2020北京试题研究课件·数学9.第17课时 二次函数的综合应用

第三章 函数
第17课时 二次函数的综合应用
(建议时间：50分钟)
1. (2019房山区二模)如图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有函数关系h ＝20t －5t
2.下列叙述正确的是( )
第1题图
A. 小球的飞行高度不能达到15 m
B. 小球的飞行高度可以达到25 m
C. 小球从飞出到落地要用时4 s
D. 小球飞出1 s 时的飞行高度为10 m
2. (2019石景山区二模)如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安装有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1 m 处达到最高点C ，高度为3 m ，水柱落地点D 离池中心A 处3 m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为y ＝－3
4(x －1)2＋3(0≤x ≤3)，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为
_______m.
第2题图
3. (2019平谷区一模)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－3与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x ＝4交于B 点.
(1)抛物线的对称轴为x ＝ (用含m 的代数式表示)； (2)当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；
(3)记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G (包含A ，B 两点)，点P (m ，0)是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图像G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围.
第3题图
4. (2019密云区一模)已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－4，抛物线的顶点为P.
(1)求点P的纵坐标；
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2＞x1.
①判断AB长是否为定值，并证明；
②已知点M(0，－4)，且MA≥5，求x2－x1＋m的取值范围.
第4题图
5. (2019石景山区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子去表示)；
(2)若点(m－2，y1)，(m，y2)，(m＋3，y3)都在抛物线y＝x2－2mx＋m2－1上，则y1，y2，y3的大小关系为.
(3)直线y＝－x＋b与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y ＝x2－2mx＋m2－1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围.
6. (2019西城区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋a－2的对称轴是直线x＝1.
(1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A(0，－4)，B(2，－3)，若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
(3)若抛物线与x轴的一个交点为C(3，0)，且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值.
7. (2019丰台区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点和点A(－2，0).
(1)求抛物线的对称轴；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点B (0，3
2)，记抛物线与直线AB 围成的封闭区域(不含边界)
为W .
①当a ＝1时，求出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.
参考答案
第17课时 二次函数的综合应用
1. C 【解析】令h ＝15，则15＝20t －5t 2，解得：t 1＝1，t 2＝3，∴当小球飞行1s 或3s 时，高度达到15 m ，A 选项不正确；令h ＝25，得方程25＝20t －5t 2，∴t 2－4t ＋5＝0，Δ＝(－4)2－4×5＜0，方程无实数根，∴小球的飞行高度不能达到25 m ，B 选项不正确；小球飞出和落地时的高度都为0，令h ＝0，0＝20t －5t 2，解得：t 1＝0，t 2＝4，∴小球从飞出到落地要用4s ，C 选项正确；当t ＝1时，h ＝20t －5t 2＝15，∴小球飞出1 s 时的飞行高度为15 m ，D 选项不正确．
2. y ＝－34 (x ＋2)2＋3；94 【解析】当取D 为坐标原点时，即将抛物线y ＝－3
4 (x －1)2＋3向左平移3
个单位可得新的抛物线表达式为y ＝－34 (x ＋2)2＋3.把x ＝－3代入函数解析式可得AB ＝9
4
.
3. 解：(1)根据抛物线的对称轴x ＝－b
2a ，代入得到x ＝m ；
(2)∵y ＝x 2－2mx ＋m 2－3＝(x －m )2－3， ∴抛物线顶点坐标为(m ，－3)， ∵抛物线经过点A ，B ，且AB ∥x 轴， ∴抛物线对称轴为x ＝m ＝2. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋1；
(3)y ＝x 2－2mx ＋m 2－3与y 轴交于点A (0，m 2－3)，顶点(m ，－3)， ∵CD ≤1，
∴－3≤m 2－3≤－2， ∴0≤m 2≤1，
∵抛物线在线段AB 下方的部分图象为G ， ∴m ＞0， ∴0＜m ≤1.
4. 解：(1)∵y ＝(x －m )2－4， ∴P (m ，－4)，
即顶点P 的纵坐标为－4； (2)①AB 长为定值； 证明：令y ＝0， 则(x －m )2＝4,
解得x ＝m ＋2或x ＝m －2, ∴AB ＝|m ＋2－(m －2)|＝4；
②当MA＝5时，可求得A点坐标为(－3，0)或(3，0)，
∵AB＝4，点A在点B的左侧，
∴当MA＝5时，m＝－1或m＝5，
∵x2－x1＋m＝4＋m，
结合图象可知，x2－x1＋m的取值范围为x2－x1＋m≤3或x2－x1＋m≥9.
第4题解图
5. 解：(1)∵抛物线为y＝x2－2mx＋m2－1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2m
2＝m；
(2)y3＞y1＞y2；
【解法提示】∵1＞0，∴根据二次函数的性质，抛物线y＝x2－2mx＋m2－1开口向上．∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，∵对称轴为m，m－2＜m＜m＋3，∴m＋3离对称轴的距离更远，∴可得出y3＞y1＞y2；
(3)∵y＝－x＋b过点A(3，0)，∴b＝3，∴B(0，3)，则过点B垂直于y轴的直线为y＝3，则
①当∠OAP＝90°时，抛物线经过点P(3，3)，
∴m1＝1，m2＝5(舍)，
②当∠AOP＝90°时，抛物线经过点P(0，3)，
∴m1＝－2，m2＝2(舍)，
∴若△OAP为钝角三角形，m的取值范围m＞1或m＜－2.
6. 解：(1)∵－b
2a＝1，
∴b＝－2a，
∴抛物线为y＝ax2－2ax＋a－2，
当x＝1时，y＝a－2a＋a－2＝－2，
∴抛物线的顶点为(1，－2)；
(2)若a>0，抛物线与线段AB没有公共点；
若a<0，当抛物线经过点B(2，－3)时，它与线段AB恰有一个公共点，此时－3＝4a－4a＋a－2，解得a＝－1.
∵抛物线与线段AB没有公共点，
∴结合函数图象可知，－1<a <0或a >0；
第6题解图
(3)⎩⎨⎧m ＝2－7，n ＝5 或⎩
⎨⎧m ＝2＋7，n ＝5.
【解法提示】∵抛物线与x 轴的一个交点为C (3，0)，对称轴为直线x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋a －2＝0，－b 2a ＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1. ∴抛物线的表达式为y ＝12 x 2－x －32 .令m ＝12 m 2－m －3
2
，解得m ＝2－7 或m ＝2＋
7 ，令y ＝6，解得x ＝5，或x ＝－3(舍).
∴⎩⎨⎧m ＝2－7，n ＝5 或⎩
⎨⎧m ＝2＋7，n ＝5.
7. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点(0，0)和点A (－2，0)， ∴抛物线的对称轴为x ＝－1；
(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点(0，0)和点A (－2，0)， ∴c ＝0，b ＝2a ，
∴抛物线解析式可化为y ＝ax 2＋2ax . ①a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x .
如解图①，结合函数图象，区域W 内的整点个数为2；
第7题解图①
②13 ≤a ＜2
3
或1＜a ≤2或－4≤a ＜－3. 【解法提示】①当a ＞0时，如解图②，当抛物线顶点的纵坐标大于等于－2且小于－1时，区域W 内
有3个整点，∵抛物线顶点的纵坐标＝－a ，∴－2≤－a ＜－1.即1＜a ≤2；如解图③，当抛物线过点(1，1)，但不过点(1，2)时，区域W 内有3个整点，分别把点(1，1)，(1，2)代入抛物线的解析式y ＝ax 2＋2ax ，可得a ＝13 或a ＝23 ，即13 ≤a ＜2
3 ；②当a ＜0时，如解图④，当抛物线顶点的纵坐标大于3且小于等于4时，区域W 内有3个整点，∴3＜－a ≤4.即－4≤a ＜－3；综上所述，a 的取值范围为13 ≤a ＜2
3 或1＜a ≤2或－
4≤a ＜－3.
第7题解图②
第7题解图③
第7题解图④。