第十一章《全等三角形》知识要点归纳

第十一章《全等三角形》知识要点归纳
一、知识网络
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
（一）基本概念
1、“全等”的理解
全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
（3）全等三角形周长、面积相等。

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。

运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
（三）疑点、易错点
1、对全等三角形书写的错误
在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

切记不要弄错。

2、对全等三角形判定方法理解错误；
3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。

三、证明全等三角形的常见思路
一、已知一边与其一邻角对应相等
1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE.
例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：AE=CE
3.证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3 （同例2）。

二、已知两边对应相等
1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.
求证：△ABD≌△ACE
2.证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN.求证： AM∥CN，BM∥DN
三、已知两角对应相等
1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。

例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求
证： AB=DE， AC=DF
2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。

例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE≌△BDF.
四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C. 求证：△
ABD≌△ACE.
四、常见全等三角形中添加辅助线方法
（1）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
A B C D 1234A B C D
N M P 12A
B
C D E A B C D E F M 1234A B C D E O
例如：如图，已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,
求证：BE ＋CF ＞EF 。

分析：要证BE ＋CF ＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同一个三角形中。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两
边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全
等三角形的性质得到对应元素相等。

（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，
可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。

分析：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

【思考练习】已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图， 求证EF ＝2AD 。

（4）截长补短法作辅助线。

例如：已知如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。

求证：AB －AC ＞PB －PC 。

分析：要证：AB －AC ＞PB －PC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB －
AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB －AC ＝BN ， 再连接PN ，则PC ＝PN ，又在△PNB 中，PB －PN ＜BN ，即：AB －AC ＞PB －PC 。

（5）延长已知边构造三角形。

例如：如图，已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC
分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）
（6）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。

A B C D E
F A B C D E F N 1234
D B A O 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC （或BD ） ∵AB ∥CD AD ∥BC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
在△ABC 与△CDA 中
∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)
()(21已证公共边已证CA AC ∴△ABC ≌△CDA （ASA ） ∴AB ＝CD
五、常见辅助线的作法有以下几种：
①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。

②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

⑥特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
三角形证明思路口诀
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。