2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (2)
专题(七) 四边形的有关计算与证明
滚动小专题（七）四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH ⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF.(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由.5.如图，点O 是线段AB 上的一点，OA=OC ，OD 平分∠AOC 交AC 于点D ，OF 平分∠COB ，CF ⊥OF 于点F.(1)求证：四边形CDOF 是矩形；(2)当∠AOC 为多少度时，四边形CDOF 是正方形？并说明理由.6.(2014·成都)如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1nAD(n 为大于2的整数)，连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG.(1)试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a 为常数)，n=3时，求FG 的长；(3)记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当12S S = 1730时，求n 的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)。
中考数学复习专项训练五三角形、四边形中的证明与计算类型二四边形中的证明与计算课件
(1)证明：连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD， OB＝OD，
Байду номын сангаас
在△BOE和△DOE中，OE＝OE， BE＝DE，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠EOB＝∠EOD＝90°，
∴AC⊥BD，∴▱ ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA，BD＝2OB， 在Rt△AOB中，tan∠BAO＝tan∠BAC＝OOBA＝2，∴OB＝2OA， ∵OB2＋OA2＝AB2，∴4OA2＋OA2＝102，
∠AED＝∠CEF，∴△CEF≌△AED(SAS)． AE＝CE， (2)由(1)证得△CEF≌△AED， ∴∠A＝∠FCE，∴BD∥CF， ∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．
2．(2023·北京)如图，在▱ ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF， AC＝EF. (1)求证：四边形AECF是矩形；
∴当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形．
5．(2023·南充)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，E是AM的中点， 连接ED，EC. (1)求证：ED＝EC；
证明：∵E为AM的中点， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠EAD＝∠EBC， ∴△EAD≌△EBC(SAS)， ∴ED＝EC.
1 (2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝2，求BC的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF，∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．
(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
最新中考数学一轮复习 中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数
最新中考数学一轮复习专题复习教案讲义最新讲义中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．1.如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点．（1）求证：∠CED =∠DAG ；（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB ∠的值．【答案】（1）见解析（2）154【解析】：（1）证明：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC .∴∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点，∴AG =DG .∴∠DAG =∠ADE .∴∠CED =∠DAG .(2)∵∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ，∴∠AED =∠AGE .∴AE =AG .∵AG =4，∴AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴sin 4AB AEB AE ∠==.2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC=63．(1)求BD 的长；(2)求AD 的长．【答案】（1）10（2）2【解析】(1)在Rt △BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan ∠BDC=63，∴23 CD .∴CD= 6.∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2=10.3.已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°,AB ＝BC ＝26,tan ∠CDE ＝32.求对角线BD 的长和△ABD 的面积.【答案】（1）（2）45【解析】过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒,AB BC ==，∴6BF AF CF ===90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴FBE CDE∠=∠∴2tan tan 3FBE CDE ∠=∠=即23EF BF =∴4EF =∴2,3EC CD ==∴BE ===DE ===∴BD BE DE =+=(2)114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅=4.已知：如图，正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，联结CE.求cos ∠ACE 和tan ∠ACE 的值.【答案】1013【解析】过点E 作AC EF ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC D BAD ,90︒=∠=∠平分BAD ∠，DC AD =．∴︒=∠45CAD ，AD AC 2=．∵E 是AD 中点，∴AD DE AE 21==．设x DE AE ==，则x DC AD 2==，x AC 22=，x CE 5=．在Rt △AEF 中，x CAD AE EF 22sin =∠⋅=，x EF AF 22==．∴x x x AF AC CF 2232222=-=-=．∴101035223cos ===∠x xCE CF ACE ，3122322tan ===∠x xCF EF ACE ．5.如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值.【答案】（1）见解析（2）35【解析】（1）∵DE ∥AC ，CE ∥BD∴四边形OCED 是平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC BD⊥90DOC ∠=o∴四边形OCED 是矩形（2）∵四边形ABCD 是菱形，BD =8∴12OD BD ==4，OC=OA ，AD=CD ∵AD =5，由勾股定理得OC =3∵四边形OCED 是矩形∴DE=OC=3，在Rt △DEC 中，sin DCE ∠=35DE DC =6.已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33+CD =3（1）求tan ∠ABD 的值；（2）求AD 的长.【答案】（1）1（213【解析】(1)作DE BC ⊥于点E .∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =3，∴3, 3.CE DE ==∵BC =33+∴333 3.BE BC CE =-=+∴ 3.DE BE ==∴在Rt △BDE 中，∠EDB =∠EBD =45º.∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º.∴tan ∠ABD =1.(2)作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º,AB =1，2BF AF ∴==∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==，∴BD =∴22DF BD BF =-=-=∴在Rt △AFD中，AD ==7.如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点、F 为AC 的中点，过点C 作CE //AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．（2）若EF =22，︒=∠︒=∠4530AED FCD ，，求DC 的长．【答案】（1）见解析（2）2+32【解析】（1）证明：∵CE //AB ，∴∠DAF =∠ECF ．∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ．在△DAF 和△ECF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，CFE AFD CF AF ECF DAF ∴△DAF ≌△ECF ．∴AD =CE ．∵CE //AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．（2）作FH ⊥DC 于点H ．∵四边形ADCE 为平行四边形．∴AE //DC ，DF =EF =22，∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF =22，∠FDC=45°，∴sin ∠FDC=22=DF FH ，得FH =2，tan ∠FDC=1=HDHF ，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH =2，∠FCD=30°，∴FC =4．由勾股定理，得HC =32．∴DC=DH+HC=2+32．8.如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．【答案】（1）见解析（2）7210【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°，∴∠DAE=45°．AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠= ．。
专题二 解答题重难点题 三角形、四边形中的证明与计算
类型三 特殊四边形中有关的证明与计算
【例 3】(2017· 福建)如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，P，E 分 别是线段 AC，BC 上的点，且四边形 PEFD 为矩形． (1)若△PCD 是等腰三角形，求 AP 的长； (2)若 AP＝ 2，求 CF 的长．
【分析】(1)先求出 AC， 再分三种情况讨论计算即可得出结论； (2)先判 1 1 断出 OC＝ ED， OC＝ PF， 进而得出 OC＝OP＝OF， 即可得出∠OCF 2 2 ＝∠OFC， ∠OCP＝∠OPC， 最后判断出△ADP∽△CDF， 得出比例式 即可得出结论．
数学
专题二 解答题重难点题型
三角形、四边形中的证明与计算
类型一 与三角形全等有关的证明与计算
【例 1】(2017· 温州 ) 如图 ， 在五边形 ABCDE 中 ， ∠ BCD ＝∠ EDC ＝ 90°，BC＝ED，AC＝AD. (1)求证：△ABC≌△AED； (2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC， AD AE 3 ∴ ＝ ＝， AB AC 5 又由(1)知△AEF∽△ACG， AF AE AF 3 ∴ ＝ ，即 ＝ . AG AC AG 5
【对应训练】 1．(2017·东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝
2，点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使
类型二 与三角形相似有关的证明与计算
【例 2】(2017· 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF (2)若 AD＝3，AB＝5，求 的值． AG
2014年中考数学二轮精品复习试卷(四边形)含答案解析
2014年中考数学二轮精品复习试卷：四边形1、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC2、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．803、正六边形的边心距与边长之比为A．B．C．1：2 D．4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为A．78°B．75°C．60°D．45°6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A．B．C．D．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为【】A．B．C．D．128、如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为【】A．14 B．15 C．16 D．179、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为【】A．1 B．2 C．3 D．410、下列命题中是假命题的是【】A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为A．B．C．4 D．812、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为A．cm2B．cm2 C．cm2D．cm213、下列命题中的真命题是A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形14、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有A．1个B．2个C．3个D．4个15、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为【】A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm17、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【】个．A．2 B．3 C．4 D．518、顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【】A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形19、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=A．B．C．2 D．120、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。
中考总复习：四边形的有关计算与证明分类汇编
滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明1．(·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴DF ∥BE.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形．∴BD ∥EF.(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG.∴DG CG ＝DF CE. ∴CE ＝DF·CG DG ＝4×32＝6.2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD.∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°.又∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB.∴DE ∥AC.∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，AD ＝CD ＝5.又∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8.∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18.3．(2016·台州)如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H.(1)求证：△PHC ≌△CFP ；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.又∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC.∴∠CPF ＝∠HCP ，∠CPH ＝∠PCF.∵PC ＝PC ，∴△PHC ≌△CFP(ASA)．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°.∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．S 矩形PEDH ＝S 矩形PFBG .4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)．∴CP ＝AQ.(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°， ∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形．∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE.∴PE ＝2BP ＝ 2.∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝3 2. ∴AQ ＝AE ＝3.∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ＝3，∴BC ＝BP ＋CP ＝1＋3＝4.∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝2×4＝8.5．(2016·毕节)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△AEC ≌△ADB ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE.∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB.在△AEC 和△ADB 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS)．(2)∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°.由(1)得，AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝2AB ＝2 2.∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2.∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．准备一张矩形纸片ABCD ，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD.由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝FB.∴四边形BFDE 是平行四边形．(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S △ABE ＝12AB·AE ＝233， S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3.∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝OC ，△ABC 是等腰直角三角形．在△ACF 中，AC ＝CF ，CF 平分∠ACF ，∴AE ＝EF.∴EO 为△AFC 的中位线．∴CF ＝2EO ＝2 2.∴AC ＝2 2.∴AB ＝AC 2＝2. (2)EM ＝12CN. 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF.∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°.∵∠ANE ＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN.在△ABF 和△CBN 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BCN ，AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，∴△ABF ≌△CBN(ASA)．∴AF ＝CN.∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∴∠ABF ＝∠COM ＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.。
中考数学专题复习 与三角形、四边形有关的计算与证明
专题五 与三角形、四边形有关的计算与证明
上一页 返回首页 下一页
专题解读：与三角形和四边形有关的计算和证明是每年必考内容，经 常与尺规作图、图形的简单变换、函数等结合考查．主要考查内容为：(1) 求角度、线段长度、图形周长或面积、锐角三角函数值等；(2)证明线段平 行、垂直、相等、三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形等；(3) 判断线段和角之间的数量关系．常用到三角形内角和定理、三角形全等的 判定和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行 四边形的判定和性质、特殊四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知 识．
上一页 返回首页 下一页
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，且∠ADE＝∠EAD.
(1)求证：DE∥AB；
上一页 返回首页 下一页
证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD. 又∵∠ADE＝∠EAD， ∴∠BAD＝∠ADE. ∴DE∥AB.
上一页 返回首页 下一页
上一页 返回首页 下一页
(2)若 AC＝12，AB＝16，求菱形 ADCF 的面积． 解：设 AF 到 CD 的距离为 h，则 S 菱形 ADCF＝CD·h. ∵CD＝BD＝12BC， ∴S 菱形 ADCF＝12BC·h. 又∵BC·h＝2S△ABC， ∴S 菱形 ADCF＝S△ABC. ∵S△ABC＝12AB·AC＝12×12×16＝96. ∴S 菱形 ADCF＝96.
上一页 返回首页 下一页
(2)若 DE＝6，BC＝16，求△FCD 的面积． 解：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵BC＝16，点 D 是 BC 的中点，∴CD＝BD＝8. ∵AD＝AC，AH⊥DC，∴DH＝CH＝4.∴BH＝12. ∵ED∥AH，∴ADHE＝BBHD，∴A6H＝182.∴AH＝9. ∵△ABC∽△FCD，∴SS△△FACBDC＝CBDC2.∴S△FCD＝14S△ABC＝18.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题
一、矩形的学习
例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，
使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为.
例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
相应练习一
1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC △ECD；
（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．
2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F .
（1）求证：△ABE ≌△FCE .
（2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形.
3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD
4.5=,︒=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？
二、菱 形 的 学 习
例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式
'A
例题4.（2013云南省，22 ，7分）(本小题 7分）如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相
交于点M ,与BD 相较于点O ，与BC 相较于N ，连接MN DN ，。
(1)求证：四边形BMDN 是菱形；
(2) 若 4 , 8 ,AB AD ==求MD 的长。
相应练习二 4.. (2013山东省聊城，19，8分）矩形ABCD 对角线相交与
O ，DE //AC ，CE //BD .
求证：四边形OCED 是菱形.
5. （2013·湖北省恩施市，题号12 分值 3）如图5，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A =120°，则阴影部分的面积是（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2
三、课后巩固
1.（2013山东泰安，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点E、O，连接CE，则CE的长为（）
A. 3
B.3.5
C.2.5
D.2.8
2（2011山东省潍坊市，题号22，分值10）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC与M，交BD于E，过C作CN⊥ＡＤ于Ｎ，交ＢＤ于Ｆ，连结AF、CE.
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值。
3.（2013浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.
4.（2013北京，19，5）如图，在四边形ABCD中，对角线AC BD
，交于点E，
，，，
∠=︒∠=︒∠=︒=
904530
BAC CED DCE DE
BE=CD的长和四边形ABCD的面积．。