中考数学专题复习之四边形
九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)
九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。
中考数学专题复习19四边形试题
卜人入州八九几市潮王学校19四边形 专题总结及应用一、 知识性专题专题1平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】例1以下说法错误的选项是()例2如图19-125所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 的中点，设△DEA 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，那么1S 与2S 的关系为.例3如图19-126所示，ABCD 是正方形，G 是BC 上一点，DEAG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .〔1〕求证△ABF ≌△DAE ；〔2〕求证DE EF FB =+.专题2平行四边形〔含特殊的平行四边形〕的断定与性质之间的区别与联络【专题解读】例4如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD 沿着GF 折叠〔F 在BC 边上，不与B ，C 重合〕，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分BFE ∠，那么GFH ∠的度数a 满足〔〕°＜a ＜180°B.a =90°°＜a ＜90°D.a 随关折痕位置的变化而变化例5假设菱形的一条对角线长是12㎝，面积是302cm ，那么这个菱形的另一条对角线长为㎝.例6如图19-128所示，ABCD 的周长为16㎝，AC ，BD 相交于点O ，OE AC ⊥，交AD 于点E ，那么的△DCE 周长为〔〕A.4㎝B.6㎝C.8㎝D.10㎝二、规律方法专题 专题3构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读】题目中涉及12或者2倍关系时，常常考虑构造中位线. 例7四边形ABCD 为平行四边形，,AD a BE =∥AC ，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点. 〔1〕求证;DF FE =〔2〕假设2,60,,AC FC ADC AC DC =∠=⊥求BE 的长；〔3〕在〔2〕的条件下，求四边形ABED 的面积.专题4构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例8如图19-130所示，在ABCD 中，2,AB BC M =是DC 的中点，,BE AD ⊥E 是垂足，求证3EMC DEM ∠=∠.专题5有关四边形的性质与断定的开方探究题【专题解读】这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.例9如图19-131所示，在ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N .给出以下结论：①△ABM ≌△CDN ；②1;3AMAC =③2;DN NF =④S △AMB 12=S △ABC .其中正确的结论是.〔只填序号〕 专题6动手操作题【专题解读】这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.例10某要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案.方案〔一〕：如图19-132〔1〕所示，两个出入口E，F已确定，请在图〔1〕上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案〔二〕：如图19-132〔2〕所示，一个出入口M已确定，请在图〔2〕上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.三、思想方法专题专题7转化思想【专题解读】本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.例11如图19-134所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，C AB BC∠===将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，90,25,24,BE为折痕，那么AD的长度为专题8方程思想【专题解读】本章主要表达在通过方程〔组〕、不等式〔组〕恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例12两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.中考真题精选 1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF=DE ．连接BF 、CD 、AC ．〔1〕求证：四边形ABFC 是平行四边形；〔2〕假设DE 2=BE•CE，求证四边形ABFC 是矩形． 2.如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝12BE ． EDC B A3.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB =45°，CD =2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．〔1〕求EG 的长；〔2〕求证：CF =AB +AF ．4.如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F ．〔1〕△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？AB E GC DF 24题图 图5〔2〕试断定四边形AFCE 的形状，并说明理由．5.如图，矩形ABCD 中，AB =6，BCO 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP =3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停顿运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间是为t 秒〔t ≥0〕．〔1〕当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间是t 的值；〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠局部的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；〔3〕设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？假设存大，求出对应的t 的值；假设不存在，请说明理由．6.〔1〕如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．〔2〕如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN =45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由．〔3〕在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，假设EG =4，GF =6，BM =3，求AG ，MN 的长．7.如下列图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ．〔1〕求证：四边形ABED 是菱形；A DOP F 26题图〔2〕假设∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．〔1〕说明四边形ACEF是平行四边形；〔2〕当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．9.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．〔1〕求AC的长．〔2〕求∠AOB的度数．〔3〕以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．11.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．〔1〕求证：DE∥BF；〔2〕假设∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．12.以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．〔1〕如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明〕；〔2〕如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α〔0°＜α＜90°〕，①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．13.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．14.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB 和GD相交于点H．〔1〕求证：EB=GD；〔2〕判断EB与GD的位置关系，并说明理由；〔3〕假设AB=2，AG=2，求EB的长．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．〔1〕说明四边形ACEF是平行四边形；〔2〕当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．16.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ．〔1〕求证：△BDQ≌△ADP；〔2〕AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值〔结果保存根号〕．17.〔2021,23，6分〕如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．综合验收评估测试题(时间是：120分钟总分值是：120分)一、选择题1．假设四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形()A．一定是矩形B．一定是菱形C．一定是正方形D．形状不确定交AB的延长线2．如图19-135所示，设F为正方形ABCD上一点，CE CF于点E，假设正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，那么△CBE的面积为〔〕A ．20B ．24C ．25D ．263．四边形ABCD 是平行四边形，以下结论不一定正确的选项是〔〕A ．AB CD = B ．AC BD =C ．当AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=时，它是矩形4．如图19-136所示，AB ∥CD ，AE CD ⊥交CD 于点E ，12,15,20AE BD AC ===.那么梯形ABCD 的面积为〔〕A ．130B ．140C ．150D ．160()A ．平行四边形的对角相等B ．等腰梯形的对角线相等C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6．在矩形ABCD 中，2,AB AD E =是CD 上一点，且,AE AB =那么CBE ∠的度数是〔〕A ．30°°C ．15°D ．以上都不对7．菱形的周长为20㎝，两邻角的角度之比为1：2，那么较长的对角线的长为〔〕A ．㎝B ．4㎝C ．53㎝D ．43㎝8.顺次连接等腰梯形的四边中点，得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点，得到的图形是〔〕A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．菱形D ．矩形,,,E F G H 分别是四边形ABCD 各边的中点，其中阴影局部用甲布料，其余局部用乙布料〔裁剪两种布料时，均不计余料〕.假设消费这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料〔〕A ．15匹B ．20匹C ．30匹D ．60匹10．如图19-138所示，在ABCD 中，8AD =㎝，6AB =㎝，DE 平分ADC ∠，交BC 边于点E ，那么BE 等于〔〕 A ．2㎝B ．4㎝C ．6㎝D ．8㎝二、填空题11．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是.12．矩形的周长为48㎝，长比宽多2㎝，那么矩形的面积为2cm .13．如图19-139所示，在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC边的中点，OE =1，那么AB 的长是.14．如图19-140所示，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，75ABC ∠=，那么EAF ∠=.15．如图19-141所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，60,4,7BAD BC ∠===，那么梯形ABCD的周长是. 16．如图19-142所示，在ABCD 中，BD 为对角线，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，连接EF ，假设EF =3，那么CD 的长为. 17．假设矩形的一条短边的长为5㎝，两条对角线的夹角为60°，那么它的一条较长的边为㎝.18．如图19-143所示，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD 再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，假设AB =2，BC =1，那么AG =.19．假设菱形的两条对角线长分别为16㎝和12㎝，那么它的边长为㎝，面积为2cm20．等边三角形ABE 在正方形ABCD 内，DE 的延长线交CB 于G ，那么BEG∠=.三、解答题 21．如图19-144所示，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F .求证FA AB =.22．如图19-145所示，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DEAG ⊥于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F ，求证AFBF EF =+. 23．如图19-146所示，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF BD ⊥于点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，且12AE EO BF ==.求证四边形ABCD 为矩形. 24．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AC 为对角线，且AC 平分,DAB ACBC ∠⊥. 〔1〕求梯形各内角的度数；〔2〕当梯形的周长为30时，求各边的长；〔3〕求梯形的面积.25．某生活小区的居民筹集资金1600元，方案在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木〔如图19-147〔1〕所示〕.〔1〕他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/㎡，当△AMD△BMC地带所需的费用；〔2〕假设其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/㎡和10元/㎡.应选择哪能种花木种植，可以刚好用完所筹集的资金？〔3〕假设梯形ABCD为等腰梯形，面积不变〔如图19-147〔2〕所示〕，请设计一种花坛图案，即在梯形内找一点P，使△APB≌△DPC得，且S△APD=S△PBC，并说出理由.26．如图19-148所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.〔1〕AD与BC有何数量关系？请说明理由；〔2〕当AB=DC时，求证四边形AEFD是矩形.。
2023年中考数学压轴题专题32 四边形与新定义综合问题【含答案】
专题32四边形与新定义综合问题【例1】（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．6．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．7．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p 1（1，0），，．（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．8．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：；．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．9．（2022春•铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．（1）下列四边形为对直四边形的是（写出所有正确的序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O为AC的中点．①求证：BD的垂直平分线经过点O；②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．10．（2022春•盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．11．（2022春•玄武区期末）【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．【初步思考】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为°；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD 的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．【综合运用】在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．12．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．（1）我们学过的对美四边形有、．（写出两个）（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．13．（2022春•玄武区校级期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．（1）如图2所示四幅图中，直线L是该“L图形”等积线的是（填写序号）．（2）如图3，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN 中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ（填“是”或“不是”）该图形的等积线．（3）在图4所示的“L图形”中，AB＝6，BC＝10，AF＝2．①若CD＝2，在图中画出与AB平行的等积线l（在图中标明数据）；②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为．14．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD 是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH ＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．15．（2022•江北区开学）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，CD＝3BE，QB＝6，求邻余线AB的长．16．（2022春•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A（﹣，），B（﹣，﹣），C（，﹣），D（，），P、Q是这个正方形外两点，且PQ＝1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段P'Q'（其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点），记线段P'Q'的中点为T．若点P'和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段PQ到正方形ABCD 的“回归点”．（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点（填T1或T2）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值：，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T'（画出一种情况即可）；（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．17．（2022秋•福田区期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD 是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．（1）请在图1中再找出一对这样的角来：＝；（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 对角线的交点，连接BD．①四边形ABCD损矩形（填“是”或“不是”）；②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的长．18．（2022春•江阴市校级月考）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）在题（1）的矩形ABCD中，点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN 的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝4，则DR的最小值＝．19．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（1）阅读与理解：如图1，四边形内接于⊙O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD（填“是”或“不是”）等补四边形．（2）探究与运用：①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．（3）思考与延伸：在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC 为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．20．（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C'互为“顶补三角形”．（1）如图2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE；求证：△ABC与△ADE互为顶补三角形．（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G．判断DE与AG 的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面内是否存在点P，使△PAD 与△PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．【例1】2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【分析】（1）①设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，利用“对补四边形”的定义列出方程，解方程即可求得结论；②连接AC，利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；（2）在DC上截取DE＝DA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和“对补四边形”的定义解答即可．【解答】（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【分析】（1）由等邻角四边形的定义和四边形内角和定理可求解；（2）①由角平分线的性质和平行线的性质可得∠EDB＝∠ABD，可得结论；②由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求∠C＝60°，即可求解；（3）由面积关系可求解；（4）由直角三角形的性质可得AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，由勾股定理可求DG＝1，BG＝6，即可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【分析】（1）根据邻余四边形的定义证明结论即可；（2）连接AB，在∠A+∠B＝90°的基础上选择合适的E点和F点连接作图即可；（3）邻余四边形的定义可得∠H＝90°，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有1个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为（6+2）cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解；（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可．＝×AB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE，【解答】解：（1）∵S△ABC＝S矩形ABDE，∴S△ABC故答案为：；（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，故答案为：1；（3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF，∴CF＝AC，∴AC+BC≥BF，∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF，∵AB＝6cm，AE＝2cm，在Rt△ABF中，BF＝2，∴△ABC周长的最小值（6+2）cm，故答案为：（6+2）；（4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，＝×3×4＝×5×AE，∵S△ABC∴AE＝，∴矩形ABDE的周长＝2×（5+）＝（cm）；如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）；同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；（5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G，∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB，又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，∴AG＝9cm，BG＝5cm，∴CG＝12cm，∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52cm；如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H，＝×CG×AB＝×12×14＝×AH×BC，∵S△ABC∴AH＝cm，∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13+）＝cm；如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K，＝×CG×AB＝×12×14＝×BK×AC，∵S△ABC∴BK＝cm，∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15+）＝cm；∵＜52＜，∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可；②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．【分析】（1）由题意得出∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，根据梯形的性质可得出答案；（2）过点D作DE∥AB，交BC于点E，证明四边形ABED为平行四边形，得出AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，证出∠ADC＝2∠B，则可得出结论；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，由等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝36°，证明△ABE∽△CBA，由相似三角形的性质得出，设AE＝BE＝CD＝x，得出方程22＝x （x+2），求出x＝﹣1，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝100°，∴∠B＝80°，∵四边形ABCD是倍角梯形，∴∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，若∠D＝2∠B，则∠D＝160°；若∠B＝2∠D，则∠D＝40°，若∠A＝2∠C，则∠C＝50°，∴∠D＝130°，故所有满足条件的∠D的度数为160°或40°或130°；（2）证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵∠BAD+∠B＝180°，∴AD∥BC，∵DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，∵BC＝BE+CE，∴BC＝AD+CE，又∵BC＝AD+CD，∴CE＝CD，BC＞AD，∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝2∠B，∴四边形ABCD是倍角梯形；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，设∠B＝α，则∠D＝2α，∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝∠ACB＝36°，∴∠BAC＝∠AEB＝108°，∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，设AE＝BE＝CD＝x，则BC＝2+x，∴22＝x（x+2），∴x＝﹣1（负值舍去），∴CD＝﹣1．∴BC＝AD+CD＝2+﹣1＝+1．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB ＝3，∴NC ＝5，∵AN ＝CN ，∴AC ＝2CN ＝10，∴AB ＝AC ＝10．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC ）得到Rt △AB ′D ′（如图3），当凸四边形AD ′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）结论：AC ＝BD ，证明△APC ≌△DPB （SAS ）；（3）分两种情况考虑：Ⅰ、当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，延长AD ′，CB 交于点E ，如图1，由S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′，求出四边形ACBD ′面积；Ⅱ、当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图2，由S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′，求出四边形ACBD ′面积即可．【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．故答案为：矩形，正方形；（2）结论：AC＝BD，理由：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝×BE ×D ′F ＝××4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝×AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是②④（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且EC ＝DF ，连接EF ，AF ，求证：四边形ABEF 是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为线段AB 的垂直平分线上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．。
九年级中考数学平行四边形专题复习（含答案）
九年级中考数学平行四边形专题复习一、选择题:1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是（ ）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D．△EBA和△EDC一定是全等三角形3.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n－2)个三角形；④半圆是扇形．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( )95°D D．85°105°C C．95°A．115°115°B B．105°5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（ ）A．1.8B．2.4C．3.2D．3.66.现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张宽为a、长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为( )A．2a＋3b B．2a＋b C．a＋3b D．无法确定7.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形 ENCM 的面积之比为( )A．9:4 B．12:5 C．3:1 D．5:28.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A． B．2 C． +1 D．2+19.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．410.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题：11.如图，矩形ABCD中，点E在线段AD延长线上，AD=DE，连接BE与DC相交于点F，连接AF，请从图中找出一个等腰三角形______．12.如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC=1：2，则∠BCD度数为 ．13.如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG 木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为______m．14.如图，正方形ABCD的长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH，则四边形EFGH面积的最小值是 cm2．15.在中，，其面积为，则的最大值是．16.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+0.5m-0.25=0的两个实数根．当m= 时，四边形ABCD是菱形．三、解答题：17.如图,在平行四边形ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上，BE=12cm,CE=5cm.求平行四边形ABCD的周长．18.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证：GF＝GC．19.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上， 顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．20.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．21.下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长为 ；（2）在图中画出两条裁剪线，并画出将此六边形剪拼成的正方形.22.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是 ．（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 ．参考答案1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.C10.A11.答案为：△AFE（答案不唯一）．12.答案为：120°．13.答案为：．14.答案为：32．15.答案为：16.答案为：1．17.解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°， ∴BC22=BE22+CE22=1222+522=1322∴BC=13cm，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，同理CD=ED，∵AB=CD，∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm18.提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．19.（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．20.21.答案为：（1）；（2）如图：22.探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA=DC ，∠DAG=∠DCF=90°， ∴△DAG ≌△DCF （SAS ），∴∠1=∠3，DG=DF ，∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°2=45°==∠EDF ， ∵DE=DE ，∴△GDE ≌△FDE （SAS ），∴EF=EG=AE+AG=AE+CF ； 应用：解：（1）△BEF 的周长=BE+BF+EF ，由探究得：EF=AE+CF ， ∴△BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，故答案为：4； （2）当点E 不在边AB 上时，分两种情况：①点E 在BA 的延长线上时，如图2，EF=CF ﹣AE ，理由是：在CB 上取CG=AE ，连接DG ， ∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC ，∴△DAE ≌△DCG （SAS ）∴DE=DG ，∠EDA=∠GDC ∵∠ADC=90°，∴∠EDG=90°∴∠EDF+∠FDG=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDG=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠FDG=45°， 在△EDF 和△GDF 中，∵，∴△EDF ≌△GDF （SAS ），∴EF=FG ，∴EF=CF ﹣CG=CF ﹣AE ；②当点E 在AB 的延长线上时，如图3，EF=AE ﹣CF ，理由是：把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ，可使AD 与DC 重合，连接DG ， 由旋转得：DE=DG ，∠EDG=90°，AE=CG ，∵∠EDF=45°，∴∠GDF=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠GDF ， ∵DF=DF ，∴△EDF ≌△GDF ，∴EF=GF ，∴EF=CG ﹣CF=AE ﹣CF ；综上所述，当点E 不在边AB 上时，EF ，AE ，CF 三者的数量关系是：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ；故答案为：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ．。
中考数学专题复习课件-专题4-特殊四边形相关的证明与计算
(2)在BC边上取点F,使BF=
,连接OF;
(3)在CD边上取点G,使CG=
,连接OG;
(4)在DA边上取点H,使DH=
,连接OH.
由于AE=
+
=
+
=
+
=
.
可证S =S =S =S =S . △AOE 四边形EOFB 四边形FOGC 四边形GOHD △HOA
答案 3;2;1;EB;BF;FC;CG;GD;DH;HA
解析 (1)证明:∵EG垂直平分DC,∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD.
∵CD平分∠ECG,∴∠ECD=∠DCG.∴∠EDC=∠DCG.
∴DE∥GC. (1分)
同理DG∥EC.∴四边形DGCE是平行四边形.
∵DE=CE,∴四边形DGCE是菱形. (2分)
(2)∵四边形DGCE是菱形,∴DG=DE=6.
解析 (1)证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE= 1
2
1
BC=FC,DF= 2
AC=EC.
(1分)
∵AC=BC,∴DE=FC=DF=EC. (2分)
∴四边形DFCE是菱形. (3分)
(2)过点E作EH⊥BC于点H,如图.
∵AC=BC,∴∠A=∠B.∵∠A=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=30°. (4分)
图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做 格点. (1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°; (2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积 的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积 没有剩余(画出一种即可).
2022年中考数学：几何专题复习之四边形含答案
2021年中考数学：几何专题复习之四边形1．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．28 D．无法求出3．如图所示，已知菱形ABCD，∠B＝60°，点E、F分别为AB、BC上的动点，AC为对角线，点B关于EF的对称点为点G，且点G落在边AD上，连接EG，FG．下列四个结论中正确的个数为（）（1）若EG⊥AC，则；（2）若AG＝DG，则；（3）若AG＝DG，则；（4）在（2）成立的条件下，若菱形的边长为2，则．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或B．6或C．2或6 D．1或5．在矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是（）①tan∠GFB＝；②MN＝NC；③；＝．④S四边形GBEMA．4 B．3 C．2 D．16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四①S△ABC边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④7．如图，正方形ABCD边长为3，连接BD．点E、E分别是AD、CD上的一点，AE＝DF＝1．连接AF、BE交于点G，AF与BD交于点P．点M是BC上一点，∠MAF＝45°，连接AM交BE 于点H．将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，连接CN．下列结论：①AG＝GH；②∠MCN＝135°；③；④tan∠CNM＝；⑤连接CP，△CNP的面积是．其中，正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH •MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF 于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．411．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2；⑤PB2+PD2＝2PA2；⑥AP⊥EF．其中正确结论有几个（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④13．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交边AB于F，连接DF交线段AC于点H，延长DE交边BC于点Q，连接QF．下列结论：①DE＝EF；②若AB＝6，CQ＝3，则AF＝2；③∠AFD＝∠DFQ；④若AH＝2，CE＝4，则AB＝3+；其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE平分∠ACB，与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，则下列结论中正确的有（）个．①OF＝；②ON＝；③S＝；④sin∠ACE＝．△CONA ．1B ．2C ．3D ．415．如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB ＝2：3，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝BC ，连接CM ．有如下结论：①DE ＝AF ；②S △DMC ＝S 四边形AFME ；③MG ：AB ＝5：4； ④S △ANF ：S 四边形CNFB ＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在CD 、AD 边上，且CE ＝DF ，连接BE 、CF 相交于G点．则下列结论：①BE ＝CF ；②S △BCG ＝S 四边形DFGE ；③CG 2＝BG •GE ；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则∠FGD ＝45°．正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且CE ＝2DE ，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF ⊥AE ，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作OQ ⊥OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①∠AFO ＝45°；②OG ＝DG ；③DP 2＝NH •OH ；④sin ∠AQO ＝；其中正确的结论有（ ）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF ，则所有正确结论的序号是（）＝S△BCEA．①②③④B．①②③C．②③④D．③④20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②；③AB+CD＝AD；④M到AD 的距离等于BC的；⑤M为BC的中点；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案1．解：设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，BF ＝x ，连接EG ，∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ＝HG ，EF ∥HG ，∴∠FEG ＝∠HGE ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠BEG ＝∠DGE ，∴∠BEG ﹣∠FEG ＝∠DGE ﹣∠EGH ，∴∠BEF ＝∠HGD∵EF ＝HG ，∠B ＝∠D ，∴Rt △BEF ≌Rt △DGH （AAS ），同理Rt △AEH ≌Rt △GFC ，∴S 平行四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ﹣2（S △BEF +S △AEH ）＝ab ﹣2[cx +（a ﹣c ）（b ﹣x ）]＝ab ﹣（cx +ab ﹣ax ﹣bc +cx ）＝ab ﹣cx ﹣ab +ax +bc ﹣cx＝（a ﹣2c ）x +bc ，∵E 是AB 的中点，∴a ＝2c ，∴a ﹣2c ＝0，∴S 平行四边形EFGH ＝bc ＝ab ，故选：C ．2．解：将阴影部分分割如图所示：根据直角三角形的三边为6、8、10．所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24．故选：B．3．解：（1）当EG⊥AC时，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，AB＝BC＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠AGE＝30°，∴AE＝AG，∵∠AEG＝30°，AC⊥EG，∴EG＝AE，即EG＝AE，∵B、G关于EF对称，∴BE＝EG，设AE＝x，则BE＝EG＝x，∴＝，故（1）正确；（2）当AG＝DG时，连接CG、BG，BG交EF于H，如图2：∵AD＝CD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵AG＝GD，∴CG⊥AD，∵AD∥BC，∴CG⊥BC，∴∠GBC+∠BGC＝90°，∵EF⊥BG，∴∠GBC+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠BGC，∴cos∠BFE＝cos∠BGC＝，设菱形的边长为2x，则GD＝x，∴CG＝＝＝x，∴BG＝＝＝x，∴cos∠BFE＝cos∠BGC＝，故（2）正确；（3）如图3，连接BG，CG，过点G作NG⊥AB，交BA的延长线于N，设菱形的边长为2x，则AG＝GD＝x，∵∠NAG＝180°﹣∠BAD＝60°，∴∠AGN＝30°，∴AN＝AG＝，NG＝x，∵EG2＝EN2+NG2，∴EG2＝（2x+﹣EG）2+x2，∴EG＝0（不合题意舍去），EG＝x，∵GF2＝GC2+CF2，∴BF2＝3x2+（2x﹣BF）2，∴BF＝x，∴，故③正确；（4）如图4，设EF与BG的交点为H，∵AB＝2，∴由（2）（3）可得：BG＝，BE＝，BF＝，∵B、G关于EF对称，∴BH＝HG＝，EF⊥BG，∴HF＝＝＝，EH＝＝＝，∴EF＝HF+EH＝，故④正确；故选：D．4．解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，，解得，，即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，，解得：，即点Q的运动速度2cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度或2cm/s时能使两三角形全等．故选：A．5．解：①tan∠GFB＝tan∠EDC＝，①正确；②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠CNF，∴∠MDN＝∠CFN∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN∴△DEC≌△FEM（SAS）∴EM＝EC，∴DM＝FC，∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠CNF，DM＝FC，∴△DMN≌△FCN（AAS），∴MN＝NC，故②正确；③∵BE＝EC，ME＝EC，∴BE＝ME，在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），∴∠BEG＝∠MEG，∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，∴∠GEB＝∠MCE，∴MC∥GE，∴，∵EF＝DE＝，CF＝EF﹣EC＝﹣1，∴，故③错误；④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝5﹣1，∴BF＝+1，∵tan F＝tan∠EDC＝，∴GB＝BF＝，故④正确，故选：B．6．解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，∴BP＝BC＝，∴AP＝，∴．故①正确；②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，∴BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴AE＝EC＝AC＝，∵CF∥AB，∴∠FCA＝∠A＝60°，∵GF∥BC，∴∠FEC＝∠ACB＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，∴△EFC为等边三角形，∴FC＝EC＝，即FH＝．故②正确；③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，∵∠DBE＝30°，∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，∴∠EBN＝∠DBE＝30°，又∵BD＝BN，BE＝BE，∴△DBE≌△NBE（SAS），∴DE＝NE，∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，∵NP2+PE2＝NE2，∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵GF∥BH，BG∥HF，∴四边形BHFG是平行四边形，∵GF∥BH，BG∥HF，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，∴△AGE，△DCH都是等边三角形，∴AG＝AE，CH＝CD，∵AE＝CD，∴AG＝CH，∴BH＝BG，∴▱BHFG是菱形，故④正确，故选：B．7．解：∵AD＝AB，∠BAD＝∠ADF＝90°，DF＝AE，∴△ADF≌△BAE（SAS），∴∠DAF＝∠ABE，BE＝AF，∵∠MAF＝45°，∴∠DAF+∠BAM＝45°，∴∠ABE+∠BAM＝45°＝∠AHG，∴∠AHG＝∠MAF＝45°，∴AG＝GH，∠AGH＝90°，故①正确；如图，连接AC，MF，过点A作AQ∥BE，交CB的延长线于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AB＝BC＝3，∴AC＝3，∵将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点N，∴AM＝MN，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝∠MNA＝45°，∴∠MNA＝∠MCA＝45°，∴点A，点M，点C，点N四点共圆，∴∠AMN＝∠ACN＝90°，∴∠MCN＝135°，故②正确；∵AQ∥BE，AE∥BC，∴四边形AEBQ是平行四边形，∠QAF＝∠BAD＝90°，∴AE＝BQ＝1，∠BAQ＝∠DAF，AQ＝BE＝AF，∵∠FAM＝45°，∴∠DAF+∠BAM＝45°，∴∠BAQ+∠BAM＝45°＝∠QAM，∴∠QAM＝∠MAF，又∵AM＝AM，AQ＝AF，∴△AQM≌△AFM（SAS），∴QM＝MF，∵MF 2＝CF 2+MC 2，∴（1+BM ）2＝（3﹣1）2+（3﹣BM ）2，∴BM ＝，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△MBH ， ∴＝（）2＝，∴设S △AEH ＝4a ，S △BHM ＝9a ，∵tan ∠DAF ＝，∴AG ＝3EG ＝GH ，∴S △AGH ＝3a ， ∴＝，故③正确； ∵点A ，点M ，点C ，点N 四点共圆，∴∠MNC ＝∠MAC ，∵∠MAC +∠CAN ＝45°，∠CAN +∠DAF ＝45°，∴∠DAF ＝∠MAC ＝∠MNC ，∴tan ∠CNM ＝tan ∠DAF ＝，故④错误；∵AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴AP ＝CP ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∵∠ACN ＝90°，∴∠PAC +∠ANC ＝90°＝∠PCA +∠PCN ，∴∠PCN ＝∠PNC ，∴PC ＝PN ＝AP ，∵∠CAN +∠DAF ＝45°＝∠DAF +∠BAM ，∴∠CAN ＝∠BAM ，∴tan ∠CAN ＝tan ∠BAM ，∴，∴，∴CN＝，∴S＝×AC×CN＝，△ACN∵AP＝PN，∴S＝，故⑤正确；△CPN故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∴∠EHM＝∠B＝90°，∵EM＝EM，EH＝EB，∴Rt△EMH≅Rt△EMB（HL），∴∠MEH＝∠MEB，∵∠FEH＝∠FEA，∴，∴△EFM是直角三角形，故①②正确，∵∠FEM＝90°＝∠FHE，∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，∴∠EFH＝∠HEM，又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，∴△FHE∽△EHM，∴，又∵EH＝EB＝AB，∴AB2＝4HF•HM，故⑤正确，如图1中，当M与C重合时，设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，∵∠FEM＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，∴∠AFE＝∠ECB，又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE，∴＝，∴AF＝a，∴DF＝3a，∴DF＝3AF，∴，故③正确，如图2中，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有：①②③⑤，故选：C．9．解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠ADF＝∠EFC，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE(SAS)，∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE(SAS)，∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，故①正确；∵∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，故②正确；∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG，故③正确；∵∠ECF＝90°，EG＝FG，∴CG＝EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，∴CG＝EF＝x＝CE，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．11．解：过点P作PM⊥AB于点M，过点A作AN⊥BE于点N，连接AP、PC，①∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°，而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，∴PD＝PF＝CE，故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，故④正确；⑤在Rt△PBM和Rt△PDF中，PB2＝PM2+MB2，PD2＝PF2+FD2，∴PB2+PD2＝2PA2；故⑤正确；⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：D．12．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，∴∠EAF＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，∴∠BCE+∠EFB＝180°，又∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，∴AE＝EF，∴EF＝EC，故①正确；∵EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴∠FAC＝∠EFC＝45°，又∵∠ACF＝∠FCG，∴△FCG∽△ACF，∴，∴CF2＝CG•CA，故②正确；∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，∴△ECH∽△CDH，∴，∴，∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，∴△ECH∽△EBC，∴，∴，∴，∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；∵BF＝1，AB＝4，∴AF＝3，AC＝4，∵∠ECF＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠DCE，又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，∴△AFC∽△DEC，∴，∴，∴DE＝，故④正确，故选：D．13．解：如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，在△BEC和△DEC中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，∴∠ADE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠ADE＝∠EFB，∴∠ABE＝∠EFB，∴EF＝BE，∴DE＝EF，故①正确；∵∠DEF＝90°，DE＝EF，∴∠EDF＝∠DFE＝45°，如图：延长BC到G，使CG＝AF，连接DG，在△ADF和△CDG中，，∴△ADF≌△CDG（SAS），∴∠AFD＝∠G，∠ADF＝∠CDG，DF＝DG，∵∠ADF+∠CDQ＝90°﹣∠FDQ＝45°，∴∠CDG+∠CDQ＝45°＝∠GDQ，∴∠GDQ＝∠FDQ，又∵DG＝DF，DQ＝DQ，∴△QDF≌△QDG（SAS），∴FQ＝QG，∠G＝∠DFQ，∴∠DFA＝∠DFQ，故③正确；∵AB＝6，CQ＝3，∴BQ＝3，FB＝6﹣AF，FQ＝QG＝3+AF，∵FQ2＝FB2+BQ2，∴（3+AF）2＝9+（6﹣AF）2，∴AF＝2，故②正确；如图：将△CDE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，连接MH，∴△CDE≌△ADM，∴AM＝CE＝4，∠DCE＝∠DAM＝45°，∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，∴∠MAH＝90°，∠ADM+∠ADH＝∠CDE+∠ADH＝45°＝∠MDH，又∵DH＝DH，∴△DMH≌△DEH（SAS），∴EH＝MH，∵MH＝＝＝2，∴EH＝MH＝2，∴AC＝AH+EH+EC＝6+2，∴AB＝＝3+，故④正确；故选：D．14．解：①如图，过点E作EH⊥AC于H，∵AB＝3，AD＝4，∴AC＝＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝DO＝BO＝，∵CE平分∠ACB，EH⊥AC，∠ABC＝90°，∴BE＝EH，∵S△ABC ＝S△AEC+S△BCE，∴×AB×BC＝×AC×EH+×BC×BE，∴3×4＝5×EH +4×EH ，∴EH ＝＝BE ，∴AE ＝AB ﹣BE ＝，∵F 是线段CE 的中点，AO ＝CO ，∴OF ＝AE ＝，OF ∥AB ，故①正确；②∵OF ∥AB ， ∴＝＝，∴ON ＝BN ，∵ON +BN ＝BO ＝，∴BN ＝，NO ＝，故②正确；③∵S △BOC ＝S 矩形ABCD ，∴S △BOC ＝×3×4＝3，∵ON ＝BN ，∴S △CON ＝＝， 故③正确；④∵BE ＝，BC ＝4，∴EC ＝＝＝， ∴sin ∠ACE ＝＝＝， 故④错误，故选：C ．15．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADF＝∠DCE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DE＝AF，故①正确；②∵△ADF≌△DCE，∴S△ADF ＝S△DCE，∴S△DMC ＝S四边形AFME；故②正确；③如图，过点G作GH⊥EC于H，∵AF：FB＝2：3，∴设AF＝2x＝DE，BF＝3x，∴AB＝BC＝5x＝CD，∵BG＝BC，∴BG＝x，∴CE＝＝＝x，∵cos∠DCE＝，∴，∴CM＝x，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又∵∠CDE＝∠GHC，∴△CDE∽△GHC，∴，∴＝＝，∴CH＝x，∴MH＝CH＝x，又∵GH⊥CH，∴MG＝GC＝5x+x＝x，∴MG：AB＝5：4，故③正确；④∵AF：FB＝2：3，∴设AF＝2x，BF＝3x，∴AB＝BC＝5x＝CD，∵BG＝BC，∴BG＝x，∵AB∥CD，∴△ANF∽△CND，∴，＝，∵S△ABC ＝S△ACD＝，∴S△CND＝x2，∴S△ANF＝x2，∴S四边形BCNF＝，∴S△ANF ：S四边形CNFB＝4：31，故④错误；故选：C．16．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，又∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴BE＝CF，故①正确，∵△BCE≌△CDF，∴S△BCE ＝S△CDF，∴S△BCG ＝S四边形DFGE；故②正确，∵△BCE≌△CDF，∴∠DCF＝∠EBC，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠EBC+∠BCG＝90°，∴∠BGC＝∠EGC＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴，∴CG2＝BG•GE；故③正确；如图，连接EF，∵点E是CD中点，∵△BCE≌△CDF，∴DF＝CE＝DE，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵∠ADC＝∠EGF＝90°，∴点D，点E，点G，点F四点共圆，∴∠DEF＝∠DGF＝45°，故④正确；故选：D．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，∵tan∠DAE＝，∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝2DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，∴OK＝KN＝KF＝FN，∴DF＝OK，又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO＝DG，故②正确；③∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP，∴△AOH≌△DOP（ASA），∴AH＝DP，∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO，∴△AHN∽△OHA，∴，∴AH2＝HO•HN，∴DP2＝NH•OH，故③正确；∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，∵OG＝GD，∴AO＝2OG，∴AG＝＝OG，∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝＝，故④正确，故选：D．18．解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝＝＝20，BE＝＝＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；∵S△CEF＝CE•BE，S△BCE＝CE•FG＝CE•（AE+CD）＝CE•（AE+AB）＝CE•（2AE+BE），而2AE+BE不一定等于2BE∴S△CEF 不一定等于S△BCE，故错误④．故选：B．20．解：过M作ME⊥AD于E，∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE＝∠CDA，∠MAD＝∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD＝180°，∴∠MDA+∠MAD＝（∠CDA+∠BAD）＝×180°＝90°，∴∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DM平分∠CDE，∠C＝90°（MC⊥DC），ME⊥DA，∴MC＝ME，同理ME＝MB，∴MC＝MB＝ME＝BC，故⑤正确；∴M到AD的距离等于BC的一半，故④错误；∵由勾股定理得：DC2＝MD2﹣MC2，DE2＝MD2﹣ME2，又∵ME＝MC，MD＝MD，∴DC＝DE，同理AB＝AE，∴AD＝AE+DE＝AB+DC，故③正确；∵在△DEM和△DCM中，∴△DEM≌△DCM（SSS），同理S 三角形AEM ＝S 三角形ABM ， ∴S 三角形AMD ＝S 梯形ABCD ，故②正确； 故选：C ．。
中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题(含答案)
中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．65．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）A ．当ABCD 是矩形时，90BAC ∠=︒B ．当ABCD 是菱形时，AB BC ⊥ C ．当ABCD 是正方形时，AC BD = D ．当ABCD 是菱形时，AB AC =6．如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．775︒.7．如图，要拧开一个边长为()=6mm a a 的正六边形，扳手张开的开口b 至少为（ ）A ．43mmB ．63mmC ． 42mmD ． 12mm8．如图，菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，若点G 恰好为CD 边的中点，则AE 的长为（ ）A ．34B ．214C 3154D ．39．以下说法不正确的是（ ）A ．平行四边形是抽对称图形B ．矩形对角线相等C ．正方形对角线互相垂直平分D ．菱形四条边相等10．陈师傅应客户要求加工4个长为4cm 、宽为3cm 的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）A．B．C．D．11．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC∠等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数kyx=（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（）A．53B．3-C．3D．53-二、填空题13．如果一个多边形的每一个外角都是60︒，那么这个多边形的边数是_______．14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且2AE DE=，BD与CE相交于点F，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．15．如果正多边形的一个外角是45︒，则这个正多边形的内角和是________︒．16．巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．17．如图，四边形ABCD 是菱形，42BD =，26AD =，点E 是CD 边上的一动点，过点E 作EF ⊥OC 于点F ，EG ⊥OD 于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为_________．18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ，若4AB =，8BC =，则DE 的长为______．19．已知ABC 中，65A ∠=︒，将B C ∠∠、按照如图所示折叠，若35ADB '∠=︒，则123∠+∠+∠=_____︒．CE ，F 20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，5为DE的中点．若CEF△的周长为18，则OF的长为______．三、解答题21．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．(1)将表格补充完整．正多边形的边数 3 4 5 6α的度数(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为．(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝．22．如图，在ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求ABCD的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．25．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE26．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE＋CG的值为．27．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______．(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值______．【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE 的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB=CF•AD．28．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN＝32DM，连接DN．(1)如图1，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM．(2)如图2，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．参考答案1．A2．A3．A4．D5．C6．C7．B8．B9．A10．C11．A12．B13．614．2715．108016．381718．319．265︒20．7221．（1）正多边形每个内角的度数为180(2)n n -． 1803,603n α===； 904,452n α===； 正五边形的内角180(52)1085-=，1801085,362n α-===； 正五边形的内角180(62)1206-=，1801206,302n α-===．（2）观察（1）中结论，1803,603n == 1804,454n == 1805,365n == 1806,306n == 总结规律，则有180n α=． （3）借助（2）中公式，有180n α=，即18018n= 解得10n =．22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵M 、N 分别是AB 和CD 的中点， ∴AM =BM ，AM ∥CN ，AM =CN ， ∴四边形AMCN 是平行四边形，又∵AC =BC ，AM =BM ，∴CM ⊥AB ，∴∠CMA =90°，∴四边形AMCN 是矩形；（2）解：∵∠B =60°，BC =8，∠BMC =90°， ∴∠BCM =30°，∴Rt △BCM 中，BM =12BC =4，CM∵AC =BC ，CM ⊥AB ，∴AB =2BM =8，∴ABCD 的面积为AB ×CM23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ，OB =OD ，OA =OC ， ∴∠ABE =∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE =12OB ，DF =12OD ，∴BE =DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△CDF (SAS ) ．（2）当AB =12AC 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： 当AB =12AC 时，∵AC =2OA ，AC =2AB ，∴AB =OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵EG=AE，∴EG=CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．24．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB =6，AD =10，BC =BF ，∴∠BAF =90°，AD =BC =BF =10，∴AF =8，∴DF =2，设EF =x ，则CE =x ，DE =6-x ，∵∠FDE =90°，∴22+（6-x ）2=x 2，解得，x =103， ∴CE =103， ∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF =103×2=203． 25．解：四边形ABCD 是矩形，AB DC ∴=，90BAD CDA ∠=∠=︒，AE DE =，EAD EDA ∴∠=∠，EAB BAD EAD CDA EDA EDC ∴∠=∠+∠=∠+=∠， 在ABE ∆和DCE ∆中，AE DE EAB EDC AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCE SAS ∴∆∆≌．26．（1）如图，作EM ⊥BC 于M ，EN ⊥CD 于N ，又∠BCD =90°，∴∠MEN ＝90°，∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴EM ＝EN ，∵∠DEF ＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ＝90°﹣∠FEN ，∵∠DNE ＝∠FME ＝90°，在△DEN 和△FEM 中，DNE FME EN EMDEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DEN ≌△FEM （ASA ），∴EF ＝DE ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；（2）①CE ⊥CG ，理由如下：∵正方形DEFG 和正方形ABCD ，∴DE ＝DG ，AD ＝DC ，∵∠CDG +∠CDE ＝∠ADE +∠CDE ＝90°，∴∠CDG ＝∠ADE ，在△ADE 和△CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DAE ＝∠DCG ，∵∠ACD +∠CAD +∠ADC ＝180°，∠ADC ＝90°，∴∠ACG ＝∠ACD +∠DCG ＝∠ACD +∠CAD ＝90°， ∴CE ⊥CG ；②由①知，△ADE ≌△CDG ，∴AE ＝CG ，∴CE +CG ＝CE +AE ＝ACAB＝2，故答案为：2.27.（1）解：设DE与CF的交点为G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，在△AED与△DFC中，A FDCCFD AEDAD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE=CF，∴DECF=1，故答案为：1；（2）解：如图，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠EDC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC=90°，∴∠CDG +∠ECD =90°，∠ADB +∠CDG =90°，∴∠ECD =∠ADB ，∵∠CDE =∠A ，∴△DEC ∽△ABD ， ∴47CE DC BD AD ==， 故答案为：47； （3）证明：如图，过点C 作CH ⊥AF 交AF 的延长线于点H ，∵CG ⊥EG ，∴∠G =∠H =∠A =∠B =90°，∴四边形ABCH 为矩形，∴AB =CH ，∠FCH +∠CFH =∠DFG +∠FDG =90°，∴∠FCH =∠FDG =∠ADE ，∠A =∠H =90°，∴△AED ∽△HFC ，∴DE AD CF CH =， ∴DE AD CF AB=， ∴DE •AB =CF •AD ．28．（1）①证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠A ＝∠DMN ＝90°∵AB ＝6，AD ＝4，MN ＝32DM ∴23AD DM AB MN == ∴△ABD ∽△MND ．②证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠ABC ＝∠DMN ＝90°∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°由①得△ABD ∽△MND∴∠ABD ＝∠DNM又∵∠MEB ＝∠DEN∴△MBE ∽△DNE ∴ME BE DE NE = ∴ME DE BE NE= 又∠MED ＝∠BEN∴△DME ∽△NBE∴∠NBE ＝∠DME ＝90°∴∠CBN ＋∠CBD ＝90°又∠ABD ＋∠CBD ＝90°，∠ABD ＝∠DNM ∴∠CBN ＝∠DNM ．（2） 如图②，过点N 作NF ⊥AB 于点F ，连接AC ，AN ∴∠NF A ＝90°∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝6 ∴∠A ＝∠ABC ＝90°，BC ＝AD ＝4∴23BC AB =，∠ADM ＋∠AMD ＝90° ∵AM ＝4BM ，AB ＝6∴42455AM AB ＝＝又DM ⊥MN∴∠AMD ＋∠FMN ＝90° ∴∠ADM ＝∠FMN∴△ADM ∽△FMN ∴AD AM DM MF FN MN== 又MN ＝32DM ∴24425=3DM MF FN MN == ∴MF ＝6，FN ＝365∴AF ＝AM ＋MF ＝2454655+= ∴23NF AF = ∴NF BC AF AB = ∵∠ABC ＝∠AFN ＝90° ∴△ABC ∽△AFN∴∠BAC ＝∠F AN∴A ，C ，N 三点在同一条直线．。
中考数学总复习——四边形证明(含答案)
专题. 四边形1、平行四边形1．如图，已知：▱ABCD中，∠ABC的平分线BG，交AD于G，∠BCD的平分线CE，交BG于F，交AD于E．（1）求证：BG⊥CE．（2）若AB=3，BC=4，求EG的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）若∠BFA=40°，求∠BAF的度数．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF ∥AB交直线DE于F．设CD=x．（1）当x=1时，求四边形EACF的面积；（2）当x为何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由．4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．2、菱形1．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB=∠EAG。
（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．2．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）求∠CGE的度数．3．菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60°（1）如图1，当点E是CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，且∠EAB=15°，求点F到BC的距离．4．如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE=DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH=DG+BG．5．如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF=BE，CE=CF．求证：（1）△CFD≌△CEB；（2）∠CFE=60°．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BD=4，AC=3，求cos∠CDE的值．7．如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．8．如图．在菱形ABCD中，BC边的中垂线EF交AD边于F，G是CD中点．（1）求证：EG=FG；（2）若△DFG为等腰三角形，求∠D的度数．9．如图1，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：∠F=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠F的度数（如图2）．10．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．15．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．16．如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE，OF分别交AB，BC于点M，N．（1）求证：OM=ON；（2）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM，BN与AB之间的数量关系，并进行证明．17．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．3、矩形1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=2，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？4、正方形6．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．（1）若连接BG、CE，求证：BG=CE．（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．7．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？8．在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为；位置关系为．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．10．猜想与证明：如图，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，EM．（1）试猜想写出DM与EM的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（2）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．11．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE=时，求CG的长．13．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出的值为（不必写出计算过程）．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上一点，连接OE，过点O 作OE的垂线交AB于点F．求证：OE=OF．（2）若将（1）中，“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，如图2，连接EF．▱）求证：∠OEF=∠BAC．▱）试探究线段AF，EF，CE之间数量上满足的关系，并说明理由．15．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．16．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，∠ACF的平分线分别交AF、AB、BD于点E、N、M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．18．如图，点E为正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，在△EBF中，∠EBF=90°，BF=BE，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）填空：用等式表示线段FA、FE、FC之间的数量关系为．19．已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．20．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；（2）若∠CDE=30°，求的值．参考答案四边形1．【解答】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，∴∠ABG=∠CBG，∠BCE=∠DCE，又∵∠ABG+∠CBG+∠BCE+∠DCE=180°，∴∠CBG+∠BCE=90°，在△BCF中，∠BFC=180°﹣∠CBF﹣∠BCF=90°；即BG⊥CE；（2）解：∵▱ABCD，∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=4，∴∠AGB=∠CBG，又∵BG是∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠CBG，∴∠AGB=∠ABG，∴AB=AG=3，∴GD=AD﹣AG=4﹣3=1，同理：AE=1，∴EG=AD﹣AE﹣GD=4﹣1﹣1=2．2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∵BE=CF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）解：∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，∴∠BAF=90°﹣∠BFA=90°﹣40°=50°．3．【解答】解：（1）∵DE⊥BC，∠ACB=90°；∴EF∥AC∵CF∥AB；∴▱EACF的面积=2×1=2（2）由（1）可知四边形EACF是平行四边形，则∠A=∠CFD，EF∥AC，故∠ACB=∠FDC，故△ABC∽△FCD，即AB：CF=BC：CD又∵AB==（勾股定理），BC=3所以当CF=AC=2时，四边形EACF是菱形．∴：2=3：CD所以x=CD=时，▱EACF是菱形．4．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∵EF=BF，BF=DC，∴EF=DC，∴四边形EFCD是平行四边形．菱形1．【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2 ，∴EB===，∴GD=．2．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，∵BE=AD，∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（SAS）；（2）如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E=∠D，∵∠BAE=∠DAG，∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，∴∠CGE=∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠CGE=60°．3．【解答】（1）证明：连接AC，如图1中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（2）解：如图2中，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=AB=2，AG=BG=2 ，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2 ，∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2 ﹣2，∴FH=CF•sin60°=（2 ﹣2）•=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．4．【解答】（1）解：如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠A=∠FDB=60°，在△DAE和△BDF中，，∴△DAE≌△BDF，∴∠ADE=∠DBF，∵∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，∴∠BGD=180°﹣∠BGE=120°．（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．∵∠MGB=60°，GM=GB，∴△GMB是等边三角形，∴∠MBG=∠DBC=60°，∴∠MBD=∠GBC，在△MBD和△GBC中，，∴△MBD≌△GBC，∴DM=GC，∠M=∠CGB=60°，∵CH⊥BG，∴∠GCH=30°，∴CG=2GH，∵CG=DM=DG+GM=DG+GB，∴2GH=DG+GB．5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB．在△CFD和△CEB中，，∴△CFD≌△CEB（SSS）；（2）解：∵△CFD≌△CEB，∴∠CDB=∠CBE，∠DCF=∠BCE．∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD．∵CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°．∴∠DCB=60°．∵∠FCE=60°，∵CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=60°．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形；∴AD∥BC，∠BOC=90°，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BOC，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形．（2）解：∵四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∵AD=BC，∴BC=CE，∵∠BDE=90°，∴DC=CE，∴∠CDE=∠E，∴cos∠CDE=cos∠E，∵BD=4，AC=3，∠BDE=90°，∴BE=5，∴cos∠E==，∴cos∠CDE=cos∠E=．7．【解答】解：（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．∵四边形ABCD是菱形，∴∠PAM=∠PAN，∴PM=PN，∵PE=PF，∴Rt△PMF≌Rt△PNE，∴∠MPF=∠NPE，∴∠EPF=∠MPF，∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°，∴∠EPF+∠BAD=180°．（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=120°，∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，∴AE+AF=PA．（3）结论：AF+AE=PA•cos．理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，∴FM=NE，∵PA=PA，PM=PN，∴Rt△PAM≌Rt△PAN，∴AM=AN，∴AF+AE=（AM+FM）+（AN﹣EN）=2AM，∵∠BAD=θ，∴∠PAM=，易知AM=PA•cos，∴AF+AE=PA•cos．8．【解答】（1）证明：如图1中，延长FH交BC的延长线于M/∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BM，∴∠DFH=∠M，在△FDH和△MCH中，‘，∴△FDH≌△MCH，∴FH=HM，∵FE⊥BC，∴∠FEM=90°，∴EH=FH=HM，∴EH=FH．（2）解：如图2中，①当FD=FH时，设∠M=∠DFH=x，∵BE=EC，CH=DH，BC=CD，∴EC=CH，∴∠CEH=∠CHE，∵HE=HM，∴∠CEH=∠CHE=∠M=x，∴∠HCM=∠ECH+∠EHC=2x=∠D=∠FHD，∵∠DFH+∠D+∠FHD=180°，∴x+2x+2x=180°，∴5x=180°，∴x=36°，∴∠D=72°．②当∠D=90°时，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形，综上所述，当△DFH是等腰三角形时，∠D=72°或90°．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD，即∠F=∠EBC；（2）解：分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，解得：x=30，∴∠EFB=30°；②如图2，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠F=30°或120°．10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．（3）解：结论成立．证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠ECF=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．11．【解答】解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG．∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG．在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．（6分）应用：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∵BE=DG，∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，∵AE=2ED，∴S△CDE=×8=，∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=，∴S菱形CEFG=2S△ECG=．故答案为：．（9分）12．【解答】（1）证明：取BC的中点G，连接OG∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，∵点O为菱形ABCD的对称中心，∴OD=OB∴OG∥CD ∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB∵△OEF是等边三角形，∴∠EOF=60°，∴∠BOM=∠NOG又∵∠BGO=∠ABD=60°在△OBM和△OGN中，，∴△OBM≌△OGN（ASA），∴OM=ON；（2）证明：取BC中点G，同理可证：△OBM≌△OGN，∴BM=GN，∴BG=BN﹣NG，∴BN﹣BM=BG=AB．17．【解答】解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8，由勾股定理得，AG===6，∴AC=2AG=2×6=12，菱形ABCD的面积=AC•BD=×12×16=96；故答案为：12；96；（2）如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，所以，BD•AG=AB•OE+AD•OF，即×16×6=×10•OE+×10•OF，解得OE+OF=9.6是定值，不变；（3）如图2，连接AO，则S△ABD=S△ABO﹣S△ADO，所以，BD•AG=AB•OE﹣AD•OF，即×16×6=×10•OE﹣×10•OF，解得OE﹣OF=9.6，是定值，不变，所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE﹣OF=9.6．3、矩形1．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是矩形．（2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，OB=OD=AE=3，在Rt△AEC中，EC===．3．【解答】（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．4．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．5．【解答】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO；∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．6．【解答】（1）证明：连接BG和CE交于O，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，∴∠GAB=∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG=CE．（2）四边形PQMN为正方形，证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，∴PN∥BG，MN=CE，MN∥CE，PQ=CE，PQ∥CE，PN=BG，∵BG=CE，∴PN=MN，MN=PQ，MN∥PQ，∴四边形PQMN是菱形，∵△BAG≌△EAC，∴∠GBA=∠AEC，∵四边形ABDE是正方形，∴∠EAB=90°，∴∠ABG+∠BWA=90°，∵∠BWA=∠GWE，∴∠GWE+∠AEC=90°，∴∠EOW=180°﹣90°=90°，∵MN∥CE，PN∥BG，∴∠NZO=∠EOW=90°，∠NIO=90°，∴∠MNP=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°；∴菱形PQMN是正方形，即四边形PQMN为正方形．7．【解答】（1）答：AB=AH，证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°又∵AB=AD，∵在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠1=∠2，AE=AN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，∴∠1+∠3=45°，即∠EAM=45°，∵在△EAM和△NAM中，，∴△EAM≌△NAM（SAS），又∵EM和NM是对应边，∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠E=∠F=90°，又∵∠BAC=45°∴∠EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD=AF∴四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52；解得x1=6，x2=﹣1，故AD的长为6．8．【解答】（1）解：由题意得：∠BAC=∠BCA=45°，AO=PA，∠AEO=∠AFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS）∴OE=OF（相等）；（1分）（2）解：OE=OF，OE⊥OF；（3分）证明：连接BO，∵在正方形ABCD中，O为AC中点，∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，（4分）∵PF⊥BC，∠BCO=45°，∴∠FPC=45°，PF=FC．∵正方形ABCD，∠ABC=90°，∵PF⊥BC，PE⊥AB，∴∠PEB=∠PFB=90°．∴四边形PEBF是矩形，∴BE=PF．（5分）∴BE=FC．∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF，∠BOE=∠COF，（7分）∵∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°，∴∠EOF=90°，∴OE⊥OF．（8分）（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．（10分）9．【解答】（1）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．10．【解答】解：（1）结论：DM=EM．理由：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，，∴△FME≌△AMH，∴HM=EM，在直角△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=EM，∴DM=EM．（2）成立．（证明方法类似），11．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）答：四边形ABNE是正方形；理由如下：证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，∵∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四边形ABNE是正方形．12．【解答】证明：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF，（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE=，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，∴，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，∴BE=AB﹣AE，DG=AD﹣AG，∴BE=DG，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF=DF；（2）解：∵BF=DF；∴点F在对角线AC上，∵AD∥EF∥BC，∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=，∴CF：BE=．14．【解答】证明：（1）连接OB，∵在正方形ABCD中，O是AC的中点，∴OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，∴∠AOB=90°，又∵OE⊥OF，∴∠AOF=∠BOE，在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE，∴OE=OF；（2）①∵∠EOF=∠FBE=90°，∴O，E，F，B四点共圆，∴∠OBA=∠OEF，∵在矩形ABCD中，O是AC的中点，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA，∴∠OEF=∠BAC；②如图，连接BD，延长EO交AD于G，∵BD与AC交于O，则△OGD≌△DEB，∴OG=OE，∴AG=CE，∵OF⊥GE，∴FG=EF，在Rt△AGF中，GF2=AG2+AF2，即EF2=CE2+AF2．15．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．16．【解答】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．故答案为：FG=CE，FG∥CE；（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．17．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）EM=CN．理由如下：连接FN，∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴BF=BN，∴∠CBN=∠FNB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，∴∠CFN=∠EOM，∴△CFN∽△EOM，∴，即．∴EM=CN．18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：结论：FE2=FA2+FC2．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形，∵FE2=FC2+EC2，∵△ABF≌△CBE，∴AF=EC，∴FE2=FA2+FC2．故答案为FE2=FA2+FC2．20．【解答】解：（1）BM=DF，BM⊥DF．理由：∵四边形ABCD、AMEF是正方形，∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，∵∠ADB=45°，∴∠FDB=45°+45°=90°，∴BM⊥DF，即BM=DF，BM⊥DF．（2）BM=DF，BM⊥DF都成立，理由是：∵四边形ABCD和AMEF均为正方形，∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，即∠FAD=∠MAB，∵在△FAD和△MAB中，，∴△FAD≌△MAB，∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，即BM⊥DF，∴（1）中的结论仍成立．21．【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，∴BE=CE，在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，∴BF=CE，在△BCF和△CDE中，，∴△BCF≌△CDE（SAS），∴DE=CF；（2）解：设CE=x，∵∠CDE=30°，∴tan∠CDE==，∴CD=x，∵正方形ABCD的边BC=CD，∴BE=BC﹣CE=x﹣x，∵正方形BFGE的边长BF=BE，∴tan∠BCF===，∵正方形BGFE对边BC∥GF，∴∠BCF=∠GFH，∵tan∠GFH=，∴=．。
2020年九年级数学中考复习： 四边形专题复习教案
2020年九年级数学中考复习：四边形专题复习教案一、教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1.了解四边形的定义和性质；2.掌握四边形的分类和特征；3.理解四边形的面积和周长的计算方法；4.能够解决与四边形相关的问题。
二、知识概述四边形是指由四条线段组成的封闭图形。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
在九年级数学中，掌握四边形的定义、分类和性质是非常重要的，同时还需要熟练掌握四边形的面积和周长的计算方法。
2.1 四边形的定义和性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，它有以下性质：•四边形的内角和等于360°；•对角线互相垂直的四边形是矩形；•有一对对边相等且互相平行的四边形是平行四边形；•有4个边长相等的四边形是正方形；•有一对对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形。
2.2 四边形的分类和特征根据边长和角度的特征，四边形可以分为以下几类：•矩形：具有四个内角都是直角的四边形；•正方形：具有四个边长相等且四个内角都是直角的四边形；•平行四边形：具有相对的两边平行的四边形；•菱形：具有四个边长相等且对角线互相垂直的四边形。
2.3 四边形的面积和周长的计算方法•矩形的面积等于长乘以宽；•正方形的面积等于边长的平方；•平行四边形的面积等于底边乘以高；•菱形的面积等于对角线的乘积的一半。
四边形的周长等于各边长的和。
三、教学重点与难点3.1 教学重点•四边形的定义和性质；•四边形的分类和特征；•四边形的面积和周长的计算方法。
3.2 教学难点•理解和应用四边形的性质；•熟练计算不同类型四边形的面积和周长。
4.1 导入与导入教师通过原生实例或者图片，引入四边形的概念，让学生了解四边形的定义。
4.2 教学内容4.2.1 四边形的定义和性质1.讲解四边形的定义和性质，介绍四边形的内角和等于360°的性质；2.分类介绍矩形、正方形、平行四边形和菱形的特征和性质。
4.2.2 四边形的面积和周长的计算方法1.讲解不同类型四边形的面积计算方法：矩形、正方形、平行四边形和菱形；2.讲解四边形的周长计算方法。
中考数学专题复习——四边形地折叠剪切旋转
CD EBA 图②中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950（2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.图①2、折叠后求长度（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、32（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm（4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.AB CEFN M FEDCBA（5）如图，是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD=（6）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A ．2m n -B ．m n -C ．2mD ．2n3、折叠后求面积（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（2）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．10m nnn（2）（1）（3）如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
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27.矩形的判定：(1)对角线 的平行四边形是矩形； (2)有三个角是 的四边形是矩形. 8.有一组 边相等的平行四边形叫做菱形. 9.菱形的性质：(1)菱形的四条边都 ；(2)菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角. 10.菱形的判定：(1)对角线互相 的平行四边形是菱形； (2)四边 的四边形是菱形.11.既是 形，又是 形的四边形叫做正方形.12.一组对边平行，另一组对边 的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做 梯形；有一个角是直角的梯形叫做 梯形. 13.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形同一底边上的两个角 ； (2)等腰梯形的两条对角线 .14.等腰梯形的判定：同一底边上两个角 的梯形是等腰梯形.例题精选例1 如图，在平面直角坐标系中，Y ABCD 的顶点坐标分别为A(0，0)、B(5，0)、D(2，3)，则顶点C 的坐标为（ ）. .. （A ）(3，7) （B ）(5，3) （C ）(7，3) （D ）(8，2)分析：点C 是由点D 向右平移5个单位得到，故C(7，3). 答案：（C ）例2 已知：如图，在Y ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F. 求证：△ABE ≌△DFE. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD.∴∠A=∠EDF ，∠ABE=∠F.又∵点E 是AD 的中点，∴AE=DE.∴△ABE ≌△DFE （AAS ）.例3 已知：如图，在Y ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF 是平行四边形. 证明：连接AC 交BD 于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO. 又∵BE=DF ，而EO=BO-BE ，FO=DO-DF ， ∴EO=FO.∴四边形AECF 是平行四边形.点评：本题还有另一种证法，可设法证明AE=CF ，AE ∥CF ，读者不妨一试.例4 已知：如图，Y ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且AE=CE. 求证：四边形ABCD 是菱形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO. 又∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，即BD ⊥AC. ∴四边形ABCD 是菱形.点评：本题也可先证AD=CD ，读者不妨一试.例5 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE=BC. 求证：CA=CE.F E AB C D OA B CDE F A B C D OE3证明：∵AD ∥BC ，∴DE ∥BC.又∵DE=BC ，∴四边形BCED 是平行四边形.∴BD=CE.而四边形ABCD 是等腰梯形，∴BD=CA. ∴CA=CE.例6 已知：如图，AD ∥BC ，∠A=90°，BD=8，∠C=30°，BD ⊥CD. 求：梯形ABCD 的面积. 解：∵∠C=30°，∴∠CBD=90°-30°=60°. ∴∠ABD=90°-∠CBD=90°-60°=30°. ∴AD=12BD=12×8=4，BC=2BD=2×8=16.∴梯形ABCD 的面积=12(AD ＋BC)AB=12(4＋例7 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 是AD 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AC 于E ，求PE ＋PF 的值.解：连结PO. ∵S △AOD =S △AOP ＋S △DOP ，∴3=12(OA ·PE+OD ·PF).而OA=OD=121522==，∴3=12(52PE+52PF).∴PE ＋PF=125.点评：利用面积关系是解题的一种重要思路.中考集训1.在Y ABCD 中，∠A ：∠B=5：7，则∠D 为（ ）.（A ）105° （B ）95° （C ）75° （D ）55° 2.在Y ABCD 中，AB ＋BC=8，则Y ABCD 周长为（ ）. （A ）8 （B ）12 （C ）16 （D ）203.如图，在Y ABCD 中，AB=8，AC=10，BO=7，则△CDO 的周长为（ ）. （A ）19 （B ）20 （C ）21 （D ）22（第3题图） （第4题图）4.如图，在Y ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠B=40°，则∠EAF 等于（ ）. （A ）50° （B ）45° （C ）40° （D ）135°5.如图，在Y ABCD 中，已知AD=8cm ，AB=6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）. （A ）2cm （B ）4cm（C ）6cm （D ）8cm A B CD EA B CD P OE FA BCDA B C DE F AB C D E O A B CD46.（2001年）菱形一个内角是120°，一边长是8，那么它较短的对角线是（ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）8 （D ）7.（2009年）已知菱形的边长为4，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长为（ ）. （A（B ）（C ）2 （D ）48.（2004年）菱形的两条对角线长分别为6和8，那么这个菱形的面积为（ ）. （A ）14 （B ）48 （C ）24 （D ）12 9.（2007年）正方形的边长是5，则其面积为（ ）.（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）2510.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEB 等于（ ）.（A ）10° （B ）15°（C ）20° （D ）25° 11.下列说法中，错误的是（ ）. （A ）对角线垂直且平分的四边形是菱形 （B ）对角线平分且相等的四边形是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （D ）对角线垂直且相等的四边形是正方形12.菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ）. （A ）24 （B ）20 （C ）10 （D ）513.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是（ ）.（A ）2 （B ）4（C ）（D ）14.已知菱形的边长和一条对角线的长都为2cm ，则菱形的面积为（ ）.（A ）3cm 2（B ）4cm 2（Ccm 2（D ）215.如图，要使Y ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ）.（A ）AB=BC （B ）AC ⊥BD（C ）∠ABC=90° （D ）∠1=∠2 16.在四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D=1：2：2：1，则这个四边形是（）. （A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）等腰梯形 （D ）直角梯形 17.连结等腰梯形各边中点的四边形一定是（ ）.（A ）等腰梯形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）菱形18.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，则AB 的长度为（ ）. （A ）9 （B ）12 （C ）18 （D ）6＋19.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=90°，AD=DC=4，AB=1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ）. （A ）2 （B ）4（C ）8 （D ）120.（选做）如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）.（A ）2 （B ）3（C ）（D ）21.（选做）如图，在Y ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若CEF 的周长为（ ）. （A ）8 （B ）9.5（C ）10 （D ）11.522.在Y ABCD 中，∠B ＋∠D=170°，则∠A= °.A B C DEDC B A OAB C D O 12FA B C D .AB C DEG FE A BDC523.在Y ABCD 中，AB=4，AD=6，∠B=30°，则Y ABCD 的面积= . 24.如图，在Y ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，S △ABO =3，则S △BCD = . 25.（2002年）已知菱形的两条对角线长分别是5cm 和8cm ，它的面积是 .26.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4，则AD= . 27.一个正方形的对角线的长为6，则这个正方形的边长为 . 28.菱形的一个内角是60°，较短的对角线的长为3，则菱形的周长为 .29.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于点H ，则DH= .（第29题图） （第30题图） 30.（2005年）如图，7个大小完全相同的小矩形正好拼成一个大矩形，如果大矩形的周长是17cm ，那么小矩形的较短的边长是 cm. 31.矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，若OE ：ED=1：3，AE=3，则BD= .32.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长都为16cm ，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1= 度.33.如图，矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD 、BC 于点E 、F ， AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 .（第33题图） （第34题图）34.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2.35.（2004年）等腰梯形的腰长为5cm ，上、下底的长分别为6cm 和12cm ，那么它的高等于 cm.36.如图，在等腰梯形ABCD 中，∠B=60°，AD=DC=4，则这个梯形的周长为 .（第36题图） （第37题图） 37.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，AB=4，BC=7，则∠B 的度数= .38.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，∠C=45°，AD=3，BC=6，则梯形ABCD 的面积为 .（第38题图） （第39题图）39.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠1=∠2，∠C=60°，BC=6，则等腰梯形ABCD 的周长为 .40.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，则CD= .（第40题图） （第41题图）O AB CDD CB A OH OA BC DABC1A B C D E FO A C A B C D D C B A A B C D 12D C B A A D C B N M A BC D641.（选做）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B=90°，CD=5，AB=11，点M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN= .42.（选做）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB= 度. 43.已知：如图，BD 是Y ABCD 的对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F. 求证：BE=DF.44.（2008年）如图，已知Y ABCD ，按要求完成下列各题. (1)过点A 作AE ⊥BD 交BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 交BD 于点F ；(2)证明：△ABE ≌△CDF.45.（2009年）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF. 求证：(1)BE=DF ；(2)BE ∥DF.46.（2005年）已知：如图，D 是△ABC 的AB 边的中点，E 是AC 边上不与A 重合的一点，BF ∥AC ，且与ED 的延长线交于点F. 求证：四边形AEBF 是平行四边形.47.已知：如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点. 求证：四边形DECF 是平行四边形.48.（选做）已知：如图，在Y ABCD 中，点E 在AD 上，连结BE ，DF ∥BE 交BC 于点F ，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N. E P A CD A BC D E FDC B A E F ABCD E FA B C D A B C D F MEA D7求证：四边形MFNE 是平行四边形.49.（选做）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 为AB 的中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF=CE.求证：四边形ACEF 是平行四边形.50.（2000年）已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边的中点，CE 、CF 分别与BD 交于G 、H.求证：BG=DH.51.已知：如图，点E 、F 是菱形ABCD 边AB 、BC 上的两点，AE=CF.求证：DE=DF.52.已知：如图，E 是矩形ABCD 中BC 边上的一点，且AE=BC ，DF ⊥AE. 求证：DF=DC.53.已知：如图，点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F. 求证：DF=AE.DB C E F HG A CDB E FA B C D EFDA B C EF CD EG54.已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形.55.已知：如图，ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求证：AF=BF＋EF.56.（2002年）已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB边上两点，且AF=BE，连结DE、CF得到梯形EFCD.求证：梯形EFCD是等腰梯形.57.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，E是AD中点.求证：EB=EC.58.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，，求AB的长.AB CD FEAB CDEFGA BCDE FDAB CEAB CD8959.已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点. 求证：CE ⊥BE.60.（选做）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长.AB C D E FA B C D E。