期末文科(高二上学期)
陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题(含答案解析)
陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．若实数x ，y 满足约束条件020x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知()110m a a a=++>，()31xn x =<，则m ，n 之间的大小关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n=D ．m n≤5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4,30a b A ===︒，则B =（）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒6．若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，则a b +=（）A ．2B ．0C ．1-D ．2-7．抛物线()220x py p =>上一点M 的坐标为()2,1-，则点M 到焦点的距离为（）A ．3B ．2C ．1D ．17168．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，令(2)a f ='，(4)b f ='，(4)(2)2f f c -=，则下列数值排序正确的是（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a<<9．已知椭圆221(0)y x m m+=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m =（）A ．2B ．1C ．14D ．410．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，以下结论：①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点②()f x '在=1x -处取得极小值③()f x 在区间(2,3)-上单调递减④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0正确的序号是（）A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④11．函数()sin e xxf x =在[],ππ-上大致的图象为（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()e xf x '<，且()22e 2f =+，则不等式()ln 2f x x >+的解集是（）A ．()20,eB ．()0,2C ．()2,e-∞D ．(),2-∞二、填空题13．若命题“x ∃∈R ，22x m ->”是真命题，则实数m 的取值范围是______.14．已知直线1l ：()2100mx y m ++=>，与双曲线C ：2214x y -=的一条渐近线垂直，则m =__________.15．设{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且248,,a a a 成等比数列，则1291011a a a a ++= ___16．已知钝角三角形的三边a =k ，b =k +2，c =k +4，则k 的取值范围是___________.三、解答题17．设2:3,:11180p a x a q x x <<-+≤．(1)若1a =，“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()29f x x x =+-.(1)解不等式()15f x <；(2)若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围.19．如图，已知平面四边形ABCD ，45A ∠=︒，75ABC ∠=︒，30BDC ∠=︒，2BD =，CD =（1）求CBD ∠；（2）求AB 的值.20．已知函数()2()4(),R f x x x a a =--∈且(1)0f '-=．(1)求a 的值；(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A -，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在实数m ，使直线:l y x m =+与椭圆有两个不同的交点M 、N ，并使||||AM AN =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()31f x x ax =-+．(1)当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；(2)当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．参考答案：1．D【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤，所以必要性不成立；当1,2a b ==-时，满足0ab <，但||||||a b a b +≠-，所以必要性不成立；所以||||||a b a b +=-是0ab <的既不充分也不必要条件.故选:D ．2．A【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此来求得z 的最小值.【详解】020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1A ，平移基准直线20x y -=到可行域边界()1,1A 处时，2z x y =-取得最小值1211-⨯=-.故选：A3．B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为354a b +=，598a b +=，所以355912a b a b ++=+，即355912a a b b ++=+，根据等差数列的性质可知3559472212a a b b a b ++=+=+，所以476a b +=.故选:B.4．A【分析】利用基本不等式及其指数函数的单调性即可求解.【详解】∵0a >，∴1113m a a=++≥=，当且仅当1a =时，等号成立,即3m ≥，又∵1x <，∴1333x n =<=，即3n <，则m n >，故选：A .5．D【分析】根据4,30a b A ===︒，利用正弦定理求解.【详解】解：在ABC 中，4,30a b A ===︒，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 30sin 42b A B a ⋅===，所以B =60︒或120︒，故选：D 6．A【分析】求出导数，将0x =代入后，可得1a =，将()0,b 代入10x y -+=后可得1b =，进而得到a b +．【详解】由2y x ax b =++得2y x a '=+，又曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，故当0x =时，1y a '==又点()0,b 在10x y -+=上，则1b =，故2a+b =．故选：A ．7．B【分析】将点M 坐标代入抛物线可得p ，则所求距离为12p+.【详解】()2,1M - 在抛物线上，42p ∴=，解得：2p =，∴点M 到焦点的距离为122p+=.故选：B.8．C【分析】利用导数的几何意义判断.【详解】由函数图象知：()()()42(2)442f f f f -''<<-，所以a c b <<，故选：C 9．D【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.【详解】由条件可知，2a m =，21b =，且22=⨯，解得：4m =.故选：D 10．B【分析】根据导函数()f x '的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断①②③，对于④：由于()f x 的图像在0x =处的切线斜率为()0f '，从而可由导函数的图像判断.【详解】根据()f x '的图像可得，在()2,3-上，()0f x '≤，所以()f x 在()2,3-上单调递减，所以()f x 在区间()2,3-上没有极值点，故①错误，③正确；由()f x '的图像可知，()f x '在()2,1--单调递减，在()1,1-单调递增，故②正确；根据()f x '的图像可得()00f '<，即()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0，故④正确.故选：B.11．B【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在[]0,π上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的[]π,πx ∈-，()()()sin sin eexxx x f x f x ---==-=-，所以，函数()sin ex xf x =在[],ππ-上的图象关于原点对称，排除AC 选项，当0πx ≤≤时，()sin ex xf x =，则()πcos sin 4e e xxx x xf x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==-，因为ππ3π444x -≤-≤，由()0f x '<可得π3π044x <-≤，则ππ4x <≤，由()0f x ¢>可得ππ044x -≤-<，则π04x ≤<，所以，函数()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，排除D 选项.故选：B.12．A【分析】设()()e 2xg x f x =-+，求导可得()g x 在R 上单调递减，再根据()ln 2f x x >+转化为()ln 4g x >，再结合()g x 的单调性求解即可.【详解】设()()e 2x g x f x =-+，则()()e xg x f x '-'=.因为()e xf x '<，所以()e 0x f x '-<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减.不等式()ln 2f x x >+等价于不等式()ln 24f x x -+>，即()ln 4g x >.因为()22e 2f =+，所以()()222e 24g f =-+=，所以()()ln 2g x g >.因为()g x 在R 上单调递减，所以ln 2x <，解得20e x <<故选：A 13．(),2-∞【分析】求得22y x =-的最大值，结合题意，即可求得结果.【详解】22y x =-的最大值为2，根据题意，2m >，即m 的取值范围是(),2-∞.故答案为：(),2-∞.14．4【分析】求得双曲线C 的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.【详解】对双曲线C ：2214x y -=，其渐近线方程为12y x =±，对直线1l ：()2100mx y m ++=>，且斜率为02m-<，根据题意可得1122m -⨯=-，解得4m =.故答案为：4.15．910【详解】分析：由题意先求出{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.详解：∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴（1+3d ）2=（1+d ）（1+7d ），解得d=1，或d=0（舍），∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ．∴129101111111111191112239102239101010a a a a ++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯故答案为910点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16．26k <<【分析】先解不等式cos 0C <，再结合两边之和大于第三边求解.【详解】解：∵c b a >>，且ABC 为钝角三角形，∴C ∠为钝角，∴()()()()222222224412cos 022222k k k a b c k k C ab k k k k ++-++---===<++，∴24120k k --<，解得26k -<<，由两边之和大于第三边得24k k k ++>+，∴2k >.∴26k <<.故答案为：26k <<17．(1){23}x x ≤<(2){0a a ≤或23}a ≤≤【分析】（1）先分别求得P 为真命题和q 为真命题的实数x 的取值范围，再根据p 且q 为真命题，利用集合的交集运算求解；（2）记{3}C x a x a =<<，根据p 是q 的充分不必要条件，由C B Ü求解.【详解】（1）解：当1a =时，P 为真命题，实数x 的取值范围为{13}A x x =<<，211180(2)(9)029x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，q 为真命题，实数x 的取值范围为{}29B x x =≤≤，∵p 且q 为真命题所以实数x 的取值范围为{23}A B x x ⋂=≤<；（2）记{3}C x a x a =<<∵p 是q 的充分不必要条件所以C BÜ当0a ≤时，C =∅，满足题意；当0a >时，239a a ≥⎧⎨≤⎩解得23a ≤≤；综上所述：实数a 的取值范围为{0a a ≤或23}a ≤≤18．(1){}311x x <<；(2)9a >.【分析】（1）根据零点分段法可得()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，然后分段解不等式，即得；（2）由题可得()min a f x >，然后求函数的最小值即得.【详解】（1）因为函数()29f x x x =+-，所以()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，所以931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩，解得311x <<，所以原不等式的解集为{}311x x <<；（2）由()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，可得函数()f x 在(),9-∞上单调递减，在()9,+∞上单调递增，当9x =时，函数()f x 有最小值为9，∴9a >.19．（1）60︒；（2.【分析】（1）由余弦定理求2BC ，根据勾股逆定理知90DCB ∠=︒，即可求CBD ∠.（2）由（1）得120ADB ∠=︒，应用正弦定理即可求AB 的值.【详解】（1）在△BCD 中，由余弦定理，有2222cos301BC BD CD BD CD =+-⋅︒=，222BC CD BD ∴+=，即90DCB ∠=︒，60CBD ∴∠=︒.（1）在四边形ABCD 中，756015ABD ∠=︒-︒=︒，∴120ADB ∠=︒，在△ABD 中，由正弦定理sin120sin 45AB BD =︒︒，则sin120sin 45BD AB ⋅︒=︒20．(1)12a =(2)调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)最大值为92，最小值为5027-【分析】(1)求导得2()324f x x ax '=--，代入(1)0f '-=，得可得答案；(2)由题意可得()(34)(1)f x x x '=-+，分别解()0f x '>，()0f x '<，即可得函数的单调递增、减区间；(3)根据导数的正负，判断函数在[2,2]-上的单调性，即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()2()4(),R f x x x a a =--∈，∴()22()2()4324f x x x a x x ax =-+-=--'，由(1)0f '-=，得3240a +-=，解得12a =；（2）解：由（1）可知2()34(34)(1)f x x x x x ==-'--+，解不等式()0f x '>，得43x >或1x <-，所以函数()f x 的单调递增区间为4(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，解不等式()0f x '<，得413x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）解：当22x -≤≤时，函数()f x 与()f x '的变化如下表所示：令()0f x '=，解得43x =或=1x -，x[)2,1--=1x -41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭43x =4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为9(1)2f -=，(2)0f =；所以当=1x -时，函数()f x 取得极大值9(1)2f -=；又因为(2)0f -=，450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以当43x =时，函数()f x 取得极小值450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为92，最小值为5027-．21．(1)2213x y +=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；（2）首先求线段MN 的中垂线方程，根据点A 在中垂线上，求m ，并判断是否满足0∆>.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A -得1b =椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2a =a =所以椭圆的方程为2213x y +=（2）设直线l 与椭圆C 两个不同的交点()()1122,,,M x y N x y ∵||||AM AN =所以，点A 在线段MN 的中垂线l '，下面求l '的方程联立方程2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩去y ，可得2246330x mx m ++-=由()222(6)443312480m m m ∆=-⨯⨯-=-+>，解得22m -<<1232mx x +=-设MN 的中点为()00,P x y ，有120003244x x m m x y x m +==-=+=则l '的方程为344m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭即2m y x =--由于点A 在直线MN 的中垂线l '上，解得2m =又∵22m -<<所以不存在实数m 满足题意．22．(1)1y x =-+或()2314y x =-(2)证明见解析【分析】（1）易知()1,0不在()f x 上，设切点()3000,1x x x -+，由导数的几何意义求出切线方程，将()1,0代入求出对应0x ，即可求解对应切线方程；（2）构造()()31cos 0g x x ax x x =-+->，求得()23sin g x x a x '=-+，再令()()u x g x '=，通过研究()u x '正负确定()g x '单调性，再由()g x '正负研究()g x 最值，进而得证.【详解】（1）由题，1a =时，()31f x x x =-+，()231f x x '=-，设切点()3000,1x x x -+，则切线方程为()()()320000131y x x x x x --+=--，该切线过点()1,0，则()()3200001311x x x x -+-=--，即3200230x x -=，所以00x =或032x =．又()01f =；()01f '=-；32328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32324f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．所以，切线方程为1y x =-+或()2314y x =-；（2）设()()31cos 0g x x ax x x =-+->，则()23sin g x x a x '=-+，令()()()23sin 0u x g x x a x x '==-+>，则()6cos u x x x '=+，可知π02x <<，时，()0u x '>；π2x ≥时，()0u x '>，故0x >时均有()0u x '>，则()u x 即()g x '在()0,∞+上单调递增，()0g a '=-，因为0a ≤时，则()00g a '=-≥，()()00g x g ''>≥，故()g x 在()0,∞+上单调递增，此时，()()00g x g >=．所以，当0a ≤时，对于任意0x >，均有()cos f x x >．。
高二数学上学期期末考试试题 文平行班 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期期末考试高二文科数学〔平行班〕试题〔时间是：120分钟总分值是：150分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在以下四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题意)1．都是偶数，那么〕2.，函数是偶函数，那么是的〔〕A.充要条件B.充分不必要条件3.椭圆的长轴长是短轴长的倍，那么实数的值是A.B.或者C.D.或者4.，都有〞的否认为A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得的虚轴长为，焦距为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕.A.x y 2±=B.x y 22±= C.x y 2±= D.x y 21±=6.设是函数的导函数，的图象如下列图，那么的图象最有可能的是A. B. C. D.7.P：等腰梯形的对角线不相等，Q:，那么以下判断错误的选项是．．．．．．〔〕A．“P且Q〞为假，“P或者Q〞为真B．“P且Q〞为假，“非P〞为假C．“P或者Q〞为真，“非Q〞为假D．“P且Q〞为假，“非P〞为真8.函数的导数为，假设有，那么A. B. C. D.9.F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，那么|MP|＋|MF|的最小值是A. B. C. D.10.函数，那么A. B. C. D.11.是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是．那么的面积为A. B. C. D.12.假设在上是减函数，那么的取值范围是A. B. C.D.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上)到点的间隔比它到直线：的间隔小，那么点满足的方程是14.①“〞是“〞的充分不必要条件；，那么，那么〞；：，使得，那么：，均有；④假设“，均为15.函数，假设该函数在处的切线的斜率是2，那么的值为．16.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，假设直线AB2与直线B1F的交点恰在直线2axc=上，那么椭圆的离心率为．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤)17.(本小题10分)根据条件，求以下曲线的方程．〔1〕两定点,曲线上的点到间隔之差的绝对值为，求曲线的方程；〔2〕在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为的椭圆的HY方程．18.(本小题12分)函数在与时都获得极值．〔1〕求，的值；〔2〕求函数的单调区间.19.(本小题12分)，：，：．〔1〕假设是的充分条件，务实数的取值范围；〔2〕假设，“的取值范围．20.(本小题12分)工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度〔单位：〕是利用原有墙壁长度〔单位：〕的函数．〔1〕写出关于的函数解析式，确定的取值范围．〔2〕堆料场的长、宽之比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最？21.(本小题12分)抛物线的HY方程是，〔1〕求它的焦点坐标和准线方程．〔2〕直线L过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于A、B两点，求弦AB的长度．22.(本小题12分)函数．〔1〕求函数在处的切线方程；〔2〕设，讨论函数的零点个数．答案〔时间是：120分钟总分值是：150分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.B8.A9.C10.D11.D12.A二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)1 6.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)17.(本小题10分)〔1〕由双曲线的定义可知，该曲线是焦点在双曲线，设双曲线的HY方程为，根据得即.由求得.所以双曲线的HY方程为．5分〔2〕设椭圆的HY方程为．由得，所以．故所求椭圆的HY方程为．10分18.(本小题12分)〔1〕，，由解得，6分，函数的单调区间如下表：所以函数的递增区间是和，递减区间是．12分19.(本小题12分)〔1〕由题知：．因为是的充分条件，所以是的子集，所以解得．所以实数的取值范围是．6分〔2〕当时，：，依题意得，与一真一假．当真假时，有无解；当假真时，有解得或者．所以实数的取值范围为．12分20.(本小题12分)〔1〕=+,；由题意知，矩形堆料场利用原有的墙壁的边长为，另一边为,那么砌起的总长度=+,；6分〔2〕，令得〔舍去〕当时，，当时，.故当，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大.由以上可知，当长，宽时，所以堆料场的长：宽=2:1时，需要砌的墙所用材料最.12分21.(本小题12分)解：抛物线的HY方程是，焦点在x轴上，开口向右，焦点为，准线方程：.6分直线L过抛物线的焦点且倾斜角为，直线L的方程为，代入抛物线化简得，设，那么，所以．故所求的弦长为16．12分22.(本小题12分)〔1〕，，所以函数在处的切线方程为，即．6分〔2〕，，可得，设，那么，函数在上单调递减，上单调递增，所以函数获得极小值．由函数图像、直线及的取值情况可得，当时，有个零点；，个零点；，没有零点．所以，零点个；，零点个；，零点个．12分。
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考(文科)数学试题
绝密★启用前2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考（文科）数学试题一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,2. 抛物线的准线方程是( )A. B. C. D.3. 在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.4. 设直线,.若,则的值为( )A. 或B. 或C.D.5. 下列有关命题的表述中,正确的是( )A. 命题“若是偶数,则,都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若为正无理数,则也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”D. 若命题“”,“”均为假命题,则,均为假命题6. 执行如图所示的算法框图,则输出的结果是( )A. B. C. D.7. 方程表示椭圆的充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.8. 如图,是对某位同学一学期次体育测试成绩(单位:分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是( )A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且次测试成绩的极差超过分B. 该同学次测试成绩的众数是分C. 该同学次测试成绩的中位数是分D. 该同学次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关9. 若椭圆的弦恰好被点平分,则所在的直线方程为( )A. B. C. D.10. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线的左,右焦点分别为,.若双曲线右支上存在点,使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点,且,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论: ①曲线围成的图形的面积是; ②曲线上的任意两点间的距离不超过; ③若是曲线上任意一点,A. B. C. D.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 椭圆的长轴长为__________.14. 某班有位同学,将他们从至编号,现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出,抽出的编号从小到大依次排列,若排在第一位的编号是,那么第四位的编号是__________.15. 根据某市有关统计公报显示,随着“一带一路”经贸合作持续深化,该市对外贸易近几年持续繁荣,年至年每年进口总额(单位:千亿元)和出口总额(单位:千亿元)之间的一组数据如下:若每年的进出口总额,满足线性相关关系,则__________;若计划2022年出口总额达到千亿元,预计该年进口总额为__________亿元.16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和,设椭圆和双曲线的离心率分别为,,为两曲线的一个公共点,且(为坐标原点).若,则的取值范围是__________.三、解答题（（每小题12分,共72分））17. 已知的三个顶点是,,. (1)求边所在的直线方程; (2)求经过边的中点,且与边平行的直线的方程.18. 某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查,数据如下表:(1)若随机地抽问这个班的一名学生,分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”生中任取名学生了解情况,求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率.19. 已知圆的圆心为,且圆经过点. (1)求圆的标准方程; (2)若圆:与圆恰有两条公切线,求实数的取值范围.20. 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了名学生的得分(得分均为整数,满分为分)进行统计,所有学生的得分都不低于分,将这名学生的得分进行分组,第一组,第二组,第三组,第四组(单位:分),得到如下的频率分布直方图.(1)求图中的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数; (2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖.21. 已知抛物线的焦点为,直线与抛物线在第一象限的交点为,且. (1)求抛物线的方程; (2)经过焦点作互相垂直的两条直线,,与抛物线相交于,两点,与抛物线相交于,两点.若,分别是线段,的中点,求的最小值.22. 已知点是圆上任意一点,是圆内一点,线段的垂直平分线与半径相交于点. (1)当点在圆上运动时,求点的轨迹的方程; (2)设不经过坐标原点,且斜率为的直线与曲线相交于,两点,记,的斜率分别是, .当,都存在且不为时,试探究是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考（文科）数学试题答案和解析第1题：答案：D解：命题“,”为全称命题,该命题的否定为“,”. 故选:D.第2题：答案：C解：抛物线中,,解得,即, 所以抛物线的准线方程是. 故选:C.第3题：答案：B解：不妨设点关于轴对称的点的坐标为, 则线段垂直于轴且的中点在轴, 从而点关于轴对称的点的坐标为. 故选:B.第4题：答案：A解：因为,则,解得或. 故选:A.第5题：答案：C解：选项A:原命题的否命题为:若不是偶数,则,不都是偶数, 若,都是偶数,则一定是偶数,从而原命题的否命题为真命题,故A错误; 选项B:原命题的逆命题:若是无理数,则也为正无理数, 当,即为无理数,但是有理数,故B错误; 选项C:由逆否命题的概念可知,C正确; 选项D:由为假命题可知,,至少有一个为假命题, 由为假命题可知,和均为假命题,故为假命题,为真命题,故D错误. 故选:C.第6题：答案：B解：第一次循环,不成立,,; 第二次循环,不成立, ,; 第三次循环,不成立,, ;以此类推,最后一次循环,不成立,,.成立,跳出循环体,输出. 故选:B.第7题：答案：D解：若方程表示椭圆,则,解得或. 故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是. 故选:D.第8题：答案：C解：对于A,由散点图知,次测试成绩总体是依次增大,极差为,A正确; 对于B,散点图中个数据的众数是,B正确; 对于C,散点图中的个数由小到大排列,最中间两个数都是,则次测试成绩的中位数是分,C不正确; 对于D,散点图中个点落在某条斜向上的直线附近,则次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关,D正确. 故选:C.第9题：答案：D解：显然点在椭圆内,设点, 依题意,,两式相减得:, 而弦恰好被点平分,即, 则直线的斜率,直线,即, 所以所在的直线方程为. 故选:D.第10题：答案：A解：设七巧板正方形边长为,则大阴影等腰三角形底边长为,底边上的高为, 可得小正方形对角线长为,小正方形边长为,小阴影等腰直角三角形腰长为, 小白色等腰直角三角形底边长为,则左上角阴影等腰直角三角形腰长为, 因此,图中阴影部分面积, 而七巧板正方形面积, 于是得七巧板中白概率为. 故选:A.第11题：答案：B解：不妨设双曲线的焦距为,点在第一象限,如下图所示:因为双曲线的渐近线方程为, 因为与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点,易知的斜率, 令, , 因为,所以,, 所以,, 由双曲线定义可知,,可得,, 从而双曲线的渐近线方程为. 故选:B.第12题：答案：C解：当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为: ; 当且时,曲线的方程可化为:, 曲线的图像如下图所示:由上图可知,曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和, 从而曲线所围成的面积,故①正确; 由曲线的图像可知,曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即,故②错误; 因为到直线的距离为, 所以, 当最小时,易知在曲线的第一象限内的图像上, 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为,半径为的半圆, 所以圆心到的距离, 从而,即,故③正确, 故选:C.第13题：答案：解：椭圆方程化为:,令椭圆长半轴长为,则,解得, 所以椭圆的长轴长为. 故答案为:.第14题：答案：解：因系统抽样是等距离抽样,依题意,相邻两个编号相距, 所以第四位的编号是. 故答案为:.第15题：答案：,千解：由数表得:,, 因此,回归直线过点,由,解得, 此时,,当时,即,解得, 所以,预计该年进口总额为千亿元. 故答案为:;千第16题：解：设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,它们的半焦距为,于是得, , 由椭圆及双曲线的对称性知,不妨令焦点和在轴上,点在轴右侧, 由椭圆及双曲线定义得:,解得,, 因,即,而是线段的中点,因此有, 则有,即,整理得:, 从而有,即有,又,则有,即,解得, 所以的取值范围是. 故答案为:.第17题：答案：见解析;解：(1)因为,, 所以边所在的直线方程为, 即; (2)因为,, 所以的中点为:, 又, 所以直线方程为:, 即.第18题：答案：见解析;解：(1) 由题意可知,全班名学生中,“认为作业不多”的学生人数为人, “喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人, 因此,随机地抽问这个班的一名学生,事件“认为作业不多”的概率为, 事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为. (2) 在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生, 这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为,记为,名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为,分别记为、、、, 从这名学生中任取名学生,所有的基本事件有:、、、、、、、、、,共种, 其中,事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有:、、、,共种, 故所求概率为.第19题：解：(1)依题意,圆的半径, 所以圆的标准方程是: . (2)圆的圆心,半径为, 因圆与圆恰有两条公切线,则有圆与圆相交,即,而, 因此有,解得, 所以实数的取值范围是.第20题：答案：见解析;解：(1)由频率分布直方图知:,解得, 设此次竞赛活动学生得分的中位数为,因数据落在内的频率为,落在内的频率为, 从而可得,由得:, 所以,估计此次竞赛活动学生得分的中位数为. (2)由频率分布直方图及(1)知:数据落在,,,的频率分别为,, 此次竞赛活动学生得分不低于的频率为, 则, 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为,在参赛的名学生中估计有名学生获奖.第21题：答案：见解析;解：(1)抛物线的准线方程为:, 由抛物线定义得: ,解得, 所以抛物线方程为:. (2)由(1)知,点,显然直线,的斜率都存在且不为,设直线斜率为,则的斜率为, 直线的方程为: ,由消去并整理得, 设,则,于是得线段中点,同理得, 则, 当且仅当,即时取“”, 所以的最小值是.第22题：答案：见解析;解：(1)圆的圆心,半径, 因线段的垂直平分线与半径相交于点,则,而, 于是得, 因此,点的轨迹是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,短半轴长有, 所以轨迹的方程为. (2)依题意,设直线的方程为:,, 由消去并整理得:,,则且, 设,则有,, 因直线,的斜率,都存在且不为,因此,且,,, 所以直线,的斜率,都存在且不为时,是定值,这个定值是.。
高二上期末文科知识点归纳总结
高二上期末文科知识点归纳总结高二上学期已经接近尾声，文科学科的课程也即将结束。
在这个学期中，我们学习了许多文科知识点，这些知识点对我们的学习和成长都起着重要的作用。
本文将对高二上文科知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地复习和巩固这些知识。
一、政治学科知识点在政治学科中，我们学习了国家和政治、政治制度、政治参与等内容。
其中，国家和政治是我们学习政治的基础，它涉及到国家的概念、国家的形成与发展、国家的职能等内容。
而政治制度则是指国家的组织形式和运作方式，包括各种政治制度的特点和优缺点。
政治参与则是指人民对政治事务的参与和表达观点的方式。
了解这些政治学科知识点，有助于我们更好地理解国家和政治的本质，提高我们的综合素养和思辨能力。
二、历史学科知识点历史学科是我们了解过去、理解现在、推测未来的重要学科，通过学习历史，我们可以认识到历史对于现实生活的影响和启示。
在高二上学期，我们主要学习了中国近现代史和世界现代史。
中国近现代史的内容包括晚清时期的动乱和变革、辛亥革命、五四运动、新文化运动、中国共产党的成立等重要事件和人物。
而世界现代史的学习主要包括两次世界大战、冷战时期、第三世界国家的兴起等内容。
通过学习这些历史知识点，我们可以加深对历史事件的理解，提高我们的历史思维和批判思维能力。
三、地理学科知识点地理学科是我们了解地球环境和人类活动的学科，地理的学习不仅可以增加我们对地球的认识，还可以帮助我们了解地球上的各种资源和环境问题。
高二上学期，我们学习了地球与地图、自然地理、人文地理等内容。
地球与地图的学习包括地球的形状、地球的运动、地图的制作和使用等。
自然地理的学习包括地球的大气圈、水圈、岩石圈等自然要素的组成和相互作用。
而人文地理的学习则包括人类的聚居与迁移、城市化进程和经济发展等内容。
通过学习地理，我们可以更好地理解地球的运行机制和人类的活动对地球的影响，提高我们的环境意识和地理素养。
综上所述，高二上文科知识点的归纳总结，我们学习了政治、历史和地理等学科的重要内容。
内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析
2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“00x ∃>，200x x >”的否定是（）A ．0x ∀>，2x x ≤B ．00x ∃>，200x x ≤C ．00x x ∃≤，200x x ≤D ．0x ∀≤，2x x ≤2．抛物线2y x =-的焦点坐标为（） A ．()1,0-B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭3．已知a ，b ∈R ，则“0a b >>”是方程“22220x y ax b +++=表示圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在空间直角坐标系中，点A 、B 坐标分别为()3,0,1A -，()2,3,3B -．则A 、B 两点的距离为（） A ．25B ．2C ．10D ．5055A ．22123x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．22132y x -=6．P 是椭圆22143x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，O 是坐标原点，已知点M 是线段PF 的中点，且34OM =，则PF =（） A ．54B ．32C ．52D ．1347．已知圆O ：224x y +=与圆22260x y x +--=交于A 、B 两点，则AB =（） A ．23B 3C ．2D ．48．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虛轴长相等9．M 是椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若122MF MF =，且12MF MF ⊥，则椭圆Γ的离心率为（）A ．12B 3C 25D 510．已知命题p ：椭圆()22210,1x y a a a +=>≠的离心率为e ，若2a >．则230,4e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；命题q ：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线的夹角为θ，若a b =，则90θ=︒．下列命题正确的是（） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝11．M 、N 是双曲线2213y x -=上关于原点O 对称的两点，1F 、2F 是左、右焦点．若12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是（） A ．23B ．3C ．4D ．612．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22132x y +=；②()2222x y ++=；③22y x =；④221x y -=中，存在两个不同的点M 、N ，使得MA MB =且NA NB =的曲线是（） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．以双曲线22135x y -=的焦点为顶点，以双曲线22135x y -=的顶点为焦点的椭圆方程为______．14．抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离为6，则点M 到抛物线焦点的距离为______．15．在平面直角坐标系中，过()1,3P -作圆O ：221x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为______．16．设1F 、2F 为椭圆Γ：2212521x y +=的两个焦点，P 为Γ上一点且在第二象限．若112PF F F =，则点P的坐标为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知圆C 过()4,3A ，()0,1B -，且圆心C 在直线l ：10x y --=上．经过点()4,0M 的直线m 交圆C 于P 、Q 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）若CP CQ ⊥，求直线m 的方程．18．（12分）抛物线()220y px p =>的准线被圆22230x y y +--=截得的弦长为23（1）求p 的值；（2）过点()4,0M 的直线交抛物线于点A 、B ，证明：OA OB ⊥．19．（12分）已知椭圆Γ的对称中心为原点O ，焦点在y 3 （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若椭圆Γ的一个焦点为()0,2F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆于两点A 、B ．求椭圆的标准方程并求AOB △的面积．20．（12分）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,0A -，()1,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为2． （1）求M 的轨迹方程；（2）记M 的轨迹为曲线Γ，过点()1,1P 能否作一条直线l ，与曲线Γ交于两点D 、E ，使得点P 是线段DE 的中点？21．（12分）已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>左右焦点分别为1F 、2F 3k 的直线l 交椭圆于两点A 、B ，当直线l 过1F 时，2AF B △的周长为8． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设OA 、OB 斜率分别为1k 、2k ，若12k =，求证：1214k k ⋅=，并求当AOB △面积为74时，直线l的方程．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos cos 2x y m ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）当0m =时，求曲线C 与x 轴交点的直角坐标； （2）直线l 与曲线C 有唯一公共点，求实数m 的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知x 、y 、z 均为正实数，且22243x y z ++=． （1）求2x y z ++的最大值； （2）若2y x =，证明：113x z+≥． 2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷文科数学参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题13．22185x y +=14．10 15．310x y -+=16．5372⎛-⎝⎭三、解答题17．解：（1）直线AB 的垂直平分线方程为3y x =-+ 与10x y --=联立得，2x =，1y =，即()2,1C 圆C 半径22R CA ==所以，圆C 的标准方程为()()22218x y -+-=．（2）∵22CP CQ ==，CP CQ ⊥∴圆心C 到直线m 的距离2d = 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()4y k x =- 由22121k d k +==+得34k =当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为4x =，C 到m 距离为2 综上可得，直线m 方程为34120x y --=或40x -=． 18．解：（1）圆22230x y y +--=的圆心()0,1C ，半径为2；所以C 到准线距离为1，所以准线方程为1x =- 所以2p =．（2）由（1）得，抛物线标准方程为24y x =． 设直线AB 方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y4x my =+与24y x =联立得24160y my --=216640m =+>∆，由韦达定理1216y y ⋅=-，2212121644y y x x ⋅=⋅=12120OA OB x x y y ⋅=+=，即以线段AB 为直径的圆过点M ．19．解：（1）设椭圆标准方程为()222210y x a b a b+=>>则有232a b =，因为222c a b =- 所以椭圆离心率63c e a ==． （2）椭圆标准方程为22162y x +=，直线l 的方程为2y x =+设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 方程代入椭圆方程得22210x x +-=． 解得1,2132x -±=所以AOB △的面积12132S OF x x =⋅⋅-= 20．解：（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM yk x =-由2AM AN k k ⋅=得211y yx x ⋅=+-整理得()22221y x x =-≠±所以，点M 得轨迹方程为()22112y x x -=≠．（可以不化为标准方程的形式，限制条件也可以为0y ≠）（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，可得221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 由题意，122x x +=，122y y +=，所以12122AB y y k x x -==-直线AB 方程为21y x =-代入()22112y x x -=≠±得，22430x x -+=．∵80∆=-<，∴不存在这样的直线l ． 21．解：（1）由题意，48a =，3c e a ==5c =1b = 椭圆Γ的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为()10,12y x m m m =+≠≠±，()11,A x y ，()22,B x y ， 与椭圆方程联立得，222220x mx m ++-=122x x m +=-，21222x x m =-可得2121211112222y y x m x m m ⎛⎫⎛⎫=++=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以12121214y y k k x x == ()2222121621115222m AB k x m -⎛⎫=+-=+=- ⎪⎝⎭O 到直线AB 得距离25m d =OAB 的面积()2272S m m =-=解得12m =±，或7m =所以直线l 方程为1122y x =±，或172y x =±． 22．解：（1）2cos 2cos 10y ϕϕ==-=，得2cos ϕ= 所以曲线C 与x 轴交点得坐标为2,02⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． （2）cos cossin sin244ππρθρθ+=得22222x y +=2x y +=为直线l 的方程 曲线C 的普通方程为221y x m =+-方程221y x m =+-与2x y +=联立得2230x x m ++-=()1830m ∆=--=得258m =． 23．解：（1）由柯西不等式()()()222211142x y zx y z ++++≥++所以23x y x ++≤，当且仅当21x y z ===时等号成立． （2）证明：因为2y x =，0x >，0y >，0z >， 由（1）得243x y z x z ++=+≤ 即043x z <+≤，所以1143x z ≥+因为()114445529z x z x x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当4x zz x=，即21z x ==时，等号成立． 因为043x z <+≤，所以11934x z x z +≥≥+，即113x z+≥．。
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学(文)试题 解析版
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修1-1占70%.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 椭圆C ：22143x y +=的长轴为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c =，4b =，3A π=，则a =（ ）A.B. C. 5 D. 63. 已知p ：0x ∀>，230x x +>；q ：x ∃∈R ，210x +=.则下列命题中，真命题是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ⌝∨C. p q ∧⌝D. p q ∧4. 设0(3)(3)lim 6x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则()3f '=（ ）A. －12B. －3C. 3D. 125. 已知等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若25T T =，则4a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是（ ）A.43B.53C.54D.7. 已知抛物线C ：220x y =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，且()3,6Q --，则PF PQ +的最小值为（ ）A. 8B. 16C. 11D. 268. 已知数列{}n a 满足1n n a a d -=+，2n ≥，n ∈N ，则“2m n a a d -=”是“2m n -=”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数21()ln 32f x x x =++的最小值是（ ） A.92 B. 4C.72D. 310. 设1a <，则1211a a+-+的最小值为（ ）A.32B. 32- C. 1D. 211. 已知P 为抛物线C ：216x y =-上一点，F 为焦点，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，若PFH △的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是（ ） A. (],5-∞-B. (],4-∞-C. (],2-∞-D. (],1-∞-12. 定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()4xf x f x '<恒成立，则（ ）A. 16(1)4(2)f f f >>B. 16(1)(2)4f f f >>C. 16(1)4(2)f f f <<D. 16(1)(2)4f f f <<第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的焦距为10，则a =______.14. 若x ，y 满足约束条件10201x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值为______.15. 已知函数()ln 1f x x x mx =++的零点恰好是()f x 的极值点，则m =______.16. 已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上的一点，若121cos 3F PF ∠=-，则12PF PF ⋅=______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知函数()f x 满足32()(1)1f x x f x '=-⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程. 18.（12分）已知抛物线C ：()220y px p =->，()06,A y -是抛物线C 上的点，且10AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为()4,2-，求直线l 的方程. 19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(7)2n n n S +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin()bC A B a=--. （1）求A ；（2）设2a =，当b 的值最大时，求ABC △的面积. 21.（12分）已知函数()()ln 1f x x x a x =+-. （1）当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点. 22.（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为)，渐近线方程为2y x =±. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E ，F 两点，若以EF 为直径的圆经过点D ，且DG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使GH 为定值.高二数学试卷参考答案（文科）1. D 椭圆C ：22143x y +=的长轴为4. 2. A 由余弦定理可得2222cos 13a b c bc A =+-=，所以a = 3. C 由题意可得p 为真命题，q 为假命题.故p q ∧⌝为真命题.4. B 因为0(3)(3)lim2(3)6x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()33f '=-.5. A 因为25T T =，所以3451a a a =.因为2354a a a =，所以41a =.6. C 因为()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，所以:3:4b a =，54c e a ===.7. C 记抛物线C 的准线为l ，作PT l ⊥于T ，当P ，Q ，T 共线时，PF PQ +有最小值，最小值为6112p+=. 8. C 因为()2m n a a m n d d -=-=，所以2m n -=或0d =，故“2m n a a d -=”是“2m n -=”的必要不充分条件.9. C 由题意可得233111()x f x x x x -'=-=，令()0f x '>，1x >，令()0f x '<，得01x <<，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()f x 的最小值是()712f =.10. A12112(11)11211a a a a a a ⎛⎫+=+-++ ⎪-+-+⎝⎭12(1)331122a a a a +-++-+=≥，当且仅当12(1)11a a a a+-=-+，即3a =-. 11. A 如图，设点P 的坐标为(),m n ，准线4y =与y 轴的交点为A ，则4PF PH n ==-，FH ====PFH △的周长为()24n -.设函数()2(4)(0)f n n n =-≤，则()f n 为减函数，因为()530f -=，所以()30f n ≥的解为5n ≤-.12. A 设函数4()()f x g x x=，0x >，则4385()4()()4()()0x f x x f x xf x f x g x x x''--'==<， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减，从而(1)(2)g g g >>，即44(1)(2)12f f >>，则16(1)4(2)f f f >>.13. 2125a +=，解得a =a =-（舍去）.14. －1 作出可行域（图略），当直线y x z =+经过点()1,0时，z y x =-取最小值，最小值为－1.15. －1 设0x 是()ln 1f x x x mx =++的零点，也是()f x 的极值点，则()ln 1f x x m '=++，所以0000ln 10ln 10x x mx x m ++=⎧⎨++=⎩，解得01x =，1m =-. 16. 3 因为22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅()21212122122PFPF PFPF PF PF +-⋅-=⋅122113PF PF =-=-⋅，所以123PF PF ⋅=.17. 解：（1）因为2()32(1)f x x f x ''=-⋅，所以(1)32(1)f f ''=-，解得(1)1f '=. （2）由（1）可得32()1f x x x =-+，2()32f x x x '=-，则()25f =，()28f '=.故所求切线的方程为()582y x -=-，即811y x =-. 18. 解：（1）因为6102pAF =+=， 所以8p =，故抛物线C 的方程为216y x =-.（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，()11,M x y ，()22,N x y ，则2112221616y x y x ⎧=-⎨=-⎩，两式相减得()22121216y y x x -=--，整理得12121216y y x x y y -=--+.因为MN 的中点为()4,2-，所以12121644y y k x x -==-=--，所以直线l 的方程为()244y x -=-+，即4140x y ++=. 19. 解：（1）当1n =时，111842a S ⨯===. 当2n ≥时，1(1)(6)2n n n S --+=，所以1(7)(1)(6)322n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，因为1n =也满足，所以通项公式为3n a n =+.（2）因为11111(3)(4)34n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1111111145563444416n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20. 解：（1）三角形的性质和正弦定理可知sin sin sin()sin()sin()2cos sin sin b B C A B A B A B A B a A==--=+--=⋅，其中sin 0B ≠，所以2sin cos sin 21AA A ==，因为()0,A π∈，所以()20,2A π∈，故22A π=，4A π=.（2）由正弦定理有22sin 4sin sin b B Cb B C a A++===+，且34sin 4sin 4B C B B π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭cos ))B B B ϕ=+=+，其中1tan 2ϕ=，所以当()sin 1B ϕ+=时，b +有最大值，此时sin cos 5B ϕ==，cos 5B =，所以sin sin()sin (sin cos )42C A B B B B π⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭由正弦定理有sin sin a bA B=，故b =，所以1112sin 2225ABC S ab C ==⨯=△. 21.（1）解：当1a =时，()ln 1f x x '=-.令()0f x '<，得0e x <<，令()0f x '>，得e x >， 所以()f x 的单调递减区间为()0,e ，单调递增区间为()e,+∞. （2）证明：()()ln 1f x x a '=++，令()0f x '=，得1e a x --=，因为1a <-，所以10e e 1a -->=.当()11,e a x --∈时，()0f x '<，()f x 在()11,e a --上单调递减；当()1e ,a x --∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1e ,a --+∞单调递增. 而()1e (1)0af f --<=，且()()e e ln e e 10a a a af a a ----=+-=->， 又因为()f x 在()1e ,a --+∞上单调递增， 所以()f x 在()1e ,a --+∞上有唯一零点. 当()11,e a x --∈时，恒有()()10f x f <=，()f x 无零点.综上，当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点.22.（1）解：由题意知c =因为双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，所以2b a =.因为222a cb =-，所以2a =，b =故双曲线C 的标准方程为22143x y -=. （2）证明：设()11,E x y ，()22,F x y .①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，联立方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得()()2223484120k x kmx m ---+=，则()()222(8)4412340km m k ∆=++->，即22430m k -+>，且122212283441234km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩. 因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=， 所以()()2212121(2)4k x x km x x m ++-+++()2222241281(2)403434m km k km m k k--=+⋅+-⋅++=--， 化简得221628(2)(14)0m km k m k m k ++=++=， 所以2m k =-或14m k =-，且均满足22430m k -+>.当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾； 当14m k =-时，直线l 的方程为()14y k x =-，过定点()14,0M . ②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，联立方程组222143y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2x =（舍去）或14x =，此时直线l 也过定点()14,0M .因为DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径. 故存在定点()8,0H ，使GH 为定值6.。
12-13学年高二上学期期末考试文科数学试题
高二上学期期末考试文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、函数()122+-=x x x f 在点()0,1T 处的切线方程是（ ）A 、x y =B 、1=yC 、0=xD 、0=y2、设抛物线的顶点在原点，焦点与椭圆12622=+yx右焦点重合，则此抛物线的方程是（ ）A 、y 2=－8xB 、y 2=－4xC 、y 2=8xD 、y 2=4x3、口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是（ ） A 、0.42B 、0.28C 、0.7D 、0.34、若a ,b ∈R ，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、给出如下程序：INPUT xIF ｘ＜０ THEN ｙ＝－1 ELSEIF ｘ＝０ THEN ｙ＝０ELSE ｙ＝1 END IF END IF PRINT ｙ END输入x=3时，输出的结果是（ ） A.．1 B ．－1 C ．0 D ．3６、命题“对01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是（ ）A 、不存在x ∈R ,x 3－x 2＋1≤0 B 、01,23≤+-∈∃x x R x C 、01,23>+-∈∃x x R xD 、01,23＞+-∈∀x x R x7、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：据上表得回归方程b a x b yˆˆˆˆ中的+=为9.4，据此预报广告费用为6万元时销售额约为（ ）A 、63.6万元B 、65.5万元C 、67.7万元D 、72.0万元8、运行如右图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为（ ）A 、51B 、101C 、21 D 、2019、函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤--=232333x x x x f 的值域是（ ） A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,89 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,89C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2 D 、[]2,2- 10、已知抛物线x y 42=的焦点为F ，A , B 是该抛物线上的两点，弦AB 过焦点F ，且4=AB |，则线段AB 的中点坐标是（ ） A 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21B 、 ()1,2C 、()0,1D 、()2,311、设21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左,右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212F F PF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率等于（ ）A 、2B 、2C 、23 D 、3512、已知1F , 2F 是椭圆6222=+y x 的两个焦点，点M 在此椭圆上且︒=∠6021MF F ，则21F MF ∆的面积等于（ ） A 、2B 、3C 、2D 、5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 %. 14、样本数据“１,２,３,４,５,６,７”的标准差等于 （用数字作答）。
2020-2021学年高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.)1. 命题“对任意的x∈R，x3−2x+1≤0”的否定是（）A.不存在x∈R，x3−2x+1≤0B.存在x∈R，x3−2x+1≤0C.存在x∈R，x3−2x+1>0D.对任意的x∈R，x3−2x+1>02. “p或q为真”是“非p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若=a+bi(a, b∈R)，则a2019+b2020＝（）A.−1B.0C.1D.24. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5. 已知函数f(x)＝x3−2x2，x∈[−1, 3]，则下列说法不正确的是（）A.最大值为9B.最小值为−3C.函数f(x)在区间[1, 3]上单调递增D.x＝0是它的极大值点6. 双曲线x2a2−y23=1(a>0)有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±12x B.y＝±2x C.y＝±√33x D.y＝±√3x7. 函数y＝x cos x−sin x在下面哪个区间内是减函数（）A. B.(π, 2π) C.D.(2π, 3π)8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A.f(e)<f(π)<f(2.7)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)9. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x −4y =0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0, √32] B.(0, 34]C.[√32, 1)D.[34, 1)10. 已知函数f(x)＝ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(−∞, −2)C.(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2+y 2−4x −12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A.(6, 10)B.(8, 12)C.[6, 8]D.[8, 12]12. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)−f′(x)<1，f(0)＝2021，则不等式f(x)>2020⋅e x +1（e 为自然对数的底数）解集为（ ） A.(−∞, 0)∪(0, +∞) B.(2020, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0)∪(2020, +∞)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|＝________．14. 命题“∃x0∈R，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为________．15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为________米．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）)17. （1）已知椭圆的离心率为，点(2，）在C上．求椭圆C的方程； 17.（2）求与椭圆4x2+5y2＝20有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程．18. 设关于x的不等式x2≤5x−4的解集为A，不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a≥2)的解集为B．（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知m∈R，命题p：方程x2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆”．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围．20. 函数．（1）求曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间上的最大值．21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为F1(3, 0)，点M(4, y)(y>0)为椭圆上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．22. 已知f(x)=ax−ln x，x∈(0, e],g(x)=ln x，其中e是自然常数，a∈R．x（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)+1；2（3）是否存在实数a使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，结论否定，写出对应的命题即可．2.【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．3.【答案】D【解析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．4.【答案】B【解析】求出双曲线的半焦距，利用椭圆长轴长，求解短半轴的长，即可得到椭圆方程．5.【答案】C【解析】对f(x)求导，分析f′(x)的正负，进而得f(x)的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f(1)，f(3)，可得函数f(x)的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．6.【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．7.【答案】D【解析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．8.【答案】D【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．9.【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M(0, b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得√32+42≥45，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=ca=√1−b2a2即可得出．10.【答案】B【解析】(i)当a＝0时，f(x)＝−3x2+1，令f(x)＝0，解得x＝±√33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−2a )，令f′(x)＝0，解得x＝0或2a．对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．11.【答案】B【解析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，从而△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B−x A)+4＝6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．12.【答案】C【解析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】√22【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．14.【答案】[−4, 4]【解析】利用含有一个量词的命题的否定，将命题转化为“∀x∈R，x2+mx+4≥0”是真命题，然后利用一元二次不等式恒成立求解即可．15.【答案】【解析】先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2＝−2py(p>0)，把点B(10, −4)代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x＝2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．16.【答案】(−1, 0)【解析】讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．三、解答题（共6小题，共70分）17.【答案】由已知可得：，解得a＝2，所以椭圆C的方程为；已知椭圆的标准方程为：，所以c＝，则其焦点坐标分别为(−1, 0)，5)，当抛物线的焦点坐标为(1, 0)时，此时抛物线开口向右5＝4x，当抛物线的焦点坐标为(−1, 8)时，此时抛物线开口向左2＝−4x，综上，抛物线的方程为：y4＝±4x．【解析】（1）根据已知建立等式关系即可求解；（2）先求出椭圆的焦点坐标，然后对抛物线的开口方向讨论即可求解．18.【答案】不等式x2≤5x−8，化为x2−5x+8≤0，因式分解为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤6，∴解集A＝[1, 4]；不等式x3−(a+2)x+2a≤5，化为(x−2)(x−a)≤0，当a>2时，解集M＝[2；当a＝2时，解集M＝{6}；综上，不等式x2−(a+2)x+8a≤0(a≥2)的解集B＝{x|5≤x≤a}．∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，∴2≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3, 4]．【解析】先求解二元一次不等式解集，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．19.【答案】方程x 2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得7−m>m−1>0，解得1<m<4，则命题p是真命题，实数m的取值范围为(1, 4)；方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，即m<3且m>2，解得2<m<3，命题p和q均为假命题，可得{m≥4m≤1m≥3m≤2，解得m≥4或m≤1．则m的取值范围是(−∞, 1]∪[4, +∞)．【解析】（1）由方程表示焦点在y轴的椭圆可得7−m>m−1>0，可得所求范围；（2）由方程表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，解不等式可得m的范围，再由p，q均为假命题可得m的不等式组，解不等式可得所求范围．20.【答案】f(x)＝+ln，x∈(0，所以f′(x)＝-+＝，x∈(0．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(7．又f(2)＝ln2−，所以曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2−(x−2)，即x−4y+3ln2−4＝5．因为f′(x)＝-+＝，x∈(6，所以函数f(x)在(0, 1)上减少，+∞)上增加．所以函数f(x)在区间）或f(e)其中，f（，f(e)＝，【解析】（1）求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可．（2）判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可．21.【答案】由MOF1的面积为，则，得y＝1，5)，又点M在椭圆上，①因为F1是椭圆的焦点，所以a5＝b2+9②由①②解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为：；假设存在直线l满足题意，因为OM的斜率k＝，设l的方程为y＝，联立方程组，整理得9y5−16my+8m2−8＝0，△＝(16m)2−5×9×(8m4−9)>0，解得m，设A，B两点的坐标为(x7, y1)，(x2, y7)，则y，y，以AB为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)(y−y5)＝0，该圆经过原点，所以x1x4+y1y2＝3，又x1x2＝(5y1−4m)(7y2−4m)＝16y，所以x1x2+y1y2＝17y6y2−16m(y1+y4)+16m2＝，解得m＝，经检验满足题意，所以存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝．【解析】（1）由已知三角形的面积即可求出点M的纵坐标，把点M的坐标代入椭圆方程再由a，b，c的关系即可求解；（2）先假设存在，然后由OM的斜率设出直线l的方程，联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及以AB为直径的圆过原点满足的等式即可求解．22.【答案】解：（1）因为f(x)=x−ln x,f′(x)=1−1x =x−1x，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．当1<x≤e时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(1)=1．（2）因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0, e]上的最小值为1．又g′(x)=1−ln xx2，所以当0<x<e时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．所以g(x)的最大值为g(e)=1e <12，所以f(x)min−g(x)max>12，所以在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12．（3）假设存在实数a，使f(x)=ax−ln x，x∈(0, e]，有最小值3，则f′(x)=a−1x=ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值不是3．②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a]上单调递减，f(x)在(1a, e]上单调递增．所以f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，a=e2，满足条件．③当1a ≥e时，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f(x)的最小值是3．【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f(x)的最小值以及g(x)的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．试卷第11页，总11页。
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通江县第二中学2016年秋学期高二年级期末测试
数学试卷（文科）
一 选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.
直线y =
A 30
B 90
C 120
D 150
2. 点1-（，1）到直线10x y -+=的距离是（） A 12B 32
C
D
3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
A B
C D
4. 已知直线与1:(1)20l x k y k +++-=，2:24160l kx y ++=平行则k 的值为（ ） A 23-B 2C 1 D 1或2
5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ． 6. 一个长方体相邻的三条棱长分别为3,4,5则它的外接球的表面积是（）
A
B C 50πD 200π
7. 过原点且倾斜角为60 的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）
A B 2
C
D 8. 已知:C 22(1)(2)2x y -+-=，(2,1)P -过P 作C 的切线，切点为,A B , 则直线AB 的方程是（ ）
A 330x y -+=
B 330x y ++=
C 330x y --+=
D 330x y --=
9. 设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
4x =-2211612x y +=221128x y +=22184x y +=22
1124
x y +=
C 6332
D 94 10. 已知,x y
满足x =则22
y x --的取值范围是（ ）
A ⎢⎦⎣
B 13,22⎡⎤⎢⎥⎦⎣
C ]2,23⎡⎢⎣
D 12⎡⎢⎢⎦⎣ 11. 如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，
BD CD ⊥将四边形ABCD 沿对
角线BD 折成四面体'A BCD -使平面'A BD ⊥面BCD 则下列结论中正确的是（）
A 'AC BD ⊥
B '90BA
C ∠=
C 'CA 与平面'A B
D 所成的角为30
D 四面体'A BCD -的体积是13
12. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若 双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A (11)
B
C )+∞
D (3(2
二填空题（共4小题，每小题5分）
13. 已知空间两点(2,35)A ，
，(314)B ，，则AB =______________________ 14. 两圆22440x y x y +--=，222-12=0x y x ++相交于A ，B 两点则直线AB 的方程是________________________________
15. 若椭圆22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分则此弦所在的直线方程为_________________
16. 设直线系M:cos (2)sin 1(02)x y θθθπ+-=≤≤，对于下列四种说法： ① M 中所有直线均过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任意一条直线上： ③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；
④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中正确的是____________
三解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
如图，点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，
且PA ABCD ⊥面 ①求证BC PAB ⊥面 ②过CD 作一平面交平面PAB 于EF 求证：//CD EF
18. （本小题满分12分）
已知圆C 与x 轴的交点分别为(10)A -，
,(30)B ，且圆心在直线20x y -=上； ①求圆C 的标准方程；
②若圆C 与直线y x m =+有公共点，求实数m 的取值范围；
19. （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥,1AB AC AA ==,M 为1CC 中点，N 是BC 中点，点P 为线段11A B 上的动点；
（I ）判断异面直线PN 和AM 所成的角的大小是否变化，并证明你的结论； （Ⅱ）当直线PN 和平面ABC 所成角最大时，试确定点P 的位置；
20.（本小题满分12分）
点M 到点(10)F ，
的距离比它到直线20x +=的距离小1； （I ）求点M 的轨迹方程Q ；
（Ⅱ）直线l 的斜率为1且过定点(10)F ，
与Q 相交于A,B 两点，求AB 的长；
21. （本小题满分12分）
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠= ,SA ⊥ABCD ,
1SA AB BC ===1,2AD = (1)求四棱锥S ABCD -的体积;
(2)求证：面SAB ⊥面SBC
22.（本小题满分12分）
已知椭圆22
195
x y +=的左右顶点为A,B ，右焦点为F 。
设过点T(t,m)的直线TA,TB 与此椭圆分别交于点M 11(,)x y ,N 22(,)x y 其中m 0>,10y >,20y < ①设动点P 满足22
PF PB -=4，求点P 的轨迹； ②设1212,3
x x ==
，求T 的坐标； ③设t=9求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）；
S C A D B。