中考复习之专题九图形的变换与四边形
中考数学复习指导：四边形的几何变换解题技巧
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！例析四边形的几何变换一、在平移中构造与发现例1：如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△．（1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．思路点拨：在平移过程中对应的边与角的大小不变，仅仅是位置发生改变，借助边角边可证出两个三角形全等；同时AB 与C′D′始终平行且相等，可知四边形ABC′D′平行四边形，要使其为菱形，需满足AB=BC ′，而∠ACB=30°，∠ABC=90°，可得AB=21AC ，即点C′是线段AC 的中点。
解析：(1)矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△ 得A D ''=BC=AD ，A D ''∥AD ∥BC ，AA′=CC′，∴∠D′A′C′=∠BCA ，∴⊿A′AD′≌⊿CC′B 。
（2）当点C ′是线段AC 的中点时，四边形ABC ′D ′是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， A C D '''△由ACD △平移得到，C ′D ′=CD=AB ，由（1）知AD ′=C ′B ，∴四边形ABCD 是平行四边形。
在Rt ⊿ABC 中，点C′是线段AC 的中点，∴BC′=21AC ，而∠ACB=30°，∴AB=21AC ，∴AB=BC′，∴四边形ABC′D′是菱形。
点评：决定平移后图形位置的两个基本因素是平移的方向和距离，本题通过“平移不改变图形的形状和大小”的性质，再结合平移前后图形的相应位置进行分析、综合、探究与解答。
九年级中考数学复习专题九图形地变换与四边形
中考复习之专题九图形的变换与四边形教学准备一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四个图形来看，图A有2条对称轴；图B有4条对称轴；图C不是轴对称图形，•它没有对称轴；图D 只有一条对称轴，所以图B的对称轴条数最多．例2. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，•请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．【解析】所画的图形如图所示．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：正多边形边数3 4 5 6 …n正多边形每个内角的度数60°90°108°120°（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，•请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；•并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(⨯-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m·90°＋n·135°＝360°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，•这个方程的正整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．例4. 如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF ＝S平行四边形ABCD.【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∵E是DC的中点，∴DE＝CE．∴△AED≌△FEC．∴S△AED ＝S△FEC．∴S△ABF ＝S四边形ABCE＋S△CEF ＝S四边形ABCE＋S△AED ＝S平行四边形ABCD例5. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. OE＝OFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠ABE＝∠CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．例6. 如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝_______．【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO＋BO＝9，•再求得AC ＋BD＝18．例7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE•垂直平分BC，垂足为D，交AB 于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE．求证：四边形ACEF为菱形．【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．例8. 如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD.∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝12AB，CF＝12CD.∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°，∴四边形AGBD是矩形．例9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝33，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°．（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．例10. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE 的形状，并给出证明．【解析】△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB＝CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∵∠B＝∠C.∴E为BC的中点，∵BE＝CE．在△ABE和△DCE中，∵,,AB DCB CBE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE．∵AE＝DE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED 为平行四边形．∴AB＝DE∵AB＝AD，∴AD＝AE＝DE．∴△ADE为等边三角形．一、选择题1. 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（）2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）课后练习3. 下图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，•这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是（）A. 1：2B. 2：1C. 3：1D. 1：34. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）5. 如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C 的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A•从开始到结束所经过的路径长为（）A. 103πcmB. 10πcmC. 15πcmD. 20πcm6. 如图，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，若用剪刀沿AD剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30•°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A. 12 B.33 C. 1－33 D. 1－348. 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A•′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（）A. 大于90°B. 等于90°C. 小于90°D. 不能确定9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝6，沿AE•翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则DFFC的值为（）A. 13 B.14 C.15 D.1610. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③DOCBOAS DCS AB∆∆=；④S△AOD＝S△BOC，其中结论始终正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题1. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____________（添加一个条件即可）．2. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．4. 如图，先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB＝4，BC＝3，则图①和图②中，点B的坐标为________，点C的坐标为______．5. 如图，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______．三、解答题1. 在下图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C＝90°．（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C. 其中A、B的对应点分别是A′，B′（不必写画法）；（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．2. 在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B•′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°．求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面积．4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB.求证：（1）DE＝DC；（2）△DEC是等边三角形．5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3. D是BC边上一点，•直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD＝x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？一、选择题1. D2. A3. A4. C5. D6. D7. C8. B9. A 10. B二、填空题1. 答案不唯一，如AB ＝CD 等2. 16π＋162π3. ①②⑤4. B （4，0），（23，2），C （4，3），（433334,22-+）5. 30.三、解答题1. 解：（1）方格纸中Rt △A ′B ′C 为所画的三角形（2）由（1）得∠A ＝∠A ′，又∵∠1＝∠2，∴△ABC ∽△A ′BD ，∴'BCABBD A B =，∵BC ＝1，A ′B ＝2，AB ＝22221103110,2AC BC BD +=+=∴=，即BD ＝210≈0.6，∴BD 的长约为0.62. 解：①当x ≠0时，30302'''',20202x A B A Dx AB AD +≠∴≠+练习答案故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似②当''''A B A DAB AD=时，矩形A′B ′C′D′和矩形ABCD相似所以3030220202yx+=+，解得xy＝233. 证明：（1）由∠ADC＝120°，可得∠C＝∠ABC＝60°，从而得到∠ADB＝30°，∴BD⊥DC.（2）1234. 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE＝AB，∵AB＝DC，•∴DE＝DC（2）∵AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，∴∠C＝∠B＝60°．又∵DE＝DC，∴△DEC是等边三角形．5. 解：（1）•∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. 又∵DE⊥BC，∴EF∥AC．又∵AE∥CF，∴四边形EACF•是平行四边形．当CF＝AC时，四边形ACFE是菱形．此时，CF＝AC＝2，BD＝3－x，tan∠B＝23，ED＝BD·tan∠B＝23（3－x），∴DF＝EF－ED＝2－23（3－x）＝23x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2＝CF2，∴x2＋（23x）2＝22，∴x＝±61313（•负值不合题意，舍去），即当x＝61313时，四边形ACFE是菱形（2）由已知得，四边形EACD是直角梯形，S梯形EACD＝12×（4－23x）·x＝－13x2＋2x．依题意，得－13x2＋2x＝2，整理得，x2－6x＋6＝0. 解之，得x1＝33x2＝33∵x＝3＝3，∴x＝3∴当x＝3时，梯形EACD的面积等于2．平面直角坐标系下的图形变换图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往 以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生 的逻辑推理能力，一般难度较大。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
中考数学复习专题 讲座---四边形与几何变换
中考复习专题讲座----四边形与几何变换丹阳市导墅中学 王鹏程一、知识结构四边形在中考中的常见考点主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定方法等知识. 梯形的性质和计算，等腰梯形的性质和判定，梯形的中位线及综合运算等．多边形的内角和、外角和定理.利用平行四边形的性质和判定证明线段相等或角相等是中考的重点内容，常和三角形全等、相似以及圆的知识相结合来考查.特殊的平行四边形是中考中经常出现的，利用它们的性质求面积、周长是考查的重点，经常与方程、函数知识相结合来考查学生的应用能力.另外特殊平行四边形的问题常和平移、旋转等问题相结合，一些探索性、开放性的题目也是常见的.几何初步与图形的变换在中考中常见考点有：角的有关概念，角的平分线及角的计算，平行线的性质和判定；轴对称、中心对称的识别，图形的图形的旋转与平移的性质及应用，图形的变化与坐标，图形的变化与作图；简单几何体的三视图，平面图形与空间图形的转化．中考中对几何变换的考查主要以客观题为主，考查题型多样，以选择题、填空题为主，作图题目多考查多个图形的变化，也有关于把该部分知识的融于综合大题中的考题，考查了对基础知识的把握，以及学生的空间想象力、实践探究能力等. 二．考纲题型了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并解决相关简单的问题。
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一点综合性的问题。
掌握：要求系统的掌握知识的内在联系和本质规律，并能解决综合性较强的或较困难的题目例题分析1.在本专题中，多边形的内角和、外角和定理、周长、面积这部分知识要求为B，在考题中多以填空和选择题的形式出现，难度要求不大，在2013年扬州和南京中考题中分别出现了一道选择和填空题，主要考察了学生对于多边形内角和，外角和公式的运用能力。
例1．（2013•南京）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为.2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定这部分知识要求为C, 在考题中多以填空和选择题,解答题的形式出现，在中考中出现的频率较高，主要以基础题为主，主要考察了学生的几何证明过程的条理性和规范性，难度不大，本节内容往往也会和其他知识点如函数知识等结合在一起，或与图形变换相结合，构成动态几何综合题，成为中考的大题或压轴题，这也考查学生对综合知识的应用能力。
四边形与图形变换
五、 四边形与图形变换1. 概念（1） 四边形四边形有关知识① n 边形的内角和为 ．外角和为 ．② 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．③ n 边形过每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条．（2） 平面图形的镶嵌① 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.② 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．（3） 平面的密铺定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．（4） 对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角．※易错知识辨析多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．（5） 平行四边形① 平行四边形的性质1) 平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.2) 平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）3) 平行四边形的面积公式____________________.② 平行四边形的判定1) 定义法：两组对边 的四边形是平行四边形.2) 边：两组对边 的四边形是平行四边形；一组对边 的四边形是平行四边形．3) 角：两组对角 的四边形是平行四边形．4) 对角线：对角线 的四边形是平行四边形．（6） 特殊的平行四边形的之间的关系平行四边形矩形菱形正方形（7）特殊的平行四边形的判别条件成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .（9）梯形①梯形的面积公式是________________.②等腰梯形的性质：边 __________________________________.角 __________________________________.对角线 __________________________________.③等腰梯形的判别方法__________________________________.④梯形的中位线长等于__________________________.（10）轴对称及轴对称图形的意义①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．②如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．③轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．④简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．（11）中心对称图形①定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．②性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．③中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称．④中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．（12）图形的平移①平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（13）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（14）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．（15）图形的旋转①旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
2019-2020年九年级中考备考专题复习课件：《图形变换》 (共14张PPT)
请完成以下任务：
A
（1）尺规作图：作∠A的平分线，交CB于
点D；过点D作AB的垂线，垂足为点E.
(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若AC=3,BC=4.求CD的长.
C
B
3、在解答尺规作图题时常见的三种考查方法： （1）直接作图，如作线段的垂直平分线等； （2）所作图形不是五种基本的尺规作图,先判断是用哪几 种作图方法（组合）来解答,如作三角形的内切圆;
(3)根据作图痕迹或步骤,进行结论判断或计算。
1、已知一直角边m和斜边n作直角三角形;
n
m
2、如图，已知在RT⊿ABC中，∠ACB=900，
： 五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段 已知线段a,求作一条线段OA等于线段a
(2)作已知角的平分线
已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OP
(3)作线段的垂直平分线 已知线段AB ，求作线段AB的垂直平分线CD
(4)作一个角等于已知角 已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
《图形变换》专题复习
第（1）课时 尺规作图
（1）了解尺规作图的定义和基本步骤； （2）复习五种基本尺规作图，
利用基本作图进行尺规作图拓展 ，
利用作图性质进行相关计算；
（3）通过对尺规作图的回顾，梳理所学 知识，逐渐建立知识体系。
重点: 掌握五种基本的尺规作图； 难点: 利用基本作图进行尺规作图拓展和计算。
： 尺规作图
1、定义 在几何里把只限定用直尺（无刻度）
和圆规 来 画图，称为尺规作图。 最基本最常用的尺规作图，称为基本作图。
2、基本步骤
（1）已知：写出已知的线段和角，画出图形； （2）求作：求出什么图形，使它符合什么条件； （3）作法：运用五种基本作图，保留作图痕迹； （4）证明；验证所作图形的正确性； （5）结论：对所作的图形下结论。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
中考图形的变换复习总结
中考图形的变换复习图形的变换（一）【知识梳理】1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质．5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．【思想方法】抓住变与不变的量【例题精讲】1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？2、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ．3、如图，P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，MN 分别交OA 、OB 于E 、F. ⑴ 若 △ PEF 的周长是20cm ，求MN 的长. ⑵若∠AOB=30°试判断△MNO 的形状，并说明理由4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.FEN MA OB PC'AB CD6、已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60º，∠ABC=90º，等边三角形MNP（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．(1)、将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP的边长a≥2c m，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形MNP的边长a至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形MNP的边长a应为多少？【当堂检测】1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．2．小明的运动衣号在镜子中的像是，则小明的运动衣号码是( )A. B. C. D3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形；理由是：5．如图，ΔABC中，DE是边AC的垂直平分线AC=6cm，ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长为______cm.6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C'的位置，则CB'与BC之间的数量关系是．ABPM N ②①DC第1题图第5题图第6题图图3 图 4图形的变换（二）【知识梳理】一、图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．二、图形的旋转1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2.中心对称图形:____________________________________3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；【思想方法】 数形结合【例题精讲】1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，把这个三角形在平面内绕点C 顺时针旋转90°，那么点A 移动所走过的路线长是 cm ．2.将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：112CP AP 2＝；(2)将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点22P A C 是与AB 的交点．线段112CP P P 与之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （图4），连结32P P ，求证：32P P ⊥AB.图1 图2AG(O)EC B F ①3．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6）【当堂检测】1．下列说法正确的是（ ）A ．旋转后的图形的位置一定改变B ．旋转后的图形的位置一定不变C ．旋转后的图形的位置可能不变D ．旋转后的图形的位置和形状都发生变化2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）A ．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离B ．旋转和平移都只能改变图形的位置C ．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化D ．旋转和平移的定义是相同的3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____．4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C ，∠BA C ＝90°，D 是BC 上一点，△ACD 经过旋转到达△ABE 的位置，则其旋转角的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．45°5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．3个6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．②④8．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，则A 点的对应点A′的坐标是（ ） A ．（－3，－2）B ．（2，2） C ．（3，0）D ．（2，1）转化：立体与平面互化 【例题精讲】1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）A 、三角形B 、正方形C 、任意四边形D 、正八边形第6题图第4题图 A B CD E2. 用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施的方案有哪6种？每一种方案中需要的纸片各是几张？3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为____．4. 用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③5. 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．注：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②只算一种．6．下图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是 ；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（ 取3.14）7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ，东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是88cm ，那么东东的影长是 cm.8．如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）A ．奥B ．运C ．圣D ．火 9.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是 ( )A ．16个B ．32个C ．48个D ．64个9．（3分）（2015•枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）① ② ③ ④ ⑤ 第1个图案 第2个图案 第3个图案20 10 迎 接 奥 运 圣 火 图1 迎 接 奥 1 2 3 图2第1题图A．B．C．D．﹣110．（3分）（2015•枣庄）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种18．（4分）（2015•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为．20．（8分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．6．（3分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°7．（3分）（2015•济南）下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）14．（3分）（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）6．（3分）（2015•莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 1．（3分）（2015•日照）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．20．（10分）（2015•日照）如图，已知，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．（1）求证：AM=BN ；（2）当MA ∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．6.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4515.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为（2，0），点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O'B'A'的位置，此时点A'的横坐标为3，则点B'的坐标为（ ） A ．（4，23） B ．（3，33） C ．（4，33） D ．（3，23）20.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB=6，BC=46，则FD 的长为A ．2B ．4C ．6D ．232．（3分）（2015•烟台）剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） O A B A'O'B'y x A B CDEGA ．B ．C ．D ．8．（3分）（2015•烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2015的值为（ ）A ． （）2012B ． （）2013C ． （）2012 D ． （）201315．（3分）（2015•烟台）如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为 ．3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D．16.把直线1--=x y 沿x 轴向右平移2个单位,所得直线的函数解析式为 .17.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为 .14.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A （4,5）逆时针旋转90O ,得到的点B 的坐标为 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=3x 经过点A,作AB ⊥x 轴于点B ，将⊿ABO 绕点B 逆时针旋转60°得到⊿CBD ，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为（第17题图）)2,3.(D )1,3.(C )3,2.(B )3,1.(A ----10.将一副三角尺（在t R ACB ∆中，∠ACB=090，∠B=060；在t R EDF ∆中，∠EDF=090，∠E=045）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C.将EDF ∆绕点D 顺时针方向旋转角(060)αα<<， 'DE 交AC 于点M ，'DF 交BC 于点N ，则PMCN的值为 A. 3 B.32 C. 33D.1219．（8分）（2015•聊城）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．13．要将抛物线223y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是 (A) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位. (C) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位.4．（3分）（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．PNM F 'FE 'EDCB A8．（3分）（2014•枣庄）将一次函数y=x 的图象向上平移2个单位，平移后，若y ＞0，则x 的取值范围是（ ） A ． x ＞4 B ． x ＞﹣4 C ．x ＞2 D ． x ＞﹣2 13．（4分）（2014•枣庄）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 _________ 种．14．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 ．18．已知矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE △向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD =.③④① ②第14题图第18题图。
2020中考复习：四边形与几何变换
四边形与几何变换一、轴对称1.折叠问题【例1】 （三帆中学期中考试）如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．【例2】 (2007年161中学期中考试)如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，若将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，求折痕EF 的长．【变式1】例题的条件不变，连接AF ，CE ．求证：AECF 为菱形．【变式2】例题中的ABCD 变为平行四边形，是否仍然有OE OF =，AE CF =，AF CE =？为什么？【变式3】例题中ABCD 变为平行四边形，EF 为经过O 的任意直线，E 、F 分别为该直线与AD 、BC或其延长线的交点，是否仍然有OE OF =，AE CF =，AF CE =？BDCAEFO FEDCB A例题【例3】 (2007年清华附中期末考试)如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，4BC =，沿对角线BD 折叠(使ABD ∆和EBD ∆落在同一平面内)，求ABD ∆和EBD ∆重叠部分的面积．【补充】如图，矩形ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将AC 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试确定重叠部分AEF ∆的面积．【例4】 (2006年西城区抽样测试)将矩形ABCD 沿AC 翻折，使点B 落在点E 处，连接DE 、CE ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ． ⑴若8AB =，6AD =．求DE 的长；⑵四边形ACED 中，比较AE EC +与AC EH +的大小．MEDCB A ABCDEFG【例5】 一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗?请写出你的一种折法，并证明折法的正确性．【变式】 (西城期末考试附加题)请你在三条互相平行的直线(之间的距离是任意的)中画出一个等边三角形．【例6】 如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，若将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，求折痕EF 的长．【变式】 例题中的ABCD 变为平行四边形，是否仍然有OE OF =，AE CF =，AF CE =？为什么？【变式】 例题中ABCD 变为平行四边形，EF 为经过O 的线段，E 、F 分别在AD 、BC 上，是否仍然有OE OF =，AE CF =，AF CE =？【变式】例题中ABCD 变为平行四边形，EF 为经过O 的任意直线，E 、F 分别为该直线与AD 、BC 或其延长线的交点，是否仍然有OE OF =，AE CF =，AF CE =？【变式】 例题中ABCD 为菱形或者正方形，前一个变式中的结论是否仍然成立？ 【变式】例题中的ABCD 变为正方形，A 点向下移动到线段AB 上某一点H ，EF CH ⊥，且被CH 平分，E 、F 分别在AD 、BC 上，求证：EF CH =．HDCEBA ODCB AEF【例7】 （2009深圳）如图a 是长方形纸带，20DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是 ．【例8】 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图⑴）长为26cm ，宽为cm x ，分别回答下列问题：⑴ 为了保证能折成图⑷的形状（即纸条两端均超出点P ），试求x 的取值范围；⑵ 如果不但要折成图⑷的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）．DCB A E FH(4)(3)(2)(1)MBAA D A CBAEAFAACACB 图a图c2.线段的最值问题【例9】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值．【变式1】已知条件不变，求DN MN +的最大值．【变式2】已知条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【例10】 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，2CM =，点P 是BD 上一动点，则PM PC +的最小值是 ．【补充】如图，在菱形ABCD 中，4AB a =，E 在BC 上，2EC a =，120BAD ∠=︒，P 在BD 上，求PE PC +的最小值．NMD CB AM PDCBA【补充】如图，P 边边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，求MP NP +的最小值．【例11】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ． 求22s t -的值．二、旋转【例12】 （2009平谷一模改编）如图，在直角梯形ABCD 中，()AD BC BC >AD ∥，12AB BC ==，90B ∠=︒，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，10DE =，求BEE DCB APNMPDCAMPCBA的长．【例13】如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF GH、分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF∠的大小，并证明你的结论．【例14】（2009房山二模）⑴如图1，在四边形ABCD中，AB AD=，90B D∠=∠=︒，E F、分别是边BC CD、上的点，且12EAF BAD∠=∠．求证：EF BE FD=+；EDCBAP HGFEDCBA⑵ 如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，⑴中的结论是否仍然成立？不用证明．⑶ 如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F 、分别是边BC CD 、延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【例15】 如图，正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，2PB =，3PC =.（1）求PD 的长；（2）求APB ∠的大小；（3）求正方形的边长.【变式1】变式1中其他条件不变，1PA =，3PB =，PD =APD ∠的大小和正方形的面积.【变式2】M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若2212MA MB -=，90CMD ∠=︒，求MCD ∠的大小.【变式3】（西城外国语学校2007年期中试题）如图，P 为正三角形内一点，PA 、PB 、PC 满足关系式222PA PB PC +=，且5PC =，设PA m =，5n >满足2(5)(69)0n m m --+≤，求2AB 的值.图3图2图1F DC BAFE DC BAFD CBAB DCAP【变式4】（北京市数学竞赛题）如图，P是边长为1的等边ABC∆内任意一点，2PA PB PC++<.【例16】（2008湖北罗田改编）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，35AB AC==，，以斜边BC为一边作正方形BCDE，正方形的中心为O，求AO的长．【补充】已知正方形ABCD，在BC边上取一点E，作EF AE⊥交C∠的外角平分线于F，求证：AE EF=．B CAPB CAPO DEFBAOEFABCDFCEBA【例17】 （2009年西城一模）已知：4PA PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P D 、两点落在直线AB 的两侧.⑴ 如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵ 当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小.【补充】已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，EF BE =，90BEF ∠=︒，按图甲放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连接EG CG 、． ⑴ 探索EG CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；⑵ 将图甲中BEF ∆绕B 点顺时针旋转45︒得图乙，连接DF ，取DF 的中点G ，问⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶ 将图甲中BEF ∆绕B 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间）得图丙，连接DF ，取DF 的中点G ，问⑴中的结论是否成立，请说明理由．PDBA 丙乙甲GFEGFEGF E ABCDABCDDCBA【补充】两张大小适当的正方形纸片，如图所示重叠放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ．对角线AE ，CG 分这个八边形为四个小的凸四边形．请你证明AE CG ⊥且AE CG =．三、平移【例18】 （2007年101中学期中考试）如图（1），四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠.请运用结论证明下述问题：如图（2），在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠.【例19】 如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH 与EG 交于P ．(2)8765BC A P求证：2BC AP =．【例20】 (07年北达资源期中试题)分别以ABC ∆的三边长为边长，在形外作正方形ABMN ，ACHK ，BCFE ，连接NK ，ME ，FH ．⑴若ABC ∆为任意三角形时，以NK ，ME ，FH 为边能否构成三角形？为什么？⑵如果能，试探究以NK ，ME ，FH 为边构成的三角形的面积与ABC ∆的面积关系．【变式】 例题中已知条件不变，分别取三个正方形ABMN ，ACHK ，BCFE 的中心1O 、2O 、3O ．证明：123O O AO ⊥，123O O AO =．GABDEFH PHMFE K NCBAHMF E【习题1】(清华附中单元测试)在矩形ABCD 中，①作出点C 关于BD 所在直线的对称点'C ．②连结'C B ，'C D ，若'C BD ∆与ABD ∆重叠部分的面积等于ABD ∆面积的23，求CBD ∠的度数．【习题2】 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，4BC =，1CM =，N 为BD 上一动点，求MN CN +的最小值．【习题3】（2007年北京市中考第21题第(2)问）在平面直角坐标系xOy 中，DCBAM NDCB A作业OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上，若三角形纸片的直角顶点不与点O 、F 重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标.【备选1】（2009甘肃定西）如图，四边形ABCD 中，90ABC CDA ∠=∠=︒，AB BC =，BE AD ⊥于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =____________．【备选2】已知P 为边长为3的菱形ABCD 对角线BD 上的一个动点，点M 、N 分别为BC ，CD 边上的中点，MP NP +的最小值是多少？DCBAPNM DCBA【备选3】 (北京市初中竞赛题)等腰直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，E 、F为腰AC 、BC (异于端点)上的点，DE DF ⊥，10AB =，求DE DF +的取值范围．【备选4】 已知Rt ABC ∆，90A ∠=︒，以AB 、BC 为边向形内各作正方形ABDE 和BCFG ，连接AG 、CD ，求证：GA CD ⊥．FE DCBAFECDBAG。
2018年中考数学基础复习专题(九)图形的变换与四边形
2018年中考数学基础复习专题(九)图形的变换与四边形【知识要点】知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质【复习点拨】1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
【典例解析】1．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B． C． D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选A2．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A． B． C． D．﹣【考点】Q2：平移的性质．【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴=（）2=，∴EC：BC=1：，∵BC=，∴EC=，∴BE=BC﹣EC=﹣．故选：D．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB'，∴∠B=∠BB'C，又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，∴∠A'CB'=2∠B，又∵∠ACB=∠A'CB'，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；故选C．4．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．6．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．【考点】P8：利用轴对称设计图案；X6：列表法与树状图法．【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：=．故答案为：．7．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为（1，3）．【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A 的坐标为（2，0），∴OC=OA=2，C（0，2），∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点C的对应点坐标是（1，3）．故答案为（1，3）．8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是①②（填序号）【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．【解答】解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③错误．故答案为：①②．9．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为6．【考点】S4：平行线分线段成比例．【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，∴=，∴EF=6，故答案为6．10．正六边形的每个内角等于120°．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：=120°，故答案为：120°11．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=45°．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；（2）△D′E′F′即为所求；（3）如图，连接A′F′，∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，∴∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，∵A′C′==、A′F′==，C′F′==，∴A′C′2+A′F′2=5+5=10=C′F′2，∴△A′C′F′为等腰直角三角形，∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°，故答案为：45°．13．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．【考点】Q4：作图﹣平移变换；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1如图所示；（3）A1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．14．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．【考点】R2：旋转的性质．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴BE=AE=×80=40（米）；（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠CED=∠AEB=60°，∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），则BD=DE+BE=40+40=80（米）．15．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：∵BE=EF，∴∠F=∠EBF；∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF；②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2．学科网16．小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．【考点】T4：互余两角三角函数的关系；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解答】解1：（1）当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=+=1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1．17．A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】过点C作CD⊥AB与D，根据AC=20km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB与D，∵AC=10km，∠CAB=30°，∴CD=AC=×20=10km，AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10km，∵∠CBA=45°，∴BD=CD=10km，BC=CD=10≈14.14km∴AB=AD+BD=10+10≈27.32km．则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．18．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．（1）该几何体的体积是5（立方单位），表面积是22（平方单位）（2）画出该几何体的主视图和左视图．【考点】U4：作图﹣三视图．【分析】（1）几何体的体积为5个正方体的体积和，表面积为20个正方形的面积；（2）主视图从左往右看3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图1列正方形的个数为2．【解答】解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1=5；∵组合几何体的前面和后面共有5×2=10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形（外面4个加里面2个），每个正方形的面积为1，∴组合几何体的表面积为22．故答案为：5，22；（2）作图如下：19．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）【考点】U6：中心投影．【分析】（1）根据小军和小丽的身高与影长即可得到光源所在；（2）根据光源所在和小华的身高即可得到相应的影长．【解答】解：如图所示：（1）点P就是所求的点；（2）EF就是小华此时在路灯下的影子．20．如图，在▱ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB=2BC，∠F=36°．求∠B的度数．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；（2）证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠D=∠ECF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AD=FC，∵AD=BC，AB=2BC，∴AB=FB，∴∠BAF=∠F=36°，∴∠B=180°﹣2×36°=108°．21．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，证出AE=CF，∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF，∵AB∥CD，∴AE∥CF，∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BF=ED，∴OE=OF，∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．Zxxk。
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一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用 三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质教学准备中考复习之专题九 图形的变换与四边形知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四个图形来看，图A 有2条对称轴；图B有4条对称轴；图C不是轴对称图形，•它没有对称轴；图D只有一条对称轴，所以图B 的对称轴条数最多．例2.如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，•请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．【解析】所画的图形如图所示．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，•请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；•并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(⨯-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m·90°＋n·135°＝360°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，•这个方程的正整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有2种．例4. 如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF＝S平行四边形ABCD.【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∵E是DC的中点，∴DE＝CE．∴△AED≌△FEC．∴S△AED＝S△FEC．∴S△ABF＝S四边形ABCE＋S△CEF＝S四边形ABCE＋S△AED＝S平行四边形ABCD例5. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. OE＝OFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠ABE＝∠CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．例6. 如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝_______．【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO＋BO＝9，•再求得AC＋BD＝18．例7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE•垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE．求证：四边形ACEF为菱形．【分析】欲证四边形ACEF为菱形，可先证四边形ACEF为平行四边形，然后再证ACEF为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形．例8. 如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD.∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝12AB，CF＝12CD.∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°，∴四边形AGBD是矩形．例9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°．（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．例10. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE 的形状，并给出证明．【解析】△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB＝CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∵∠B＝∠C.∴E为BC的中点，∵BE＝CE．在△ABE和△DCE中，∵,,AB DCB CBE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE．∵AE＝DE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形．∴AB＝DE∵AB＝AD，∴AD＝AE＝DE．∴△ADE为等边三角形．一、选择题1. 将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（）2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）3. 下图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，•这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是（）A. 1：2B. 2：1C. 3：1D. 1：34. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）课后练习5. 如图，一块含有30°角的直角三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A ′B ′C 的位置．若BC 的长为15cm ，那么顶点A •从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 103πcmB. 10πcmC. 15πcmD. 20πcm6. 如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，若用剪刀沿AD 剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30•°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A.12B. 3C. 1－3D. 1－38. 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后A •′B 与E ′B 在同一条直线上，则∠CBD 的度数（ ）A. 大于90°B. 等于90°C. 小于90°D. 不能确定9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE •翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DFFC的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 1610. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论： ①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△BOC ； ③DOC BOA S DCS AB∆∆=；④S △AOD ＝S △BOC ，其中结论始终正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题1. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_____________（添加一个条件即可）．2. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．4. 如图，先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB＝4，BC＝3，则图①和图②中，点B的坐标为________，点C的坐标为______．5. 如图，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D 重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______．三、解答题1. 在下图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C＝90°．（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C. 其中A、B的对应点分别是A′，B′（不必写画法）；（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．2.在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B•′C′D′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由．（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°．求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB＝4，求梯形ABCD的面积．4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB.求证：（1）DE＝DC；（2）△DEC是等边三角形．5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3. D是BC边上一点，•直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD＝x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？练习答案一、选择题1. D2. A3. A4. C5. D6. D7. C8. B9. A 10. B二、填空题1. 答案不唯一，如AB ＝CD 等2. 16π＋π3. ①②⑤4. B （4，0），（，2），C （4，3），（33,22） 5. 30.三、解答题1. 解：（1）方格纸中Rt △A ′B ′C 为所画的三角形 （2）由（1）得∠A ＝∠A ′，又∵∠1＝∠2，∴△ABC ∽△A ′BD ，∴'BC ABBD A B=， ∵BC ＝1，A ′B ＝2，AB 1BD ==∴= 即BD0.6，∴BD 的长约为0.62. 解：①当x ≠0时，30302'''',20202x A B A D x AB AD+≠∴≠+ 故矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似 ②当''''A B A D AB AD =时，矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似 所以3030220202y x+=+，解得x y ＝233. 证明：（1）由∠ADC ＝120°，可得∠C ＝∠ABC ＝60°，从而得到∠ADB ＝30°，∴BD ⊥DC.（2）4. 证明：（1）∵AD ∥BC ，DE ∥AB ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴DE ＝AB ， ∵AB ＝DC ，• ∴DE ＝DC（2）∵AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠B ＝60°， ∴∠C ＝∠B ＝60°． 又∵DE ＝DC ，∴△DEC 是等边三角形． 5. 解：（1）•∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC. 又∵DE ⊥BC ，∴EF ∥AC ．又∵AE ∥CF ，∴四边形EACF •是平行四边形． 当CF ＝AC 时，四边形ACFE 是菱形． 此时，CF ＝AC ＝2，BD ＝3－x ，tan ∠B ＝23，ED ＝BD ·tan ∠B ＝23（3－x ）， ∴DF ＝EF －ED ＝2－23（3－x ）＝23x ． 在Rt △CDF 中，CD 2＋DF 2＝CF 2，∴x 2＋（23x ）2＝22，∴x ＝±613•负值不合题意，舍去），即当x ＝613ACFE 是菱形（2）由已知得，四边形EACD 是直角梯形，S 梯形EACD ＝12×（4－23x ）·x ＝－13x 2＋2x ．依题意，得－13x 2＋2x ＝2，整理得，x 2－6x ＋6＝0. 解之，得x 1＝3x 2＝3∵x ＝3>BC ＝3，∴x ＝3舍去，∴当x ＝3EACD 的面积等于2．。