拉格朗日乘数法word版
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线【原创版】目录1.引言2.拉格朗日乘数法的基本原理3.最速降线的定义和求解方法4.使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤5.结论正文1.引言在物理学中，最速降线问题是一个经典的力学问题。
它描述了一个物体在重力作用下，从一点到另一点的最短时间路径。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来求解。
拉格朗日乘数法是一种数学方法，可以将带有约束条件的最优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
在本文中，我们将使用拉格朗日乘数法来计算最速降线。
2.拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
它将一个有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转换为一个有 n+k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
3.最速降线的定义和求解方法最速降线是指一个物体在重力作用下，从一点到另一点的最短时间路径。
求解最速降线的方法可以分为两类：一类是基于微分几何的方法，另一类是基于最优化方法的方法。
其中，拉格朗日乘数法是一种基于最优化方法的求解最速降线的方法。
4.使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤如下：（1）首先，根据物体的运动方程，得到物体的速度和加速度。
（2）其次，根据最速降线的定义，构建一个带有约束条件的优化问题。
约束条件通常是物体在运动过程中不能超出一定的边界。
（3）然后，引入拉格朗日乘数法，将带有约束条件的优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
（4）接着，求解得到的方程组，得到物体在运动过程中的速度和加速度。
（5）最后，根据物体的速度和加速度，求解物体在最短时间内到达终点的路径，即最速降线。
5.结论拉格朗日乘数法是一种有效的求解最速降线的方法。
通过引入拉格朗日乘数，可以将带有约束条件的最优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
第八章_拉格朗日乘子法
应用力学研究所
第10页
§8.1 Lagrange第一类方程
例8-2 质量为m1的质点A，放在倾角为α、质量
y
B( x2 , y2 )
m1g
A( x1 , y1 )
为m2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面
上滑动。不计摩擦，适用Lagrange第一类方程求 质点和楔块的加速度以及它们所受的约束力。 解：系统的约束方程
应用力学研究所 李永强 第6页
§8.1 Lagrange第一类方程
Fi mi i A ,i 0 x
1
d g
i 1, 2,
,3 n
这就是LagrangeΒιβλιοθήκη 一类方程3 解法：联合
d g x Fi mi i A ,i 0 1 f x1 , x2 , , x3n , t 0 3n A ,i xi D 0 i 1
系统为完整系统。
应用力学研究所 李永强 第9页
2
2
2
§8.1 Lagrange第一类方程
小球A受到的主动力为重力，沿负x2轴方向，即有
F1 = F3 = 0，F2 = -mg
系统的完整约束的个数 d = 2，
A ,i f xi
代入Lagrange第一类方程
1,2, , d
4 Lagrange乘子的物理意义
假设质点系仅受一个含时间的几何约束， f x1 , x2 ,, x3n , t 0
则Lagrange第一类方程写成
Fi mi i x f 0 xi
i 1, 2, ,3n
如上述约束所引起的对第 i 个质点的约束反力为Ni ，则由达朗伯原理，存在:
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）
首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导
例如φ(x,y)=
则其对x的偏导数为：=2x+y
其对y的偏导数为：=2y+x
做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，
则用偏导数方法列出方程：
解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：
考虑两个变元的情况，
如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=
F(x,y,)= 2x y+()
求偏导数：=2+(8x+y)=0
=1+(2y+x)=0
两方程联立：可得2x=y，代入方程
解得：y=
则：2x y
令f(x,y)=, φ(x,y)=
F(x,y,)=+()
偏导数：=2x+(8x-5y)
=2y+(8y-5x)
显然易得=时方程成立
解得，==。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：一、引言二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍2.拉格朗日乘数法的基本思想三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内2.极值点在可行域外四、拉格朗日乘数法的优势与局限性五、结论正文：一、引言拉格朗日乘数法作为一种优化算法，主要用于解决条件极值问题。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样可以发挥作用。
本文将从不等式约束的拉格朗日乘数法的基本思想和应用入手，详细介绍这一方法在不等式约束问题中的应用。
二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍在实际问题中，我们常常会遇到一些带有约束条件的优化问题。
例如，在经济学中，资源有限的情况下，我们需要在多种生产要素之间进行优化选择，以实现利润最大化。
这类问题中，约束条件往往表现为不等式形式，如生产要素的边界条件、技术水平等。
2.拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法的核心思想是将原始问题转化为一个新的问题，通过求解新问题来间接地解决原始问题。
在新问题中，原始问题的约束条件被转化为拉格朗日乘数项，通过引入拉格朗日乘数项，我们可以将原始问题的约束条件转化为函数的形式，进而利用导数等工具求解最优解。
三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内当极值点落在可行域内时，我们可以通过构建拉格朗日函数，并求解其梯度方程来找到最优解。
在这个过程中，我们需要分别讨论极值点在可行域内的不同情况，如极值点在可行域内的某个角点、极值点在可行域内的边界等。
2.极值点在可行域外当极值点落在可行域外时，最优解往往出现在可行域的边界上。
此时，我们需要通过求解拉格朗日函数在边界上的最小值来找到最优解。
同样，我们需要根据极值点在可行域外的具体位置，分情况讨论求解问题。
四、拉格朗日乘数法的优势与局限性拉格朗日乘数法在不等式约束问题中的应用具有一定的优势，如易于理解和实现，能够有效地处理有界闭区域上的最值问题等。
然而，拉格朗日乘数法也存在一定的局限性，如在处理非凸优化问题时，可能存在多个极值点，需要通过其他方法进一步筛选。
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
(完整word版)拉格朗日乘数法.doc
1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1） f ( , )x 2y 2,若 x y 1 0;x y（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；（3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 21, x y z0 .解 (1) 设 L( x, y,) x 2 y 2( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有L x 2x 0, L y 2 y0,L zx y 1 0.解之得x y 1 , 1.由于当 x, y时 ,f.故函数必在唯一稳定点处2 1 1 1取得极小值 , 极小值 f ( ,2 ) .2 2(2) 设 L (x, y, z, t,) x y zt( xyzt c 4 ) 且L x 1 yzt 0, L y 1xzt 0, L z1 xyt 0, L t 1xyz 0,Lxyzt c 40,解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .(3) 设 L( x, y, z, ,u)xyz( x 2 y 2z 2 1) u( xy z) ,并令L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0,L x 2 y 2z 2 10,L ux y z 0,解方程组得x, y, z 的六组值为 :1 2 1 1 1 x1 xxxxx66 6 6 6 61 12 1 , y2 2 y , y , y , yy.6 6 66662 1 1 2 1 z1 zz z z z6666 66又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集{( x, y, z) | x 2 y 2 z 21, x y z0}上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为f ( 1 , 1,2 ) f (2 , 1 , 1 )3 1 ,6 666666极大值为f (1 , 1 ,2 ) f ( 2, 1 , 1 ) 3 1 .66666662.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。
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§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dxdzy x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f ,y f ) + λ(x ϕ,y ϕ)0=.亦即⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕLagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,(, 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x因此，解决条件极值通常有两种方法 1）直接的方法是从方程组（１）,,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ==ϕ中解出 m x x x ,,,21 并将其表示为m k x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21 ==++代入 ),,,(21n x x x f 消去 m x x x ,,,21 成为变量为 n m x x ,,1 +的函数),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x x f ++==将问题化为函数 ),,(1n m x x F + 的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 m x x x ,,,21 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 ),(1n x x f 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数 ∑=+=mk n k k n m n x x x x f x x L 11111),,(),,(),,;,,( ϕλλλ的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一.用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3求函数xyz z y x f =),,( 在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++-, 其中 cb a , , 为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例， 看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程解： 这个问题的实质是求函数 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 在条件 0=-V xyz 下的最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令 L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令Ｌ的各偏导等零，解方程组求稳定点s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1 /3))^2/V][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1 /3))^2/V]x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义， 所以 Ｌ 的稳定点只有下面一个33221,2V z V y x ===又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点， 即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。
下面再看一个条件极值求解问题 例2 抛物面 z y x =+22 被平面 1=++z y x 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长最短距离。
(x73)解 这个问题的实质是求函数 222),,(z y x z y x f ++= 在条件 022=-+z y x 与 01=-++z y x 下的最大、最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)'; dLdx=diff(L,'x') dLdy=diff(L,'y') dLdz=diff(L,'z') dLdv=diff(L,'v') dLdh=diff(L,'h') dLdx =2*x+2*v*x+hdLdy =2*y+2*v*y+hdLdz =2*z-v+hdLdv =x^2+y^2-zdLdh =x+y+z-1s1='2*x+2*v*x+h';s2='2*y+2*v*y+h';s3='2*z-v+h';s4='x^2+y^2-z';s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5); x0,y0,z0x0 =[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]y0 =[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2) 即 L 的稳定点有两个32,23132,231222111+=--==-=+-==z y x z y x 因为函数 ),,(z y x f 在有界闭集}1,|),,({22=++=+z y x z y x z y x 上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点， 另一个是最小，其最大 最小值为。
(x73)x1=-1/2+1/2*3^(1/2); x2=-1/2-1/2*3^(1/2); y1=-1/2+1/2*3^(1/2); y2=-1/2-1/2*3^(1/2); z1=2-3^(1/2); z2=2+3^(1/2);f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2) f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2) f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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