MATLAB矩阵、线性方程与定积分
MATLAB矩阵操作大全
MATLAB矩阵操作大全1. 创建矩阵：可以使用函数`zeros`、`ones`、`eye`、`rand`等来创建全零矩阵、全一矩阵、单位矩阵和随机矩阵。
2.矩阵索引：可以使用`(`或`[]`来访问矩阵中的元素。
例如，`A(3,2)`表示访问矩阵A中第3行第2列的元素。
3.矩阵运算：可以使用`+`、`-`、`*`、`/`等运算符对矩阵进行加法、减法、乘法和除法运算。
4. 矩阵转置：可以使用`'`符号或`transpose`函数来对矩阵进行转置操作。
例如，`B = A'`表示将矩阵A转置为矩阵B。
5.矩阵加法和减法：可以使用`+`和`-`运算符对两个矩阵进行逐元素的加法和减法运算。
6.矩阵乘法和除法：可以使用`*`和`/`运算符对矩阵进行乘法和除法运算。
注意，矩阵乘法是按照矩阵相应元素进行乘法运算，并不是简单的逐元素乘法。
7. 矩阵求逆：可以使用`inv`函数来求矩阵的逆矩阵。
例如，`B =inv(A)`表示求矩阵A的逆矩阵，并将结果保存在矩阵B中。
8. 矩阵转换：可以使用转换函数`double`、`single`、`int8`、`int16`、`int32`、`int64`等将矩阵的数据类型转换为指定类型。
9. 矩阵求解线性方程组：可以使用`solve`函数来求解线性方程组。
例如，`x = solve(A, b)`表示求解线性方程组Ax = b，并将结果保存在向量x中。
10. 矩阵求特征值和特征向量：可以使用`eig`函数来求矩阵的特征值和特征向量。
例如，`[V, D] = eig(A)`表示求矩阵A的特征值和特征向量，并将结果保存在矩阵V和对角矩阵D中。
11. 矩阵的行列式：可以使用`det`函数来计算矩阵的行列式。
例如，`D = det(A)`表示计算矩阵A的行列式，并将结果保存在变量D中。
12. 矩阵的秩：可以使用`rank`函数来计算矩阵的秩。
例如，`r = rank(A)`表示计算矩阵A的秩，并将结果保存在变量r中。
MATLAB教程4
4.4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ拟合与插值
说明：interp1仅是 插值指令的一种， 还有interp2 、 interp3等。
ys=interp1(x,y,xs,’method’); 其中:(1) x,y是测量数据对； (2) xs是需要内插的点所构成的向量。 (3) method是指所使用的内插方法。 插值算法： ‘nearest’，‘linear’，‘spline’，‘cubic’
f ( x) g ( x) f ( x) / g ( x)
杨惠--《matlab语言及应用》--第四章
4.3 多项式计算
3.
功能：按数组运算规则计算多项式的值。 多项式值的计算： 其中x可以是标量和数组。
y=polyval(p,x); y=polyvalm(p,x);
功能：按矩阵运算规 则计算多项式的值。 其中x必须为方阵。
conv(p1,p2)
3、多项式除法运算
[Q,r]=deconv(p1,p2)
p1=conv(p2,Q)+r
例题开讲
f ( x) 3x 5 5 x 4 2 x 3 7 x 2 5 x 6 g ( x) 3x 2 5 x 3
已知
求： (1) f ( x) g ( x) (2) f ( x) g ( x)
4.4 拟合与插值
1）最邻近插值方法（nearest）
插值点的值与其最邻近的点的函数值相等。
*
*
*
*
*
4.4 拟合与插值
2）线性插值方法（ linear ）
插值点的值在前，后两个数据点所构 成的直线上。
*
*
*
*
*
4.4
拟合与插值
如何用matlab计算定积分-matlab求积分
用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑∫=→∆∆==ni iix baxf dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈−=∆=<<<=−−ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。
有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。
微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba−=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。
不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。
从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。
在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。
一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。
多元函数的积分称为多重积分。
二重积分的定义为∑∑∫∫∆∆=→∆+∆ijji jiy x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。
二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。
matlab矩阵与线性变换与计算
05
实例演示
矩阵的基本操作实例
矩阵的创建
使用方括号[]，例如A = [1 2; 3 4]。
矩阵的加法
使用加号+，例如B = [5 6; 7 8]，则A + B = [6 8; 10 12]。
矩阵的数乘
使用标量乘法，例如2 * A = [2 4; 6 8]。
矩阵的元素运算
使用点运算符.，例如A.^2 = [1 4; 9 16]。
矩阵计算实例
行列式计算
使用det函数，例如det(A) = -2。
行最简形式
使用rref函数，例如rref(A) = [1 0; 0 1]。
矩阵的逆
使用inv函数，例如inv(A) = [-2 -3; 1.5 0.5]。
矩阵的转置
使用'运算符，例如A' = [1 3; 2 4]。
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Matlab矩阵与线性变换与计 算
• Matlab矩阵基础 • 线性变换 • 矩阵计算 • Matlab中的矩阵与线性变换操作 • 实例演示
01
Matlab矩阵基础
矩阵的定义与表示
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行和 列的数量可以不同。
还可以使用分号来分 隔行，以创建多行矩 阵。
在Matlab中，可以 使用方括号[]来创建 矩阵，并使用逗号分 隔行内的元素。
矩阵的基本操作
加法
将两个矩阵的对应元素相加。
减法
将一个矩阵的对应元素减去另 一个矩阵的对应元素。
数乘
将一个标量与矩阵中的每个元 素相乘。
转置
将矩阵的行和列互换。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其他元素都为零 的矩阵。
三用MATLAB实现定积分计算
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
n
In Ai f (xi )
(11)
i1
如何选择节点xi 和系数Ai ，使(11)计算的精度更高？
令我f们(x不)=妨xk只，考用虑(11)I式计11算f (
Ix)dx
b a
f而( x构)d造x,代若数对精于度k为=03,的1,.形..,m如都
有In = I ，而G当2=kA=1mf(+x11)时+ A，2Ifn(x≠2)I ，则称In 的代数精度为m(1。2)梯
s1=s1+y(2*i); end for j=1:m-1
s2=s2+y(2*j+1); end s=(y(1)+y(n)+4*s1+2*s2)*h/3;
当被积函数不是解析表示时, 比如离散数据表表示的函数 通常就用这个函数按辛甫森 公式计算积分。
二 高斯（Gauss)求积公式
各种近似求积公式都可以表示为
tqruaapdz(('yf)un',a(按b,b-)a梯)/形n（公参用式考辛计书甫算P森定22（积3）2分阶（）单公位式步计长算）函。数fun在区间 trapz(x,y) x , y同长[ 度a, ，b]的输积出分y ，对自x动的选按择梯步形长公。式计算的积分 quad('fun',a（,b变,to步l) 长）与。上同，但指定了相对误差 tol。 quadl(‘fun’,a,b,tol) 用自适应Gauss-Lobatto公式计算，精度 更高。
matlab矩阵运算实验报告
matlab矩阵运算实验报告Matlab矩阵运算实验报告一、引言矩阵运算是数学和工程领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
Matlab作为一种强大的数学软件工具，提供了丰富的矩阵运算功能，可以帮助我们进行高效的数值计算和数据处理。
本实验报告将介绍Matlab中的矩阵运算功能，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
二、矩阵运算的基本概念矩阵是由若干个数按照行和列排列形成的一个矩形阵列，它是线性代数中的基本工具。
在Matlab中，矩阵可以通过直接输入数值或使用内置函数生成。
矩阵运算包括加法、减法、乘法、转置等操作，这些操作可以对矩阵的每个元素进行运算，也可以对整个矩阵进行运算。
三、矩阵运算的实例分析1. 矩阵的创建与赋值在Matlab中，可以使用以下命令创建一个矩阵，并对其进行赋值操作：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];这样就创建了一个3行3列的矩阵A，并对其进行了赋值。
可以通过输入A来查看矩阵A的内容。
2. 矩阵的加法与减法矩阵的加法和减法是按照对应元素进行运算的。
例如，对于两个3行3列的矩阵A和B，可以使用以下命令进行加法运算：C = A + B;同样地，可以使用以下命令进行减法运算：D = A - B;这样就得到了矩阵C和D。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是按照行乘以列的方式进行的。
例如，对于一个3行2列的矩阵A和一个2行4列的矩阵B，可以使用以下命令进行乘法运算：C = A * B;这样就得到了一个3行4列的矩阵C。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列进行交换的操作。
例如，对于一个3行2列的矩阵A，可以使用以下命令进行转置操作：B = A';这样就得到了一个2行3列的矩阵B。
四、矩阵运算的应用实例矩阵运算在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个简单的实例，通过矩阵运算来解决线性方程组的问题。
假设有一个线性方程组：2x + y = 4x + 3y = 6可以将其表示为矩阵形式：A = [2, 1; 1, 3];B = [4; 6];通过矩阵运算可以求解出未知数x和y的值：X = A \ B;这样就得到了未知数x和y的值。
Matlab中常用的数学函数介绍与应用
Matlab中常用的数学函数介绍与应用引言：Matlab是一种强大的数学计算工具，它提供了丰富的函数库，可以方便地进行各种数学运算和数据分析。
本文将介绍一些常用的Matlab数学函数，并讨论它们的具体应用场景和用法。
一、线性代数函数1.1 dot函数dot函数用于计算两个向量的点积。
在向量计算中，点积可以帮助我们判断两个向量之间的夹角以及它们的相似程度。
例如，我们可以使用dot函数来计算两个特征向量之间的相似性，从而实现图像分类或者特征匹配。
具体用法：C = dot(A,B)，其中A和B是两个向量。
计算结果将存储在变量C 中。
1.2 inv函数inv函数用于计算一个矩阵的逆矩阵。
在线性代数中，逆矩阵对于求解线性方程组、求解最小二乘问题以及确定矩阵的特征值等具有重要作用。
通过使用inv函数，我们可以方便地求解这些问题。
具体用法：B = inv(A)，其中A是输入的矩阵，B是其逆矩阵。
1.3 eig函数eig函数用于计算一个矩阵的特征值和特征向量。
在许多数学和物理问题中，特征值和特征向量都具有重要的意义。
例如，在图像压缩和图像处理中，特征值分解可以帮助我们找到最佳的基向量，从而实现更好的图像压缩效果。
具体用法：[V,D] = eig(A)，其中A是输入的矩阵，V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵。
二、微积分函数2.1 diff函数diff函数用于计算一个函数的导数。
在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率，具有重要的应用价值。
通过使用diff函数，我们可以方便地计算函数的导数，从而求解一些最优化问题、优化算法以及信号处理等领域的相关问题。
具体用法：Y = diff(X)，其中X是输入的函数，Y是其导数。
2.2 int函数int函数用于计算一个函数的不定积分。
在微积分中，不定积分表示函数在某一区间上的面积或体积，对于求解曲线下面积、计算变量间的相关性以及估计概率密度分布等问题非常有用。
通过使用int函数，我们可以轻松地计算函数的不定积分。
matlab对矩阵积分
matlab对矩阵积分
Matlab是一种非常强大的计算工具，它可以帮助用户轻松地进行复杂的数学任务——尤其是矩阵积分。
Matlab提供了一系列的函数来快速准确地计算矩阵和矩阵的积分。
本文将介绍Matlab中矩阵和矩阵积分计算的函数，并给出一些实例，展示Matlab中矩阵积分的使用方法。
一、矩阵
矩阵是Matlab数据类型的一种，它由行和列组成的数字组成，可以用来表示函数。
Matlab中的矩阵可以通过矩阵生成函数和矩阵操作函数来构建。
1、矩阵生成函数
Matlab提供了许多矩阵生成函数，可以用来快速生成特定大小的矩阵，或者生成特定格式的矩阵。
一些常用的矩阵生成函数如下：（1）ones：生成全1的矩阵
（2）zeros：生成全0的矩阵
（3）eye：生成单位矩阵，对角线为1，其他元素为0
（4）linspace：生成等差数列的矩阵
（5）logspace：生成等比数列的矩阵
例如，可以使用ones函数创建一个3×4的全1矩阵：
A = ones(3,4);
二、矩阵的积分
矩阵的积分是对矩阵进行数值积分的过程，即计算矩阵上的每个
元素的积分值。
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p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。
poly2str(p,’x’) 得到多项式的习惯形式
例1 ans
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’)
p=[1 -5 6] x^2-5x+6
1、逆矩阵法（求逆法）
矩阵的基本运算 矩阵特征值、特征向量 解线性方程组 用数值方法计算定积分
矩阵的基本运算
注意
数乘
k*A
矩阵的左除
A\B
矩阵的右除
A/B
矩阵的行列式 det(A)
矩阵的逆
inv(A)
矩阵的乘幂
A^n
矩阵行变换化简 rref(A)
k是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整数
求A阶梯形的行最简形式
P82 表5-1
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
[V,D]=eig(A)
例1 ans
A=[1,-1;2,4]; [V,D]=eig(A)
V= -985/1393 985/1393
1292/2889 -2584/2889
方阵A的特 征向量矩阵
D=
2
0
0
3
方阵A的特 征值矩阵
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
解
0 1 -11/10 0
线
性
00
0
1
方
程
组 结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于
非零的情况，故方程组无解。
用数值方法计算定积分 P145
y
b
a f (x)dx
y=f(x)
的几何意义
x
a
b
有三种方法： 1、 矩形法 2、复合梯形公式 3、复合辛普生公式
1、使用矩形法求定积分
例1 计算定积分
输出结果： z1 = 3.151575986923129 z2 = 3.131575986923129 u1 = 0.0100 u2 = -0.0100
2、复合梯形公式
用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和 以获得定积分的近似值，比矩形法精度高。
命令：trapz(x,y)
相当于求
n
i1
y(i) y(i 2
14
0 1 x2 dx ,
解 MATLAB命令为:
与精确值 比较。
h=0.01;x=0:h:1; y=4./(1+x.^2); format long z1=sum(y(1:length(x)-1))*h
%左矩形公式
z2=sum(y(2:length(x)))*h
%右矩形公式
format short u1=z1-pi,u2=z2-pi
00 0 0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于
x1
4 x3
x2
3 4
x3
1 4
x4
方程的个数<未知量个数 有无穷多个解
取
x3 x4
1 3
得 x1 4
x2
0
取
x3 x4
0 4
得
x1 x2
0 1
基础解系为
4
1
0 1
3
0
2
1
0
， 4
所以方程的通解为
解
x1 4 0
1)xi
3、复合辛普生公式
用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后 求和以获得定积分的近似值，精度比前两种方法高。
命令：quad(‘fun’,a,b,tol,trace)
1、式中fun是被积函数表达式字符串或者是M函数 文件； 2、a,b是积分的下限与上限； 3、tol代表精度，可以缺省（tol=0.001）； 4、trace=1时用图形展示积分过程，省略时无图形。
x1 8x2 10x3 2x4 0 2x1 4x2 5x3 x4 0
解
3x1 8x2 6x3 2x4 0
线 解： Matlab命令为
性
A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
方
rref(A)
程
组
ans=
104 0
系数矩阵 行的最简形式
0 1 -3/4 -1/4
运行结果为： s1 = 0.1787 s2 = 0.1829 s3 = 0.1808 s4 = 0.1808
例3
用三种方法计算定积分
1
0
sin x2 x1
dx
的值。
解: 编程如下： x=0:0.01:1;
y=sin(x.^2)./(x+1); s1=sum(y(1:100))*0.01 s2=sum(y(2:101))*0.01 s3=trapz(x,y)
ff=inline('sin(x.^2)./(x+1)','x') s4=quad(ff,0,1)
例1： 求方程组的解
2x 3y 4
解
x y 1
线 性
解： A=[2,3;1,-1];
方
b=[4;1]
程
X=inv(A)*b
组 ans X =
1.4000
0.4000
相当于
2 1
3 1
x
y
4
1
方程的解是：x=1.4, y=0.4
逆矩阵法（左除与右除法） AX=B X=A\B
例1： 求方程组的解
XA=B X=B/A
2x 3y 4
解
x y 1
线 解： A=[2,3;1,-1];
性
b=[4;1]
方
X=A\b
程 组 ans X =
1.4000
0.4000
相当于 AX=b,X=A\b
方程的解是：x=1.4, y=0.4
2、初等变换法 在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：
1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
ans =
1
-1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
1/2
0
0
1
-2
1/2
0
0
0
0
0
例 求非齐次线性方程组的通解
4x1 2x2 x3 2
3x1 1x2 2x3 10
解
11x1 3x2 8
线
性 解： Matlab命令为
方
程
B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8];
组
rref(B)
ans=
1 0 3/10 0
线 性 方
x2 x3 x4
k1
0
1
3
k2
1
0
4
程
组
其中 k1, k2 是任意实数
例5-21 求非齐次线性方程组的通解 解： MATLAB命令为：
x1
x2
x3
x4
0
x1 x2 x3 3x4 1
x1
x2
2x3
3x4
1 2
B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B)
解
后的恒等式“0=0”去掉；
线
2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非
性
零的数，那么方程无解。否则有解；
方 程
3、在有解的情况下：
组
如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量
的个数，那么方程组有唯一的解；
如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量
的个数，那么方程组有无穷多个解。
例5-20 求齐次线性方程组的通解