matlab求定积分之实例说明
MATLAB给出了quad函数来求定积分-Read
例：前一例子 [分别用quad函数和quadl函数求定积分
的近似值，并在相同的求[0,pi] 定积分 f=x*sin(x)/(1+cos(x)*cos(x)) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl('x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x))',0,pi) I= 2.4674
MATLAB @SDU 9
函数极值
• MATLAB中只存在处理极小值命令的函数， 极大值的处理等价于-f(x)的极小值 • 局域极值的函数调用： • x = fminbnd(fun,x1,x2,options)：一元函数 的[x1,x2]范围内极小值 • x = fminsearch(fun,x0,options): 单纯形法 求函数极值，x0为向量 • X=fminunc(fun,X0,options): 拟牛顿法多元 函数极值点
MATLAB @SDU 5
例 求[0.3pi]定积分 f=exp(-0.5*x)*sin(x+pi/6); 。
调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)',0,3*pi) S= 0.9008 n= 77
MATLAB @SDU
6
2．高阶法：自适应牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了 quadl函数来求定积分。该函数的调用格式 为： [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是用高 阶自适应递推法，该函数可以更精确地求 出定积分的值，且一般情况下函数调用的 步数明显小于quad函数，从而保证能以更 高的效率求出所需的定积分值。
matlab的求导和积分运算
在MATLAB中，你可以使用不同的函数来进行求导和积分运算。
下面是一些详细解答：
求导运算：
MATLAB中用于求导的主要函数是diff。
以下是一些示例：
对符号表达式求导：
这里，f是一个符号表达式，diff(f, x)计算了对变量x的导数。
对数值数据求导：
在这个例子中，我们使用diff函数来对数值数据进行数值求导。
注意，由于diff返回的是差异，我们需要用./来执行逐元素的除法。
积分运算：
MATLAB中用于积分的主要函数是integral。
以下是一些示例：
对符号表达式积分：
这里，f是一个符号表达式，integral(f, a, b)计算了从a到b的定积分。
对数值数据积分：
在这个例子中，我们使用trapz函数对数值数据进行数值积分。
trapz是梯形积分的数值实现。
这只是求导和积分的一些基本示例。
在实际应用中，你可能会遇到更复杂的函数和更高级的数值方法，但这应该能帮助你入门。
matlab实验报告--定积分的近似计算
abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定 积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计 算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数 值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
matlab复合梯形法求定积分
matlab复合梯形法求定积分
Matlab中的复合梯形法是一种求解定积分问题比较有效的方法。
它的基本思想是用一些梯
形的面积累加的方式来近似地求出积分。
具体来说，首先将定积分区间定义为[a,b]，则复合梯形法对这一区间进行划分，生成n个
子区间，每个子区间都可以由一组等距的端点构成，也就是x0, x1, x2,…, xn。
在每个子区
间中，假设被积函数y=f(x)的值分别为y0, y1, y2,…, yn，则复合梯形法的近似值可以用如
下公式表示：
I=∑i=0n[(x_{i+1}-x_i)/2][f(x_i)+f(x_{i+1})]
以上所述是Matlab中复合梯形法求解定积分的基本思想和步骤，总体流程是给定定积分，首先将区间划分为n个子区间，其每个子区间有一组等距的端点，然后用上面提到的公式
累加每个子区间在相应端点处的函数值，就可以得到最终的定积分结果。
它比一般的数值
积分方法收敛要快，计算结果也更精确，所以在很多定积分求解问题中仍然作为有效的计
算方法。
小小知识点（十二）利用MATLAB计算定积分
⼩⼩知识点（⼗⼆）利⽤MATLAB计算定积分⼀重定积分1. Z = trapz(X,Y,dim)梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使⽤梯形公式进⾏积分%举例说明1clcclear all% int(sin(x),0,pi)x=0:pi/100:pi; %积分区间y=sin(x); %被积函数z = trapz(x,y) %计算⽅式⼀z = pi/100*trapz(y) %计算⽅式⼆运⾏结果被积函数曲线2、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)⾃适应simpson公式数值积分，适⽤于精度要求低，积分限[a,b]必须是有限的,被积函数平滑性较差的数值积分.[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)⾃适应龙贝格数值积分，适⽤于精度要求⾼，积分限[a,b]必须是有限的，被积函数曲线⽐较平滑的数值积分%举例说明2% 被积函数1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]clcclear allF = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n); %被积函数Q1 = quad(@(x)F(x,5),0,2) %计算⽅式⼀Q1 = quad(F,0,2,[],[],5) %计算⽅式⼆Q2 = quadl(@(x)F(x,5),0,2) %计算⽅式⼀Q2 = quadl(F,0,2,[],[],5) %计算⽅式⼆运⾏结果被积函数曲线可能警告：1.'Minimum step size reached'意味着⼦区间的长度与计算机舍⼊误差相当，⽆法继续计算了。
原因可能是有不可积的奇点2.'Maximum function count exceeded'意味着积分递归计算超过了10000次。
原因可能是有不可积的奇点3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。
matlab 曲线积分
matlab 曲线积分
在MATLAB中执行曲线积分有几种方法，下面列出两种常见
的方法：
方法一：使用“integral”函数
可以使用“integral”函数来计算曲线的定积分。
该函数的语法如下：
integral(fun, a, b)
其中，fun是定义曲线函数的句柄，a和b是积分的区间端点。
下面是一个示例，计算曲线y=x^2在区间[0, 1]上的定积分：
fun = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
result = integral(fun, a, b)
方法二：使用“quad”函数
如果曲线函数不是基本函数，可以使用“quad”函数来计算曲线
积分。
该函数的语法如下：
quad(fun, a, b)
其中，fun是定义曲线函数的句柄，a和b是积分的区间端点。
下面是一个示例，计算曲线y=sin(x)在区间[0, pi]上的定积分：fun = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
result = quad(fun, a, b)
需要注意的是，“quad”函数在计算积分时比“integral”函数更慢，但对于复杂的曲线函数来说，它可能是唯一可行的方法。
matlab定积分及应用
实验四 定积分及应用实验的目的1、掌握利用Matlab 进行积分运算；2、掌握积分在计算面积、体积等问题中的应用；3、掌握各种积分指令的区别与特点。
实验的基本理论与方法1、定积分定义：函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分定义为：设函数)(x f 在],[b a 上有界，在区间],[b a 上任取1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把],[b a 分成n 个小区间],[1i i i x x -=∆， n i ,,2,1 =。
这些分点构成对区间],[b a 的一个分割，用T 表示。
小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x 。
记{}i ni x T ∆=≤≤1ma x ，称为分割T 的模。
在区间],[1i i ix x -=∆上取点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ，做函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ。
当0→T 时，和S 总趋于确定的极限，这时这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(。
即i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ。
2、定积分的应用①计算平面图形的面积：由连续曲线)0)()((≥=x f x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形面积为⎰=badx x f S )(；②计算旋转体的体积：由连续曲线)(x f y =，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所成立体的体积为⎰=badx x f V 2)]([π；③计算平面曲线的弧长：设曲线弧由直线坐标方程))((b x a x f y ≤≤=给出，其中)(x f 在],[b a 上具有一阶连续导数，则曲线弧长dx y l ba⎰'+=21；设曲线弧由参数方程⎩⎨⎧≤≤==)(,)()(βαt t y y t x x 给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长dt t y t x l ⎰'+'=βα22)()(；设曲线弧由极坐标方程))((βθαθ≤≤=r r 给出，其中)(θr 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长θθθβαd r r l ⎰'+=22)()(。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、符号积分符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式NORMINV(probability,mean,standard_dev)Probability 正态分布的概率值。
Mean 分布的算术平均值。
Standard_dev 分布的标准偏差。
F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法Isim =0.746824180726425IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法IL =0.746824133988447三、梯形法求向量积分trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。
>>d=0.001;>>x=0:d:1;>>S=d*trapz(exp(-x.^2))S=0.7468或：>>format long g>>x=0:0.001:1; %x向量，也可以是不等间距>>y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量>>S=trapz(x,y); %求向量积分S =0.746824071499185int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。
如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。
如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
[FROM: 58.192.116.*]对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：>> syms x>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))>>s=int(y,x,0,inf)y =exp((-x^2-x-1)/(1+x))Warning: Explicit integral could not be found.>> In sym.int at 58s =int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0 .. Inf)只有通过数值计算解法>> dx=0.05; %采样间隔>>x=0:dx:1000; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));>>S=dx*cumtrapz(y); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得>>S(end)ans =0.5641 %所求定积分值或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：%表达式保存为函数文件function y=fxy(x)y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x)); % save fxy.m% main --------主程序clear,clch=.001;p=0;a=0;R=input('请输入积分上限，R=')while a<Rp=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;a=a+h;endp=vpa(p,10)运行主程序后得到结果：请输入积分上限，R=1000R =1000p =.5641346055其它结果如下：0-1: int=.30676016860-2: int=.45996331590-5: int=.55830682170-10: int=.56409289750-100: int=.56413460550-1000: int=.5641346055[FROM: 211.65.33.*]在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。
而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z 了，可以求三重积分了。
完整函数程序：function Fn(n1,n2,n3)if n1==0e1=1;else if n1>0e1=2;endendif n2==0e2=1;else if n2>0e2=2;endendif n3==0e3=1;else if n3>0e3=2;endendF=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi* z/9);S=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5) %求三重数值积分将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：>> Fn(1,1,1)S =866.9655[FROM: 211.65.33.*]三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)其中被积函数F用"匿名函数"来表达，即F=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。
而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。
完整函数程序：function Fn(n1,n2,n3)if n1==0e1=1;else if n1>0e1=2;endendif n2==0e2=1;else if n2>0e2=2;endendif n3==0e3=1;else if n3>0e3=2;endendF=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);x=triplequad(F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)>> Fn(1,1,1)x =866.9655[FROM: 58.192.116.*]。