利用MATLAB求线性方程组
matlab中用克拉默法则解n元方程
matlab中用克拉默法则解n元方程克拉默法则是一种解决n元线性方程组的方法，它通过使用行列式的性质，可以求解出方程组的解。
在MATLAB中，可以利用克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
克拉默法则的基本思想是，将n元线性方程组的解表示为各个未知数的比例关系，并通过计算行列式的值来求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将n元线性方程组写成矩阵形式。
假设方程组为A*X=B，其中A 是一个n阶矩阵，X是未知数向量，B是已知常数向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)。
如果det(A)=0，说明方程组无解；如果det(A)≠0，说明方程组有唯一解。
3. 对于方程组的每一个未知数Xi，将其系数矩阵A中第i列替换为常数向量B，得到矩阵Ai。
然后计算矩阵Ai的行列式值det(Ai)。
4. 未知数Xi的解为det(Ai)/det(A)。
将每个未知数的解代入原方程组中，可以验证解的正确性。
以一个具体的例子来说明克拉默法则在MATLAB中的应用。
假设有以下的3元线性方程组：2x + 3y - z = 14x - y + 2z = -23x + 2y - 3z = 3将方程组写成矩阵形式：A = [2, 3, -1; 4, -1, 2; 3, 2, -3]B = [1; -2; 3]接下来，计算系数矩阵A的行列式值：detA = det(A)然后，计算每个未知数的解：x = det([B, A(:,2:3)])/detAy = det([A(:,1), B, A(:,3)])/detAz = det([A(:,1:2), B])/detA将解代入原方程组中验证：eq1 = 2*x + 3*y - zeq2 = 4*x - y + 2*zeq3 = 3*x + 2*y - 3*z如果方程组有解，那么eq1、eq2和eq3的值应该分别为1、-2和3。
通过以上步骤，可以使用MATLAB中的克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
matlab高斯消元法
matlab高斯消元法
高斯消元法（Gaussian elimination）是一种求解线性方程组的方法，也常用于求解矩阵的逆以及计算矩阵的秩等问题。
在MATLAB 中，可以通过调用 `rref` 函数来实现高斯消元法。
`rref` 函数的用法如下：
```
X = rref(A)
```
其中，`A` 是要进行高斯消元的矩阵，`X` 是结果。
`rref` 函数会将矩阵 `A` 转化为行最简形，并返回结果矩阵 `X`。
以下是一个使用高斯消元法求解线性方程组的示例：
```matlab
A = [2, 1, -1, 8; -3, -1, 2, -11; -2, 1, 2, -3];
X = rref(A);
```
执行上述代码后，`X` 将会是一个行最简形的矩阵，表示线性方程组的解。
另外，如果你只想求解线性方程组的解而不需要得到行最简形矩阵，可以使用 `linsolve` 函数。
```matlab
A = [2, 1, -1; -3, -1, 2; -2, 1, 2];
b = [8; -11; -3];
X = linsolve(A, b);
```
上述代码中，`A` 是系数矩阵，`b` 是常数向量，`X` 是解向量。
执行代码后，`X` 将会是线性方程组的解。
MATLAB求导及线性方程组的求解
实验四物理与电子工程系 电气工程及其自动化 2008126132—吴林 1. 22lim2--→x x x 的极限存在吗？画出其图像。
解：A.syms xlimit(((x-2)/abs(x-2)),x,2)ans =NaNB.ezplot(((x-2)/abs(x-2)),[-10,15])2. 求方程dx/dt = -2x + 8 的解并在同一个图上绘制常量C1=1,2,...,5 时的图象。
解：dsolve('Dx=-2*x+8')ans =4+exp(-2*t)*C1ezplot('Dx=-2*x+8')3．绘制下列函数的图像（1）()2sin f x x x =+，[]0,2π解：f = sym('sin(x) + x^2');ezplot(f,[0,2*pi]);（2）()3221f x x x =++，[]2,2-解：f = sym('x^3 + 2*x^2 + 1');ezplot(f,[-2 2]);4．计算下列各式（1）sin 2ln x x ，求y '解：y = sym('sin(2*x)*log(x)');diff(y)ans =2*cos(2*x)*log(x)+sin(2*x)/x（2）()ln y xy x y =+，求/f x ∂∂，/f y ∂∂，2/f x y ∂∂∂ 解： f = x*y*log(x+y);A. fx = diff(f,x)fx =y*log(x+y)+x*y/(x+y)B. fy = diff(f,y)fy =x*log(x+y)+x*y/(x+y)C. f2xy = diff(fx,y)f2xy =log(x+y)+y/(x+y)+x/(x+y)-x*y/(x+y)^2（3）ln(1)y t dx =+⎰，270ln(1)y t dx =+⎰ 解：A.syms ty = log(1+t);int(y)ans =log(1+t)*(1+t)-1-tB.int(y,0,27)ans =56*log(2)+28*log(7)-275．计算下列各式（1）13nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑解：symsum(sym('(3/n)^n'),1,inf)（2）sin x 在 0 附近的Taylor 展开解：taylor(sym('sin(x)'))6．绘制函数()()()221exp 2f x x y π=-+在33x -<<，33y -<<上的表面图。
matlab最小二乘解方程
matlab最小二乘解方程最小二乘法是求解线性方程组的一种有效方法，可以通过最小化误差平方和来得到最优解。
在MATLAB中，我们可以使用“\”操作符或者使用“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
以下是关于如何在MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组的详细内容:1. 使用“\”操作符使用“\”操作符可以很方便地求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，假设我们有一个由n个方程组成的线性方程组：Ax = b其中，A是一个m ×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
则它的最小二乘解为：x = (A' A)^(-1) A' b在MATLAB中，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = A \ b;其中，反斜杠符号“\”表示求解线性方程组的最小二乘解。
2. 使用“pinv”函数除了使用“\”操作符，我们也可以使用MATLAB中的“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
例如，我们可以通过以下代码实现最小二乘解：A = [1 1 1; 2 3 4; 4 5 7; 5 6 8];b = [1; 2; 3; 4];x = pinv(A) * b;其中，pinv函数表示求矩阵A的伪逆矩阵。
使用“pinv”函数来求解线性方程组的最小二乘解与使用“\”操作符的结果是等价的。
需要注意的是，在使用最小二乘法来求解线性方程组时，矩阵A的列应该是线性无关的，否则可能会出现唯一最小二乘解不存在的情况。
综上所述，MATLAB中使用最小二乘法来求解线性方程组非常简单。
我们可以通过“\”操作符或者“pinv”函数来求解一个线性方程组的最小二乘解。
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法ppt课件
1 c1
y1
2 c2
y2
n1
cn1
yn1
n yn
回代过程为 xi
xn yn / n
x2
d2
给定
an1
bn1
cn1
xn1
d
n1
an bn xn dn
（三对角方程组）
且按行对角占优：b 1 c1 ， bi ai ci (aici 0)， bn an （i 2, , n 1）
36
利用Gauss消元法得到同解的三角方程为
L ( LK L1 )1 ，则
A LU （下三角 上三角）
（三角因子分解） 18
定义3.1 A LU 叫 A 的三角（因子）分解，其中 L是
下三角, U是上三角。
定义3.2 若 L为单位下三角阵（对角元全为1），
U 为上三角阵，则称 A LU 为Doolittle分解;
若L是L 下三角，U 是单位上三角，则称 A LU
设方程组Ax b, 对其增广矩阵作LU分解时,为了避免
k 1
用小ukk作除数,引进量si aik liquqk (i k, k 1, , n) q1
于 是ukk
sk ,比较 |
si
| 的大小, 取 max kin
|
si
| (|
st
|)为ukk ,
并交换矩阵的第t行与第k行, 且元素的足码也相应改变。
l n1
l
n2
l
nn
30
由矩阵乘法
(1)
1)
l2 11
a11
l11
a11
(取正)
2) L第1行 LT第j列 (j 2, ,n)
l11l j1
matlab中solve的用法
在MATLAB 中，`solve` 是一个非常常用的函数，主要用于求解线性方程组或符号方程的解。
以下是`solve` 函数的一些基本用法：
1. 求解线性方程组的解：
```matlab
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % 定义系数矩阵A
b = [6; 15; 24]; % 定义常数向量b
x = solve(A, b) % 求解线性方程组Ax = b 的解
```
在上述代码中，`A` 是系数矩阵，`b` 是常数向量，`x` 是未知向量。
`solve(A, b)` 会返回线性方程组`Ax = b` 的解向量`x`。
2. 求解符号方程的解：
```matlab
syms x y % 定义符号变量x 和y
f = x^2 + y^2 - 1; % 定义符号方程f = x^2 + y^2 - 1
sol = solve(f, x) % 求解符号方程f 关于x 的解
```
在上述代码中，`syms x y` 定义了符号变量`x` 和`y`，`f` 是符号方程。
`solve(f, x)` 会返回符号方程`f` 关于`x` 的解。
注意：如果方程有多个解，`solve` 会返回所有解。
例如，对于方程`x^2 - 4 = 0`，`solve` 会返回`[2, -2]`，表示该方程有两个解`x = 2` 和`x = -2`。
matlab矩阵分解与线性方程组求解
格式
[Q, R] = rsf2csf(q, r) 例4-7
A=[1 1 1 3;1 2 1 1;1 1 3 1;-2 1 1 4]; [q, r]=schur (A) [Q, R]=rsf2csf(q, r)
4.2 秩与线性相关性
4.2.1
汪远征
矩阵和向量组的秩与向量组的线性相关性
矩阵 A 的秩是指矩阵 A 中最高阶非零子式的阶数，或
是矩阵线性无关的行数与列数；向量组的秩通常由该
向量组构成的矩阵来计算。 k = rank(A) 返回矩阵A的行(或列)向量中线性无关个数 k = rank(A,tol) tol为给定误差
在 MATLAB 中，求矩阵秩的函数是 rank 。其格式为：
4.2 秩与线性相关性
4.2.1
汪远征
矩阵和向量组的秩与向量组的线性相关性
4.2 秩与线性相关性
4.2.2
汪远征
求行阶梯矩阵及向量组的基
Matlab 将矩阵化成行最简形的命令是 rref或 rrefmovie 。
其格式为：
R = rref(A) R 是A的行最简行矩阵 [R,jb] = rref(A) jb 是一个向量，其含义为： r = length(jb) 为 A 的秩； A(:, jb)为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的 列。
阵。
4.1 矩阵分解
4.1.2
汪远征
Cholesky分解
例4-2
A=pascal(4) %产生4阶pascal矩阵 [R,p]=chol(A)
4.1 矩阵分解
4.1.3
汪远征QBiblioteka 分解将矩阵A分解成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的
乘积A=QR，称为QR分解。
matlab 解方程组 初始条件
MATLAB解方程组初始条件介绍在数学和工程领域，解方程组是一个常见的问题。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，它提供了许多用于解方程组的函数和工具。
本文将介绍如何使用MATLAB解方程组，并给出一些常见的初始条件。
解方程组解方程组是找到一组未知数的值，使得方程组中的每个方程都成立。
通常，方程组的数量与未知数的数量相等。
方程组可以是线性的或非线性的，具体取决于方程的形式。
MATLAB提供了多种方法来解方程组，包括直接方法和迭代方法。
直接方法使用矩阵运算来求解方程组，而迭代方法通过反复逼近解来求解方程组。
使用MATLAB解线性方程组解线性方程组是最常见的情况之一。
线性方程组的形式如下：A * X = B其中A是一个已知的矩阵，X是未知的向量，B是已知的向量。
我们的目标是找到X的值。
使用MATLAB解线性方程组的一种常见方法是使用mldivide函数，也称为左除运算符。
以下是一个示例：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 10];B = [3; 6; 9];X = A \ B;在上面的示例中，我们定义了矩阵A和向量B，并使用mldivide函数求解X的值。
结果将存储在X向量中。
使用MATLAB解非线性方程组解非线性方程组是更复杂的情况。
非线性方程组的形式如下：F(X) = 0其中F是一个非线性函数，X是未知的向量。
我们的目标是找到使得方程组成立的X的值。
MATLAB提供了多种方法来解非线性方程组，包括牛顿法和拟牛顿法。
以下是一个使用fsolve函数解非线性方程组的示例：function F = myfun(X)F = [X(1)^2 + X(2)^2 - 1; X(1) - X(2)^3];endX0 = [0.5; 0.5];X = fsolve(@myfun, X0);在上面的示例中，我们定义了一个名为myfun的函数，该函数返回一个向量，表示非线性方程组的每个方程。
然后，我们使用fsolve函数传递myfun函数和初始猜测X0来求解方程组。
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《MATLAB语言》课成论文
利用MATLAB求线性方程组
姓名：郭亚兰 学号：12010245331 专业：通信工程 班级：2010级通信工程一班 指导老师：汤全武 学院：物电学院 完成日期：2011年12月17日 利用MATLAB求解线性方程组 （ 郭亚兰 12010245331 2010 级通信一班 ） 【摘要】在高等数学及线性代数中涉及许多的数值问题，未知数的求解，微积分，不定积
分，线性方程组的求解等对其手工求解都是比较复杂，而MATLAB语言正是处理线性方程组的求解的很好工具。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 【关键字】线性代数 MATLAB语言 秩 矩阵 解
一、基本概念 1、N级行列式A：A等于所有取自不同性不同列的n个元素的积的代数和。 2、矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。 3、线性无关：一向量组（a1,a2,„,an）不线性相关，既没有不全为零的数k1,k2,„„„kn使得：k1*a1+k2*a2+„„„+kn*an=0 4、秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。 5、矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B) 6、一般线性方程组是指形式：ssnssnnnnbaxaxabxaxaxabxaxaxn22112222212111212111x********a 二、基本理论 三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一方程；3，互换两个方程的位置。以上称出等变换。 消元法 首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组：1，如果剩下的方程当中最后的一个等式等于一非零数，那么方程组无解；否则有解；2，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；3，如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。 定理1：线性方程组有解的充要条件为：R(A)=R(A,b) 线性方程组解的结构： 1：对齐次线性方程组，a:两个解的和还是方程组的解；b:一个解的倍数还是方程组的解。定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,„ui称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果：齐次线性方程组的任一解都表成u1,u2,„ui的线性组合，且u1,u2,„ui线性无关。 2：对非齐次线性方程组 （1）方程组的两个解的差是（2）的解。 （2）方程组的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。 定理2 如果R0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解R都可以表成;R=R0+V„. 其中V是（2）的一个解，因此，对方称（1）的任一特解R0，当v取遍它的全部解时，（3）就给出了(1)全部解。 三：基本思路
线性方程的求解分为两类：一类是方程求唯一解或求特解；一类是方程组 求无穷解即通解。 （1）判断方程组解的情况。1:当R(A)=R(B)时，有解（R(A)=R(A，b)）>=n 唯一解，R(A)=R(A,b)(n,有无穷解)；2：当R(B)+1=R(A，b)时无解。 （2）求特解； （3）求通解（无穷解），线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解+非齐 次方程组的一个特解； 注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要使用到（1）,(2)步！ 四、基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1、（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 2、利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b,解法：X=A\b，（注意此处’\’不是’/’）
(1)求方程组 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 命令如下： A=[2,-1,-1,1;1,1,-2,1;4,-6,2,-2;3,6,-9,7];%产生4x4阶系数矩阵 b=[2,4,4,9]'; %对矩阵进行转置 x=A\b %进行左初运算 x = NaN Inf Inf -3.0000 曾介绍过利用矩阵求逆来解线性方程组，即其结果于使用左除是相同的。 2、利用矩阵的分解求线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种运算将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见矩阵分解如，LU,QR和Cholesky分解求方程组的解，这三种分解，再求大型方程组是很有用。其优点是运算速度快，可以节省磁盘空间，节省内存。 （1）LU分解又称Gauss 消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变 换形式（行变换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU,L为下三角阵,U为上三角 阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。 命令 [L,U]=lu(A) 在matlab中可以编如下通用m文件； 在MATLAB建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L,U]=lu(A); %产生一个三角矩阵A和一个变换形式的下三叫矩阵L（交 换行），使之满足A=LU X=U\(L\b) %L右乘b的结果再右乘U得到x的值
(2)求方程组 6377323521432143214321xxxxxxxxxxxx 命令如下： A=[1,1,-1,-1;2,-5,3,2;7,-7,3,1]; %产生3x4阶系数矩阵 b=[1,3,6]'; %对矩阵进行转置 [L,U]=lu(A); %产生一个三角矩阵A和一个变换形式的 下三叫矩阵L（交换行），使之满足A=LU x=U\(L\b) %L右乘b的结果再右乘U得到x的值 x = 0.4286 -0.4286 0 0 rank = 2, tol = 6.7642e-015. 采用第二种格式分解， 在MATLAB建立M文件如下 %exp1.m A;b; [L,U,P]=lu(A); X=U\(L\P*b)
(3)求方程组 7377323521432143214321xxxxxxxxxxxx 命令如下： A=[1,1,-1,-1;2,-5,3,2;7,-7,3,1];%产生3x4阶矩阵 b=[1,3,7]'; %对矩阵进行转置 [L,U,P]=lu(A); %产生一个三角矩阵A和一个下三角阵L以 及一个置换矩阵P,使之满足PA=LU x=U\(L\P*b) %x的值 x = 0.6667 -0.3333 0 0 rank = 2, tol = 6.7642e-015. (II)Cholesky分解 若A为对成正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其 转置的乘积，即:A=R’*R 其中R为上三角矩阵。 方程 A*X=b 变成 R’*R*X=b 所以 X=R\(R’\b) 在MATLAB中建立M文件如下 %exp2.m A;b; [R’,R]=chol(A); %产生一个上三角矩阵R，使R’R=A X=R\(R’\b) %x的值 (4)求方程组 5.032130432143214321xxxxxxxxxxxx 命令如下： A=[1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3]; %产生3x4阶的矩阵 b=[0,1,-0.5]'; %对矩阵进行转置 [R'R]=chol(A); %产生一个上三角矩阵R，使R'R=A x=R\(R'\b) %x的值 ??? Error using ==> chol Matrix must be square. 命令执行时，此格式将不出现错误信息。当A为对称正定时，则p=0； 否则p为一个正整数。如果X未满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角 阵，且满足R’R=A(1：q,1:q)。 （3）QR分解 对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角 矩阵的初等变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\(Q\b) 上例中 [Q,R]=qr(A) %产生一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之A=QR X=R\(Q\B) %x的值 在MATLAB中建立M文件如下 %exp3.m A;b; [Q,R]=qr(A); X=R\(Q\b)
(5)求方程组 831110x2322421321321xxxxxxx 命令如下： A=[4,2,-1;3,-1,2;11,3,0]; %产生3x3阶的矩阵