基于Matlab的Cramer法则求解线性方程组
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
crout分解法例题matlab
一、介绍Crout分解法Crout分解法是一种用于解决线性代数问题的数值计算方法。
它可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而简化线性方程组的求解过程。
Crout分解法的基本思想是利用矩阵的三角形式，将原线性方程组的求解问题转化为两个三角方程的求解问题。
二、Crout分解法的原理1. 初等行变换Crout分解法的第一步是对系数矩阵进行初等行变换，将其变换为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
在进行初等行变换时，需要注意保持方程组的等价性，以便最终求解得到的解与原方程组的解是一致的。
2. LU分解经过初等行变换后，原方程组的系数矩阵可以表示为两个三角矩阵的乘积，即LU分解，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
对于一个n阶矩阵A，LU分解的形式为A=LU。
Crout分解法通过逐步迭代，可以求解L和U矩阵的具体数值。
3. 解方程组经过LU分解后，原线性方程组可以转化为两个三角方程的求解问题。
首先求解下三角方程LUx=b，得到中间向量y，然后再求解上三角方程Ux=y，得到最终的解x。
通过这种分解和迭代的方法，可以有效地求解复杂的线性方程组。
三、Crout分解法的实现1. Matlab实现在Matlab中，可以使用内置的lu函数来实现Crout分解法。
lu函数可以对一个矩阵进行LU分解，返回分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U。
通过这两个矩阵，可以进一步求解原线性方程组。
2. 算法步骤（1）输入系数矩阵A和常数向量b；（2）调用lu函数，对矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；（3）将原线性方程组转化为两个三角方程的求解问题，分别求解Ly=b和Ux=y，得到最终的解x。
3. 代码示例```Matlab定义系数矩阵A和常数向量bA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];b = [1; 2; 3];调用lu函数进行LU分解[L, U] = lu(A);求解Ly=b和Ux=y，得到最终解xy = L\b;x = U\y;打印解xdisp(x);```四、Crout分解法的应用Crout分解法在实际问题中有着广泛的应用，特别是在工程和科学计算领域。
克拉默法则解方程组过程
克拉默法则解方程组一、什么是克拉默法则？克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于解决线性方程组的数学算法。
它通过将方程组转换为一个特殊的行列式，然后求解行列式来解决方程组。
二、克拉默法则的步骤1.确定方程组的变量：首先，我们需要确定方程组的变量。
例如，我们考虑下面的方程组：2x+3y=44x+5y=6这里有两个变量x和y。
2.编写方程组的行列式：接下来，我们需要编写方程组的行列式。
我们可以用下面的矩阵表示方程组：[2 3][4 5]然后，我们可以计算这个矩阵的行列式，它是2×5-3×4=2。
3.计算变量的行列式：接下来，我们需要计算变量x和y的行列式。
为了计算变量x的行列式，我们需要把变量x的系数放到矩阵的第一列，把变量y的系数放到矩阵的第二列，然后计算行列式：[2 4][3 5]这里的行列式是2×5-3×4=2，同样的，我们可以计算变量y的行列式：[3 4][2 5]这里的行列式是3×5-2×4=6。
4.计算变量的值：最后，我们可以根据克拉默法则计算变量x和y的值：x=6/2=3y=2/2=1这样，我们就可以得到方程组的解：x=3，y=1。
三、克拉默法则的优点1.计算方便：克拉默法则可以让我们更轻松地解决复杂的线性方程组，而不需要花费大量的时间和精力。
2.结果准确：克拉默法则可以提供准确的结果，因为它是基于行列式的计算。
四、克拉默法则的缺点1.只能用于线性方程组：克拉默法则只能用于解决线性方程组，不能用于解决非线性方程组。
2.计算量大：对于大型方程组，克拉默法则可能需要大量的计算，这可能会耗费大量的时间和精力。
五、例子假设我们有以下方程组：2x+3y=44x+5y=6我们可以使用克拉默法则来解决这个方程组：1.确定方程组的变量：x和y。
2.编写方程组的行列式：[2 3] [4 5]，行列式的值为2。
3.计算变量的行列式：x的行列式为[2 4] [3 5]，值为2；y的行列式为[3 4] [2 5]，值为6。
Matlab中线性代数方程组的求解
1
9—2 Matlab 中线性代数方程组的求解
2
z 定解方程组
定解方程组指未知数的个数和方程个数相同的方程
组，其求解可采用矩阵除法和初等变换法，当方程组的系数矩阵非奇异时，还可通过求系数矩阵的逆来进行
z 不定方程组
不定方程组指未知数的个数大于方程个数的方程组，用矩阵除法将给出一个具有最多零元素的特解，其通解则可通过null 命令求一个齐次组的基础解系来得到，或者由初等变换得到，
3z 超定方程组
超定方程组指未知数的个数小于方程个数的方程组，用矩阵除法可求得一最小二乘近似解。
z 奇异方程组
奇异方程组指方程组系数矩阵是奇异的，用矩阵除法不能直接求解，但经同解变形仍可求得一特解。
z 符号方程组
符号方程组的求解可通过函数solve 、linsolve 来实现。
4
z null()z rref()z A\b
z sym(A)\sym(b)z inv()
5
z rank( )z det( )z inv( )z eig( )z norm( )z jordan( )z poly( ) %求特征单项式
%P=poly(A), poly2str(P,’x’)。
1.3 克莱姆(Cramer)法则
个方程相加， 再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)： 零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义 若齐次线性方程组的一组解不全为零 则称为非零解 若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解 非零解.
8
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理 若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解 则它只有零解. 证明 由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解， 由于当线性方程组的系数行列式 时有惟一解， 线性方程组 故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式 时只有零解 推论 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否 一定有非零解？ 即定理的否命题是否成立？ 一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性 齐次线性方程组有非零解 有非零解和它对应的非齐次线性 方程组有无穷多解有何联系？ 方程组有无穷多解有何联系？ 有无穷多解有何联系 9
数值分析MATLAB科学计算—线性方程组
科学计算—理论、方法及其基于ＭＡＴＬＡＢ的程序实现与分析 三、 解线性方程组（线性矩阵方程）解线性方程组是科学计算中最常见的问题。
所说的“最常见”有两方面的含义：１） 问题的本身是求解线性方程组；２） 许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。
关于线性方程组B A x B Ax 1-=⇒=（１）其求解方法有两类：１） 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination ）； ２） 间接法：各种迭代法（Iteration ）。
１、高斯消去法１） 引例考虑如下（梯形）线性方程组：()⎪⎩⎪⎨⎧==+==+-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⇔⎪⎩⎪⎨⎧==-=+-5.0141315.3221122004301211214322332321321332321x x x x x x x x x x x x x x x 高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。
２）高斯消去法——示例考虑如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-306015129101.2001.221113060129501.2001.221321321321321x x x x x x x x x x x x １） 第一个方程的两端乘12加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘－１加到第三个方程的两端，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3060031110001.0001.00111321x x x２） 第二个方程的两端乘001.010-加到第三个方程的两端，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--60600311010001.0001.00111321x x x３） 从上述方程组的第三个方程依此求解，得()⎪⎩⎪⎨⎧==+-==+-=600300001.03100024011332321x x x x x x ３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数2.001而产生0.0005的误差，实际求解的方程组为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---306015129101.20005.22111321x x x ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒70.4509.30142.2565321x x x注：数值稳定的算法高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。
matlab解方程组方法
matlab解方程组方法在MATLAB中，有多种方法可以解方程组。
以下是其中几种常用的方法：1.solve函数：这是最直接的方法，适用于解线性方程组。
假设你有以下线性方程组：(Ax = b)你可以使用solve函数来求解。
例如：2.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = solve(A,b);3.\和/运算符：这两个运算符也可以用于解线性方程组。
例如：4.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = A\b; % 使用左除运算符或者matlab复制代码x = b/A; % 使用右除运算符5.gaussj函数：这个函数使用高斯-约当消元法来解方程组。
使用方法如下：6.matlab复制代码A = [1, 2; 3,4];b = [5; 6];x = gaussj(A,b);7.mldivide函数：这个函数与\运算符相同，也是用于解线性方程组。
例如：8.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = mldivide(A, b); % 等价于A\b9.lyap函数：对于非线性方程组，可以使用lyap函数来求解。
这个函数用于解决Lyapunov方程，通常用于控制系统和稳定性分析。
使用方法如下：10.matlab复制代码A = [1, 2; 3, 4];lyap(A); % 对于给定的A矩阵，求解Lyapunov方程。
11.fzero和root函数：这两个函数用于求解非线性方程的根。
例如，如果你有一个非线性方程(f(x) = 0)，你可以使用fzero或root来找到这个方程的根。
使用方法如下：12.matlab复制代码f = @(x) x^2 - 4; % 非线性方程 f(x) = x^2 - 4x = fzero(f, [1, 2]); % 在区间[1,2]内寻找方程的根或者：matlab复制代码root(f) % 使用root函数求解非线性方程的根。
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第３３卷 ２０１３拉 第３期
５月 高师理科学刊
Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３３ ＮＯ．３
Ｍａｖ ２０ｌ３
文章编号：１００７—９８３１（２０１３）０３—００２３—０４
基于Ｍａｔｌａｂ的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组 张玉兰 （南京铁道职业技术学院社科部，江苏南京２１００１５） 摘要：对文献［１】中的两个源程序进行了改进，使运算的速度和效率得到了有效的改进．以求解线 性方程组的Ｃｒａｍｅｒ法则法为基础，使用化为上三角形法求行列式，给出了算法流程图．在Ｍａｆｌａｂ 语言环境下编写了一个通用的求解函数．最后通过两个具体的案例进行了验证，证实了所编写的 程序的正确性和稳定性． 关键词：线Ｊ｝生方程组；Ｃｒａｍｅｒ法则；上三角形；Ｍａｔｌａｂ 中图分类号：０１５１．２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９６．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０３．００８
Ｓｏｌｖｉｎｇ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｍａｆｌａｂ ｂｙ Ｃｒａｍｅｒ ｒｕｌｅ ＺＨＡＮＧ Ｙｕ－ｌａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＳｏｃｉａｌＳｃｉｅｎｅｅｓ，ＮａｍｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＲａｉｌｗａｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ ｓｏＨｒｃｅｓ ｉｎ ｐａｐｅｒ［１】ｗａｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｅｑｕａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｂｙ，ｅｆｆｉｃａｃｉｏｕｓｌｙ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃｒａｍｅｒ ｒｕｌｅ ｌａｗ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｓｏｌｖｅｄ ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｂｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ ｉｔ ｔｏ ｏｖｅｒｈｅａｄ ｔｒｉａｎｇｌｅ，ａｎｄ ｇａｖｅ ｔｈｅ ｆｌｏｗｃｈａｒｔ ｏｆ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｗｒｉｔｔｅｎ ａ ｇｅｎｅｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｍａｆｌａｂ ｌａｎｇｕａｇｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｂｙ ｔｗｏ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｃａｓｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｃｒａｍｅｒ ｒｕｌｅ；ｏｖｅｒｈｅａｄ ｔｒｉａｎｇｌｅ；Ｍａｔｌａｂ
Ｃｒａｍｅｒ法则作为应用行列式求解线性方程组的一个经典方法历来受到众多学者的注意，当线性方程组 的阶数比较大的时候，求解的工作量也随之增大，为了提高使用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的运算速度和 准确性，可结合计算机来进行求解 ．本文首先对文献［１】中的两个源程序进行了改进：将系数矩阵和把系 数矩阵中的第７列（．７＝１，２，…，ｎ，，ｌ为线性方程组的阶数）的所有元素用方程组右端的常数项代替后 得到的所有矩阵分块放在一个矩阵ｂ中，然后对矩阵ｂ分块进行求解行列式，即将求解所有的行列式放在 一个循环中进行，简化了程序的编写，而且对具体的求解过程也作了细微的修改，并利用Ｃｒａｍｅｒ法则进行 求解线性方程组，其源程序记为ｇｊ１．１．ｍ和 １．２．ｍ．作了这一改进后，无需分别计算系数行列式和 Ｄ （Ｊ＝１，２，…，，ｚ）（Ｄ 是把系数行列式Ｄ中第．『歹 的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的ｎ阶行 列式），从而进一步提高了求解的速度和效率．其次，在利用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的过程中，使用 化上三角形法求解行列式，应用数学软件Ｍａｔｌａｂ进行编程，给出了算法的流程图和源程序．
１文献［１］中的两个源程序的改进 ｆｕｎｃｔｉｏｎｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊ１．１（ａ）％ｇｊ１．１的函数； ［ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）；
收稿日期：２０１２－０１—１０ 作者简介：张玉兰（１９８２一），女，江苏盐城人，讲师，硕士，从事运筹学与控制论研究．Ｅ～ｍａｉｌ：ｌａｎｌａｎ—ｎｊｎｕｍａｔｈ＠ｓｏｈｕ．ＣＯＩＩＩ 高师理科学刊 第３３卷 ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）；％将所有的矩 阵分块赋给同一个矩阵； ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２＊（ｍｌ一１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１） ２：ｍｌ一１）】； ｆｏｒｉ＝３：ｍｌ；ｂ（１：ｎ，（ｉ－１）￥（ｍｌ一１）＋１：ｉ￥（ｍｌ一１））
＝［ａ（１：ｎ，１：ｉ一２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）】； ｅｎｄ ｆｏｒ ｌ＝ｌ：ｍｌ；％使用库函数ｄｅｔ求解行列式； ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（１－１）｝（ｍｌ一１）＋１：ｌ十（ｍｌ～１））； ｄ（１）＝ｄｅｔ（ａ１）； ｅｎｄ ｉｆｄ（１）～＝０； ｆｏｒｉ＝２：ｍｌ； ｘ（ｉ一１）：ｄ（ｉ）ｌｄ（１）； ｅｎｄ ｅｌｓｅ ｘ＝口； ｅｎｄ Ｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊ１．２（ａ）ｏ￣ｇｉｌ．２的函数； 【ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）； ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）；％将所有的矩 阵分块赋给同—个矩阵； ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２＊（ｍ１—１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ， ２：ｍｌ－１）】； ｆｏｒｉ＝３：ｍｌ； ｂ（１：ｎ，（ｉ－１）｝（ｍｌ一１）＋１：ｉ｝（ｍ１—１））＝【ａ（１：ｎ， １：ｉ－２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）］； ｅｎｄ ｆｏｒｐ＝ｌ：ｍｌ； ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（ｐ－１）｛（ｍｌ一１）＋ｌ：ｐ （ｍｌ一１））； ｓ＝ｌ； ｆｏｒ ｋＨ１：ｎ；％使用列主元一高斯消去法求解行列式； ｍａｘ＝ＩＥｉｔｂｓ（ａｌ（ｋ，ｋ））； ｍ＝ｋ： ｆｏｒＬ＝ｋ＋ｌ：ｎ ｉｆｍａｘ＜ａｂｓ（ａｌ（Ｌ，ｋ）） ｍａ】【＝ａｂｓ（ａ１（Ｌ，ｋ））； ｍ＝Ｌ： ｅｎｄ ｅｎｄ ｉｆｋ～＝ｍ ｔ＝ａｌ（ｋ，：）； ａｌ（ｋ，：）＝ａｌ（ｍ，：）； ａｌ（ｍ，：）＝ｔ；
Ｓ＝一Ｓ： ｅｎｄ
ｔｐ＝ａｌ（ｋ，ｋ）； ｆｏｒｊ＝ｋ＋ｌ：ｎ ａｌ（ｋ，ｊ）＝ａｌ（ｋ，ｊ）／ｔｐ；
ｅｎｄ ｆｏｒｉ＝ｋ＋１：ｎ ｆｏｒｊ＝ｌ：ｎ ｔｅｍｐ（１，Ｊ）＝ａｌ（ｉ，Ｊ）一ａｌ（ｉ，ｋ） ａｌ（ｋ，
ｊ）； ｅｎｄ ａｌ（ｉ，：）＝ｔｅｍｐ； ｅｎｄ ｅｎｄ ｄ（Ｐ）＝ｌ； ｆｏｒｉ＿ｌ：ｎ ｆｏｒｌｌ＝ｌ：ｍｌ； ｉｆｉ＿＝ｌ１： ｄ（Ｐ）＝ｄ（Ｐ）＊ａｌ（ｉ，１１）；
ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ ｄ（Ｐ）＝ｓ｝ｄ（Ｐ）；
ｅｎｄ ｉｆｄ（１）～＝０；
ｆｏｒｉ＝２：ｍｌ； ｘ（ｉ－１）＝ｄ（ｉ）／ｄ（１）；
ｅｎｄ ｅｌｓｅ ｘ＝Ｂ； ｅｎｄ ｘ％输出线性方程组的解．
２使用Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的计算机实现 常用的求解行列式的方法有：对角线法则法（适合于二阶和三阶行列式的求解）、代数余子式法、降阶 法、化成上三角形或下三角形法，采用计算机编程进行求解用的较多的是列主元一高斯消去法求行列式口 ． 使用Ｃｒａｍｅｒ法则判定及求解线性方程组的关键是计算相关行列式，程序ｇｉｌ．１．ｍ和西１．２．ｍ在求行列式 时使用的是Ｍａｔｌａｂ函数库中求解行列式的函数和列主元一高斯消去法．下面采用化成上三角形法进行求解 行列式，结合Ｃｒａｍｅｒ法则的求解步骤，得到求解线性方程组的流程图和源程序ｉｇ１．ｍ（基于Ｍａｔｌａｂ７．６环境）： 化成上三角形法求解行列式的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组的算法流程见图１． 根据对文献［１】源程序改进的思想和算法流程图１，可得到求解线性方程组的源程序ｇｊ１．ｍ． ｆｕｎｃｔｉｏｎｑｉｕｊｉｅ＝ｇｊｌ（ａ） 【ｎ，ｍ１］＝ｓｉｚｅ（ａ）； ｂ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）＝ａ（１：ｎ，ｌ：ｍｌ一１）； ｂ（１：ｎ，ｍｌ：２ （ｍ１－１））＝【ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，２：ｍｌ一１）Ｊ； ｆｏｒｉ＝３：ｍ１： 第３期 张玉兰：基于Ｍａｔｌａｂ的Ｃｒａｍｅｒ法则求解线性方程组 ｂ（ ｅｎｄ ｌ：ｎ，（ｉ－１） （ｍｌ一１）＋１：ｉ （ｍｌ－Ｉ））＝【ａ（１：ｎ，１：ｉ－２），ａ（１：ｎ，ｍ１），ａ（１：ｎ，ｉ：ｍｌ一１）】；
ｆｏｒｐ＝ｌ：ｍｌ； ａｌ＝ｂ（１：ｎ，（ｐ－１） （ｍｌ－１）＋１：ｐ （ｍｌ—１））； ｆ０ｒｋ＝ｌ：ｎ－１： ｔｅｍｐ＝［］； ｔｅｍｐ（１：ｋ，：）＝ａｌ（１：ｋ，：）； ｆｏｒ ｉ＿ｋ＋１：１：ｎ： ｆｏｒｊ＝１：ｍ１－１； ｉｆａｌ（ｉ，ｋ）一＝Ｏ； ｔｅｍｐ（ｉ，Ｊ）＝ａｌ（ｉ，Ｊ）－ａｌ（ｉ，ｋ）＊ａｌ（ｋ，ｊ）／ａｌ （ｋ，ｋ）； ｅｌｓｅ ｔｅｍｐ（ｉ，ｊ）＝ａｌ（ｉ，ｊ）； ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ ａｌ＝口； ａ１＝ｔｅｍｐ； ｅｎｄ ｄ（Ｐ）＝１； ｆｏｒｌ＝１：ｎ： ｆｏｒｔ＝ｌ：ｍｌ—ｌ： ｉｆｌ＝＝ｔ： ｄ（Ｐ）＝ｄ（Ｐ）＊ａｌ（Ｉ，ｔ）：
ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ ｅｎｄ ｉｆｄ（１）～＝Ｏ： ｆｏｒｉ＝２：ｍ１； Ｘ（ｉ－１）＝ｄ（ｉ）／ｄ（１）； ｅｎｄ ｅｌｓｅ ｘ＝１３； ｅｎｄ Ｘ％输出线性方程组的解．
３求解实例
图１算法流程图
则 为 空 矩 阵 【】
ｆ ＋ ＋ｘ３＋ｘ４＝５ 例１ 求解线性方程组｛ 三 ＿ ５Ｘ４ ＝：－一２２．－ 【
３ ＋ －＋２ ＋１１ ｔ＝０ 在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中分别输入命令：ａ：［１ｌ １ １ ５；１ ２—１ ４—２；２…３ １ ５—２；３ １ ２ １１ ０］；ｇｉｌ．１（ａ）， ｇｉｌ．２（ａ）， １（ａ），可得到运行结果．在Ｍａｄａｂ命令窗口中结果皆显示为：ｘ：１．０００ ０ ２．０００ ０ ３．０００ ０
－１．０００ ０，这和文献［４】提供的求解结果完全吻合． １ ５ ＋６ ＝１ ｌ ＋５ ＋６ ＝０ 例２ 求解线性方程组｛ ＋５ ＋６ ：０．
Ｉ ＋５ ＋６ ＝０ ’ 【 ＋５ ＝１
在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中分别输人命令：ａ＝［５ ６ ０ ０ ０ ｌ；１ ５ ６ ０ ０ ０；０ １ ５ ６ ０ Ｏ；０ ０ １ ５ ６ Ｏ；０ ０ ０ １ ５ １】； １．１ （ａ），商１．２（ａ），ｇｉｌ（ａ），可得到相同的运行结果：ｘ＝２．２６６ ２—１．７２１ ８ １．０５７ １－０．５９４ ０ ０．３１８ ８，和 文献［４】提供的结果完全吻合，再次证明了本文所给程序的正确性和稳定性．