义和基本概念解释线性代数在数学和实际应用中的重要性1.2 向量空间与线性映射介绍向量空间的概念和性质介绍线性映射的定义和性质1.3 矩阵与行列式介绍矩阵的定义和基本运算介绍行列式的定义和性质第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义介绍线性方程组的定义和基本概念解释线性方程组在实际应用中的重要性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的步骤和原理通过例子演示高斯消元法的应用2.3 矩阵的逆介绍矩阵的逆的定义和性质讲解如何通过矩阵的逆来解线性方程组第三章：线性变换3.1 线性变换的定义介绍线性变换的定义和基本概念解释线性变换在数学和实际应用中的重要性3.2 线性变换的矩阵表示介绍线性变换的矩阵表示方法解释如何通过矩阵来表示线性变换3.3 线性变换的性质介绍线性变换的性质和判定条件解释线性变换的奇偶性等概念第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义介绍特征值和特征向量的定义和基本概念解释特征值和特征向量在数学和实际应用中的重要性4.2 求解特征值和特征向量讲解如何求解矩阵的特征值和特征向量通过例子演示求解过程4.3 特征值和特征向量的应用介绍特征值和特征向量在解决问题中的应用解释特征值和特征向量在图像处理、物理等领域的作用第五章：二次型5.1 二次型的定义介绍二次型的定义和基本概念解释二次型在数学和实际应用中的重要性5.2 二次型的标准形介绍二次型的标准形的定义和性质讲解如何将一般二次型化为标准形5.3 二次型的判定定理介绍二次型的判定定理和性质解释二次型的正定性、负定性和不定性的概念第六章：线性空间与线性独立6.1 线性空间的定义与性质介绍线性空间的概念和基本性质解释线性空间在数学和实际应用中的重要性6.2 线性独立与基底介绍线性独立的概念和判定方法讲解如何找到线性空间的基底6.3 维度与秩介绍维度和秩的概念及其关系解释维度和秩在解决问题中的应用第七章：向量组的线性相关性7.1 向量组的线性相关性定义介绍向量组的线性相关性的概念和基本性质解释向量组的线性相关性在数学和实际应用中的重要性7.2 向量组的线性相关性的判定讲解如何判定向量组是否线性相关通过例子演示判定过程7.3 极大线性无关组与基底介绍极大线性无关组的概念和性质解释如何找到向量组的基底第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值和特征向量的应用概述概述特征值和特征向量在数学和实际应用中的重要性解释特征值和特征向量在不同领域中的应用8.2 二次型与特征值讲解二次型与特征值的关系解释如何利用特征值和特征向量解决二次型问题8.3 线性变换与特征值介绍线性变换与特征值的关系解释如何利用特征值和特征向量研究线性变换第九章：二次型的几何意义9.1 二次型的几何意义概述概述二次型的几何意义及其在数学和实际应用中的重要性解释二次型与几何问题之间的关系9.2 二次型的标准形与几何形状讲解二次型的标准形与几何形状的关系解释如何通过标准形分析二次型的几何性质9.3 二次型的正定性及其应用介绍二次型的正定性的概念和性质解释二次型的正定性在几何中的应用第十章：线性代数在实际应用中的例子10.1 线性代数在工程中的应用介绍线性代数在工程领域中的应用例子解释线性代数在解决工程问题中的作用10.2 线性代数在计算机科学中的应用介绍线性代数在计算机科学领域中的应用例子解释线性代数在计算机图形学、机器学习等领域的应用10.3 线性代数在其他领域的应用介绍线性代数在其他领域中的应用例子解释线性代数在经济学、生物学等领域的应用第十一章：线性代数的进一步应用11.1 最小二乘法介绍最小二乘法的原理和应用解释如何利用线性代数中的矩阵和方程组解决最小二乘问题11.2 线性规划介绍线性规划的基本概念和解法解释如何将线性规划问题转化为线性代数问题求解11.3 控制理论介绍控制理论中的线性系统和状态空间表示解释线性代数在控制理论中的应用和意义第十二章：特征值和特征向量的进一步讨论12.1 特征值的扰动分析讲解特征值对参数变化的敏感性分析解释如何利用特征值分析线性系统的稳定性和动态行为12.2 特征向量的正交性介绍特征向量的正交性和施密特正交化方法解释特征向量正交性在几何和物理中的应用12.3 特征值和特征向量的谱理论介绍谱理论的基本概念和性质解释谱理论在数学物理中的重要性和应用第十三章：线性代数软件与应用13.1 MATLAB与线性代数介绍MATLAB软件在线性代数计算中的应用解释如何使用MATLAB进行矩阵运算和线性方程组求解13.2 Python与线性代数介绍Python语言在线性代数计算中的应用解释如何使用Python库（如NumPy）进行矩阵运算和线性代数问题求解13.3 线性代数在科学研究中的应用介绍线性代数在科学研究中的典型应用案例解释线性代数工具在数据分析、图像处理等领域的作用第十四章：线性代数的历史与发展14.1 线性代数的历史回顾回顾线性代数的发展历程和关键人物解释线性代数在数学发展中的地位和影响14.2 现代线性代数的研究方向介绍线性代数当前的研究热点和方向解释线性代数在现代数学和应用数学中的作用14.3 线性代数的未来展望探讨线性代数在未来可能的发展趋势解释线性代数在解决新兴问题和挑战中的潜力第十五章：综合练习与拓展阅读15.1 综合练习题提供一个线性代数综合练习题集解释如何通过练习题巩固线性代数知识和技能15.2 拓展阅读材料推荐线性代数相关的拓展阅读材料解释如何通过拓展阅读深入理解和研究线性代数15.3 线性代数的实际案例研究介绍线性代数在实际案例研究中的应用解释线性代数在解决复杂问题和创新发展中的作用重点和难点解析重点：1. 线性代数的基本概念和向量空间性质。
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LOGO 五
教学程序设计
3、教学重难点的处理
教学重点
线性组合、线性相关性、极大无关组
处理办法：借助初等几何平面直角坐标系及二维向量，帮助构建相关概念的认知
教学难点
判定向量组的线性相关性、求向量组的秩及极大无关组，会用极大 无关组线性表示向量
处理办法：步骤性、方法性
LOGO 五
教学程序设计
4、教学方法和手段
学校
掌握线性代数相关的 基础知识、基础理 论，并为学习有关 专业课程和扩大数 学知识面提供必要 的数学基础
社会
LOGO 3
课程责任
课 程 关 系
线性代数与课程的关系 初等代数是线性代数的基础，线性代数是初等代数的深化 初等几何是线性代数的基础，线性代数是初等几何的深化
前 导 课 程
课程名称 初等代数 初等几何
LOGO 五
教学程序设计
由问题1 导入 问题12的 解决思路
线性组合
线性相关性
线性相关性的判定
极大无关组
学设疑，学发现，学联想
任务驱动 直观演示 概念教学法 讨论法
LOGO 五
教学程序设计
问题1
10 12 5 7 0 25 9 6 8
2 14 12 20 38 100 0 12 25 35 60 55 3 11 0 5 14 0 9 25 5 15 47 35 1 2 25 5 33 6 5 35 5 35 55 50 4 17 25 2 39 25 5 16 10 10 35 10 2 12 0 2 6 20
LOGO 四
教学实施
公共多媒体教室 硬件 MATLAB实验室
4、教学条件与资源
师资团队
软件 网络资源
LOGO 五
教学程序设计
教学目标 教学重难点的处理
线性相关性
教学对象分析 教学方法和手段 教学组织与安排
LOGO 五
教学程序设计
掌握线性组合、线性相关性 的概念，会求向量组的秩及 极大无关组，会用极大无关组 线性表示向量 让学生经历概念的构建这一 过程，进一步体会从特殊到 一般的思想
LOGO 七
课程改革思路
知识讲座 选修课 必修课
2、课程模式多样化
基础课：线性代数
数学建模。“学数 学、用数学”的教 育，培养学生运用 所学知识建立数学 模型，利用数学知 识、计算机、数学 软件解决实际问题 的能力。
数学思想方法 数学文化素养 科学精神的熏陶数 学不再是空洞和枯 燥的，而是现实的 、美丽的；学习数 学不再是一件苦差 事，而是一种高层 次的享受。
（一） 操 作 方 法
《线性代数》说课 基础部数学教研室
LOGO 一
说课内容
课 程 定 位 课 程 内 容 课程与行业间的契合度 教 学 实 施 教 学 程 序 设 计 教 学 效 果 课 程 改 革 思 路
LOGO 一
一
课程定位
课程性质
课程关系
课程定位
课程作用
课程责任
LOGO
1
课程性质及作用
学情分析：知识储备水平参差不齐、基础 差，没有养成良好的学习习惯
学法
学会设疑 学会发 现 学会 尝试 学会联想 学会总结
LOGO 四
教学实施
3、课程教学特色
注重与新的计算机技术的结合
行列式
围绕线性代数内容来介绍 MATLAB的使用
线性代数课程面向应用
MATLAB 方程组 矩阵
线性代数通俗化简单化，适应高 职学生
2
3
江阴职业技术学院人才培养目标：培养现代 班组长型技术应用人才的需要
学生素质发展的要求
LOGO 2
课程责任
课 程 目 标
知识目标 能力目标
数学思维和运算能力、 逻辑推理能力、分 析和解决问题的能 力、创新能力、自 主学习的能力、交 流合作能力，全面 提升职业竞争力
素质目标
主动探索、勇于发现 的科学精神，创新 意识和创新精神。 踏实细致、严谨 科学的学习习惯
LOGO 七
课程改革思路
3、传统教学方式还是以黑板 加粉笔为主，在今后的教 学中要逐步加入多媒体教 学、网上共享教学资源或 线上教学，这是教学发展 的一个趋势，但是也要注 意网络化教学手段与传统 教学的衔接过度，以达到 最佳教学效果为依据进行 改革创新。
LOGO 五
教学程序设计
药方配制问题 【项目】
问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药， 各用量成分见表1（单位：克） （1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请 问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的 特效药的成分，请问能否配制？如何配制？
后续 课程
课程名称
线性代数与课程的关系
空间解析 几何
电路、信 号与系统 课程、数 字信号处 理等
LOGO 二
课程内容
工具
第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 线性方程组 附录4 MATLAB在线性代数中的应用
本课程主要学 习目的
用现代技术手段提高运算能力
LOGO 二
课程内容
2、课程设计理念与思路
线上教学
教学资源上网
多媒体教学
黑板加粉笔
LOGO
说课完毕，敬请指正
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教学程序设计
某中药厂3种新的特效药量成分表
A B C D E F G 1号新药 40 62 14 44 53 50 71 2号新药 162 141 27 102 60 155 118 3号新药 88 67 8 51 7 80 38
1、教学目标 知识与技能目标
过程与方法目标
情感与态度目标
通过创设情景激发学生学习 数学的情感，培养其积极探 索的精神
LOGO 五
教学程序设计
2、教学对象分析
• 学生已经有了初等几何中向量相关知识的基础，但不够扎实，求知 欲强，但深入度不够，对实际问题的抽象及分析、整合能力较弱
• 对策：用学生感兴趣的实际项目激发其主动性，用教师启发引导和 组织学生讨论的教学方法，使学生带着真实的任务，由浅入深，层 层递进的完成课堂学习
教学内容选取 由浅入深
必需，够用
够用为度
淡化严格论证 教学模块 “用数学”
高职教学理念
LOGO 二
课程内容
3、课程教学整体设计
教学重点：行列式的概念及计算，矩阵的 概念与初等变换,向量组的线性相关性与非 齐次线性方程组的结构等。
教学难点：抽象概念的引入及定理的理解 和应用；贯穿线性代数课程始终的思想---初等变换。
课程与行业间的契合度
行业人才需求目标 Yes or no
线性代数课程目标
线性代数在相关联 专业课中的地位
专业课的设置与行 业需要的适应度
high or low
LOGO 四
教学实施
1、课程教法（教无定法，贵在得法）
任务驱动
直观演示
谈话式
教学 方法
概念教学法
练习法
实验法
LOGO 四
教学实施
2.学情及学生学习方法指导
•
项目导入任务驱动教学法： 以中药厂配制药品导入本节课程的内容，并围绕这个实际项目的解决，学习 本节课程的教学内容，最后应用所学知识，解决这个项目。在学习的过程中， 启发同学们思考解决这个项目的所用的知识和方法，以达到举一反三的效果。 围绕问题展开教学，有利于启发学生思考，增进教学效果。 采取了多媒体的教学手段，增加了教学信息量
LOGO 五
教学程序设计
某中药厂（A-I)用量成分表1
1号 成药 2号 成药 3号 成药 4号 成药 5号 成药 6号 成药 7号 成药
A B C D E
10 12 5 7 0
2 0 3 9 1
14 12 11 25 2
12 25 0 5 25
20 35 5 15 5
38 60 14 47 33
100 55 0 35 6
4、课程评价
LOGO 二
课程内容
使用教材：
高职高专“十二五”规划教材，由吴 叶民、徐亚丹主编，2013年1月冶金工 业出版社出版。
5、教材的使用与建设
使用理由： 这本教材由我院数学教师共 同主编，力求贯彻少而精的原则, 注意学生基本运算能力和运算方 法的训练，内容通俗易懂，比较 符合我校学生的实际情况。 教材缺点： 教材内与专业相结合的应用 实例较少。
H
I
41
14
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LOGO matlab在线性相关性的应用
在Matlab窗口输入 u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8]; u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2]; u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0]; u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0]; u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6]; u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20]; U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7] [U0,r]=rref(U) 计算结果为 U0= r= 1 2 4 5 7 1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看 0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性 0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组为 0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7， 0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2 四个零行 u6=3u2+u4+u5 故可以配制新药 2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则， 不能配制。 令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3] [U0,r]=rref(U) 由U0的最后三列可以看出结果 计算结果r=1,2,4,5,7,10 则可以看出v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被线性表示，所以无法配制