2014-2015年江苏省无锡市江阴二中九年级(上)期中数学试卷和答案
2014-2015无锡市九年级数学第一学期期中试卷苏科版含答案
学校 班级 姓名 考试号………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（第4题图）（第5题图）（第7题图）2014-2015无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列方程中，一元二次方程的是…………………………………………………（ ）A.3x －2x＝0 B.x (x －1)＝1 C.x 2＝(x －1)2 D.ax 2＋bx ＋c ＝02．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1:2．若BC ＝1，则EF 的长是…………………（ ）A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 3．原价168元的商品连续两次降价a %后售价为128元，下列方程正确的是…（ ）A. 128(1＋a %)2＝168 B. 168(1－a 2%)＝128 C. 168(1－2a %)＝128 D. 168(1－a %)2＝1284．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为（ ）A.2B.4C.6D.85．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是 ⌒BC上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为………………………………………………………………（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 56．已知扇形的圆心角为45º，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（ ）A. 34π B. 2π C. 3π D. 12π 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ， ∠C ＝40º，则∠ABD 的度数是……………………………………………………（ ） A. 25º B. 20º C.30º D.15º 8．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白的值为……（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 69．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于…………………………………………………………（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410．如图，Rt△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC交CM 的延长线于点F ，BD ＝4，CD ＝3．下列结论：①∠AED ＝∠ADC ；② DE DA ＝ 12；③AC ²BE ＝12；④3BF ＝4AC ．其中正确结论的个数有（ ）（第8题图）（第9题图）FA D EM （第10题图）（第15题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.） 11．方程x 2＝0的解是 .12．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2＝1的一个根为0，则a ＝ .13．若一元二次方程mx 2＝n （mn ＞0）的两个根分别是k ＋1与2k －4，则nm＝ . 14．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35º，则∠B 的度数是 . 15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD ＝4，DB ＝2，则DE BC的值为 .16．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长为 . 17．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD :DE ＝3:5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是 ⌒CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .19．如图，A 、B 、C 、D 依次为一直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A 、D 、E 3点，且∠AOD ＝120º．设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为 .20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB ．⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （∠GEB 为锐角），与边AB 所在直线交于另一点F ，且EG :EF ＝5:2．当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是 .三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．（16分）解方程：（1）x 2－5x －6＝0 （2）2x 2－4x －1＝0（3）(x －7)2＋2(x －7)＝0 （4）(3x ＋2)2＝4(x －3)2（第19题图）（第18题图）（第20题图）CBF E ADG O²22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值.23．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A ．（1）求∠D 的度数；（2）若CD ＝2，求BD24．（10分）如图，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB ＝4，∠BAE ＝30º，求AE 的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长.25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ AF DB26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点O 为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点的坐标：C （6，2） 、D ；（2，0）②⊙D 的半径为 2 5（结果保留根号）；③若用扇形ADC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 5π4 ；④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由．27．（10分）如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12 AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 ⌒AE的中点； （2）求证：∠DAO ＝∠B ＋∠BAD ； （3）若 S △CEFS △OCD ＝ 1 2 ，且AC ＝4，求CF 的长.28.（10分）在□ABOC中，AO⊥BO，且AO＝BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B(－6，0)，直线y＝3x＋b过点C且与x轴交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED＝45°时，求直线EC的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发沿折线OF－FE运动，在OF上的速度是每秒2个单位，在FE上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线PA交BE 于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．备用图初三数学期中考试参考答案与评分标准 2014.11一、选择题（每题3分）B C D D A C A C B C 二、填空题（每空2分）11. x 1＝x 2＝0 12. 1 13. 4 14. 55º 15. 2316. 2 17. 154 18. 5－1 19. y ＝4x 20. 4或12三、解答题21. ① x 1＝6，x 2＝－1 ② x 1,2＝2±62 ③x 1＝7， x 2＝5 ④x 1＝－8，x 2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分） 22. （1）∵原方程有实数根，∴△＝4(m ＋1)2－4(m 2－1)≥0…………………………（3分） 解得m ≥－1，故m 的取值范围是m ≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1……（5分） 由(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2得(x 1＋x 2)2＝16＋3x 1x 2，即4(m ＋1)2＝16＋3(m 2－1) （6分） 化简整理得，m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1………………………（7分） 考虑到m ≥－1，故实数m 的值为1…………………………………………（8分） 23. （1）连结OC …………………………………………………………………………（1分） ∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PD ………………………………………………（2分） ∵⊙O 中，OA ＝OC ，∴∠COD ＝2∠A ，而∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D （3分）∴在Rt △COD 中， D ＝45º…………………………………………………（4分） （2）∵在Rt △COD 中，CO ＝CD ＝2，∴OD ＝22………………………………（6分） ∴BD ＝22－2…………………………………………………………………（8分） 24.（1）先证∠ABF ＝∠EAD ，…………………………………………………………（2分）再证∠BAF ＝∠AED ，…………………………………………………………（3分） ∴△ABF ∽△EAD ………………………………………………………………（4分）（2）AE ＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△ABF ∽△EAD ，得BF AD ＝ABAE，………………………………………………（8分）故BF ＝AB •AD AE ＝3³4 833＝332．………………………………………………（10分） 25. 因每批次进货个数不得超过180个，故原销售定价应增加…………………… （1分） 设在原销售定价基础上增加x 元，则销售量减少10x 个……………………… （2分） 根据题意，(52＋x －40)(180－10x )＝2000，…………………………………… （4分）而x ≥0，∴x ＝8…………………………………………………………………… （7分） 答：应定销售价每个60元，进货100个………………………………………… （8分） 26. （1）画图，略……………………………………………………………………… （2分）（2）C (6，2)、D (2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）………………………… （7分）EC 与⊙D 相切（判断1分，说理2分）…………………………………… （10分） 27.（1）∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°，即BC ⊥AE …………………………（1分） ∵OD ∥BC ，∴OD ⊥AE …………………………………………………………（2分）∴⊙O 中，D 是 ⌒AE的中点………………………………………………………（3分） （2）延长AD 交BC 于G ，在⊙O 中， OA ＝OD ，又有OD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝∠AGC ＝∠B ＋∠BAD …………………………………（6分） （3）∵S △OCD ＝12S △ACD ， S △CEF S △OCD ＝ 1 2 ，∴ S △CEFS △ACD＝ 14 ………………………………（7分）可证△CEF ∽△CDA …………………………………………………………（8分） ∴ CFCA ＝ 12 ，CF ＝ 12 ³4＝2…………………………………………………（10分）28.（1）C (6，6)……………………………………………………………………………（1分） b ＝－12，D (4，0) ……………………………………………………………（2分） （2）E (0，12) …………………………………………………………………………（4分） 直线EC 的解析式是y ＝－x ＋12………………………………………………（5分） （3）t ＝3………………………………………………………………………………（7分）或 t 10分）。
江阴市第二中学九年级上期中考试数学试题及答案
-第一学期期中考试卷初三年级数学学科命题人：徐燕君 审核人：曹敏忠注意：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分130分． 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．下列根式中，与3是同类二次根式的是 （ ▲ ） A ．18B ．24C ．27D ．302．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ▲ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=3．⊙A 半径为5，圆心A 的坐标为（1，0），点P 的坐标为（-2，4），则点P 与⊙A 的位置关系是（ ▲ ）A ．点P 在⊙A 上B ．点P 在⊙A 内C ．点P 在⊙A 外D ．点P 在⊙A 上或外 4．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ▲ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．已知一元二次方程0132=+-x x 的两个根分别是1x 、2x ，则221221x x x x +的值（ ▲ ）A ． 3-B ． 3C ． 6-D ． 66．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A ′B ′C ′的面积是（ ▲ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是 （ ▲ ） A ．CM =DM B ．⌒CB = ⌒DB C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD 8．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =30°，则cos ∠AOB 的值是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o，AC =3，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为 （ ▲ ）A ． 2B ． 3C ． 2D ． 1第8题图 第9题图 A CB D第7题图10．如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是（﹣3，1），点C 的纵坐标是7，则B 、C 两点的坐标分别是（ ▲ ） A ．（2，6）、（1-，7）B ．（2，6）、（21-，7） C ．（47，27）、（32-，7） D ．（47，27）、（21-，7）二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．方程()412=-x 的解为 ▲ ．12．函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．13．关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值是▲ ．14．一个三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，第三边长是一元二次方程021102=+-x x 的实数根，则三角形的周长是 ▲ cm ． 15．在Rt △ABC 中，∠C =900，AB =10，cosB =54，则AC 的长为 ▲ ． 16．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ▲ ．17．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为 ▲ ．18．如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB =，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．） 19．计算：（每小题4分，共8分）⑴18)21(|322|2+---- ⑵45cos 45sin 130sin 360cos +-20．解下列方程：（每小题4分，共12分）第10题图第16题图 O D CBA第17题图第18题图⑴ 232=-x x ⑵0652=+-x x ⑶()()222413-=+x x21．（本题6分）先化简，再求值a a a a a a 2221444222-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--，其中a 是方程0132=++x x 的根22．（本题6分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船A 的距离是多少．（结果保留根号）23．（本题6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？24．（本题6分）已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ． （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值．25．（本题10分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB 时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC 于点E ． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP ； （3）当，BP′=5时，求线段AB 的长．26．(本题10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，BC ⊥OB ，过点A 的双曲线xky =的一支在第一象限交梯形对角线OC 于点D ，交第25题图边BC 于点E ．（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k 的取值范围是 ； （2）若点C 的坐标为（1，1），请用含有k 的式子表示阴影部分的面积S ．并回答：当点E 在什么位置时，阴影部分面积S 最小？ （3）若21=OC OD ，2=∆OAC S ，求双曲线的解析式．27．阅读材料：（8分）例：说明代数式 22x 1(x 3)4++-＋的几何意义，并求它的最小值． 解：222222x 1(x 3) 4 (x 0)1(x 3)2++-+=-++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(x 0)1-+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(x 3)2-+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝32， 即原式的最小值为32。
【精品】2015年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．73．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：55．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，126．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1•x2=．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=．17．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：2x2﹣=0，x2=0，x+2x2+1=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（x﹣2）=3得到：x2﹣3x=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（2x+2）=2x2得到：x﹣2=0，不含二次项，属于一元一次方程；在ax2+x﹣3=0中，当a=0时，它不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程的个数是4个．故选：C．2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．7【解答】解：x2﹣4x+3=0（x﹣3）（x﹣1）=0，所以x1=3，x2=1，当x=3时，三角形的周长为2+4+3=9；当x=1时，1+2＜4，不符合三角形三边的关系，应舍去．故选：C．3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定【解答】解：由题意可知：如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值不变．故选：B．4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：5【解答】解：设x=2k，y=3k，则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3．故选：C．5．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．故选：B．6．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，则tan=tan∠BAO==．故选：A．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵S△ADE ：S四边形DBCE=1：3，∴S△ADE ：S△ABC=1：4，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，∴AD：AB=1：2．故选：C．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC，△ADO∽△CBO，共两对．故选：B．10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个【解答】解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC=CD：BC，∴AC2=AD•AB，只有②正确．故选：B．二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是x1=0，x2=1．【解答】解：x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=2或﹣4．【解答】解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0，可得m2+2m﹣8=0，解得m=2或﹣4，当m=2时，方程为3x=0，当m=﹣4时，方程为﹣6x2+3x=0，满足条件，故答案为：2或﹣4．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．【解答】解：根据题意得则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．故答案为3，﹣2．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．【解答】解：如图，连接AE，交CD于点F，∵AC∥BD，且BD=3AC，∴==，又∵四边形ACED为正方形，∴AE⊥CD，DF=CF，∴=，∴=，在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，由勾股定理可求得AP=x，∴==，∴cos∠APF=，又∵∠CPB=∠APF，∴cos∠CPB=．故答案为：．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=1或4．【解答】解：∵方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，∴（m+2）2=9m，即m2﹣5m+4=0，解得：m=1或4．故答案为：1或417．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+42=80，∴BD=，∴PD=．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=14．【解答】解：∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△EFC，∴AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF（为旋转角），∵∠CAD=（180°﹣∠ACE），∠CBF=（180°﹣∠BCF），∴∠CAD=∠CBF，又∵∠ADC=∠BDG，∴△ACD∽△BGD，∴=，∵AC=AD，∴BG=BD，过点A作AH⊥CD于H，则CD=2CH，∵cos∠ACB=，AC=4，∴==，即==，解得CH=1，BC=16，∴CD=2×1=2，BD=BC﹣CD=16﹣2=14，∴BG=14．故答案为：14．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．【解答】解：原式=2﹣3﹣+1=﹣2．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x﹣2=0，配方得：x2﹣6x+9=11，即（x﹣3）2=11，解得：x1=3+，x2=3﹣；（2）方程整理得：2x2﹣x+4=0，∵△=1﹣32=﹣31＜0，∴方程无解．21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．【解答】解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）【解答】解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20×≈17.3（米）．答：宣传条幅BC的长是17.3米．23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？【解答】解：（1）如图①，∵∠FMC=∠B=90°，∵∠GFH+∠BCE=∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC=∠GFH，∴△BEC∽△HFG，∴=，即=，解得FH=；（2）作AT⊥BC，ER⊥BC．∵∠ERC=∠ATF=90°，∵∠REC+∠RCE=∠AFC+∠FCE=90°，∴∠REC=∠AFC，∴△REC∽△TFA，∴=，∵AT=ABsinB=3，BT=4，ER=1.5，CR=4.5，∴=，解得FT=1，BF=BT﹣FT=3．25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵i==，且BF=10m．∴AF=6m，．答：此大坝迎水坡AB的长是2m；（2）过点E作EG⊥AD于G．在Rt△AEG中，∵，且EG=BF=10m∴AG=12m，∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m，如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S△ABE=S梯形CMND，∴即BE=MC+ND．DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m．26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是AA、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于相似比；②相似体表面积的比等于相似比平方；③相似体体积的比等于相似比立方．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．【解答】解：（1）A（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比设这两种鱼的质量分别为m、M，则有而它们的价格比为15：10=1.5，∴买15元一条的鱼更合算．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）x2﹣（+1）x+=0，（x﹣）（x﹣1）=0，解得x1=，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°，由题意得：CM=t，CB=2．①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【解答】解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°；（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得， 即三分线长分别是和．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=23．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或155．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×1007．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是度．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=°．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过秒后，点P在⊙O上．18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．【解答】解：∵（）2=3，∴3的算术平方根是．故选：D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选：D．3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：B．4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，当腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边的关系，故舍去；当腰为6，底为3，则三角形周长=6+6=3=15．故选：C．5．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC==．故选：A．6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．故选：B．7．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选：C．8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l 相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°∴∠ACB=80°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB同理：∠P=∠CAQ∴△APB∽△QAC∴，即=．则函数解析式是y=．故选：A．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵点A坐标为（﹣1，1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵OB=AB=1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（﹣，t），∵PB=PB′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是x1=1，x2=2．【解答】解：x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0，x﹣2=0，x1=1，x2=2，故答案为：x1=1，x2=2．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=﹣5．【解答】解：根据题意得x1x2=﹣5．故答案为﹣5．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，∴a2﹣4=0且a+2≠0．解得a=2．故答案是：2．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是120度．【解答】解：∵底面直径为10cm，∴底面周长为10π，根据题意得10π=，解得n=120．故答案为：120．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=50°．【解答】解：根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，得∠BAE=∠C=50°．故答案是：50．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过2或秒后，点P在⊙O上．【解答】解：设x秒后点P在圆O上，∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，∴当第一次点P在圆上时，（2+1）x=7﹣1=6解得：x=2；当第二次点P在圆上时，（2+1）x=7+1=8解得：x=答案为：2或；18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为2，，．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵直线AB的解析式分别与x轴、y轴相交于B、A两点，OA=6，∠ABO=30°，∴OB=6．∵在Rt△AOB中，∠ABO=30°．∴在Rt△BCD中，BC=2CD．如图1，直线l与⊙C第一次相切，由题意得：OP=2t，BC=3t，∴CD=2t﹣1．∴3t=2（2t﹣1），解得：t=2．如图2，直线l与⊙C第二次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，∴CD=12﹣2t﹣1．∴3t=2（12﹣2t﹣1），解得：t=．如图3，直线l与⊙C第三次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，∴CD=12﹣2t+1．∴3t=2（12﹣2t+1），解得：t=．综上所述：直线l与⊙C相切时t的值为：2，，．故答案为：2，，．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=44，x==所以x1=，x2=；（2）[3（x+1）﹣（x﹣2）][3（x+1）+（x﹣2）]=0，3（x+1）﹣（x﹣2）=0或3（x+1）+（x﹣2）=0，所以x1=，x2=．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．【解答】解：（1﹣）÷﹣=（﹣）×﹣=×﹣=，由x2+x﹣2=0，得x1=1，x2=﹣2 （舍去），则原式==．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2＞0因此方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1+x2=﹣=﹣=6，又∵x1+2x2=14，解方程组解得：将x1=﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣k2=0，解得k=±4．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为π；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．【解答】解；（1）如图所示：（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为：=π；故答案为：π；（3）∵B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B+D′B1＞DB+DB1，∴此时DB+DB1最小，设直线BB1解析式为y=kx+b，依据题意得出：，解得：，∴y=﹣x+，∴D（0，）．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA﹣AN=4，∴D点坐标为（4，2），把D（4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD四边形ODBE=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．【解答】解：（1）设限购前二手房成交x套，新楼盘成交y套，根据题意得：，解得：，4500×（1﹣55%）=2025（套），5000×（1﹣52%）=2400（套），答：限购后二手房和新楼盘各成交2025套和2400套．（2）设每次调价百分比为m，根据题意得：12000（1﹣m）2=7680，解得：m=0.2=20%，m=1.8（舍去），∵90000×6÷80=6750＜7680，∴没有到合理价位．答：平均每次下调的百分率是20%，没有到合理价位．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，∴∠OAC=∠CAD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．【解答】解：（1）如图①，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，又∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4．在Rt△EFG和Rt△EBG中∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO⋅AG，即36+16=6×AG，AG=，可得：CG=，BG=．∴G的坐标为（8，）；（2）设运动的时间为t秒，当点C为圆心时，则CQ=CP，即：2t=10﹣4t，得到t=，此时CP=，AP=，P点坐标为．当点P为圆心时，则PC=PQ，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=，PE=，则，化简得：36t2﹣140t+125=0，解得：（舍去），此时，AP=，P点坐标为，当点Q为圆心时，则QC=PQ，如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CFQ∽△CAO，∴QF=，PF=．则，整理得，解得：（舍去）．此时，AP=，P点坐标为，综上所述，P点坐标为，，．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．【解答】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE，∴，，∴BF=30；（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴=，即解得：HN=3，∴S=•AM•MH=×12×24=144；△AMH②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴，即，解得：GB′=24，=•B′C′•B′G=×12×24=144，∴S△B′C′G∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．。
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市青阳二中九年级(下)期中数学模拟试卷和答案带解析word
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市青阳二中九年级（下）期中数学模拟试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（31x -x 的取值范围为( ) A ．1x <B ．1x >C ．1x …D ．1x …2．（3分）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形， 则四边形ABCD 一定是( )A ． 菱形B ． 对角线互相垂直的四边形C ． 矩形D ． 对角线相等的四边形3．（33( ) A 12 B 18 C 24D ．184．（3分）下列命题中正确的是( )A ． 一组对边平行的四边形是平行四边形B ． 两条对角线相等的平行四边形是矩形C ． 两边相等的平行四边形是菱形D ． 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5．（3分）如图是甲、乙两位同学某学期的四次数学考试成绩的折线统计图，则这四次数学考试成绩中( )A ．乙成绩比甲成绩稳定B ．甲成绩比乙成绩稳定C ．甲、乙两成绩一样稳定D ．不能比较两人成绩的稳定性6．（3分）如图，DE 是ABC ∆的中位线，若4AD =，6AE =，5DE =，则ABC ∆的周长是( )A ．24B ．30C ．15D ．7.57．（3分）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是( ) A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠8．（3分）如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC ∆，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )A ．30，2B ．60，2C ．60，32D ．6039．（3分）如图，以Rt ABC ∆的斜边BC 为一边作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果3AB =，22AO =AC 的长等于( )A ．12B ．7 CD ．10．（3分）已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形 （用 阴影表示） ，点1B 在y 轴上， 点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上 ． 若正方形1111A B C D 的边长为 1 ，1160B C O ∠=︒，112233////B C B C B C ，则点3A 到x 轴的距离是( )A 33+ B 31+ C 33+ D ．316+二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共18分．）11．（42(4)-= ；2(15)(51)(51)+= ．12．（2分）一组数据中若最小数与平均数相等， 那么这组数据的方差为 ． 13．（2分）若22222()4()50x y x y +-+-=，则22x y += ． 14．（2分）把根号外的因式移到根号内：1(1)1a a-=- ． 15．（2分）若梯形的中位线为8cm ，高为3cm ，则此梯形的面积为 ． 16．（2分）兰州市政府为解决老百姓看病难的问题， 决定下调药品的价格， 某种药品经过两次降价， 由原来的每盒 72 元调至现在的 56 元 ． 若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为 ．17．（2分）如图， 正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则FAB ∠的度数为 ．18．（2分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的面积是 ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： （1）1(273)33（212431832220．（9分）解一元二次方程： （1）5(1)22x x x -=-（2）22320x x --=（配方法） （3）2240x x +-=．21．（6分）如图，点E 、F 分别是ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE DF =． （1）试判断四边形AECF 的形状；（2）若AE BE =，90BAC ∠=︒，求证：四边形AECF 是菱形．22．（7分）王大伯几年前承包了甲、 乙两片荒山， 各栽 100 棵杨梅树， 成活98%． 现已挂果， 经济效益初步显现， 为了分析收成情况， 他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的杨梅， 每棵的产量如折线统计图所示 ． （1） 分别计算甲、 乙两山样本的平均数， 并估算出甲、 乙两山杨梅的产量总和；（2） 试通过计算说明， 哪个山上的杨梅产量较稳定？23．（8分）如图， 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点， 将ABE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆，点F 在矩形ABCD 内部， 延长AF 交CD 于点G ． （1） 猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论； （2） 若3AB =，4AD =，求线段GC 的长 ．24．（8分）某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件T 恤， 第一个月以单价 80 元销售， 售出了 200 件；第二个月如果单价不变， 预计仍可售出 200 件， 批发商为增加销售量， 决定降价销售， 根据市场调查， 单价每降低 1 元， 可多售出 10 件， 但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后， 批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售， 清仓时单价为 40 元， 设第二个月单价降低x 元 ．（1） 填表： （不 需化简）（2） 如果批发商希望通过销售这批T 恤获利 9000 元， 那么第二个月的单价应是多少元？25．（8分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作//PE DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市青阳二中九年级（下）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（31x -x 的取值范围为( ) A ．1x <B ．1x >C ．1x …D ．1x …【解答】解：根据题意，得：10x -…， 解得：1x …． 故选：C ．2．（3分）若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形， 则四边形ABCD 一定是( )A ． 菱形B ． 对角线互相垂直的四边形C ． 矩形D ． 对角线相等的四边形【解答】解：E ，F ，G ，H 分别是边AD ，DC ，CB ，AB 的中点，12EH AC ∴=，//EH AC ，12FG AC =，//FG AC ，12EF BD =， //EH FG ∴，EF FG =， ∴四边形EFGH 是平行四边形，假设AC BD =，12EH AC =，12EF BD =， 则EF EH =，∴平行四边形EFGH 是菱形，即只有具备AC BD =即可推出四边形是菱形， 故选：D ．3．（3()A B C D 【解答】解：A1223=A选项是；B1832，故B选项不是；C2426=C选项不是；D 1284=，故D选项不是．故选：A．4．（3分）下列命题中正确的是()A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的平行四边形是矩形C ．两边相等的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．B、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．故选：B．5．（3分）如图是甲、乙两位同学某学期的四次数学考试成绩的折线统计图，则这四次数学考试成绩中()A．乙成绩比甲成绩稳定B．甲成绩比乙成绩稳定C．甲、乙两成绩一样稳定D．不能比较两人成绩的稳定性【解答】解：观察图形可知，甲的波动大，乙的波动小，∴乙成绩比甲成绩稳定．故选：A ．6．（3分）如图，DE 是ABC ∆的中位线，若4AD =，6AE =，5DE =，则ABC ∆的周长是( )A ．24B ．30C ．15D ．7.5【解答】解：DE 是ABC ∆的中位线，12DE BC ∴=，12AD AB =，12AE AC =， 4AD =，6AE =，5DE =，8AB ∴=，10AC =，12BC =， ABC ∴∆的周长是1281030++=，故选：B ．7．（3分）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是( ) A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠【解答】解：关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，∴00k ≠⎧⎨>⎩，即0440k k ≠⎧⎨=+>⎩， 解得1k >-且0k ≠． 故选：B ．8．（3分）如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC ∆，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )A ．30，2B ．60，2C ．60，32D ．603【解答】解：ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，60B ∴∠=︒，cot 2323AC BC A =⨯∠==24AB BC ==，EDC ∆是ABC ∆旋转而成， 122BC CD BD AB ∴====， 60B ∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形， 60BCD ∴∠=︒，30DCF ∴∠=︒，90DFC ∠=︒，即DE AC ⊥， //DE BC ∴， 122BD AB ==， DF ∴是ABC ∆的中位线，112122DF BC ∴==⨯=，1123322CF AC ===， 311322S DF CF ∴=⨯==阴影． 故选：C ．9．（3分）如图，以Rt ABC ∆的斜边BC 为一边作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果3AB =，22AO =AC 的长等于( )A ．12B ．7 CD．【解答】解：如图，在AC 上截取CF AB =， 四边形BCDE 是正方形，OB OC ∴=，90BOC ∠=︒， 290OCF ∴∠+∠=︒， 90BAC ∠=︒， 190OBA ∴∠+∠=︒，12∠=∠（对顶角相等），OBA OCF ∴∠=∠，．在ABO ∆和FCO ∆中，OB OC OBA OCF CF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABO FCO ASA ∴∆≅∆，22OF AO ∴==AOB FOC ∠=∠，90AOF AOB BOF FOC BOF BOC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， AOF ∴∆是等腰直角三角形，22224AF ∴==，437AC AF CF ∴=+=+=．故选：B ．10．（3分）已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形 （用 阴影表示） ，点1B 在y 轴上， 点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上 ． 若正方形1111A B C D 的边长为 1 ，1160B C O ∠=︒，112233////B C B C B C ，则点3A 到x轴的距离是( )A 33+ B 31+ C 33+ D 31+【解答】解： 过小正方形的一个顶点W 作FQ x ⊥轴于点Q ，过点3A F FQ ⊥于点F ，正方形1111A B C D 的边长为 1 ，1160B C O ∠=︒，112233////B C B C B C ，33B C ∴∠460E =︒，11130DC E ∠=︒，22230E B C ∠=︒，11111122D E D C ∴==， 112212D E B E ∴==，22222212cos30B EB C B C ∴︒==，解得：223B C =， 343B E ∴=， 3433cos30B E B C ︒=， 解得：3313B C =，则313WC =，根据题意得出：3WC ∠30Q =︒，3C ∠60WQ =︒，3A ∠30WF =︒，111236WQ ∴=⨯=，31cos30326FW WA =︒==则点3A 到x 轴的距离是：13316FW WQ ++=+=， 故选：D ．二、填空题（本大题共有8小题，每空2分，共18分．）11．（42(4)-= 4 ；2(15)(51)(51)+= ． 【解答】2(4)|4|4-=-=；222(15)(51)(51)1(5)(5)251225+=-+-=-． 故答案为 4 ，225-．12．（2分）一组数据中若最小数与平均数相等， 那么这组数据的方差为 0 ． 【解答】解：一组数据中若最小数与平均数相等，12n x x x ∴==⋯=，∴方差为 0 ．故填 0 ．13．（2分）若22222()4()50x y x y +-+-=，则22x y += 5 ． 【解答】解： 设22x y t +=， 则原式变形为：2450t t --=，2(2)90t ∴--=， 2(2)9t ∴-=，5t ∴=或1-．220x y +…， 225x y ∴+=．14．（2分）把根号外的因式移到根号内：1(1)1a a-=- 1a -- ． 【解答】解： 原式22111(1)(1)(1)1111a a a a a a a=--=--=--=-----．故答案是：1a --15．（2分）若梯形的中位线为8cm ，高为3cm ，则此梯形的面积为 224cm ． 【解答】解： 根据题意得梯形面积=中位线⨯高23824()cm =⨯=． 故答案为：224cm ．16．（2分）兰州市政府为解决老百姓看病难的问题， 决定下调药品的价格， 某种药品经过两次降价， 由原来的每盒 72 元调至现在的 56 元 ． 若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为 272(1)56x -= ． 【解答】解： 第一次降价后的售价为72(1)x -，则第二次降价后的售价为272(1)(1)72(1)56x x x --=-=， 即272(1)56x -=．故答案为：272(1)56x -=．17．（2分）如图， 正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则FAB ∠的度数为 22.5︒ ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，45BAC ∴∠=︒，四边形AEFC 是菱形，114522.522FAB BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：22.5︒．18．（2分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的面积是 16或24 ．【解答】解：如图，构造三角形． ①如图：过点D 作DN AC ⊥于点N ，222425CD =+=由题意可得出：4DN EC ==，2NC DE ==，D 为AB 中点，AD CD BD ∴==，2AN NC ∴==，4BE EC ==，∴原直角三角形纸片的面积是：148162⨯⨯=；②如图：过点E 作EF AC ⊥于点F ，因为22345CE +=，点E 是斜边AB 的中点，则5AE BE CE ===， 由题意可得出：4BD CD EF ===， 则3FC DE ==，6AC ∴=，8BC =，∴原直角三角形纸片的面积是：168242⨯⨯=．故答案为：16或24．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： （1）1(273)33（2124318322+． 【解答】解：（1）原式(333)3=233=6=；（2）原式124318422=÷⨯3=+3=．20．（9分）解一元二次方程：（1）5(1)22x x x -=-（2）22320x x --=（配方法） （3）2240x x +-=．【解答】解：（1）5(1)22x x x -=-255220x x x --+=，则25320x x --=(1)(52)0x x -+=，解得：11x =，225x =-；（2）22320x x --=（配方法）2232x x -=2312x x -= 239()1416x -=+2325()416x -=，3544x ∴-=±，解得：12x =，212x =-；（3）2240x x +-=224x x +=，2(1)5x +=， 则15x +=±解得：11x =-21x =-21．（6分）如图，点E 、F 分别是ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE DF =． （1）试判断四边形AECF 的形状；（2）若AE BE =，90BAC ∠=︒，求证：四边形AECF 是菱形．【解答】（1）解：四边形AECF 为平行四边形． 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，又BE DF =，AF CE ∴=，∴四边形AECF 为平行四边形；（2）证明：AE BE =，B BAE ∴∠=∠，又90BAC ∠=︒，90B BCA ∴∠+∠=︒，90CAE BAE ∠+∠=︒，BCA CAE ∴∠=∠， AE CE ∴=，又四边形AECF 为平行四边形，∴四边形AECF 是菱形．22．（7分）王大伯几年前承包了甲、 乙两片荒山， 各栽 100 棵杨梅树， 成活98%． 现已挂果， 经济效益初步显现， 为了分析收成情况， 他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的杨梅， 每棵的产量如折线统计图所示 ． （1） 分别计算甲、 乙两山样本的平均数， 并估算出甲、 乙两山杨梅的产量总和；（2） 试通过计算说明， 哪个山上的杨梅产量较稳定？【解答】解： （1）40x =甲（千 克） ， （1分）40x =乙（千 克） ， 总产量为4010098%27840⨯⨯⨯=（千 克） ；（2）()()()()2222215040364040403440384S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲（千 克2)， (222221[(3640)(4040)(4840)3640)244S ⎤=-+-+-+-=⎦乙（千 克2)， 2_S ∴甲．答： 乙山上的杨梅产量较稳定 ．23．（8分）如图， 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点， 将ABE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆，点F 在矩形ABCD 内部， 延长AF 交CD 于点G ． （1） 猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论； （2） 若3AB =，4AD =，求线段GC 的长 ．【解答】解： （1）GF GC =． 理由如下： 连接GE ，E 是BC 的中点，BE EC ∴=，ABE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆， BE EF ∴=，EF EC ∴=，在矩形ABCD 中，90C ∴∠=︒， 90EFG ∴∠=︒，在Rt GFE ∆和Rt GCE ∆中，EG EGEF EC =⎧⎨=⎩， Rt GFE Rt GCE(HL)∴∆≅∆，GF GC ∴=；（2） 设GC x =，则3AG x =+，3DG x =-， 在Rt ADG ∆中，2224(3)(3)x x +-=+， 解得43x =．24．（8分）某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件T 恤， 第一个月以单价 80 元销售， 售出了 200 件；第二个月如果单价不变， 预计仍可售出 200 件， 批发商为增加销售量， 决定降价销售， 根据市场调查， 单价每降低 1 元， 可多售出 10 件， 但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后， 批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售， 清仓时单价为 40 元， 设第二个月单价降低x 元 ．（1） 填表： （不 需化简）【解答】解： （1）80x -，20010x +，800200(20010)x --+（2） 根据题意， 得200(8050)(20010)(8050)(40010)(4050)9000x x x ⨯-++⨯--+--=整理得21020010000x x -+=，即2201000x x -+=，解得1210x x ==当10x =时，807050x -=>答： 第二个月的单价应是 70 元 ．25．（8分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，动点P 从点D 出发沿DA向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作//PE DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x 秒，当点P 运动到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设PE y =；（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）探究：当x 为何值时，四边形PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点P 和点Q ，使P 、Q 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）矩形ABCD ，90D ∴∠=︒，3AB DC ==，4AD BC ==，∴在Rt ACD ∆中，利用勾股定理得：225AC AD CD +=，//PE CD ，APE ADC ∴∠=∠，AEP ACD ∠=∠，APE ADC ∴∆∆∽，又PD x =，4AD =，4AP AD PD x =-=-，5AC =，PE y =，3DC =， ∴AP AE PE AD AC DC ==，即4453x AE y -==， 334y x ∴=-+；（2）若//QB PE ，四边形PQBE 是矩形，非梯形，故QB 与PE 不平行，当//QP BE 时，PQE BEQ ∠=∠，AQP CEB ∴∠=∠，//AD BC ，PAQ BCE ∴∠=∠，PAQ BCE ∴∆∆∽，由（1）得：554AE x =-+，4PA x =-，4BC =，AQ x =， ∴PA AQ AQ BC CE AC AE ==-，即445455(5)4x x x xx -==--+， 整理得：5(4)16x -=， 解得：45x =， ∴当45x =时，//QP BE ，而QB 与PE 不平行，此时四边形PQBE 是梯形； （3）存在．分两种情况：当Q 在线段AE 上时：595544QE AE AQ x x x =-=-+-=-， ()i 当QE PE =时，935344x -=-+， 解得：43x =； ()ii 当QP QE =时，QPE QEP ∠=∠，90APQ QPE ∠+∠=︒，90PAQ QEP ∠+∠=︒，APQ PAQ ∴∠=∠，AQ QP QE ∴==，954x x ∴=-， 解得：2013x =；()iii 当QP PE =时，过P 作PF QE ⊥于F ，可得：119209(5)2248x FE QE x -==-=， //PE DC ，AEP ACD ∴∠=∠，3cos cos 5CD AEP ACD AC ∴∠=∠==， 20938cos 3534xFE AEP PE x -∠===-+， 解得：2827x =； 当点Q 在线段EC 上时，PQE ∆只能是钝角三角形，如图所示：PE EQ AQ AE ∴==-，AQ x =，554AE x =-+，334PE x =-+， 353(5)44x x x ∴-+=--+， 解得：83x =． 综上，当43x =或2013x =或2827x =或83x =时，PQE ∆为等腰三角形．附赠模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：△OAB ，△OCD 均为等边三角形结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =60°；③OE 平分∠AED （易忘）等腰RT △条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =90°；③OE 平分∠AED （易忘）任意等腰三角形条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB =∠COD结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =∠AOB ；③OE 平分∠AED （易忘）导角核心图形模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD；②∠AOB=∠COD模型二：手拉手模型—相似条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置结论：右图 △OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD ；且延长AC 交BD 于点E 必有∠BEC=∠BOA非常重要的结论：必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当∠AOB =90°时，除△OCD ∽△OAB ⇔△OAC ∽△OBD 之外还会隐藏OCD OAOB OC OD AC BD ∠===tan ，满足BD ⊥AC ，若连接AD 、BC ，则必有 2222CD AB BC AD +=+；BD AC S ABCD ⨯=21（对角线互相垂直四边形）。
2014-2015年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞12．（3分）下列说法正确的有几个（）①经过三个点一定可以作圆；②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径必平分弦；⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆．A．3 B．2 C．1 D．03．（3分）若两圆的半径分别为4和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．相交C．内切D．外切4．（3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，5．（3分）一元二次方程x（x﹣3）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根6．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，则+的值（）A．1.5 B．﹣1.5 C．D．﹣7．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．平均数是4.6 B．中位数是4C．众数是5 D．调查了10户家庭的月用水量8．（3分）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④9．（3分）某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000B．2500x2=8000C．2500（1+x）2=8000D．2500（1+x）+2500（1+x）2=800010．（3分）如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小范第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是（）A．60°B．51°C．48°D．76°二．填空题（本大题共有8小题，每空2分，共20分．）11．（2分）方程x2=2的解是．12．（2分）100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．13．（2分）一组数据1、3、2、﹣4、﹣2的极差等于．14．（4分）已知图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC=80°，则∠D=，∠CBE=．15．（2分）已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的一个根，则m=．16．（4分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是cm，面积是cm2．17．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是．18．（2分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的坐标为．三．解答题（共有10小题，共80分．）19．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．20．（6分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为；（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有个，试写出其中一个点P坐标为．21．（8分）有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片，背面向上洗匀．（1）请用画树形图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M 的概率．22．（6分）某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军）．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出合理的判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？23．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．24．（6分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．25．（6分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？26．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）27．（10分）在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=，PB=（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．28．（12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P 作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1，故选：C．2．（3分）下列说法正确的有几个（）①经过三个点一定可以作圆；②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径必平分弦；⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：①经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故①错误；②任意一个圆一定有内接三角形，一个圆有无数个内接三角形，故②错误；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆，故③正确；④垂直于弦（不过圆心的弦）的直径必平分弦，故④错误；⑤经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故⑤错误；故选：C．3．（3分）若两圆的半径分别为4和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．相交C．内切D．外切【解答】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为5，又∵3+4=7，4﹣3=1，1＜5＜7，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．4．（3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故选：C．5．（3分）一元二次方程x（x﹣3）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：x（x﹣3）=0，x=0，x﹣3=0，x1=0，x2=3，即方程有两个不相等的实数根，故选：A．6．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，则+的值（）A．1.5 B．﹣1.5 C．D．﹣【解答】解：∵a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+6=0的两根，∴a+b=4，ab=6，∴原式===．故选：C．7．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．平均数是4.6 B．中位数是4C．众数是5 D．调查了10户家庭的月用水量【解答】解：A、这组数据的平均数是：（3×2+4×3+5×4+8×1）÷10=4.6，故本选项正确；B、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）÷2=4.5，则中位数是4.5，故本选项错误；C、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故本选项正确；D、调查的户数是2+3+4+1=10，故本选项正确；故选：B．8．（3分）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④【解答】解：点P顺时针旋转时，AP长度慢慢增大；当A，O，P在一条直线上时，AP为圆O的直径，此时最大；继续旋转，当P，0，B在一条直线上时，AP和一开始的长度相同；当和点A重合时，距离为0；继续旋转，回到点B，AP长也回到原来的长度．①对；同理，逆时针旋转时，有3次AP长是相等的，最后回到原来的位置，③对．故选：B．9．（3分）某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000B．2500x2=8000C．2500（1+x）2=8000D．2500（1+x）+2500（1+x）2=8000【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2011的教育经费为：2500×（1+x）2012的教育经费为：2500×（1+x）2．那么可得方程：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000．故选：A．10．（3分）如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小范第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是（）A．60°B．51°C．48°D．76°【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故选：B．二．填空题（本大题共有8小题，每空2分，共20分．）11．（2分）方程x2=2的解是±．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．12．（2分）100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．【解答】解：100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是=．故答案为．13．（2分）一组数据1、3、2、﹣4、﹣2的极差等于7．【解答】解：由题意可知，数据中最大的值3，最小值﹣4，所以极差为3﹣（﹣4）=7．故答案为：7．14．（4分）已知图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC=80°，则∠D=40°，∠CBE=40°．【解答】解：在⊙O中，∵∠AOC=80°，∴∠D=40°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠CBA=140°，∴∠CBE=40°．故答案为：40°，40°．15．（2分）已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的一个根，则m= 0．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2+mx﹣1=0得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0．故答案为：0．16．（4分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是24cm，面积是240πcm2．【解答】解：设扇形的半径是r，则=20π解得：r=24．扇形的面积是：×20π×24=240π．故答案是：24和240π．17．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是2．【解答】解：根据勾股定理得：AB==10，设三角形ABC的内切圆O的半径是r，∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四边形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE=r，∴AC﹣r+BC﹣r=AB，8﹣r+6﹣r=10，∴r=2，故答案为：2．18．（2分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的坐标为（1010，0）．【解答】解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，∵2017=1008×2+1，∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，∴A2017在x轴正半轴，∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，…，∴OA2017=（2017+3）÷2=1010，∴点A2017的坐标为（1010，0）．故答案为：（1010，0）．三．解答题（共有10小题，共80分．）19．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．【解答】解：（1）方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）方程变形得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，解得：x1=2，x2=3．20．（6分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为（﹣4，2），（﹣1，﹣1）；（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有3个，试写出其中一个点P坐标为（﹣3，﹣1）．【解答】解：（1）先在坐标系中找到A（﹣4，2），B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点．一次函数y=﹣x﹣2，当x=0时，y=﹣2；当y=0时，x=﹣2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线．即是一次函数y=﹣x﹣2的图象．该直线与圆的交点是点A、C，它们的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；故答案是：（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；（2）作AD的垂直平分线，与圆的交点是所求的坐标（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点D为圆心，以DA为半径画弧，弧与⊙O1的交点是A点和P3点，从图中可以看出这样的点有三个坐标，可求的其中一个是（﹣3，﹣1）．故答案是：2；（﹣3，﹣1）．21．（8分）有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片，背面向上洗匀．（1）请用画树形图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M 的概率．【解答】解：（1）画树形图得：共有6种等可能情况，（A，D）（A，E）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）；（2）由（1）中的树形图可知符合条件的有3种，P（事件M）=．22．（6分）某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军）．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出合理的判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？【解答】解：秒秒，，推荐甲参加全市比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的8次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．23．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．∵k为整数，∴k的值为﹣1或0．24．（6分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．25．（6分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；答：她购买了20件这种服装．26．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线．（2）AC+AD=BC．理由如下：连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA；∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB=AD；∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD．（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC﹣AC=4cm，∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），又∵OD2﹣OA2=AD2，∴S=42π=16π（cm2）．27．（10分）在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=2tcm，PB=（5﹣t）cm（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm，∵AB=5cm，∴PB=（5﹣t）cm，∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2=52，解得：t1=0，t2=2；当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26=4（cm2），（5﹣t）×2t×=4，解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．28．（12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P 作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．【解答】解：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：如图甲，连接OC、OD，∵PC、PD是⊙O的两条切线，∴∠PCO=∠PDO=90°．又∵PC⊥PD，∴四边形OCPD是矩形，又∵OC=OD，∴四边形OCPD是正方形；（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，∴OD=PD=2，OP=2，∵P在直线y=﹣x+8上，设P（m，﹣m+8），则OF=m，PF=﹣m+8，∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，∴m2+（﹣m+8）2=（2）2，解得m=2或6，∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；（3）设直线y=﹣x+b与圆交与点E，F，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，则∠EOF=90°，∴OE=OF=|b|，∴|b|=2，解得b=±2；（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=﹣x+8相切，切点为D，如图3，∴O′D⊥AB，由直线y=﹣x+8可知A（8，0），B（0，﹣8），∴OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，∴△O′AD是等腰直角三角形，∴O′D=AD=2，∴O′A=2，∴OO′=8﹣2或8+2，∴当⊙O与直线y=﹣x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围为：8﹣2≤m ≤8+2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
无锡市新区2014届九年级(上)期中数学试题(含答案)
2013—2014学年第一学期初三数学期中考试试卷（时间：100分钟，分值：100分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）．(A)(B) (C) (D) ．2. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=3. 下面计算正确的是 （ ）A.3= 3= C. = 2=-4.一组数据为2、3、5、7、3、4，对于这组数据，下列说法错误的是 （ ） A ．平均数是4 B ．极差是5 C ．众数是3 D ． 中位数是65. 下列关于矩形的说法中正确的是 （ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分6. 12a =-，则 （ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥127. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是 （ ） A ．55°，55° B ．70°，40° C ．55°，55°或70°，40° D ．以上都不对 8. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 29. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为 ( ) A.4 B. 3 C.2 D.1(第9题图) (第10题图)10.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是 （ ） A ．4m cm B ． 4n cm C ． 2(m +n ) cm D ． 4(m -n ) cm 二．填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.）11. 有意义的x 的取值范围是 . 12．在实数范围内因式分解：416a -= .13．已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则另一根是___ ____.142(5)0b -=，求a b -=15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，EF 为中位线，若AB ＝2b ，EF ＝a ，则阴影部分的面积为 .（第15题图） （第16题图） （第17题图）16．如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_ ____cm .17．如图，已知矩形ABCD 中，AB =12，AD =3，E 、F 分别为AB 、DC 上的两个动点，则AF +FE +EC的最小值为18．存在正整数a ，能使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，则a =三．解答题（本大题共8小题，共54分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 19.计算（8分）（1 （2）20．解下列一元二次方程（8分）（1）2890x x +-= （2）2250x x --=（配方法）21．（6分）如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形22．（5分）一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：（1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差.（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差.从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好?23．（6分）已知，下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程。
江阴市江阴二中九年级上册期中试卷检测题
江阴市江阴二中九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在． 【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0 ∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0， 即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4 解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下：∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=- 21430,k k ∴--= 1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0，172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值； 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，∴a的值是﹣2或﹣4；②∵a≤x≤b，b＝﹣3∴a＝﹣2舍去，∴a＝﹣4，∴﹣4≤x≤﹣3，∴一次函数y＝﹣4x﹣3，∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）.解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC ⊥s 时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm 2． 【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出AP AB =AQ AC ，代入得出10210t -=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案. （3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ 、OD 、和PD 的长度；然后在Rt△PQD 中，根据勾股定理列出方程（8-185t ）2-（6-65t ）2=（2t ）2，求得时间t 的值；最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍，进行计算即可. 解：（1）BP=2t ，则AP=10﹣2t ． ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴AP AB =AQAC，即10210t -=28t， 解得：t=209, ∴当t=209时，PQ∥BC. （2）如答图1所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =．216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△A BC 的面积平分， 则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ． 如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆， 解得：OC ，h ， ∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即h，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=t，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=52．由（2）可知，S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258=3372+cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为1372-cm2．“点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．（探究）（1）证明：OBC≌OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°∵AD＝BC，∴BC＝DE由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，BC DEBCO FDEOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△OBC≌△OED（SAS）；（2）连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE∵BC＝x，∴DE＝x∴CE＝8－x由（1）知△OBC≌△OED∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt △OBE 中，OB 2＋OE 2＝BE 2．在Rt △BCE 中，BC 2＋EC 2＝BE 2．∴OB 2＋OE 2＝BC 2＋CE 2． ∵OB 2＝y ，∴y ＋y ＝x 2＋(8－x)2． ∴y ＝x 2－8x ＋32∴当x=4时，y 有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．7．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①2225- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】 【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．8．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点()0,3C ，点()3,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，请直接写出点M 的横坐标．【答案】（1）23233=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】 【分析】（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：120933ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b 故抛物线的解析式是23233=++y x x .图（1） 图（2） （2）①设直线BC 的解析式为3. ∵直线BC 过点B （3，0）， ∴3则k=33-， 故直线BC 解析式为y=33 设直线m 解析式为3yx b ，且直线m ∥直线BC 当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值. 令23323b 3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b 时直线m 与抛物线有唯一交点 解之得：73,b代入原式可求得：32x = ∴D 353(2图（3）过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积，∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在，点M 的横坐标为313+2 解题提示：如图3符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方） ∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°， ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E （33+0）设直线CE 解析式为：3y kx =+ ∴0(323)3k解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3yx∴23233(32)3y x x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得：x 1=0，x 23－1∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15° ∴在Rt △COF 中， ∠CFO=45° ∴3∴F 30）∴直线CF的解析式为-3y x∴23233-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得：30x=（舍去），43+2x即点M的横坐标为：23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．9．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：22 111=k k k+⎛⎫+⎪⎝⎭．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=2k．∴EN=OE﹣ON=1k﹣2k．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ ENOF EF=，即：1221kkkk-=，解得：25，∵k＞0，∴25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161A EEC=-，求nm的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（15；（23；（3）存在，63【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=推出16A CEC=A126nm，推出BH=A126nm，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到33FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA 1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2，∴BA 1=2HA 1，∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵22125+=∴D 到点D 1所经过路径的长度3055π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=， ∴16A C EC= ∴A 126n m， ∴BH=A 12226n m n m -=， ∴42226n m n m-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴242416n n m m-=•， ∴33n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，33BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ， ∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 33FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3FM DM =； 在矩形ABCD 中，有33AD AB = 333=3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=33AB =，∴DM=AN=BP=2，∴332322FM DM ==⨯=， ∴63PF PM MF =+=+； 【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.13．如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB ＜AE ）在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG.（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG ；（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G 到BE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD ，AE=AG ，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C 在直线BE 上时，可知点E 与C 重合或G 点C 与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAE+∠EAD=90°. ∵四边形AEFG 是正方形，∴AE=AG ，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE ≌△ADG （SAS ）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．14．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【解析】【分析】（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵FA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵PA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，∵PF2+FQ2=PQ2，∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=2221-=3，在Rt△ABF中，BF=22AB AF- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=12EC=61-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．（1）如图1，求证：GD＝GF；（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．。
江苏省江阴市第二中学九年级上期中数学试题(有答案)(精选)
第一学期九年级期中考试数学学科试题注意事项：1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11题～第28题，共18题）两部分．本卷满分130分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将本人的班级、姓名、学号填写在试卷的装订线内．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．方程2－4＝0的根是………………………………………………… （ ▲ ） A ．＝4 B ．＝0 C ．1＝0，2＝4 D ．1＝0，2＝－42．下列一元二次方程中，有实数根的是 ………………………………………………（ ▲ ）A ．2－＋1＝0B ．2－2+3＝0C ．2+－1＝0D ．2＋4＝03.已知m ，n 是方程2－2－2016=0的两个实数根，则n 2+2m 的值为于…………（ ▲ ）A ． 1010B ．2012C ．2016D ．20204.如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD = 5， BD = 10，DE = 4，则BC 的值为 ( ▲ )A ．8B ．9C ．10D ．12第4题 第8题 第9题 第10题5. 已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）， 以点B 为位似中心，且位似比为1：2将△ABC 放大得△A 1BC 1 ，则点C 1 的坐标为( ▲ ) A ．（1,0）B ．（5,8）C ．（4,6）或（5,8）D ．（1,0）或（5,8）6. 已知P 为⊙O 内一点，OP =1，如果⊙O 的半径是2，那么过P 点的最短弦长是 （ ▲ ）A.1B.27.下列说法中,正确的是 ( ▲ ) A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B ．任何三角形有且只有一个内切圆 C ．三点确定一个圆 D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 8．如图，在△ABC 中，点O 为重心，则S △DOE ：S △BOC = （▲） A ．1：4 B ． 1：3 C ． 1：2 D ． 2：39.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A =72°，则∠BCO 的度数为 (▲)DE AA. 15°B. 18°C. 20°D. 28°10. 如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D 2015E 2015到BC 的距离记为h 2016．若h 1=1，则h 2016的值为 （ ▲ ） A.201521 B.201421 C. 2015211-D.2015122-二、填空题：（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 2BC ，则cos A 的值为 ▲ ． 12．已知(m −3)2 −3 + 1 = 0是关于的一元二次方程，则m 的取值范围是 ▲ ．13．在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是 ▲ 米．14．某公司4月份的利润为160万元，由于经济危机，6月份的利润降到90万元，则平均每月减少的百分率是 ▲ ．15.如图，∠ABC = 140°，D 为圆上一点，则∠ADC 的度数为 ▲ ．第15题 第16题 第17题 第18题16．如图，已知△ABC ，AB =AC =2，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是▲ ．17.如图，平行四边形ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AEEFFC=123，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN= ▲ ．18.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC ，BC 相切与点E ，F ， 与AB 分别交于点G ，H ，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点D ，则 CD 的长为 ▲ .三、解答题：（本大题共9小题，共84分）19．解方程：（本题共有2小题，每小题4分，共8分）(1) 2－2－4＝0 (2) （+3）（－1）＝1220.(6分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC 的平分线交AC 边于点O ，再以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．21.（7分）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是 45°，向前走8m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°。
江苏省江阴第二中学学九年级数学上学期12月月考试卷(
江苏省江阴第二中学2013-2014学年度九年级数学上学期12月月考试卷注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．2．本卷分试卷与答卷，请将试卷上的所有答案填写到答卷的对应位置，在试卷上作答一律作废．一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确结论代号填在答题卡的对应题号内．．．．．．．．．．） 1．2)5(-= （ ▲）A ．5B ．—5C ．±5D ．52．若代数式32--x x 有意义，则x 的取值范围是 （ ▲ ） A ．x>2且x ≠3 B ．x ≥2 C ．x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 3．一元二次方程2210x x --=的根的情况为 （ ▲ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根4．下列图形：正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形、圆，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有 （ ▲ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个5．两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为 （ ▲ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切6．⊙O 的半径为R ，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 分别是方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则点A 与⊙O 的位置关系是 （ ▲ ）A ．点A 在⊙O 内部B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外部D ．点A 不在⊙O 上 7．如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是： 甲：1、作OD 的中垂线，交⊙O 于B ，C 两点， 2、连接AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形乙：1、以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点。
连接AB ，BC ，CA ．△ABC 即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法，可判断 （ ▲） A ．甲、乙均正确 B ．甲、乙均错误C ．甲正确、乙错误D ．甲错误，乙正确8.抛物线c x x y +-=62的顶点在y=2x+1上，则c 的值为 （ ▲ ） A ．4 B ．14 C ．-11 D ．16（第17题）A B CP9. 如图,△ABC 中,BC=7,cosB ＝22,sinC ＝54则△ABC 的面积是 （ ▲ ） A ．221B ．12C ．14D ．21 10．若在同一平面直角坐标系中，一次函数()1-=x a y 和二次函数()12-=x a y （0≠a ）的图象只可能是下图中的 （ ▲ ） 二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．请把结果填在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．） 11.=-+)21)(21( ▲ ．12. 如图，已知⊙O 中，∠OAB=25°，则∠ACB= ▲ 。
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2014-2015学年江苏省无锡市江阴二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是（）A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=63．（3分）⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．点P在⊙A上或外4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根5．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．66．（3分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．127．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠AOB的值是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan ∠DBA=，则AD的长为（）A．2 B．C．D．110．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣3，1），点C的纵坐标是7，则B、C两点的坐标分别是（）A．（2，6）、（﹣1，7）B．（2，6）、（，7）C．（，）、（，7）D．（，）、（，7）二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．（2分）方程（x﹣1）2=4的解为．12．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是．13．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．14．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是cm．15．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为．16．（2分）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．17．（2分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为．18．（2分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）计算：（1）|2﹣3|﹣+（2）+sin45°cos45°．20．（12分）解下列方程：（1）x2﹣3x=2（2）x2﹣5x+6=0（3）（3x+1）2=4（x﹣2）2．21．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．22．（6分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？24．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第象限，k的取值范围是；（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有k的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？=2，求双曲线的解析式．（3）若=，S△OAC27．（8分）阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．解：=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式的最小值为．28．（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q 作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省无锡市江阴二中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；B、=2与被开方数不同，不是同类二次根式；C、=3与被开方数相同，是同类二次根式；D、与被开方数不同，不是同类二次根式．故选：C．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是（）A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=6【解答】解：x2﹣2x﹣5=0，x2﹣2x=5，x2﹣2x+1=1+5，（x﹣1）2=6，故选：B．3．（3分）⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是（）A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．点P在⊙A上或外【解答】解：PA==5，∵⊙A半径为5，∴点P点圆心的距离等于圆的半径，∴点P在⊙A上．故选：A．4．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，所以x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=1×3=3．故选：B．6．（3分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D．8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠AOB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴cos∠AOB=．故选：C．9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan ∠DBA=，则AD的长为（）A．2 B．C．D．1【解答】解：如图作DE⊥AB于E．∵CA=C B，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠A=∠ADE=45°，∴AE=DE，设AE=DE=x，∵tan∠DBA=，∴BE=5x，∵AC=3，∴AB=3，∴x+5x=3，∴x=，∴AD=AE=1．故选：D．10．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣3，1），点C的纵坐标是7，则B、C两点的坐标分别是（）A．（2，6）、（﹣1，7）B．（2，6）、（，7）C．（，）、（，7）D．（，）、（，7）【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=7﹣1=6，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴=，即=，∴OE=2，即点B（2，6），∴AF=OE=2，∴点C的横坐标为：﹣3+2=﹣1，∴点C（﹣1，7）．故选：A．二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．（2分）方程（x﹣1）2=4的解为﹣1或3．【解答】解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，即x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=3，x2=﹣1．12．（2分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≤3．【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．13．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．14．（2分）一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是18cm．【解答】解：方程x2﹣10x+21=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x=3或x=7，当x=3时，三角形三边分别为3cm，4cm，7cm，3+4=7，不合题意，舍去；当x=7时，三角形三边为4cm，7cm，7cm，此时周长为4+7+7=18cm，故答案为：1815．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为6．【解答】解：∵AB=10，cosB=，∴BC=10×=8，∴AC==6，故答案为：6．16．（2分）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是6．【解答】解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．17．（2分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为6m．【解答】解：∵斜面坡度为1：2，AC=12m，∴BC=6m，则AB===（m）．故答案为：6m．18．（2分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，∵∠EOF=2∠BAC=120°，而∠EOH=∠EOF，∴∠EOH=60°，在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=•sin60°=，∵OH⊥EF，∴EH=FH，∴EF=2EH=，即线段EF长度的最小值为．故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．（8分）计算：（1）|2﹣3|﹣+（2）+sin45°cos45°．【解答】解：（1）|2﹣3|﹣（﹣）﹣2+，=3﹣2﹣4+3，=﹣1；（2）+sin45°cos45°，=+×，=1+，=．20．（12分）解下列方程：（1）x2﹣3x=2（2）x2﹣5x+6=0（3）（3x+1）2=4（x﹣2）2．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2=0，△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=17，所以x=，所以；（2）（x﹣2）（x﹣3）=0，x﹣2=0或x﹣3=0，所以x1=2，x2=3；（3）（3x+1）2﹣4（x﹣2）2=0，（3x+1+2x﹣4）（3x+1﹣2x+4）=0，3x+1+2x﹣4=0或3x+1﹣2x+4=0，所以x1=，x2=﹣5．21．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．【解答】解：原式=[+]÷=（+）•=•=，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．22．（6分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．23．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．24．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得，k≤；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1•x2=k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1•x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是﹣3．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．【解答】（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，在△APD和△P′AE中，，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；（3）解：∵=，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，在Rt△AEP′中，P′E==4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠EP′P，又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EP′P，∴=，即=，解得P′A=AB，在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第三象限，k的取值范围是k＞0；（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有k的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．【解答】解：（1）三，k＞0；（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，∵点C的坐标为（1，1），∴A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），把y=1代入y=得x=k；把x=1代入y=得y=k，∴A点的坐标为（k，1），E点的坐标为（1，k），∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE=×（1﹣k）×（1﹣k）+×1×k，=k2﹣k+，=（k﹣）2+，当k﹣=0，即k=时，S阴影部分最小，最小值为；∴E点的坐标为（，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；（3）设D点坐标为（a，），∵=，∴2OD=OC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（2a，），∴A点的纵坐标为，把y=代入y=得x=，∴A点坐标为（，），=2，∵S△OAC∴×（2a﹣）×=2，∴k=，∴双曲线的解析式为y=27．（8分）阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．解：=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）或（2，﹣3）的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式的最小值为10．【解答】解：（1）∵原式化为+的形式，∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）或（2，﹣3）的距离之和，故答案为（2，3），（2，﹣3）；（2）∵原式化为+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B （6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，﹣7），A′C=6，BC=8，∴A′B===10，故答案为：10．28．（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q 作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图（1）过D作DH∥AB交BC于点H，∵AD∥BC，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形，∴DH=AB=8，BH=AD=2，∵CD=10，∴HC==6，∴BC=BH+CH=8，∴S ABCD=（AD+BC）•AB=×（2+8）×8=40；（2）①∵BP=CQ=2t，∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，∵AP +AD +DQ=PB +BC +CQ ，∴8﹣2t +2+10﹣2t=2t +8+2t ，∴t=＜4，∴当t=秒时，PQ 将梯形ABCD 周长平分，QC=3，PB=3，∵QE ∥DH ，∴==，∴==，∴QE=，EC=，BE=8﹣=，∴四边形PBCQ 面积=S 梯形AEBP +S △QEC =（PB +QE ）×BE +QE ×EC=（+3）×+××==18.9，∴PQ 不平分梯形ABCD 的面积；②第一种情况：如图（2），当0≤t ≤4时，过Q 点作QE ⊥BC ，QH ⊥AB ，垂足为E ，H ，∵AP=8﹣2t ，AD=2，∴PD==，∵CE=t ，QE=t ，∴QH=BE=8﹣t ，BH=QE=t ，∴PH=2t ﹣t=t ，∴PQ===， DQ=10﹣2t ，I ：DQ=DP ，10﹣2t=，解得；t=4秒，Ⅱ：DQ=PQ，10﹣2t=，化简得：3t2﹣26t+45=0，解得；t=，t=＞4（不合题意，舍去），∴t=，第二种情况：当4≤t＜5时，DP=DQ=10﹣2t，∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，第三种情况：5＜t≤6时，DP=DQ=2t﹣10，∴5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，综上所述，t=或4，4≤t＜5或，5＜t≤6时以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．。