浅谈解线性方程组的方法

云南民族大学学报：自然科学版，２０１３，２１（Ｓ１）：８２—８６　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８５１３．２０１３．Ｓ１．０２１　ＣＮ　５３一ｌ１９２／Ｎ　ＩＳＳＮ　１６７２—８５ｌ３　

ｈｔｔｐ：／／ｘｂ．ｙｎｎｉ．ｅｄｕ．ｏｎ　

浅谈解线性方程组的方法　鲁翠仙，李天荣　（临沧师范高等专科学校数理系，云南临沧６７７０９９）　

摘要：线性方程组的求解是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于数学与其它科学领域，许多　复杂的方程都可以转化为线性方程．总结线性方程组求解的一些基本方法，同时对每个方法都通　过实例给出了详细的说明．　关键词：Ｅｘｃｅｌ；线性方程组；解线性方程组；方法　中图分类号：０　１５１．２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７２—８５１３（２０１３）Ｓ１—００８２—０５　

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＬＵ　Ｃｕｉ—ｘｉａｎ，ＬＩ　Ｔｉａｎ—ｒｏｎｇ　（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｌｉｎｃａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｎｃａｎｇ　６７７０９９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ａｌｇｅｂｒａ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｏｔｈｅｒ　ｆｉｅｌｄｓ　ｏｆ　ｓｃｉｅｎｃｅ，ｍａｎｙ　ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ　ｉｎｔｏ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅ　ｂａｓｉｃ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ａｎｄ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ，ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ　ｄｅｔａｉｌｅｄ　ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｏｍｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｆｏｒ　ｅａｃｈ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｅｘｃｅｌ；ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｍｅｔｈｏｄ　

高斯消元法是一种古老的方法，其实质上是对线性方程组施行初等行变换从而消去未知量．该方法以数　学家卡尔・高斯命名，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前１５０年．在西方，线性方程组的　研究是在１７世纪后期由莱布尼茨开创的，他曾研究含２个未知量的３个线性方程组组成的方程组．克莱姆　１８世纪上半叶研究了具有２、３、４个未知量的线性方程组，得到现在的克莱姆法则．１８世纪下半叶，法国数学　家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，得到了ｎ个方程ｎ元齐次线性方程组有非零解的充分必要条　件是它的系数行列式等于零．１９世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组的理论，前者引进了　方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概恋，后者证明了个ｎ未知量　个方程组相容的充要条件是系数矩阵和　增广矩阵的秩相同，这正是现代方程组理论的重要成果之一．大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性　方程组，现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位．线性方程组可以分成２类，一类是未知量　个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等，我们都可以采用消元法，对于前一个特殊　的线性方程组我们还可以采用克莱姆法则．　

１用高斯消元法解线性方程组　高斯消去法，实际上就是我们俗称的加减消元法，数学上，高斯一约当消去法，由高斯和约当得名（很多　人将高斯消元法作为完整的高斯一约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法．用高斯消元法求解　任意多个方程任意多个未知数的线性方程组，其思想方法是自上而下依次减少方程组中各方程中未知数的　个数，使之成为阶梯形方程组，这样做其实是施行了一系列的变换，这些变换包括：　１）把一个方程的倍数加到另一个方程上；　

收稿日期：２０１２—１２—２５．　作者简介：鲁翠仙（１９８０一），女，硕士研究生，讲师．主要研究方向：代数与计算方法　鲁翠仙，李天荣：浅谈解线性方程组的方法　８３　２）互换两个方程的位置；　３）用一个非零的数乘某个方程的两边．　这３种变换称为线性方程组的初等变换，经过初等变换，把原有方程组变为阶梯形方程组，然后去解阶　梯形方程组（从最后１个方程开始，逐次往上解），求得的解就是原方程组的解．　

例１求此线性方程组　１＋３ｘ２＋　３＋２ｘ４＝４　３ｘ　￣】＋一４ｘ５　２，＋＋２４ｘ　３，－＋３ｘ　４ｄ：＝６１１的解．　一　１—５　２＋４戈３＋　４＝１　。　。　２ｘ１＋７ｘ２－Ｉ－　３—６ｘ４＝一５　分析：从线性方程组中可以我们看出此方程组含有４个未知量，我们要设法消去其中的３个未知量，最　后剩下１个未知量，那么就可以求出剩下未知量的值，把所求得未知量的解逐次往上代入经初等变换所得的　简化阶梯形方程组中，就可以依次求出剩下３个未知量的值，求得的解就是原方程组的解．今后我们用记号　“②＋①．（一３）”表示把方程组的第１个方程的（一３）倍加到第２个方程上；用记号“（②，④）”表示把方程　组的第２、４个方程互换位置；用记号④×ｃ表示用非零数ｃ乘第４个方程．　

解：　１　４－３ｘ２－Ｉ－　３－Ｉ－２ｘ４＝４　３　１＋４Ｘ　２＋２ｘ．３－３ｘ４　６　（１）　一　１—５　２＋４　３＋　４＝１１　

２　１＋７　２＋　３—６ｘ４＝一５　

②＋①（一３）　③＋①・１　④＋①・（一２）　

！　！　③＋②・２　④＋②・５　

④＋③・２　

１＋３ｘ２＋　３＋２ｘ４＝４　—５ｘ２一　３—９ｘ４＝一６　—２　２＋５　３＋３ｘ４＝１５　２一　３—１０ｘ４；一１３　

１　４－３ｘ２＋　３＋２ｘ４＝４　２一　３—１０ｘ４＝一１３　—２　２＋５　３＋３ｘ４＝１５　

—５　２一　３—９ｘ４＝一６　

ｆ　１十３ｘ２十　３十２ｘ４＝４　一．

７Ｃ３—１０ｘ４＝一ｌ３　

３ｘ３—１７ｘ４＝一１１　

—６ｘ３—５９ｘ４＝一７１　１＋３ｘ２＋　３＋２ｘ４＝４　Ｘ２一　３—１０　４＝一ｌ３　（２）　３ｘ３—１７ｘ４＝一１１　

—９３ｘ　＝一９３　方程组（２）的最后一个方程含未知量　的一次方程，由此得，　＝１．然后往回代入（２）的第３，２，１个方　程，相继求得，　，＝２，　＝一１，　＝３．于是得到（３，一１，２，１）是原方程组（１）的唯一一个解．　

２用克拉默法则解线性方程组　克莱姆法则：ｎ个方程的ｎ元线性方程组，如果它的系数行列式ｌＡ　Ｉ≠０，则它有唯一解；如果它的系数行　列式ＩＡ　Ｉ－－＝０，则它无解或者有无穷多个解．　个方程的ｎ元线性方程组的系数行列式Ｊ　Ｉ≠０时，它的唯一解　

是（　，　，…，　），其中ｌＡ　Ｉ是方程组的系数行列式，并且　云南民族大学学报（自然科学版）　第２１卷　Ｂ　Ｉ＝　例２用克拉默则解线性方程组　

Ａ　ｌ＝　＝一　Ｂ　１＝　Ｂ，ｌ＝　２　１　１　—３　０　２　１　４　—５　１３　—１　２　—７　１２　８　１　９　—３　—５　２　０　４　２　１　１　—３　０　２　ｌ　４　２　１＋　２—５　３＋　４＝８　１—３ｘ２—６ｘ４＝９　２ｘ２一　３＋２ｘ４　一５　１＋４ｘ２—７ｘ３＋６ｘ４＝０　—５　１　０　—６　一ｌ　２　—７　６　—５　１　０　—６　一ｌ　２　—７　６　８　ｌ　９　—６　—５　２　０　６　①＋②・（一２）　④一②　０　７　—５　１３　１　—３　０　—６　０　２　２　２　０　７　７　１２　二；二２　ｌ＝２７≠。　＝８１，ｌ　Ｂ　１＝　２　８　１　９　０　—５　１　Ｏ　＝一２７，ｌ　Ｂ　ｌ＝　２　１　１　—３　Ｏ　２　ｌ　４　—５　１　０　—６　—１　２　

—７　６　

５　８　０　９　—１　—５　

—７　０　

＝一１０８．　＝２７，　ｌ　Ｂ１　ｌ　８１　ｌ曰２　ｌ　一１０８　．　１　３　ｌ　一２７　，　Ｉ　４　Ｉ　２７　，　可　－ｊ　可　一　铲可　百一ｌ＇　可　・　

克拉默法则有如下特点：　１）线性方程组的个数与未知量的个数必须相同，但一般线性方程组并非如此．　２）对于齐次线性方程组永远有解，其解仅有２种情况：要么有唯一零解，要么有无穷多个非零解，因此　克拉默法则用于齐次线性方程组时，有着重要的理论价值，很多的命题需要用它来证明．　３）非齐次线性方程组的解有３种情况：无解、有唯一解、有无穷多解，但克拉默法则只适应于有唯一解　（系数行列式不等于零）的情形，且计算量大，所以用克拉默法则解线性方程组具有局限性，而任何一个线性　方程组的增广矩阵都可以通过初等变换变成阶梯型矩阵，从而可以判定原方程组是否有解，再有解的情况　下，就可以很容易求其解．因此可以用矩阵初等变换来求解任何一个线性方程组．　

３用矩阵初等变换解线性方程组　矩阵的初等变换在高等代数、线性代数以及初等数论中具有广泛应用，主要依据是矩阵的初等变换在变　换前后保持矩阵的秩不变．矩阵的初等变换包括初等行变换和初等列变换．下面所探究的是用矩阵的初等行　变换解线性方程．解任何一个矩阵都能经过一系列初等变换化成阶梯形矩阵，并且能进一步用初等变换化成　简化行阶梯形矩阵．在解线性方程组时，把它的增广矩阵经过初等行变换化成简化阶梯形矩阵，行简化阶梯　

＋　＋　＋　，　Ｊ　Ｊ　１　２　ｎ　口　１　２　ｎ　６　６　６　一　一　一　，　Ｊ　，　㈨