二次函数重要知识点归纳

二次函数知识点归纳
1.表达式：①一般式：2y ax bx c =++（0a ≠）； ②顶点式：()2
y a x h k =-+（0a ≠） ③交点式：y=a(x –x1)(x –x2) （a ≠0）（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以
写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2
40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.顶点坐标：①（2b a
-，244ac b a -） ②（h ，k ） 3.顶点意义：①当2b x a =-时，0a >，y 有最小值为244ac b a -；0a <，y 有最大值为244ac b a - ②当h x =时，0a >，y 有最小值为k ；0a <，y 有最大值为k
4.a 的意义：
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，
a 越大开口
越小．
5.对称轴：①2b x a =-；②h x =；③122x x x +=（其中x 1、x 2为抛物线上对称点的横坐标）
6.对称轴位置分析：①0b =，对称轴为y 轴；
②0ab <，即a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧；
③0ab >，即a 、b 同号，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）
7.增减性：①0a >，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而增大；2b x a
<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而减小；
②0a <，2b x a >-（或x ＞h ）时，y 随x 的增大而减小；2b x a
<-（或x ＜h ）时，y 随x 的增大而增大
8. 抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为（0，c ），c 值为抛物线在y 轴上的截距.
9.抛物线与x 轴的交点：①240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点；②240
b a
c ∆=->
时，抛物线与x 轴有两个交点；③240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.
10.图象的平移：化成顶点式()2y a x h k =-+，上加下减：k m ±；左加右减：h m ±
11．设抛物线与x 轴交于A 、B
两点，则AB a =
或12AB x x =-=12．抛物线上重要的点：抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，
所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.
13．二次函数与一元二次方程根的分布： ①若抛物线与x 轴的两个交点在正半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩
； ②若抛物线与x 轴的两个交点在负半轴上，则212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩
； ③若抛物线与x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则212400b ac c x x a ⎧∆=->⎪⎨=<⎪⎩
④若抛物线与x 轴的两个交点只有一个点在m <x <n 范围内，则f (m )·f (n )<0
14．抛物线2y ax bx c =++与直线y =mx +n 的位置关系：
两式消掉y ，得2()0ax b m x c n +-+-=，2()4()b m a c n ∆=---，①∆＞0相交，两解析式组成的方程组的解即为图象交点坐标；②∆＜0相离；③∆=0相切.
15．二次函数与二次不等式：
若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于（x 1,0）、（x 2,0），①a ＞0时，20ax bx c ++>解集为 x ＜x 1或x ＞x 2；20ax bx c ++<时，解集为x 1＜x ＜x 2；①a ＜0时，20ax bx c ++>解集为x 1＜x ＜x 2；20ax bx c ++<时，解集为x ＜x 1或x ＞x 2
16．二次函数与一次函数值的比较：
如图：x ＜x 1或x ＞x 2时，二次函数值大于一次函数值；；x 1＜x ＜x 2二次函数小于一次函数值.。