线性方程组论文
数学专业论文—线性方程组的求解及其应用
齐次：
• 若 rankR n，则齐次线性方程组（1.2）只有零解 0,0,,0．
T
• 若 • 若
1 0 0 2 1 0 1 2 1 1 3 1 0 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 4 3 . 2 1 4
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2
3.线性方程组的求解
• 高斯消元法
2 x1 4 x2 2 x3 6, 例3 解线性方程组 x x 5 x 0, 1 2 3 4 x x 2 x 2. 3 1 2 7 类似的，我们将(3.3)中的第三个方程减去第二个方程的 3 倍，又可以 消去第三个方程中的变量 ，最后得到与(3.2)等价的方程组
• 通解表示形式
例1 求线性方程组的通解
3 x1 x2 x3 2 x4 2, x 5 x 2 x x 1, 1 2 3 4 2 x1 6 x2 3 x3 3 x4 3, x1 11x2 5 x3 4 x4 4.
2 Ax 1 4
4 2 x1 6 1 5 x2 0 B, 1 2 x3 2
其增广矩阵为
2 4 2 6 2 4 2 6 2 4 2 6 A A 1 1 5 0 0 3 6 3 0 3 6 3 4 1 2 2 0 7 2 10 0 0 12 3 量的个数，即当（1.1）中m=n时，即：
行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文
ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。
浅谈线性代数与线性方程组的联系论文
浅谈线性代数与线性方程组的联系论文浅谈线性代数与线性方程组的联系提要线性代数的研究对象是解线性方程组，它是用高等数学的方法研究如何解线性方程组。
线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了理论基础。
本文由用初等数学方法解线性方程组的例子，引出线性代数中秩、矩阵、增广矩阵、逆矩阵等基本概念，论述了线性代数与线性方程组的内在联系。
关键词矩阵秩线性相关线性无关增广矩阵逆矩阵线性代数是研究什么的呢? 简单讲，就是研究怎样解线性方程组的。
当然, 线性方程组在中学就学过, 比如下面就是一个线性方程组的例子: 一个庙里有一百个和尚, 这中间有大和尚有小和尚, 这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头, 其中大和尚一个人吃三个, 小和尚三个人吃一个, 问有多少大和尚, 多少小和尚?那么, 假设大和尚的数目是x1, 小和尚的数目是x2, 那么由第一个条件, 总共有100个和尚, 可以知道x1+x2 100而由第二个条件, 大和尚一个人吃3个馒头, 小和尚一个人吃1/3个馒头, 吃的馒头的总数是100个, 那么就得第二个方程将上面两个方程联立, 就得线性方程组:要解这个方程组有两种办法, 其实质是一样的, 一种叫消元法, 从 1 式解出x1得x1 100-x2将其代入到 2 式, 得因此算出共有75个小和尚, 25个大和尚.或者用加减法, 先将 1 式乘3得3x1+3x2 300 3用此 3 式减去 1 式得同样能够解得x2 75而其实, 更多元的线性方程组也是同样的解法.那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢?线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能会多到几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个变元.因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式是:那么, 既然变元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用计算机来进行计算. 因此, 如果没有计算机的发展, 线性代数这门课也就没有什么用. 实际上, 线性代数正是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
学士论文线性方程组理论的有关应用
线性方程组理论的有关应用Applications on theory of linear equations 专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○○摘要本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词:线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间AbstractIn this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications.Keywords:linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 关于线性方程组的一般理论 (1)2 线性方程组理论的几个应用 (2)2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 (2)2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 (5)2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 (7)参考文献 (11)0 引言目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7].1 关于线性方程组的一般理论在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵A , 我们用T A 表示A 的转置, r 表示A 的秩, n r -表示自由未知量的个数, dim A 表示A 的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线性方程组的结果.定理 1.1[1] 含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.定理 1.2[1] 设齐次线性方程组111122112122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (1.1) 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数．2 线性方程组理论的几个应用2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1) 在求解二元方程组上的应用利用定理1.1可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为3223010xy x y xy x y ++-=⎧⎨+++=⎩解 将y 看成是常数, 则方程组可改写为(32)(23)0(1)(1)0y x y y x y ++-=⎧⎨+++=⎩, 则有3223011y y y y +-=++.求解得11y =-, 25y =-. 代入方程组求解, 得到15x =-, 21x =-. 故原方程组的全部解为1151x y =-=-⎧⎨⎩, 2215x y =-⎧⎨=-⎩ . 例2 已知一次函数()f x ax b =+, 且1(1)2f -≤-≤, 2(2)3f -≤≤, 求(3)f 的取 值范围.解 应先找出(3)f 与(1)f -, (2)f 的关系, 有(1)f a b -=-+, (2)2f a b =+, (3)3f a b =+,得(1)02(2)03(3)0a b f a b f a b f -+--=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩这是关于,,1a b -的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是11(1)21(2)031(3)f f f --= 化简为(1)4(2)3(3)0f f f --+-=, 所以14(3)(1)(2),33f f f =--+ 因此 1013(3)33f -≤≤. 例3 等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为()A 130; ()B 170; ()C 210; ()D 260解 由等差数列知识, 可设前n 项和为2()n S an bn n N =+∈，所以2m S am bm =+,2242m S m a mb =+, 2393m S m a mb =+, 考察以,,1a b -为未知数的方程组222230420930m m m m a mb S m a mb S m a mb S +-=+-=+-=⎧⎪⎨⎪⎩ 由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是2222342093m m mm m S m m S m mS =即231142093mm mS S S = 化简, 得23330m m m S S S -+-=, 所以323()3(10030)210m m m S S S =-=-=.故选()C .例4 已知2()f x x px q =++, 求证(1)f , (2)f , (3)f 中至少有一个不小于12．证明 先找出(1)f , (2)f , (3)f 间的关系, 有1(1)024(2)039(3)0p q f p q f p q f ++-=++-=++-=⎧⎪⎨⎪⎩此关于p , q , 1的齐次线性方程组有非零解, 于是111(1)212(2)0319(3)f f f --=- 化简, (1)2(2)(3)2f f f -+=．假设结论不成立, 即1(1)2f <, 1(2)2f <, 1(3)2f <, 易推出2(1)2(2)(3)2f f f -<-+<, 产生矛盾, 命题得证.(2) 在证明一元n 次方程重根上的应用由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式()F x 的重因式()P x 必是()F x '的因式.因此, ()F x 的重根必是()F x '的的根, 且此根是()F x 与()F x '的公共根. 由此结论我们可以推广到以下结论如果0x 是()f x 的k 重根(1)k ≥, 则0x 是()f x '的1k -重根.下面我们就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:设α是方程010a x a +=与20120b x b x b ++=的公共根, 则α也是2010a x a x +=的根, 从而有下列齐次线性方程组012012012000a x a a x a xb x b x b ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩ 其根为2(,,1)x x , 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即01010120 00 a a a a b b b =.由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.例5 证明一元二次方程2ax bx c ++(0a ≠)有重根的充要条件是其判别式240b ac ∆=-=.证明 对方程两边求导有20ax b +=. 一元二次方程20ax bx c ++=有重根, 即其与20ax b +=有公共根, 由上面的结论有10 2 2 0 0a b a b a b c=. 展开运算即有240b ac -=. 推广到一元n 次方程. 设α是11100n n n n a x a x a x a --++++=的根, 从而有下列齐次线性方程组1211211111000(1)0n n n n n n nn n n n n na x a na x a x na x n a x a a x a x a x a -------+=+=+-++=++++=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 其根为11(,,...,,)nn x xx -不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即111211221000000000(1)0n n n n n n nn n na a na a na n a a a a a a a a a -----=-.2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例6 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 且0AB =, 则()()R A R B n +≤. 证明 把矩阵B 分块为: 12(,,,)s B ααα=, 则0i A α=, 1,2,,i s =. 从而i V α∈,其中V 是0AX =的解空间. 由定理1.2得()dim ()R B V n R A ≤=-. 于是()()R A R B n +≤.例7 若A 是n 阶方阵，且2A A =, 则()()R A R I A n +-=. 证明 因为()(())()()n R I R A I A R A R I A ==+-≤+-, （2.1） 又因2A A =即()0A A I -=, 由例6知()()R A R I A n +-≤. （2.2） 由(2.1)(2.2)两式得()()R A R I A n +-=.分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由0AB =, 容易联想到把B 的列向量作为齐次线性方程组0AX =的解向量, 从而获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例8 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 则()min{(),()}R AB R A R B ≤. 证明 设12(,,,)s V L ηηη=为齐次线性方程组0BX =的解空间, 其中我们令12(,,,C ηη=)t η. 由定理1.2知()()t R c s R B ==-. 又因0ABC =, 由例6于是我们知()()R AB R C s +≤.即()(())()R AB s s R A R A ≤--=.同理可得()()R AB R B ≤, 于是结论成立.例9 设A 为n 阶方阵, 则1()()n n R A R A +==.证明 若A 为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设()R A n <, 则存在自然数k 使得1()()k k R A R A += 1k n ≤≤. 设i V 为齐次线性方程组0i A x =的解空间, 则对任意ξ∈i V ,有10i i A AA ξξ+==, 于是有1k k V V +⊆, 1,2,i =，因1()()k k R A R A +=, 故由定理1.2知,1dim()dim()k k V V +=. 又因1k k V V +⊆, 从而1k k V V +=.现设2k V ξ+∈, 则2k A ξ+10k A ξ+==. 由此得1k k A V V ξ+∈=, 故1()0k k A A A ξξ+==. 于是1k V ξ+∈. 从而21k k V V ++=, 由定理1.2得12()()0k k R A R A ++==. 同理可得 231()()()()k k n n R A R A R A R A +++=====.例10 设A 为2阶方阵，且0m A =, 则20A =.证明 不考虑0A =的情况, 则()1R A =. 设0m A =, 但10m A +≠, 则, ()1i R A =,1,2,,i =1m -. 设i V 为齐次线性方程组0i A X =的解空间, 与例5同样证明方法得121m V V V -=== .设110ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 201ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 从而0m A =, 故211()0A A A εε==, 从而11m m A V V ε-∈=,于是222()0A A A εε==. 同理222()0A A A εε==. 故 2212(,)0A A εε==.例11 设A 为m 列矩阵, 从A 中任取出s 列, 组成矩阵B , 有()()R B R A s m ≥+-. 证明 设12(,,,)m A ααα=, 12(,,,)i i is B ααα=, 并设12(,,,)T i i is x x x ξ=为齐次线性方程组0BX =的任意解, 即有11220i i i i is is x x x ααα+++= 121s m i i i ≤≤≤≤≤.于是11122000...i i i i is is m x x x ααααα+++++++=.即1200000000(,,,,,,,,,,,,,,)T i i is x x x η=是齐次线性方程组0AX =的解. 故齐次线性方程组0AX =解空间的维数不小于齐次线性方程组0BX =解空间的维数. 由定理1知()()m R A s R B -≥-, 即()()R B R A s m ≥+-.在一般教材或习题指导书中, 上面几个例题均不是以这种方法证明的, 例如, 例8常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例9一般用到线性变换的方法, 例10则是讨论2阶矩阵的各种可能的情况, 例11用到极大无关组方面的性质. 这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握, 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用命题1 设有平面上四个点(,)i i i p x y , 1,2,3,4i =. 矩阵A , B 如下112233441111x y xy A x y x y ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2211112222222233332244441111x y x y x y x y B x y x y x y x y ⎛⎫+ ⎪+ ⎪=⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭则这四点共圆的充分必要条件是矩阵A 与矩阵B 的秩相同, 即()()R A R B =.证明 设平面上圆的一般方程为220x y ax by c ++++=, 其中,,a b c 为不全为零的常数, 考虑关于,,a b c 的方程组221111222222223333224444()0()0()0()0x y ax by c x y ax by c x y ax by c x y ax by c ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ (2.3) 则由线性方程组的理论可知: 四点(,)i i i P x y , 1,2,3,4i =共圆等价于关于a , b , c 的线性方程组(2.3)有解(,,)a b c 等价于()()R A R B =.命题2 设平面上有n 条直线0i i i a x b y c ++=, 1,2,,i n =, 且1122A=n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 111222B=n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2.4) 则这条直线相交于一点的充分必要条件是()()2R A R B ==.证明 考虑方程组111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩则由线性方程组理论可知: (1)这n 条直线相交于一点(只有一个公共点）等价于方程组; (2)有唯一解(,)x y 等价于()()2R A R B ==.命题3 设有空间四个点(,,)i i i i p x y z , 1,2,3,4i =.1112223334441111x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，` 矩阵A 的秩()R A r =, 则(i) 当4r =时, 四点异面; (ii) 当3r =时, 四点共面; (iii) 当2r =时, 四点共线; (iv) 当1r =时, 四点重合.证明 对A 施行初等变换111112,3.4210i r r i y x z A A B A -=⎛⎫−−−→==⎪⎝⎭, 从B 知12()()()1R A R A R A ==+.(i) 当4r =时,2()3R A =, 向量组12p p , 13p p , 14p p 线性无关, 张成整个三维空间(2), 所以四点异面;(ii) 当3r =时, 2()2R A =不妨设2A 的前两行线性无关, 向量12p p , 13p p 线性无关, 于是该组向量可以将向量14p p 线性表示, 故四点共面, 但不共线．(iii) 当2r =时, 2()1R A =, 与前面类似分析可得12p p , 13p p ,14p p 共线; (iv) 当1r =时, 2()0R A =, 即12p p , 13p p , 140p p =, 四点重合. 命题4 设有n 个平面0i i i i a x b y c z d +++=, 1,2,,i n =111222n n n a b c a b c A a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11112222nnnn a b c d a b c d B a b c d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则(i) 这n 个平面只有一个公共点等价于()()3R A R B ==; (ii) 这n 个平面相交于一条直线等价于()()2R A R B ==;证明 (i) 考虑方程组11112222000n n n n a x b y c z d a x b y c z d a x b y c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2.5）则由方程组理论可知: 这n 个平面只有一个公共点等价于方程组(2.5)有唯一解等价于()R A R =()3B =.(ii) 充分性 若()()2R A R B ==, 则由线性方程组理论知, 方程组(2.5)有无穷多个解,其基础解系含有321-=个解向量11(0)ζζ→≠ , 全部解为1k ζ, 因此，这n 个平面相交于一条直线, 该直线的方向向量为1ζ.必要性 若这n 个平面相交于一条直线, 则方程组(2.5)有无穷多个解, 从()R A()3R B =<. 又因为这n 个平面不重合, ()1R B >, 故()()2R A R B ==.命题5 设三角形三条边所在的直线方程分别为123,1,2,3,0i i i i a x a y a =++= 已知A =()ij nn a 的代数余子式为ij A , 则三角形的面积2132333||2A S A A A ∆=±. (2.6) 其中“±”的选取使S ∆为正值.证明 将任意两条直线方程联立, 可得到三个方程组, 因三条边两两相交, 故这些方程组的系数行列式13A , 23A , 33A 均不为零且顶点分别为1111312113A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 2122322223A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 3133332333A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而12312312111x x x S y y y ∆=±*1323331||2A A A A =21323331||2A A A A =±.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.[3] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4] 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.[5] 许绍元, 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.[6] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.[7] 马国贤, 蒋洪, 赵海利. 谁从高等教育补贴中受益[N]. 中国财经报, 2002-4-6.[8] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.[9] 萧永震等. 空间解析几何解题指导[M]. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.[10] W.Greub. LinearAlgebra(FourthEdition)[M]. Springer-Verlag, 1975.[11] L.Smith. Linear Algebra (Second Edition)[M]. Springer-Verlag, 1984.。
学论文线性方程组的求解及应用
学年论文题目：浅谈线性方程组的求解及应用学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学学生姓名：学号：指导教师：浅谈线性方程组解的求解及应用数学与统计学院 12级信息与计算科学专业摘要：我们已经学习过了一些关于线性方程组的一般理论，本文在我们学习的基础上总结并推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程. 英文摘要：We have learned some common theories about system of linear equations, this article will summarize and generalize the theory on the basis of what we have known, discuss their application in high algebra and try to use a simple math software to find roots.关键词:克拉默法则消元解法MA TLAB 直接法迭代法Key Word: Cramer’s Rule Elimination Method MATLAB Direct MethodIterative Method一、引言在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求解线性代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程组、偏微分方程的边值问题等，最后都归结为求解线性代数方程组.在中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组.但在生产实际中所遇到的线性方程组，它的未知量往往不止两个、三个.那我们又该如何其求解呢？本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法.具体地说就是要讨论以下几个问题：（1)线性方程组在什么情况下有解？也就是它有解的充要条件是什么？（2)假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？（3)假如只有一个解，那也简单；假如有多个解，解与解的关系又是怎么?（4)线性方程组有什么应用？经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？经过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的数值解法一般两类，一类是直接法，另一类是迭代法.本文将简略介绍直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形（这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法）和详细介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛迭代法以及使用MATLAB 如何进行线性方程组的快速求解.二、简单线性方程组的求解行列式按行展开定理【1】：n 阶行列式D 等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘积之和.即11221,(1,2,).ni i i i in in ij ij i D a A a A a A a A i n ==+++==∑定理2【1】：行列式的某一行元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.1.克拉默法则（行列式）如果线性方程组11112211211222221122,,(1).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120,n n nn nna a a a a a D a a a =≠那么线性方程组（1）有唯一解：12,,,,.(2)i n D DD Dx x x x D DD D====其中111,111,11212,122,121,12,1,1,2,.i i n i i n i n n i ni nna ab a a a a b a a D i n a a b a a -+----==即D i 是把D 中的第i 列的元素换成线性方程组的常数项而得到的行列式.证明：为证明（2）式是线性方程组（1）的解，只需把它代入方程组（1）的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程组（1）的解.将（2）式代入方程组（1）的第i 个方程组的左端，并注意把D i 按照第i 行展开，得()()()()[]nn n in i n n in n n i i i n n i i i n in i i n in i i A b A b A b A b a A b A b A b A b a A b A b A b A b a D D a D a D a D D D a D Da D D a ++++++++++++=+++=+++22112222212121121211112211221111()()()[]nn in n i n i n n in i i n in i i A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D ++++++++++++=221122222112112211111根据行列式按行展开定理和定理2，可以看出，上式左端方括号只有b i 的系数是D ，而其他的b k (k ≠i )的系数都是零，故得()12121,1,2,,.n i i ini i D D Da a ab D b i n D DD D+++=⋅==这说明（2）式是方程组（1）的解. 再证解的唯一性. 任给方程组的一个解：x 1 = c 1, x 2 = c 2, … x n =c n , (3) 我们只要证明（3）与（2）相同即可.将（3）代入方程组（1），得()11112211211222221122,,4.n n n n n n nn n n a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩现在构造行列式nnn n nna a c a a a c a a a c a D c2112221211121111=给行列式的第2，3…，n 列分别乘以c 2,c 3,…,c n 后都加到第一列，得到.nnn nnn n n n nn n nn a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a D c22211222222212111212121111++++++=根据（4）式，得12222211211D a a b a a b a a b D c nnn nn n ==,因D ≠0，所以,,,,2211DD c D Dc D D c n n ===这样，我们证明了（1）的任一解都是（2），所以（1）的解是唯一的.2.消元解法上面已经了解了解线性方程组的克拉默法则，但是使用克拉默法则是条件的，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，而且系数行列式不为零，可是在很多问题中，我们所遇到的线性方程组并不都是这样的，有时方程的个数虽与未知量的个数相等，但系数行列式等于零；有时甚至于方程的个数与未知量的个数都不相等，这时就无行列式可言了.那么对于一般的线性方程组，究竟该如何求解呢？定理3 [1]设线性方程组的（I ）和（II ）的增广矩阵分别为A 和B.如果A 可经过初等变换变为B ，那么线性方程组（I ）和（II ）是同解方程组.定理4（线性方程组有解的判定定理）[1]线性方程组11112211211222221122,,(5).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件是系数矩阵A 和增广矩阵B 有相同的秩，即秩A=秩B. 当秩A=秩B=n 时，方程组（5）有唯一解；当秩A=秩B<n 时，（5）有无穷多个解. 其中11121111211212222122221212,.n n n n n n nn n n nnn a a a a a a b a a a a a a b A B a a a a a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：利用线性变换和第一种列初等变换将方程组（5）的系数矩阵A 和增广矩阵B 变为如下的矩阵,其中r 为A 的秩，1,1111,112,1222,12,1,11100100010010,.00100100000000000000000r nr n r n r n rn r r r rn r r r m c c d c c c c d c c C D c d c c c d d +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以D 所对应的线性方程组为：112111,1112,122,11.,,(6)0,0.r n r n r r n i r i n i i r i n i i r r i rn i r r m x c x c x d x c x c x d x c x c x d d d ++++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩由于初等变换不改变矩阵的秩，且根据定理3同解方程的充要条件，所以有（5）和（6）是同解方程组.所以讨论（5）的求解问题就归结为讨论（6）的求解问题 .下面我们分情况讨论（5）是否是有解及有解时该如何求解的问题.情况1：r<m,且d r+1,…d m 不全为零.不妨设d r+1不等于0，此时出现0=d r+1，矛盾，所以方程组（6）无解，因此方程组（5）也无解情况2：r=m 或虽然r<m 但d r+1,…全为零.这时方程组（6)的后m-r 个方程组或者不出现，或者全变为0=0.如果是后者，删除0=0的恒等式不影响方程组的解，所以方程组（6）的解同解于如下的方程组：112111,1112,122,1.,(7).r n r n rr n i r i n i i r i n i i r r i rn i r x c x c x d x c x c x d x c x c x d +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩这时又有两种情形：（a)当r = n 时，方程组（7）为1212,,(8).ni i i n x d x d x d =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩所以此时方程组（7）有唯一解（8），因此方程组（5）有唯一解：,,,2121n i i i d x d x d x n ===（b)当r < n 时，把方程组（7）改写为如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++.,,112111,21,2211,11n r rn r n r i rn i r r r i i n i r i i n i r i x c x c d x x c x c d x x c x c d x于是，让未知量12,,,r r n i i i x x x ++取任意一组数12,,,r r n ii i k k k ++，就可得到（7）的解：112111111,1122,12,1,,,(9),.r n r n r r n r r n n i r i n i i r i n i i r r r i rn i i i i i x d c k c k x d c k c k x d c k c k x k x k ++++++++⎧=---⎪=---⎪⎪⎪⎪=---⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩当然（9）也是（5）的一个解，反过来，由于（5）与（7）是同解方程组，所以（5）的任意一个解都必须满足（7），从而具有（9）的形式.由于12,,,r r n i i i k k k ++可以任意选取，所以用上述方法可以求出（5）的无穷多解.根据以上讨论，我们可以由情况1和情况（2）的讨论可知，或者r = m,或者r < m ，但01===++m r r d d ,方程组（5）有解，在这两种情况下都有，秩 D = r . 所以秩 A =秩C .反过来，设秩 A = 秩 C ，那么秩 D = r ，由此即得 r = m 或者r < m 但01===++m r r d d .因而由前面的情况2的讨论即知 ，方程组（5）有解.由情况2（a)知，当秩 A = 秩C = n ，方程组有唯一解.由情况2（b)知，当秩 A = 秩 C < n 时，方程组有唯一解.三、解复杂的线性方程组1.直接法直接法就是经过有限步数学计算即可求得方程组的精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）.但实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只可求得线性方程组的近似解.下面将阐述这类算法中的最基本的Gauss 消去法及其某些变形.这类是解低阶稠密矩阵的有效方法.定理5（矩阵的LU 分解)【9]设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式D i （i=1,2,…,n),则A可以分解为一个单位下三角阵L 和一个上三角阵U 的乘积，且这种分解是唯一的（1）Gauss 消去法 设有线性方程组11112211211222221122,,(10).n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax=b,其中1112111212222212,,.n n n n n n nn a a a x b a a a x bA x b x b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中A 为非奇异矩阵.用消去法去解方程组的基本思想是，用逐次消去未知数的方法把原来的方程组Ax = b 化为与其等价的三角方程组，而求解三角方程组就容易了.换句话说，上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式，从而求解原方程组.之前所讲的消元解法是其的特例，就不再缀述了. 下面我们来讨论一般的解n 阶方程组的Gauss 消去法. 将（10）式记为A (1) x = b (1)，其中A (1) = (a ij (1)) = (a ij ) , b (1) = b.①第一次消元.设a 11(1)不等于0，首先设行计数乘数m i1 = a i1(1)/a 11(1) (i=2,3,…,n)，用-m i1乘式（10）的第1个方程，加到i （i=2,3,…,n )个方程上，消去（10）中的第2个方程知道n 个方程的未知数x 1,得到与式（10）等价的方程组（11）),2,1(,,00)1(11)1()2()1(11)1()2(),2()22121)2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11n i b m b b a m a a b x A b b b x x x a a a a a a a i i i j i ij ij n n nn n n n =-=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛其中简记（②一般第k （1≦k ≦n-1）次消元.设第k -1步计算已经完成，即已计算好与式（10）等价的方程组(12) A (k)x = b (k)，且已消去未知数x 1 , x 2 , x 3 …，x k-1,其中A (k)具有以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()()()()1(2)2(22)1(1)1(12)1(11n nn n nk k kn k kk n n a a a a a a a a a设a (k)kk 不等于0，计算乘数m ik = a ik (k)/a kk (k)（i=k+1,…,n),用-m ik 乘式A（k)x = b (k)的第k 个方程加上第i (i=k+1,…,n)个方程，消去第k+1个方程直到第n 个方程的未知数x k ,得到与式（10）等价的方程组A（k+1)x = b (k+1).A (k+1)元素的计算公式为：),1,()()()1()()()1(n k j i b m b b a m a a k k ik k i k ik kj ik k ij k ij+=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++,显然A (k+1)的第一行直到第k 行与A (k)相同.③继续这一过程，直到完成第n-1次消元.最后得到与原方程等价的三角方程组 A (n) x=b (n). （13） 上述过程称为消元过程.求解线性方程组（11），设a ij (i)不等于0(i=1,2,…,n-1),易得求解公式()()()()()1/,(1,2,,2,1).()/.n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a k n n x b a x a =+⎧=⎪=--⎨=-⎪⎩∑上式的求解过程称为回代过程. （2）Gauss 消去法的变形Gauss 消去法有很多变形，有的是Gauss 消去法的改进、改写，有的是用于某一类特殊性质矩阵的Gauss 消去法的简化.下面介绍Gauss 主元素消去法和追赶法 ①Gauss 主元素消去法由Gauss 消去法知道，在消元过程中可能会出现0)(=k kka 的情况，这时消去法将无法进行；即使在主元素0)(≠k kka 但很小时，用其作除数，也会导致其元素的数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后会使得计算解不可靠.对于一般矩阵来说，最好每一步都选取系数矩阵（或消元后的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作为主元素，使Gauss 消去法具有较好的数值稳定性.②追赶法在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导以及船体数学放样中建立三次样条函数等中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111.i i i i i n n n n n n n n n b c x f a b c x f a b c x f a b c x f a b x f -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭简记为Ax = f其中A 满足下列对角占优条件：)3();1,3,2(0,,)2(0)1(11111>>-=≠+≥>>n n i i a b n i c a c a b c b由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角阵的乘积，即A=LU. 其中L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵.下面说明这种分解是可能的.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11111213322111122211n n n n n n n n b a c b a c b a c b A βββαγαγαγα其中i i i γβα,,为待定未知量,比较上式两端得111111,,,,(2,3,,).(15),(1,2,,1).i i i i i i i i i b c b a i n c i n ααβαγγβαβ-====+===-由10,/,0,11111111<<=>>=ββα得b c c b b ，下面用归纳法证明0,(1,2,,)i i a c i n >≠=,01i β<<从而可以由（15）式求得i β证明：式（15）对于i = 1是成立的.现设（15）对i-1成立，求证对i 亦成立. 由归纳假设101-i <<β，又由于式（15）及A 的假设条件，有11≠≥->-≥-=--i i i i i i i i i i c b b b a αβαβα也就是10i <<β，由式（14）得到)1,,3,2(),/(),,3,2(1-=-==-=-n i a b c n i b i i i i i i i i i βββαα这就是说，由A 的假设条件完全确定了()()()i i i ,,γβα,实现了A 的LU 分解.求解A x =f 等价于解两个三角方程组L y = f 与U x = y,先后求解y 与x ，从而得到以下解三对角方程组的追赶法公式：步1：计算()i β的递推公式)1,,3,2(),/(,/1111-=-==-n i a b c b c i i i i i βββ步2：解L y = f ：()().n),2,3,(i ,a -b / y a -f y ,/b f y 1-i i i 1-i i i i 111 ===β 步3：解U x = y: .,2,1)2,-n 1,-n (i ,x -y x ,y x 1i i i i n n ===+β将计算系数n 1-n 21ββββ→→→→ 及n 1-n 21y y y y →→→→ 的过程称为追的过程，将计算方程组的解121-n n x x x x →→→→ 的过程称为赶的过程.追赶法公式实际上就是把Gauss 消去法用到求解三对角方程组上去的结果.2.迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.迭代法具有存储单较较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变的优点，但存在收敛性及收敛速度方面的问题.迭代法是解大型系数矩阵方程组（尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法.下面将介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛迭代法（SOR ）.定理6（迭代法基本原理）【9】设有方程组x = Bx + f,对于任意初始向量x (0)及任意f ，解此方程的迭代解法（即x(k+1)=Bx(k)+ f)收敛的充要条件是ρ(B)<1.(1)Jacobi 迭代法 设有方程组),2,1(,1n i b x ai nj j ij==∑=记作Ax = b （16）A 为非奇异矩阵且a ij 不等于0 (i = 1,2,3,…,n).将A 分裂为A=D-L-U ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0000,0000,,1223113121,213231212211n n n n n n n n nn a a a a a a U a a a a a a L a a a D将式（16）第i (i=1,2,…,n) 个方程组用 a ii 去除再移项，得到等价方程组（17）),,2,1(),(11n i x a b a x nij j j ij i ii i =-=∑≠=简记为 x = B 0x + f,其中B 0=I - D -1A = D -1 (L+U)，f = D -1b对于方程组（17）应用迭代法，得到（16）的Jacobi 迭代公式（18）次迭代向量为第其中（）k x x x x x a b a x x x x x T k n k k k n i j i k jij i ii k i T n ),,(,)(1),,,)()(2)(1)(1)()1()0()0(2)0(10( =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑≠=+设x (k)已经算出，由式（18）可计算下一次迭代向量x (k+1)显然迭代公式的矩阵形式为方法迭代矩阵称为其中初始向量）Jacobi B f x B x x k k 0)(0)1()0(,(⎪⎩⎪⎨⎧+=+.(2)Gauss-Seidel 迭代法由Jacobi 方法迭代公式可知，迭代的每一步计算过程，都是用x (k)的全部分量来计算x (k+1)的所有分量，显然在计算第i 个分量x i (k+1)时，已经计算出x 1(k+1), x 2(k+1),… x i-1(k+1)没有被利用.从直观上来看，最新计算出来的分量可能要比旧的分量要好一些.因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似x (k+1)加以利用，就会得到所谓解的Gauss-Seidel 迭代法),,2,1,0(,(1(),,,(1)(11)1(1()0()0(2)0(1)0(n k x a x a b a x x x x x ni j k j ij i j k j ij i ij k in =--==∑∑+=-=++）初始向量）.或写成(1)()(1)()11,(0,1,2,;1,2,,).1(.k k i i i i nk k i i ij iij j j j ii x x x k i n x b a x a x a ++==⎧=+==⎪⎨=--⎪⎩∑∑上面第二个式子利用了最新计算出来的变量x 1(k+1),第i 个式子利用了计算出来的最新分量x j (k+1)写成矩阵形式D x (k+1) = b+L x (k+1)+U x (k+1),(D - L) x (k+1)=b + U x (k), 若设（D-L)-1存在，则x (k+1) = (D - L)-1 U x (k) + (D - L)-1 b于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为x (k+1) = G x (k) + f,其中G = (D - L)-1 U,f = (D - L)-1 b（3）逐次超松弛迭代解法逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel 方法的一种加速方法，是解大型系数矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计简单，占用计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）.设有方程组Ax = b (19)，其中nn RA ⨯∈为非奇异矩阵，且a ii 不等于0（i=1,2,…,n),分解A 为 A = D - L - U设已知第k 次迭代向量x (k+1)的分量x j (k+1）(j=1,2,…,i-1),要求计算分量x i (k+1)首先用Gauss-Seidel 迭代法定义辅助量（20）：),,2,1(,(11)(11)1()1(n i x ax a b a x ni j k j iji j k j ij i ii k i=--=∑∑+=-=++再把x i (k+1)取为x i (k) 与)1(+k ix 某一个平均值（即加权平均），得到（21）)()1()()1()()1()()1(k i k ik i k ik i k ix x x x x x -+=+-=+++ωωω用（20）式代入（21）式，就得到解方程组Ax = b 的逐次超松弛迭代公式（22）⎪⎩⎪⎨⎧===--+=∑∑-==++),,2,1;,1,0(,),,,(())(2)(1)(11)()1()()1(n i k x x x x x a x a b a x x T k n k k k i j ni j k j ij k j ij i ii k i k i（ω其中ω称为松弛因子，或写成(1)()(1)()11,(0,1,2,1,2,,).(.k k i i i i nk k i i ij iij j j j ii x x x k i n x b a x a x a ω++==⎧=+==⎪⎨=--⎪⎩∑∑显然，ω=1时，解式（19）的SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法，ω<1时，解式（22）为低松弛法，当ω>1时，称式（22）为超松弛法.四、解线性方程组的MATLAB 命令MATLAB 求解线性方程组：AX=B 或XA=B1. 在MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用除法运算符“/”和“\”.如： X=A\B 表示求矩阵方程AX ＝B 的解A\B 等效于A 的逆左乘B 矩阵，也就是inv(A)*B ；X ＝B/A 表示矩阵方程XA=B 的解，而B/A 等效于A 矩阵的逆右乘B 矩阵，也就B*inv(A). 对方程组X ＝A\B ，要求A 和B 用相同的行数，X 和B 有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X ＝B/A 同理.2.如果矩阵A 不是方阵，其维数是m ×n ，则有：m ＝ n ，恰定方程，求解精确解； m>n ，超定方程，寻求最小二乘解；m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m 个非零元素. 针对不同的情况，MATLAB 将采用不同的算法来求解.（1）恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：（1）利用Cramer公式来求解法；（2）利用矩阵求逆解法，即x=A\b；（3）利用Gauss消去法；（4）利用LU法求解.一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算.MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在LU分解的基础上进行.在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b.在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行LU分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息.注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时.另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解.（2）超定方程组对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m.则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解.左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；五、应用1.炼油厂模型某石油公司有5个炼油厂，每个炼油厂都生产5种石油产品：汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气.已知从1桶原油中，第一个工厂生产出的汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气分别是30、24、18、12、9L；第二、三、四、五个工厂从1桶原油中生产的这五种油分别是28、25、20、10、9；31、23、19、11、10；29、22、17、13、8；27、26、20、13、10L.现在需要104620L汽油，88010L柴油，68660L煤油，43240L机油，33690L液态石油气.本着节约资源与提高效益的原则，问给这5个工厂各安排多少桶原油来生产恰好满足这一需要？解：设分给5个炼油厂的原油桶数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 根据题意我们可以得到以下方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++336901081099,432401313111012,686602017192018,880102622232524,10462027293128305432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x方程组的系数行列式，0108010810991313111012201719201826222325242729312830≠==D所以方程组有唯一解.经计算知，D 1=864000，D 2=702000，D 3=648000，D 4=626400，D 5=1080000，所以1000580600,650,8005544332211==========D D x D Dx D D x D D x D D x ，，即给第一、二、三、四、五个工厂分别安排800,650,600，580,1000桶原油生产正好满足需要.用MA TLAB 实现如下：2.游船问题某公园在湖的周围设有甲、乙、丙三个游船出租点，游客可以在任意一处租船，也可以在任意一处还船.工作人员估计租船和还船的情况如下表示：还船处 甲乙 丙 借船处甲 乙 0.8 0.2 0.2 0 0 0.8 丙0.20.20.6即从甲处租的船中有80%的在甲处还船，有20%的在乙处还船，等等.为了游客的安全，公园同时要建立一个游船维修站.问游船修检修站建在那个点最好？显然，游船检修站应该修在拥有船只最多的那个出租点.但是，由于租船和还船的随机性，今天拥有船只最多的出租点不一定以后也经常拥有最多的船只.因此我们希望知道经过长时间的经营以后拥有船只最多的那个出租点.我们假定公园里的船只基本上每天都被人租用，设经过长时间的经营，甲、乙、丙处分别有x 1 , x 2 , x 3只船，则x 1 , x 2 , x 3应该满足以下的要求：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33223113216.02.0,2.02.0,2.02.08.0xx x x x x x x x x整理可得，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.04.08.0,02.02.0,02.02.02.0-32321321x x x x x x x x即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++.02,05,0-32321321x x x x x x x x这表明，经过长期的经营以后，甲、乙、丙三个出租点分别拥有游船总数的316121，，.用MA TLAB 实现如下：由此不难看出，游船检修站应设在拥有船只最多的甲处最为合适.六．总结本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法、解的结构以及应用.经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，就试图用数值分析中的直接法中的最基本的Gauss消去法及其某些变形和迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法，以及最小二乘法，并试图应用简单的数学类软件如MATLAB来实现求解.在实际学习和解决问题时，我们会发现很多问题最后的求解过程都是求解线性方程组，因此学习线性方程组对大学生具有重要意义.参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.[3] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4] 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.[5] 许绍元, 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.[6] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.[7] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.[8] 萧永震等. 空间解析几何解题指导[M]. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.[9]陈辉，李文宇，张传芳数值计算方法哈尔滨哈尔滨工业大学出版社，2009.[10]李庆扬，易大义，王能超. 现代数值分析. 北京高等教育出版社，1995.[11]刘春风，何亚丽，应用数值分析北京冶金工业出版社 2005.指导教师职称成绩评语说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格.2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等.。
线性方程组论文
一类线性方程组的解法【引言】历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
线性代数有三个基本计算单元：向量(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与矩阵计算和线性变换，构建向量空间和欧式空间。
线性代数的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。
【摘要】线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
【关键词】：矩阵行列式向量线性方程组增广矩阵矩阵的秩系数矩阵【正文】求解非齐次线性方程组解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换可见R（A）=R（B）=2〈3，由定理7可得方程组有无穷多解。
关于线性方程组求解的论文
线性方程组的求解问题摘要:线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。
重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则和利用向量空间概念求解线性方程组的方法。
最后介绍了如何利用Matlab、Excel等常用电脑软件解线性方程。
关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab1.线性方程组求解的历史线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。
英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。
2.线性方程组解的结构n元线性方程组的一个解(c1,c2,……c n)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。
关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论:1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。
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一类线性方程组的解法
【引言】历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
线性代数有三个基本计算单元：向量(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与矩阵计算和线性变换，构建向量空间和欧式空间。
线性代数的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。
【摘要】
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。
因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。
现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。
【关键词】：矩阵行列式向量线性方程组增广矩阵矩阵的秩系数矩阵
【正文】
求解非齐次线性方程组
解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换
可见R（A）=R（B）=2〈3，由定理7可得方程组有无穷多解。
再将B化为行最简形矩阵
C为行最简形矩阵，其对应的方程组为
这个方程组中有3个未知量，两个方程，则必有1个自由未知量。
设z=c（c为任意常数）
所以原方程组有无穷多个解，其通解为x=2-c，y=2+2c，z=c。
用向量表示为
【摘要】矩阵的秩增广矩阵线性方程组向量行列式线性方程组的一般形式为
（Ⅰ）
还可表示为A x=b,
其中被称为系数矩阵。
称为增广矩阵。
，
当b=0时，称方程组A x=0为齐次线性方程组，
当b≠0时，称方程组A x=b为非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是非齐次线性方程组。
如的系数矩阵是，是齐次线性方程组。
下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。
设线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵可由初等变换化为，则A x=b与B x=d
是同解的方程组
注意：如果是齐次线性方程组b=0，只需对其系数矩阵进行初等变换换。
可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵，再利用系数矩
阵的秩数讨论其解。
下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。
1. 齐次线性方程组的解
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A)<n。
证明：必要性
已知方程组A x=0有非零解，用反证法证明。
设R（A）=n，则在A 中必有一个n阶非零子式，从而所对应的n个方程只有零解，这与已知矛盾。
因此R（A）≠n，即R（A）<n。
充分性
已知R（A）=r<n，则A的行最简形矩阵只含r个非零行，其余n-r行都为零，这n-r个行所对应的变量是自由变量，可以任意取值，所以，可知方程组有非零解。
例求解齐次线性方程组
解：系数矩阵
将A施以初等行变换
B为最简形矩阵，R（B）=2〈3，由定理6知，方程组Bx=0有非零解
B所对应的方程组为
这个方程组中有4个未知量，两个方程，故应有4-2=2个自由未知量。
用向量表示为
此解是方程组Bx=0的通解，再由定理5知，它也是方程组Ax=0的通解。
2. 非齐次线性方程组解
对于非齐次线性方程组
如果系数矩阵A是可逆矩阵（或满秩矩阵），其解为
如果系数矩阵A是非满秩矩阵，其解的情况较复杂，可能无解，可能有唯一解，也可能有无穷多解。
定理7 对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)= R
当R(A)=R=n时，方程组有唯一解
当R(A)=R <n时，方程组有无限多解
当R(A)<R时，方程组无解
证明：必要性
已知方程组A x=b 有解，用反证法证明。
设R(A)<R，则将化为行最简形矩阵，可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1，这与方程组有解相矛盾，因此R(A)=R
充分性
当R(A)=R=n时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。
当R(A)=R <n时，将化为行最简形矩阵可知，方程组有n-r个自由未知量，可令它们分别取则方程组解中含有n-r个任意常数，因而，有无穷多个解。
当R(A)<R时，可得方程组无解。
证毕。
求解非齐次线性方程组，只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可判断其是否有解；若有解，再进一步将化为行最简形矩阵，写出其通解。
例求解非齐次线性方程组
解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换
B是行阶梯形矩阵，R（B）=3，即R=3。
由于R（A）=R=3=n，可得方程组有唯一解。
再将B化为行最简形矩阵，
C为行最简形矩阵，其对应的方程组的解为
方程组A x=b 与之同解，所以A x=b 有唯一解x=1，y=2，z=-3。
例求解方程组
解：其增广矩阵为，
对其进行初等行变换
观察B的第2，3行，即可看出R（A）=3，R（B）= R=4
R（A）〈R
所以原方程组无解。
应用:（平板热传导问题）热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其稳态温度的分布。
假设下图所示的金属薄片表示一根空心金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。
将薄片划分成一些正方形网格，位于四条边界上的点称为边界点，而其它的点叫做内点。
测量表明，当加热或者冷却时，任一内点的温度约等于它相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均。
我们希望边界点的温度（o C）如图所示，这是可能的吗？如果可能，试问内点的温度分布惟一确定吗？
【解】将六个内点编号为①至⑥（见图），并设对应的温度分别为t
1至t
6。
由于任一内点的
温度约等于相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均，因此可以得到内点温度分布满足的线性方程组为
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t --=⎧⎪-+--=⎪-+-=⎪
⎨-+-=⎪--+-=⎪⎪--+=⎩
12
412352361
452456356430420460440430470 此方程组系数矩阵的秩为6，增广矩阵的秩也为6，因此该方程组有唯一解，即内点的温度分布惟一确定。
利用数学软件可以很快地求出该方程组的唯一解（近似值）为
.,.,.,.,.,.t t t t t t ======123456186962347828696213042652231304。
小组成员：张丽丽
杨潜 钱博凡
2011年6月
40
40。