全概率公式解释的经典问题
全概率公式经典例题讲解
全概率公式经典例题讲解全概率公式是概率论中一个重要的公式，它用于计算一个事件在不同条件下发生的概率。
该公式常用于解决条件概率问题，即在已知某些条件下计算某个事件发生的概率。
全概率公式的数学表达为：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) + ... + P(A|B)P(B)其中，A为要计算概率的事件，B、B、...、B为一系列互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间。
P(A|B)表示在给定事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
以下是一个经典的全概率公式例题的讲解：假设有两个工厂A和B，它们生产的产品在质量上有差异。
根据过去的数据分析，工厂A生产的产品合格的概率为0.8，而工厂B生产的产品合格的概率为0.6。
已知在市场上出售的产品中，来自工厂A和工厂B的比例分别为0.4和0.6。
现在需要计算一件在市场上出售的合格产品来自工厂A的概率。
解答：首先，设事件A表示一件在市场上出售的产品合格，事件B表示产品来自工厂A，事件B表示产品来自工厂B。
根据题意，已知P(B) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A|B) = 0.8，P(A|B) = 0.6。
根据全概率公式，我们可以计算事件A的概率P(A)：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)= 0.8 * 0.4 + 0.6 * 0.6= 0.32 + 0.36= 0.68因此，一件在市场上出售的产品合格来自工厂A的概率为0.68。
通过这个例题，我们可以看到全概率公式的应用。
它通过将一个事件在不同条件下的发生概率加权求和，可以帮助我们计算出复杂条件下事件的概率。
在实际应用中，全概率公式经常用于解决市场调查、风险评估、医学诊断等问题。
掌握全概率公式的原理和应用方法，对于深入理解概率论和应用统计学有着重要的意义。
全概率公式的分析与运用
全概率公式的分析与运用41521335吕瑞杰摘要：全概率公式的运用一直以来都是一个难点，尤其是对完备事件组的选择及理解上.本文从完备事件组到全概率公式的意义,都进行了较为详尽的分析。
指出了可运用全概率公式的随机试验分析。
并且通过举例全方位加强了对全概率公式的分析运用。
关键词：全概率公式；完备事件组；分析；运用在概率的计算中,有时必须综合利用加法公式与乘法公式，而这就是全概率公式。
使用全概率公式的关键是找到一个完备事件组。
对于这类问题，在如何划分互不相容的“简单”事件找到完备事件组从而达到求解目的的方法思路,也由于题目的意义不同而多变化，怎样把一个复杂事件分解为若干互不相容的“简单”事件?本文通过对一些典型题目的分析研究,总结出一个求解上述问题的分析方法、解题步骤，以便更好地解决这类问题。
全概率公式:设试验E 的样本空间为Ω，B 为 E 的事件,12,...n A A A 是Ω的一个完备事件组，且 (A 0)(i 1,2...,n)j P >=,则1(B)(A )(B |A )ni i i P P P ==∑应用示例：两台机床加工同样的零件,第一台的废品率是0。
03,第二台的废品率是0. 02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的一个零件是合格品的概率。
分析：要正确而熟练地运用全概率公式，必须首先对公式的内涵有一个清楚的了解,从公式1(B)(A )(B |A )n i i i P P P ==∑(1,2,...,)i n =的结构可以看出： (A )i P 是我们考虑导致事件B 发生时的若干不同的假设情况的概率，它们都可以从题中的所给已知条件直接得出， (B|A )i P 所表示的是在若干假设事件A i 发生的条件下事件B 发生的概率,即我们可以从中看到先有A i 后有B ，且A i 互不相容，也就是只有A i 发生了，才有B 发生的可能,此即应用公式时的两个前提条件： A i 的完全性与互不相容性，而且当A i 发生后B 发生的条件概率就好求了,此时具备了完全性与互不相容性的A i 我们称之为完备事件组。
第三节 条件概率、全概率公式
也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率.
广
显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内. 东 工
从而 P(B | A) P( AB) P( A)
业 大 学
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定理1 条件概率的性质：
（1）非负性 P(B | A) 0
（2）规范性 若A B， 则有P(B | A) 1
P( A)P(B | A)P(C | AB)
工 业
大
学
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P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
(2) 若 P( A1 A2 An1 ) 0 ,则有
P( A1 A2 An )
P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 )
利P用( A对) 立 事P(件A1性) 质AP，(A有A1A1 2) A2P( AA13A2 A3 )
PP((AA)1) 1 P(PA(1A)P) (A12| AP1()A1AP2(AA31))P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) 又 P( A2| A11)P(1A1)PP((AA22||AA11))P(1A30| .A21A20).8 代入上式，得
条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项 描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先 验信息（如A已发生，在这里即动物已活过20岁）可资 利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如 这里P(B|A)=0.5而不是P(B)=0.4了）。
另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。 广 东 工 业 大 学
概率论与数理统计
广
东
工
业
广
概率统计常见题型及方法总结
常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题 全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jj j P A BP A P B A P A P B A ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分则b a aB P +=)(1， 2分 111++++++++=b a a b a b b a a b a a b a a+= 2分 依次类推 2分二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。
在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。
（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。
解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则()96100P B =，()4100P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
全概率公式题目
全概率公式题目一、基础概念类题目。
题目1。
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则全概率公式为（）。
A. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(B_i)B. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(A)C. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(B_i)D. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(A)解析。
根据全概率公式的定义，设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则P(A)=∑_i =1^nP(AB_i)P(B_i)。
所以答案是A。
题目2。
若事件B_1和B_2构成样本空间Ω的一个划分，P(B_1)=0.3，P(B_2)=0.7，已知P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6，求P(A)。
解析。
根据全概率公式P(A)=P(AB_1)P(B_1)+P(AB_2)P(B_2)将P(B_1) = 0.3，P(B_2)=0.7，P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6代入公式得：P(A)=0.4×0.3 + 0.6×0.7=0.12+0.42 = 0.54二、实际应用类题目。
题目3。
有三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，求这个球是白球的概率。
解析。
设B_i表示取到第i个箱子（i = 1,2,3），A表示取出的球是白球。
P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=(1)/(3)P(AB_1)=(1)/(5)，P(AB_2)=(3)/(6)=(1)/(2)，P(AB_3)=(5)/(8)根据全概率公式P(A)=∑_i = 1^3P(AB_i)P(B_i)P(A)=(1)/(3)×(1)/(5)+(1)/(3)×(1)/(2)+(1)/(3)×(5)/(8)=(1)/(15)+(1)/(6)+(5)/(24)=(8 + 20+ 25)/(120)=(53)/(120)题目4。
概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式
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例6. 对目标进行三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率；
（２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种产品，产量各占25％、35％、 40％，次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知 取得的是次品，问它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？ ③玻璃杯每箱20只，假设各箱中有0,1,2只残次品的概率分别为 0.6, 0.3, 0.1. 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意 取一箱，而顾客开箱随机地察看４只，如果无残次品，则买下 该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率．
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1
i 1
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三、全概率公式应用
例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从甲 袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2个 红球的概率。
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
《概率统计》
条件概率与全概率公式 高中数学-例题课后习题详解-选必三7-1
第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设A =“第1次抽到代数题”，B =“第2次抽到几何题”.（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB .从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即25()A 5420n Ω==⨯=.因为1132()A A 326n AB =⨯=⨯=，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率.显然3()5P A =.利用条件概率公式，得3P(AB)110P(B |A)3P(A)25===.解法2：在缩小的样本空间A 上求(|)P B A .已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为1(|)2P B A =.又3()5P A =，利用乘法公式可得313()()(|)5210P AB P A P B A ==⨯=.例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.解：用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B AB =，C AB =.1()3P A =；211()()((|)323P B P AB P A P B A ===⨯=；211()()((|)323P C P AB P A P B A ===⨯=.因为()()()P A P B P C ==，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解.解：（1）设=i A “第i 次按对密码”（1i =，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为112A A A A = .事件1A 与事件12A 互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得()()()()()11211211911()101095P A P A P A A P A P A P A A =+=+=+⨯=∣.因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为15.（2）设B =“最后1位密码为偶数”，则()()112145|12(|)5|54P A B P A B P A A B ⨯=+=+=⨯.因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为25.练习1.设A B ⊆，且()0.3P A =，()0.6P B =.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出()P BA ∣和()P AB ∣的值再由条件概率公式进行验证.【答案】()1P B A =∣,1()2P A B =∣【解析】【分析】由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.【详解】因为A B ⊆，且()0.3P A =，()0.6P B =，则A 发生B 一定发生，所以()1P BA =∣,0.31()0.62P A B ==∣，又因为()()0.3P AB P A ==，由条件概率公式得：()()()1()()P AB P A P B A P A P A ===∣,()()0.31()()()0.62P AB P A P A B P B P B ====∣.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A 牌，求第2次抽到A 牌的概率.【答案】117【解析】【分析】设第一次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第一次和第二次都抽到事件A 的事件为BC ，求出4()52P B =，43()5251P BC =⨯，由此利用条件概率计算公式能求出第1次抽到A ，第2次也抽到A 的概率．【详解】设第一次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第一次和第二次都抽到事件A 的事件为BC ，在第一次抽到A 的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张A ，∴4()52P B =，43()5251P BC =⨯，∴第1次抽到A ，第2次也抽到A 的概率为：43()15251(|)4()1752P BC P C B P B ⨯===．3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；（2）两次都摸到白球的概率.【答案】(1)23；(2)715.【解析】【分析】(1)设第1次摸到白球为事件A ，第2次摸到白球为事件B ，先求()P AB 和()P A ，然后根据条件概率公式来求()|P B A ；(2)先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.【详解】(1)设第1次摸到白球为事件A ，第2次摸到白球为事件B ，由题意即求()|P B A ，因为()76710915P AB =⨯=，()710P A =，所以()()()7215|7310P AB P B A P A ===,即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率23.(2)因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为76710915P =⨯=.7.1.2全概率公式例4某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.解：设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则.11 A B Ω= ，且1A 与1B 互斥，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6|P A A =，()210.8|P A B =.由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P B P A B =+0.50.60.50.8=⨯+⨯0.7=.因此，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.例5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第式£=1，2，3）台车床加工的概率.分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.如果设B =“任取一零件为次品”，=i A “零件为第i 台车床加工”（1i =，2，3），如图7.1-3，那么可将事件B 表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B 的概率.图7.1-3解：设B =“任取一个零件为次品”，=i A “零件为第i 台车床加工”（1i =，2，3），则123A A A Ω=⋃⋃，且1A ，2A ，3A 两两互斥.根据题意得()10.25P A =，()20.3P A =，()30.45P A =，()1|0.06P B A =，()()23||0.05P B A P B A ==.（1）由全概率公式，替()()()()()()112233()|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.060.30.050.450.05=⨯+⨯+⨯0.0525=.（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i （1i =，2，3）合车床加工的概率”，就是计算在B 发生的条件下，事件i A 发生的概率.()()()()1111|0.250.062()()0.05257|P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.类似地，可得()227|P A B =，()337|P A B =.例6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.（1）分别求接收的信号为0和1的概率；（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.分析：设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示.图7.1-4解：设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”.由题意得()(0.5P A P A ==，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =，(|0.05P B A =，(|)0.95P B A =.（1）()()(|)()(|)0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=；()1()10.4750.525P B P B =-=-=.（2）((|)0.50.051(|)()0.47519P A P B A P A B P B ⨯===.练习4.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.【答案】5980【解析】【分析】记事件:A 张君选择的是有思路的题，记事件:B 答对该题，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 张君选择的是有思路的题，记事件:B 答对该题，则()34P A =，()14P A =，()910P B A =，()14P B A =，由全概率公式可得()()()()()3911594104480P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.5.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.（1）求这件产品是合格品的概率；（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.【答案】（1）0.956；（2）95239.【解析】【分析】（1）直接求解即可；（2）根据条件概率公式计算即可.【详解】（1）求这件产品是合格品的概率为()()40156140.956⨯-+⨯-=％％％％（2）设B ={取到的是合格品}，A ={产品来自第i 批}()1,2i =，则()()1240,60P A P A ==％％，则()()121595,1496P B A P B A =-==-=％％％％，根据公式得：()()()()()()()111112240959540956096239P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+％％％％％％.习题7.1复习巩固6.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.（1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率；（2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.【答案】（1）120；（2）3031.【解析】【分析】根据条件概率直接求解即可.【详解】（1）记“选到男生”为事件A ，则()1200320005P A ==，记“选到既是男生又是色盲”为事件B ，则()6032000100P B ==，所以在选到是男生的条件下，选到色盲的概率为()()120P B P P A ==；（2）记“选到为色盲”为事件C ，则()623120001000P C ==，则在选到色盲的条件下，选到男生的概率是()()3031P B P P C ==.7.从人群中随机选出1人，设B =“选出的人患有心脏病”，C =“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断()P B 和(C)P 的大小，并说明理由.【答案】()()P B P C ≥【解析】【分析】根据事件之间的包含关系即可解答.【详解】由题可知：事件B =“选出的人患有心脏病”，事件C =“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，显然事件B 包含事件C ，所以()()P B P C ≥，当且仅当B C =时取等号（即选出的人患有心脏病且都大于50岁）.8.甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.【答案】0.75【解析】【分析】先求目标至少被命中1次的概率，然后根据条件概率公式即可求得.【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为()()110.610.40.8---=，又因为甲命中目标的概率为0.6，所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率0.60.750.8P ==.9.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.【答案】710【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球的概率为1111326P =⨯=；从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =⨯=；综上所述：摸到红球的概率为710.10.在A 、B 、C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.【答案】（1）0.0485；（2）3097.【解析】【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）记事件:D 选取的这个人患了流感，记事件:E 此人来自A 地区，记事件:F 此人来自B 地区，记事件:G 此人来自C 地区，则D E F Ω= ，且D 、E 、F 彼此互斥，由题意可得()50.2520P E ==，()70.3520P F ==，()80.420P G ==，()0.06P D E =，()0.05P D F =，()0.04P D G =，由全概率公式可得()()()()()()()0.250.060.350.050.40.04P D P E P D E P F P D F P G P D G =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯0.0485=；（2）由条件概率公式可得()()()()()()0.250.06300.048597P D P D E P DE P E D P D P D ⋅⨯====.11.已知()0P A >，()0P B >，()()P B A P B =∣，证明：()()P A B P A =∣.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据()()P BA PB =∣得到()()()P AB P A P B =，然后利用条件概率公式直接就可证明.【详解】因为()0P A >，()0P B >，所以()()()()P AB P B A P B P A ==∣，即()()()P AB P A P B =,所以()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P B P B ===∣，即()()P A B P A =∣.综合运用12.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.【答案】97990【解析】【分析】先求抽检第1件产品不合格的概率，再求抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率，两个概率之和即为所求概率.【详解】抽检第1件产品不合格的概率为5110020=，抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为9551910099396⨯=，所以这批产品被拒绝的概率为11977697203967290990+==.13.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD 、Dd 、dd ，其中D 为显性基因，d 为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd 的概率是多大？【答案】14【解析】【分析】记事件:B 子三代中基因型为dd ，记事件1:A 选择的是Dd 、Dd ，记事件2:A 选择的是dd 、dd ，记事件3:A 选择的是dd 、Dd ，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:B 子三代中基因型为dd ，记事件1:A 选择的是Dd 、Dd ，记事件2:A 选择的是dd 、dd ，记事件3:A 选择的是dd 、Dd ，则()1111224P A =⨯=，()21114416P A =⨯=，()31112424P A =⨯⨯=.在子二代中任取2颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：①若选择的是Dd 、Dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()114P B A =；②若选择的是dd 、dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()21P B A =；③若选择的是dd 、Dd ，则子三代中基因型为dd 的概率为()312P B A =.综上所述，()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅11111114416424=⨯+⨯+⨯=.因此，子三代中基因型为dd 的概率是14.14.证明条件概率的性质（1）和（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】结合条件概率的概念和概率的性质进行证明即可.【详解】性质（1）：因为()()P A P A Ω=，所以()()()()()|==1P A P A P A P A P A ΩΩ=；性质（2）因为B 和C 是两个互斥事件，所以AB 和AC 是两个互斥事件，所以()()()()()()()()()()()P B C A P AB P AC P AB P AC P B C A P A P A P A P A ⋃+⋃===+()()P B A P C A =+.拓广探索15.证明：当()0P AB >时，()()()()P ABC P A P B A P C AB =∣∣.据此你能发现计算()12n P A A A ⋅⋅⋅的公式吗？【答案】证明见解析；()()()()()12123212111|||n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅⋅=…….【解析】【分析】由条件概率公式()()()|P AB P A P B A =即可得到.【详解】因为()()()|P AB P A P B A =，所以()()()()()()P ABC P AB P CAB P A P B A P C AB ==∣∣∣；所以()()()()()12123212111|||n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅⋅=…….。
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Advances in Education教育进展, 2017, 7(6), 328-333Published Online November 2017 in Hans. /journal/aehttps:///10.12677/ae.2017.76051Some Famous Problems Solved by FullProbability FormulaXiaohan YangSchool of Mathematics Science, Tongji University, ShanghaiReceived: Oct. 19th, 2017; accepted: Nov. 1st, 2017; published: Nov. 8th, 2017AbstractFull probability formula is a basic subject of the theory of Probability. By presenting some inter-esting and famous problems that are applications of this subject instead of mathematics deduction, this paper attempts not only to illustrate how this extremely important formula comes into play but also to let individual feel it is fundamental and awesome to learn probability.KeywordsFull Probability Formula, Monty Hall Problem, Simpson’s Paradox, Sensitivity Analysis全概率公式解释的经典问题杨筱菡同济大学数学科学学院，上海收稿日期：2017年10月19日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月8日摘要《概率论与数理统计》课程与实际问题联系非常密切，其重要性不言而喻。
另一方面，不管是教科书还是学生，在教学和学习过程中都缺乏直接体会概率统计课程重要性的载体。
本文尝试以课程中一个非常重要的公式——全概率公式为切入点，收集整理了用全概率公式解释的一些有趣的经典问题，并结合直观的树图讲解，使得学生在轻松掌握全概率公式这个知识点的同时，还有了利用概率统计方法解释现实中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。
杨筱菡关键词全概率公式，蒙提霍尔问题，辛普森悖论，敏感性问题Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/1. 引言众所周知，全概率公式是《概率论与数理统计》课程中一个非常重要的公式。
在大多数的教科书[1] [2]上，我们能看到详细的关于全概率公式的介绍及公式的推导。
纵观以往的文献，也不难发现很多关于完备事件组的分解注释、这个公式的推广及其应用[3] [4] [5] [6]，教案设计、教学方法研究[7]等等，但是很少有文献讨论关于这一知识点的例子选择和收集。
我们在教与学的过程中通常都会借助一些例子来加强对数学概念或公式的理解和运用，例如疾病检测就是一个被经常选入教科书的典型例子，因为例子是最直接最有效的学习载体，也是理解知识点的最佳途径。
笔者在多年的教学过程中，参考了多本教材，发现全概率公式这一知识点的例子都比较中规中矩，主要注重对全概率公式的讲解和运用，但是相对都比较沉闷，学生在学习过程中缺乏兴趣和动力，主动性不高。
因此，在本文中，我们收集整理了三个和全概率公式相关的生动有趣的问题或例子，供学生学习和理解这两个公式时借鉴，同时也能了解一些流传的经典案例，提高学习概率统计的积极性。
为了后续内容介绍的连贯性，首先，我们还是先简单阐述一下全概率公式的定义。
完备事件组的定义：设E 是随机试验，Ω是相应的样本空间，12,,,n A A A 为事件组，若12,,,nA A A 满足条件：(1) ()i j A A i j φ=≠ ；(2) 12n A A A =Ω ，则称事件组12,,,n A A A 为样本空间的一个完备事件组。
完备事件组完成了对样本空间的一个分割。
同时也完成了对事件B 的一个分割，见图1和图2。
全概率公式：设12,,,n A A A 为完备事件组，且()()01,2,,i P A i n >= ，B 为任一事件，则()()()1|ni i i P B P A P B A ==∑Figure 1. Partition of the sample space图1. 完备事件组杨筱菡例如，当2n =时，即为()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+。
下面的树图(图3)给出了全概率公式的分解。
2. 蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem)这是一个源自博弈论的数学游戏问题。
这个概率问题也因为影片“决胜21点”中，主角班·坎贝尔(Ben Campbell)成功解开教授米基·罗沙(Mickey Rosa)在课上的提问而非常有名。
影片中是这样描述的，有三扇关闭了的门A 、B 和C ，其中一扇门后是一辆汽车(寓意价值高，是奖品)，其他两扇门后各藏有一只山羊(寓意价值很低)，Ben 选了第一扇门A ，然后教授Michey 把第三扇门C 打开了，后面是一只山羊。
这时候教授Michey 问Ben ：“你换不换到第二扇门？”Ben 的回答是：换。
因为如果不换，赢得汽车的概率是13；如果换，赢得汽车的概率将是23。
这样的回答似乎感觉上与我们的直观相悖，因为从直观上来说，既然已经知道C 门后是羊，那么A门和B 门一个后面是汽车，另一个后面是山羊，不管选A 或B ，选到汽车山羊的概率都是12。
换句话说，这时候，换或不换，赢得汽车的概率都是12。
事实上，如果Ben 先选中的A 门后是山羊，换后百分之百赢；如果A 门后是汽车，换后百分之百输。
而A 门后是山羊的概率是23，A 门后是汽车的概率是13。
所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为13的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。
Figure 2. Partition of event B 图2. 事件B 的分割Figure 3. Tree diagram of full probability formula 图3. 全概率公式的树图分解杨筱菡关于这个问题，我们可以查询到很多种解释方法，而借助全概率公式的解释是比较容易理解的一种解释方式。
首先可以用树图(图4)来表示两个不同策略及其相应的概率值。
首先设A =“最初选择的门后是汽车”，B 表示“最终赢得汽车”，则由已知条件知，实际情况中汽车在A 门后的概率是13，不在A 门后的概率是23，即()()12,33P A P A==。
策略一：Ben 不换选择，即仍然选择A 门，则Ben 能最终赢得汽车的概率，即()()()()()121||10333P B P A P B A P A P B A =+=×+×=， 策略二：Ben 换选择，即换至未开启的B 门，则Ben 能最终赢得汽车的概率，即()()()()()122||01333P B P A P B A P A P B A =+=×+×=， 所以，显然，策略二即Ben 换到未打开的B 门，他能赢得汽车的概率将比不换增加一倍。
3. 辛普森悖论(Simpson’s paradox)例如，有两种治疗肾结石的方案：方案1和方案2。
在接受方案1治疗的所有患者中小结石患者占23%，大结石患者占77%，小结石患者的治愈率是93%，大结石患者的治愈率是73%。
在接受方案2治疗的所有患者中小结石患者占67%，大结石患者占33%，小结石患者的治愈率是87%，大结石患者的治愈率是69%。
如表1所示。
首先，我们发现不管是对小结石患者还是大结石患者，方案1的治愈率都要高于方案2，那么我们能就此判断方案1要优于方案2吗？同样设A =“小结石患者”，B =“治愈”， 方案1：由已知条件可知：()()()()0.23,0.77,|0.93,|0.73P A P A P B A P B A ====，则根据全概率公式，可得所有接受方案1的患者治愈率为：()()()()()||0.230.930.770.730.776P B P A P B A P A P B A =+=×+×=策略一：不换选择策略二：换选择Figure 4. Tree diagram of Monty Hall Problem图4. 蒙提霍尔问题策略树图杨筱菡Table 1. Two treatments for kidney stone 表1. 两种治疗肾结石的方案方案1方案2患者比例治愈率(B ) 患者比例 治愈率(B ) 小结石患者(A ) 23% 93% 67% 87% 大结石患者(A )77%73%33%69%方案2：由已知条件可知：()()()()0.67,0.33,|0.87,|0.69P A P A P B A P B A ====，则所有接受方案2的患者治愈率为：()()()()()||0.670.870.330.690.8106P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，所以，方案2的患者治愈率要比方案1高！这个结论大大出乎我们之前的直观结论。
究其原因，那是因为之前观察数据的时候，我们比较的是每种方案下，不同患者的治愈率，换句话说，我们比较的这些“治愈率”都是条件概率。
如果把不同患者定义成“原因”(A 和A )，治愈定义成“结果”(B )。
也可以说，我们比较的是，在已知不同“原因”发生的条件下，“结果”发生的概率。
而通过全概率公式的计算，最终我们只是比较“结果”发生概率的大小，这是综合了所有“原因”以后的一个结论。
而各个“原因”在全概率公式计算中占有的权重直接影响了最终的概率结论，发生了所谓的“悖论”的出现！4. 敏感性问题调查(sensitivity analysis)对于考试作弊，赌博，偷税漏税，酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系，不受被调查对象欢迎或感到尴尬的敏感问题，即使做无记名的直接调查，也很难消除被调查者的顾虑，他们极有可能拒绝应答或故意做出错误的回答，很难保证数据的真实性，使得调查的结果存在很大的误差。