条件概率与概率的三个基本公式
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率的公式
概率的公式
概率的公式在数学中是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个事件发生的可能性大小。
概率的计算方法有很多种，其中最常用的是基本概率公式和条件概率公式。
一、基本概率公式
基本概率公式是指在随机试验中，某个事件发生的概率等于这个事件发生的次数与总次数之比。
具体公式如下：
P(A) = n(A) / n(S)
其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示随机试验总次数。
二、条件概率公式
条件概率公式是指在已知一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
具体公式如下：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
其中，P(B|A) 表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(A) 表示事件A 发生的概率。
三、概率的应用
概率的应用非常广泛，我们可以用它来解决各种实际问题。
例如，在赌场中，我们可以通过计算概率来预测某个游戏的胜率；在保险业中，我们可以通过计算概率来确定保险费的价格；在医学领域中，我们可以通过计算概率来评估某种疾病的患病风险等等。
概率的公式是数学中非常重要的一部分，它可以帮助我们预测和解决各种实际问题。
我们需要不断学习和运用概率的知识，才能更好地应对未来的挑战。
1.4条件概率及有关公式
23
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
24
例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 C 表示“抽查的人不患癌症”.
设B1,B2,…,Bn互不相容, A Bi ,
i 1
n
P(B )P( A | B )
i 1 i i
n
( k 1,2,..., n)
P ( ABk ) 分析: P ( Bk | A) P ( A) P ( Bk ) P ( A | Bk ) 乘 法 公 式 n P ( Bi ) P ( A | Bi ) 全 概 率 公 式
5
分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的 某一样本点发生,故 P ( AB ) k k / n P ( A | B) m m/n P( B) 相当于“缩小了样本空间”
6
条件概率的 性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互 斥,则
(3)
11
推广到一般情形中: 若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1)
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率与统计学的主要公式及解题技巧
一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);P(A )=1-P(A);B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn PkP1P2...pnX 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1);P{X>a}=1-P{X<a}离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k tp k ;(把X<x 的概率累加）连续型rvX ；F(x)=−∞xf x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=1b−a,a t0,其它=0,x x−a b−a1,x≥b,a t分布函数F(x)=−∞x f x dx④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t0,其它F(x)=1−e−xθ0,x 0;⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
§14_条件概率与概率的三个基本公式
§14_条件概率与概率的三个基本公式条件概率和概率的三个基本公式是概率论中非常重要的概念和公式。
条件概率指的是在一些条件下事件发生的概率，而概率则是指事件发生的可能性。
三个基本公式分别是全概率公式、贝叶斯公式和乘法规则。
下面将详细介绍这三个公式。
一、全概率公式：全概率公式是概率论中最基本也是最重要的公式之一、它用于计算一个事件在多个互斥且完备的情况下发生的概率。
它的数学表示如下：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A)表示事件A发生的概率，B1,B2,...Bn是一组互斥且完备的事件，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
这个公式的直观理解是将事件A分解成多个情况下事件A发生的概率之和。
二、贝叶斯公式：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯提出的。
它是用于更新事件发生概率的一种方法。
贝叶斯公式的数学表示如下：P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
贝叶斯公式的直观理解是根据已知的信息来更新我们对事件发生概率的估计。
三、乘法规则：乘法规则是概率论中计算一个复合事件发生概率的一个基本公式。
它是由条件概率推导而来的。
乘法规则的数学表示如下：P(A∩B)=P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
乘法规则的直观理解是用事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下事件A发生的概率来计算事件A与事件B同时发生的概率。
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球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
第一章 随机事件与概率 3
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 2 在图 1.4 中，假设区域 的面积等于1．现在向区域 均匀
地投随机点，则随机点“落入区域 ”是必然事件．记事件 A 为“随 机点落入区域 A ”， 事件 B 为 “随机点落入区域 B ”， 事件 AB 为 “随机点落入区域 AB ”．求已知随机点落入区域 A 的条件下，再落入 区域 B 的概率 P(B | A) ．
解 显然 P( A) S ( A) ， P(B) S(B) ．
S ()
S ()
于是 P(B | A) S ( AB) S ( AB) / S () P( AB) ． S ( A) S ( A) / S () P( A)
例 1 和例 2 的不同点是：一个是古典概率，另一个是几何概率；相同点
是 P(B | A) 都不等于 P(B) ,且 P(B | A) 的计算公式都相同．这个计
5
P51 P41 10
第一章 随机事件与概率 7
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
根据条件概率的定义，得
P(B | A) P( AB) 3 /10 1 ． P( A) 3 / 5 2
（2）由古典概率知
P( AB)
P21 P31 P51 P41
3 10
， P(B)
P41 P31 P51 P41
算公式就是条件概率的定义．
第一章 随机事件与概率 4
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
定义 1.3 设 A, B 是两个事件，且 P( A) 0 ，则称
P(B | A) P( AB) ． P( A)
（1.4）
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．相应
地，把 P(B) 称为无条件概率．
3 5
，
故
P( A | B) P( AB) 3 /10 1 ．
P(B) 3/ 5 2
读者可以自己总结一下常用的两种求条件概率的方法．
第一章 随机事件与概率 8
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
以条件概率为基础，下面给出计算概率的三个重要公式：
乘法公式、全概公式和贝叶斯 (Bayes) 公式．这几个公式有助
第一章 随机事件与概率 5
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式 对于给定的事件 A ，条件概率 P(B | A) 具有（无条
件）概率的一切性质．如
（1） P( | A) 1 ； （2） P( | A) 0 ； （3） P(B | A) 1 P(B | A) ； （4） P(B C | A) P(B | A) P(BC | A) ； （5）P((B C) | A) P(B | A) P(C | A) P(BC | A) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
一、条件概率
所谓条件概率，是指在某事件 A 发生的条件下，另一事 件 B 发生的概率，记为 P(B | A) ．我们先看下面的例子．
例 1 一个家庭有两个小孩，分, gg} ，其中 b 代表男孩，g 代女孩．已
知家庭中至少有一个女孩，求家庭中至少也有一个男孩的概 率．
第一章 随机事件与概率
2
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
解 记事件 A 为“家庭中至少有一个女孩”，事件 B 为“家庭中至 少有一个男孩”，则 A {bg , gb, gg}, B {bb, bg, gb} ，从而
P( A) 3 / 4, P(B) 3 / 4, P( AB) 2 / 4 ． 又已知事件 A 发生，则事件 B 发生的概率为 P(B | A) 2 ．
于我们计算较为复杂的事件的概率．
第一章 随机事件与概率 9
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
二、乘法公式
由条件概率的定义（1.4）式，得
P( AB) P( A)P(B | A) (P( A) 0) ． （1.5）
由对称性，可得
P( AB) P(B)P( A | B) (P(B) 0) . （1.6）
第一章 随机事件与概率 6
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 3 已知袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球．现
从袋中不放回地任取两个球． （1）已知第一次取到白球，求第二次取到的是黑球的概率； （2）已知第二次取到白球，求第一次取到的是黑球的概率．
解 记事件 A 为“第一次取到白球”， 事件 B 为“第二次取到白