【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(理科)1【含详细答案和解析_可编辑】

【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）1【含详细答案和解析 可编辑】真水无香陈 tougao33学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）1. 若i 为虚数单位，且(2−i)2=a +bi 3(a,b ∈R)，则a +b =（ ） A.7 B.−7 C.−1 D.12. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A.5B.8C.24D.293. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cos α，y =√3sin α（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=4√6.设P 为曲线C 1上的动点，则P 到C 2上点的距离的最小值为( ) A.3√3 B.3√2C.6D.3√64. 已知双曲线E:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的右顶点为A ，抛物线C:y 2＝8ax 的焦点为F .若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是 ( ) A.(1, 2)B.(1, 3√24] C.(2, +∞) D.[3√24, +∞)5. 已知实数x ，y 满足不等式组{2x −y +2≥0,x +y ≤2,y ≥0,则该不等式组表示的区域面积为( )A.2B.1C.3D.56. 若lg x =a,lg y =b ，则lg √x −lg (y 10)2的值为( ) A.12a −2b −2B.12a −2b +1C.12a −2b −1D.12a −2b +27. 在△ABC 中，CM →=2MB →，AN →+CN →=0→，则（ ） A.MN →=23AB →+16AC → B.MN →=23AB →+76AC →C.MN →=16AC →−23AB →D.MN →=76AC →−23AB →8. 已知a ，b ，c 是正实数，且ab +bc +ac =1，则abc 的最大值为（ ） A.√39B.√33C.1D.√3二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）9. 设a =sin 1，b =cos 1，c =tan 1，则a ，b ，c 从小到大的顺序为________．10. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+1，则a 1=________．11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥P −ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论：①PC//平面OMN ；②平面PCD//平面OMN ； ③ OM ⊥PA ；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90∘. 其中正确结论的序号是________.12. 已知函数f(x)=x +4x ，g(x)=2x +a ，若∀x 1∈[12,1]， ∃x 2∈[2,3] ，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）13. 在△ABC 中，3c cos A =a cos C ，且a sin A −c sin C =3sin B ，则b =________．14. {P- ABC}中，平面{PAC\perp}平面{ABC},{\angle ACB= 90^{\circ }}$${PA= AC= 2BC}$ （1）若 PA ⊥PB ，求证：平面 PAB ⊥ 平面PBC ; （2）若PA 与平面ABC 所成的角为 60∘ ，求二面角 C −PB −A 勺余弦值.15. 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ¯；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．16. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x −4y +2=0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且d 1d 2=12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且1|PM|2+1|QM|2为定值，求点M 的坐标．17. 已知函数f (x )=ln x +2x +1，g (x )=x 2+x ． (1)求函数y =f (x )−g (x )的极值；(2)若对任意x >0，都有f (x )−mg (x )≤0成立，求整数m 的最小值．18. 世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如图的频率分布直方图：（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x ¯（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X 近似地服从正态分布N(μ, σ2)，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数x ¯作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求射击成绩得分X 恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973•]（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是16，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k 到k +1），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k 到k +2），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n 格的概率为P n ，试证明{P n −P n−1}(1≤n ≤49)是等比数列，并求P 50，以及根据P 50的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．参考答案与试题解析【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（理科）1【含详细答案和解析可编辑】一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【解答】解：等式化为3−4i=a−bi，所以a=3，b=4．故选A．2.【答案】B【解答】解：i=1，s=0；第一次执行第一个判断语句后，S=1，i=2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j=1，S=5，i=3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S=8，i=4，满足退出循环的条件；故输出S值为8.故选B.3.【答案】D【解答】解：曲线C1的普通方程为x 29+y23=1,C2的普通方程为x+y=8√3，利用点到直线的距离公式，将椭圆的参数方程代入直线x+y=8√3中有：d=√3sin√3|√2=|2√3sin(α+π3)−8√3|√2∈[3√6,5√6]，所以当sin(α+π3)=1时，d的最小值为3√6.故选D.4.【答案】B【解答】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a, 0)，抛物线C:y2＝8ax的焦点F为(2a, 0)，双曲线E的渐近线方程为y＝±bax .不妨设P(m, bam)，则AP→=(m−a, bam)，FP→=(m−2a, bam) .由PA⊥FP，得AP→⋅FP→=0，即(m−a)(m−2a)+b2a2m2＝0，整理得(1+b2a2)m2−3am+2a2=0 .由题意可得Δ=9a2−4(1+b2a2)⋅2a2≥0，即a2≥8b2＝8(c2−a2)，即8c2≤9a2，则e=ca≤3√24．由e>1，可得1<e≤3√24．故选B .5.【答案】C【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，所以面积为S△ABC=12×3×2=3．故选C.6.【答案】D【解答】解：∵lg x=a，lg y=b，∴lg√x−lg(y10)2=12lg x−2lgy10=12lg x−2(lg y−1)=12lg x−2lg y+2=12a−2b+2，故选D ． 7.【答案】 C 【解答】由已知CM →=2MB →，可得点M 是靠近点B 的三等分点， 又AN →+CN →=0→，故点N 是AC 的中点．∴ MN →=MC →+CN →=23BC →+12CA →=23(AC →−AB →)−12AC →=16AC →−23AB →， 8.【答案】 A【解答】解：∵ a ，b ，c 是正实数， 且ab +bc +ac =1， ∴ 13=ab+bc+ca3≥√(abc)23，∴ (abc)2≤127，∴ abc ≤√39， 即 abc 的最大值为 √39，故选A ．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 9.【答案】 b <a <c 【解答】解：如图：在单位圆中，做出锐角1的正切线AT →、正弦线MP →、余弦线OM →，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有tan 1>sin 1>cos 1>0，即b <a <c ，故答案为：b <a <c ．10.【答案】 2【解答】解：a 1=S1=12+1=2 故答案为：2 11.【答案】 ①②③【解答】解：连接AC ，如图所示，易得PC//OM ，所以PC//平面OMN ， 结论①正确.同理PD//OMN ，所以平面PCD//平面OMN ， 结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB 2+BC 2=PA 2+PC 2=AC 2， 所以PC ⊥PA ，又PC//OM ， 所以OM ⊥PA ，结论③正确.由于M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点， 所以MN//AB .又四边形ABCD 为正方形，所以AB//CD ，所以直线PD 与直线MN 所成的角即为直线PD 与直线CD 所成的角， 即为∠PDC .又三角形PDC 为等边三角形， 所以∠PDC =60∘，故④错误. 故答案为：①②③.。