matlab解线性方程组
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
matlab中用克拉默法则解n元方程
matlab中用克拉默法则解n元方程克拉默法则是一种解决n元线性方程组的方法，它通过使用行列式的性质，可以求解出方程组的解。
在MATLAB中，可以利用克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
克拉默法则的基本思想是，将n元线性方程组的解表示为各个未知数的比例关系，并通过计算行列式的值来求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将n元线性方程组写成矩阵形式。
假设方程组为A*X=B，其中A 是一个n阶矩阵，X是未知数向量，B是已知常数向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)。
如果det(A)=0，说明方程组无解；如果det(A)≠0，说明方程组有唯一解。
3. 对于方程组的每一个未知数Xi，将其系数矩阵A中第i列替换为常数向量B，得到矩阵Ai。
然后计算矩阵Ai的行列式值det(Ai)。
4. 未知数Xi的解为det(Ai)/det(A)。
将每个未知数的解代入原方程组中，可以验证解的正确性。
以一个具体的例子来说明克拉默法则在MATLAB中的应用。
假设有以下的3元线性方程组：2x + 3y - z = 14x - y + 2z = -23x + 2y - 3z = 3将方程组写成矩阵形式：A = [2, 3, -1; 4, -1, 2; 3, 2, -3]B = [1; -2; 3]接下来，计算系数矩阵A的行列式值：detA = det(A)然后，计算每个未知数的解：x = det([B, A(:,2:3)])/detAy = det([A(:,1), B, A(:,3)])/detAz = det([A(:,1:2), B])/detA将解代入原方程组中验证：eq1 = 2*x + 3*y - zeq2 = 4*x - y + 2*zeq3 = 3*x + 2*y - 3*z如果方程组有解，那么eq1、eq2和eq3的值应该分别为1、-2和3。
通过以上步骤，可以使用MATLAB中的克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
matlab逐次超松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。
在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。
首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。
该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。
具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。
3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。
具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。
2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。
3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。
需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。
此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。
总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。
MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。
本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。
第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。
该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。
使用该函数的语法如下：X = linsolve(A, B)其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。
下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = linsolve(A, B);上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。
当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。
使用“inv”函数的语法如下：X = inv(A) * B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。
下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = inv(A) * B;上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。
该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。
使用“mldivide”函数的语法如下：X=A\B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
Matlab追赶法和迭代法解线性方程组
Matlab追赶法和迭代法解线性⽅程组实验⽬的：1）追赶法解三对⾓阵；2）掌握解线性⽅程组的迭代法；3）⽤Matlab实现Jacobi及超松弛迭代法实验要求：1）掌握追赶法解三对⾓阵2）掌握解线性⽅程组的迭代法3）提交追赶法、Jacobi及超松弛迭代法的m⽂件实验内容：1）追赶法解三对⾓矩阵⽅程（m⽂件）习题1. ⽤追赶法的m⽂件求解2）Jacobi迭代法解线性⽅程组（m⽂件）对不同初值⽤Jacobi迭代法解习题1并⽐较结果。
3）超松弛迭代法解线性⽅程组（m⽂件）对不同松弛因⼦解习题1并⽐较结果。
实验步骤： 代码：1 %追赶法2 %输⼊：系数矩阵A和因变量d；3 %输出：⾃变量x4 function z=zuigan(A,d)5 n=length(d);6 %取三对⾓元素a,b,c7for i=1:n-18 a(i)=A(i,i);9 b(i)=A(i+1,i);10 c(i)=A(i,i+1);11 end12 a(n)=A(n,n);13 %分解系数矩阵14 u(1)=a(1);15 l(1)=c(1)/a(1);16for i=2:n-117 u(i)=a(i)-b(i-1)*l(i-1);18 l(i)=c(i)/u(i);19 end20 u(n)=a(n)-c(n-1)*l(n-1);21 %解y22 y(1)=d(1)/u(1);23for k=2:n24 y(k)=d(k)-c(k-1)*y(k-1)/u(k);25 end26 %解x27 x(n)=y(n);28for k=n-1:-1:129 x(k)=y(k)-l(k)*x(k+1);30 end31 z=x;32 endzuigan 运⾏： 所得结果，较为粗糙。
代码：1 %雅克⽐迭代法2 %输⼊系数矩阵A，因变量b，初始向量x0,容许误差eps,最⼤迭代次数t3 %输出⾃变量x和迭代数n4 function [z,k]=jacobi(A,b,x0,e,t)5 %默认eps和最⼤迭代次数m6if nargin==37 e=1e-6;8 m=200;9 elseif nargin<310 error('输⼊的参数不⾜');11return;12 elseif nargin==513 m=t;14 end15 n=length(b);16 x(1,:)=x0;17 z(1,:)=x0;18for k=2:m19 sum=0;20for i=1:n21 w=0;22 u=0;23for j=i+1:n24 w=w+A(i,j)*x(k-1,j);25 end26for j=1:i-127 u=u+A(i,j)*x(k-1,j);28 end29 x(k,i)=(-1/A(i,i))*(u+w-b(i));30if sum<abs(x(k,i)-x(k-1,i))31 sum=abs(x(k,i)-x(k-1,i));32 end33 end34if sum<e35 z(k,:)=x(k,:);36return;37 end38 z(k,:)=x(k,:);39 end40 endjacobi 运⾏⽰例，初始向量x0=[0 0 0 0 0 0];和初始向量x0=[1 1 1 1 1 1]; 初始值不同，迭代次数可能不同。
matlab线性方程组的矩阵解法
function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数 [LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 。 求解线性方程组
%解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb 解法： 解法 % % LUx=Pb, Ly=f=Pb, y=Ux f(i)=b(p(i))
%输入：方阵A，右端项 （行或列向量均可） 输入：方阵 ，右端项b（行或列向量均可） 输入 %输出：解x（行向量） 输出： 输出 （行向量）
Ax = d 用矩阵表示 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 追赶法求解三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 LU分解特性 LU分解 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单, 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对 角线性方程组的快速解法。 角线性方程组的快速解法。
第八章matlab解方程
X
[x,f,h]=fsolve(f,x0)返回一元或者多元函 数f在x0附近的一个零点，其中x0为迭代 初值，f返回f在x0的函数值，应该接近0； h返回值如果大于0，说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例 求函数 y x sin(x2 x 1)在（-2，-0.1）内的零点
>>fun=inline(‘x*sin(x^2-x-1)’,’x’) >>fplot(fun,[-2,-0.1]);grid on >>x1=fzero(fun,[-1,-1.2]),x2=fzero(fun,[-1.2,-0.1]) 或x1=fzero(fun,-1.6),x2=fzero(fun,-0.6) 或[x1,f1,h1]=fsolve(fun,-1.6), [x2,f2,h2]=fsolve(fun,-0.6)
例：>> fzero('sin(x)',10)
>> fzero(@sin,10) >> fzero('x^3-3*x+1',1) >> fzero('x^3-3*x+1',[1,2]) >> fzero('x^3-3*x+1',[-2,0]) >> f=inline('x^3-3*x+1'); >> fzero(f,[-2,0]) >> fzero('x^3-3*x+1=0',1)
非线性方程的根
fzero 的另外一种调用方式
fzero(f,[a,b])
求方程 f=0 在 [a,b] 区间内的根。 方程在 [a,b] 内可能有多个根，但 fzero 只给出一个
利用matlab解线性方程组
数值计算实验——解线性方程组西南交通大学2012级茅7班20123257 陈鼎摘要本报告主要介绍了基于求解线性方程组的高斯消元法和列主消元法两种数值分析方法的算法原理及实现方法。
运用matlab数学软件辅助求解。
实验内容1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
2．编写用列主消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
给定方程组如下：①0.325x1+2.564x2+3.888x3+5x4=1.521②-1.548x1+3.648x2+4.214x3-4.214x4=2.614③-2.154x1+1.647x2+5.364x3+x4=3.978④0x1+2.141x2-2.354x3-2x4=4.214A.高斯消元法一、算法介绍高斯消元法是一种规则化的加减消元法。
基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成为上三角方程组，即把现形方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价的上三角方程组的求解。
二、matlab程序function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp(‘因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp(‘因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp(‘因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend三、实验过程与结果输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA、RB，方程中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息。
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二、使用MATLAB
det 方阵的行列式 diag 对角阵 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 trace 方阵的迹 orth 正交规范化 rank 矩阵的秩 null 求基础解系 rref 矩阵的行最简形 eig 特征值与特征向量 jordan 约当标准形分解 norm 矩阵或向量范数
1、特殊矩阵生成 zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵; ones(m,n) 生成m行n列的元素全为1的阵; eye(n) 生成n阶单位矩阵; 当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素 构成的向量; 当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成 的对角矩阵；
x1 50000 产出向量X = x2 外界需求向量 D = 25000 0 x3 0 0.65 0.55 . 直接消耗矩阵C= 0.25 0.05 010 0 . 25 0 . 05 0 则原方程为 (E-C)X=D 投入产出矩阵为 B=C*diag(X) 总投入向量 Y= ones(1,3)*B 新创造价值向量 F=X-Y’
例2 线性方程组的通解
x1 x 2 x3 x 4 1 x1 x 2 x3 x 4 1 2 x 2 x x x 1 2 3 4 1 解 在无穷多解情况下可用三种方法求通解， ●用rref化为行最简形以后求解； ●用除法求出一个特解，再用null求得一个 齐次组的基础解系； ●用符号工具箱中的solve求解。
x1 0 0.7071 x 2 19 c 0.7071 x 11 0 3
其中c为任意实数
三、国民经济投入产出分析
设有n个经济部门，xi为部门i的总 产出，cij为部门j单位产品对部门i产品 的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为 部门j新创造的价值。那么各经济部门 总产出应满足下列关系式：
从而知原方程组等价于
x1 x2 0 x3 x 4 1
x1 x 2 0 对 x3 x 4 1
0 x2 0 0 令自由未知量 取值为 , 得一特解 1 0 x 4 0
结果为:
x1 0 1 0 x2 0 1 0 x 1 c1 0 c 2 1 3 0 1 x 0 4
x0=a\b
r1 = r2=2<3
无穷解
经运行发现无法解出x0 因此给原方程组加 一个方程0x1+0x2+0x3=0
a1=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1;0 0 0] ; b1=[5;3;8;0]; x1=a1\b1; %经运行后可得出一个特解x1=(0,-19,-11)’ x=null(a1) 结果为: %运行后得基础解x=(0.7071, 0.7071,0)’
Ax = 0 称为齐次的线性方程组 对于线性方程组 Ax = b： 若秩(A) 秩(A,b)，则无解；
若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；
若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在无穷多解；
通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解
系与 Ax=b 的一个特解之和。
高斯消元法 对于线性方程组 Ax = b （A | b） 行变换
方法一:
a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; b=[1;1;-1]; r=[rank(a),rank([a,b])]; x0=a\b,xx=null(a); % x0为一特解,xx为对应齐次组的基础解系 运行后得: r=(2,2) 说明系数矩阵秩和增广矩阵秩相等,自由未知量为4-2=2个 -0.7071 0 0 -0.7071 0 0 x0= xx= -0.0000 0.7071 1 -0.0000 0.7071 0 方程组的解=特解+对应齐次组的通解
解法二:
a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; b=[1;1;-1]; r=[rank(a),rank([a,b])]; t=rref([a,b]); % 此时得出一个行简化阶梯形矩阵 运行后得: 1 t= 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 1 0
虚线为等号
其中c1和c2为任意实数
例3 判定下列线性方程组是否有解?若有解,求出其解
2 x1 2 x2 3x3 5 (1) x1 x2 2 x3 3 x x x 4 3 1 2 2 x1 2 x 2 3 x3 5 (3) x1 x 2 2 x3 3 x x x 8 2 3 1
x1 x2 0 对导出组 x3 x 4 0
x2 1 0 令自由未知量 0 , 1 ， x 分别取值为 4 1 0 1 0 得两基础无关解 , 0 1 0 1
»A=[1 2;3 -2;1 -1]; »B=[1;4;2];x=A \B 求得一最小二乘近似解
» A=[1 2;-2 -4]; x 2y 1 »B=[1;-2];x=A\B 2 x 4 y 2 不能直接求解 增加方程 0x+0y=0
» A=[1 2;-2 -4;0 0]; »B=[1;-2;0];x=A\B 仍可求一近似特解
• （A E） 行变换 （E A-1）
3、特征值与特征向量
对于方阵A，若存在数和非零向量x 使 A x = x，则称为A的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值的特征向量。 特征值计算归结为: 特征多项式|A - E|=0的求根。对应于 特征值的特征向量是齐次线性方程组 (A - E) x = 0的所有非零解
r1 ≠ r2
无解
(2) a=[2 -2 3;-1 1 -2;2 -3 1]; b=[5;3;0]; r1=rank(a); r2=rank([a,b]) x=a\b 或x=inv(a)*b
r1 = r2=3
唯一解
(3) a=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1] ; b=[5;3;8]; r1=rank(a); r2=rank([a,b])
x1 B=C
x2
xn
B表示各部门间 的投入产出关 系，称为投入 产出矩阵。
Y = [1,1,…,1] B Y表示各部门的总投入，称为投入向量。 新创造价值向量 F=X –Y '
四、实验例题
例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发 电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要 支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产 一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费， 0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一元 钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和 0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金 额50000元定货，发电厂接到外地金额25000 元定货，外界对地方铁路没有需求。
4、特征值和特征向量
D=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的列向量； [V,D]=eig(A) 返回方阵A的特征值构成的对角 阵D和每个特征值对应的特征向量按列构成的 矩阵V。其中每个特征向量都是模等于1的向量， 并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交 化。
例1 解下列方程组
x 2y 1 3x 2 y 4
x j x j cij f j j=1,2,…,n
i 1
n
பைடு நூலகம்
消耗平衡方程组
xi cij x j di
j 1
n
i =1,2,…,n
分配平衡方程组 令 C =（cij），X = (x1, …, xn)' , D = (d1, …, dn)’，F= (f1, …, fn)’ 则 X=CX+D 令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D C称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫 （Leontief）矩阵。
0 - 0.7071 0 0 - 0.7071 0 其中c1和c2为任意实数 结果为: x c1 c2 1 0 0.7071 0 0 0.7071
2 x1 2 x 2 3 x3 5 (2) x1 x 2 2 x3 3 2 x 3x x 0 2 3 1
(1) a=[2 -2 3;-1 1 -2;1 -1 1]; b=[5;3;4] ; r1=rank(a); r2=rank([a,b])
rand(m,n) 生成m行n列[0,1]上均匀分 布随机数矩阵； linspace(x1,x2,n) 生成x1与x2间的n维 等距行向量,即将[x1,x2] n-1等分。 2、行列式和逆矩阵
det(A) 返回方阵A的行列式;
inv(A) 返回A的逆矩阵。
3、矩阵除法 左除法 A\B 求解矩阵方程AX=B 右除法 B/A 求解矩阵方程XA=B (1) 当A为方阵，A\B与inv(A)*B基本一致： (2) 当A不是方阵，除法将自动检测。 • 若方程组无解,除法给出最小二乘意义上 的近似解，即使向量AX－B的长度达到最小； • 若方程组有无穷多解，除法将给出一个 具有最多零元素的特解； • 若为唯一解，除法将给出解。
x 2y z 1 3x 2 y z 4
» A=[1 2;3 -2]; » B=[1;4];x=A\B 求得唯一解 » A=[1 2 1;3 -2 1]; » B=[1;4];x=A\B 求得一特解
x 2y 1 3x 2 y 4 x y 2
一、数学理论复习
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm