四边形的证明与计算
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)
九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。
特殊的四边形有关的计算与证明.doc
特殊的四边形有关的计算与证明：学习目标：1．掌握矩形，菱形，正方形的判定及性质；2．综合运用菱形，矩形知识解决实际问题能力；热身训练 1. . 如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝，D B=6 ㎝，D H⊥AB与H. 求D H的长.DCAOHBA模拟练习2．（2017 海淀一模）如图，在□ABCD中，过D点A作AE ⊥BCF 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF ．（1）求证：四边形ABCD是菱形；B CE（2）若EAF 60°，CF 2，求AF 的长．3．如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF//AB，与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形.拓展提高：4.（西城2017 一模）如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，过点 A 作AE∥BD，交CD 的延长线于点E，过点 E 作EF⊥BC，交BC 延长线于点 F.（1）求证：四边形ABCD 是菱形；E （2）若∠ABC=45°，BC= 2，求EF 的长.A DB FC1. 如图，已知AD平分∠BAC，DE// AC ，DF// AB ，试说明EF与AD互相垂直平分AEFB CD2. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点 E 是AD 的中点；过点 A 作AF∥BC 交A FBE 的延长线于F，连接CF．E （1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；D C（2）填空：B①如果AB =AC，四边形ADCF 是形；②如果∠BAC =90°，四边形ADCF 是形；．3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动，同时点Q 从点B 出发向点 C 运动，点P、Q 的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．。
2024年云南省中考数学一轮复习 专题五 四边形的证明与计算课件
四边形的证明与计算
平行四边形的证明与计算
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(1)证明:如图所示,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,
为t s.
(1)若PE⊥BC,求BQ的长.
解:(1)作 AM⊥BC 于点 M,设 AC 交 PE 于点 N.如图所示:
∵∠BAC=90°,∠B=45°,
∴∠C=45°=∠B.∴AB=AC.∴BM=CM.
∴AM= BC=5.∵AD∥BC,∴∠PAN=∠C=45°.
∵PE⊥BC,∴PE=AM=5,PE⊥AD.
CE= - = - =8,
∴BE=BC-CE=2,
即 m=2.
(2)如图(2)所示,点F在CD边上,沿EF再次折叠纸片,使点C的对应点C′
在直线EB′上,求DF的最小值.
解:(2)由折叠,知∠AEB=∠AEB′,∠CEF=∠C′EF,
∴∠AEF= (∠BEB′+∠CEC′)= ×180°=90°.
交于点O,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC.
∵CE=BC,∴AD=CE,AD∥CE.∴四边形ACED是平行四边形.
∵AB=DC,AE=AB,∴AE=DC.
∴四边形ACED是矩形.
(2)若∠AOD=120°,AC=4,求对角线CD的长.
= ,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL).∴EG=BE=3.同理,GF=DF=x,
特殊四边形的证明与计算
特殊四边形的证明与计算1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED .(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：四边形ADEF 是平行四边形．第1题图证明：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°，由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°.在△BCE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60°CE ＝CD， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)；(2)∵△BCE ≌△ACD ，∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ，∵△BEF 是等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴AD＝EF，∵△ABC与△BEF均是等边三角形，∴∠BCE＝∠BEF＝60°，∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF，∴∠CBE＝∠AEF，∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．第2题图(1)证明：如解图，延长CE交AB于点G，第2题解图∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠GAE ＝∠CAE ，在△AGE 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE∠AEG ＝∠AEC， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)，∴GE ＝EC .∵点D 是边BC 的中点，∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线，∴DE ∥BF .又∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形；(2)解：BF ＝12(AB －AC )．理由如下：由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形，∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ，∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．3．如图，已知边长为22的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，当x为何值时，S的值最小，求出最小值．第3题图(1)证明：如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，第3题解图①∴∠MEN＝90°，∴∠MEF＋∠FEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＋∠FEN＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ，在△DEN 和△FEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DNE ＝∠FME ＝90°EN ＝EM∠DEN ＝∠FEM， ∴△DEN ≌△FEM (ASA)，∴DE ＝EF ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；(2)解：∵在正方形ABCD 中，AB ＝22，∴AC ＝4，∠DAE ＝45°，如解图②，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，第3题解图②∵AE ＝x (0<x <4)，∴AH ＝EH ＝22x ，在Rt △DHE 中，DH ＝AD －AH ＝22－22x ，EH ＝22x ，根据勾股定理得，DE2＝DH2＋EH2＝(22－22x)2＋(22x)2＝x2－4x＋8，∵四边形DEFG为正方形，∴S＝DE2＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4，∴当x＝2时，S有最小值，即为4.4.如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB ＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．第4题图(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝90°＋∠ACB＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF ＝CD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABF ＝∠ACD BF ＝CD，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AD ＝AF ；(2)解：四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝90°，∴∠ABN ＝90°，由(1)知△ABF ≌△ACD ，∴∠F AB ＝∠CAD ，∴∠F AB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∵∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，∵AB ＝AC ＝AE ，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)．∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°，∵∠EAB＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB 的中点，F是AC延长线上的一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论．(请先补全图形，再解答)第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC.∴AC＝BC，AC⊥BC，如解图，连接CE，第5题解图∵E为AB的中点，∴AE ＝EC ，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，∴∠DAE ＝∠ECF ＝135°，又∵∠AED ＋∠CED ＝∠CEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF (ASA)，∴ED ＝EF ；(2)解：补全图形如解图，四边形ACPE 是平行四边形；证明：∵由(1)得△AED ≌△CEF ，∴AD ＝CF ，∴AC ＝CF ，又∵CP ∥AE ，∴CP 为△F AB 的中位线，∴CP ＝12AB ＝AE ，∵CP ∥AE ，∴四边形ACPE 是平行四边形．6．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE 、FG 相交于点H .(1)判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．第6题图(1)解：FG⊥DE.理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠GFE＋∠DEB＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥DE；(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG 是正方形．7．如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，AD ＝1.将△BCD 沿射线BD 方向平移到△B ′C ′D ′的位置，使B ′为BD 中点，连接AB ′，C ′D ，AD ′，BC ′.如图②.(1)求证：四边形AB ′C ′D 是菱形； (2)四边形ABC ′D ′的周长为________．第7题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC .由平移性质可知AD ∥B ′C ′，AD ＝B ′C ′， ∴四边形AB ′C ′D 为平行四边形， ∵∠DAB ＝90°，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD . ∵B ′为BD 中点， ∴AB ′＝12BD ， ∴AD ＝AB ′，∴四边形AB ′C ′D 是菱形；(2)解：4 3.【解法提示】如解图，连接AC′交B′D于点O，第7题解图∵四边形AB′C′D是菱形，∴AC′⊥BD′，OA＝OC′，OD＝OB′，又∵BD＝B′D′，∴BB′＝DD′，∴OB＝OD′，∴四边形ABC′D′是菱形，∴tan∠ABD＝tan30°＝33＝ADAB＝1AB，得AB＝3，∴四边形ABC′D′的周长是4 3.8.边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P 与A、C不重合)．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝38BC；(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．第8题图(1)证明：由题意知BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°， 在正方形ABCD 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠PBQ －∠PBC ，即∠ABP ＝∠CBQ ， 在△ABP 和△CBQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABP ＝∠CBQ BP ＝BQ， ∴△ABP ≌△CBQ (SAS)， ∴CQ ＝AP ；(2)解：在正方形ABCD 中，AC 为对角线， ∴∠BAP ＝∠PCE ＝45°，由旋转可知△PBQ 为等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠PQB ＝45°，在△ABP 中，∠BPC ＝∠BAP ＋∠ABP ＝45°＋∠ABP ， 又∵∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPE ＝45°＋∠CPE ，∴∠ABP ＝∠CPE ， 又∵∠BAP ＝∠PCE ， ∴△BAP ∽△PCE ， ∴AB CP ＝AP CE ，在等腰直角△ABC 中，AB ＝22， ∴AC ＝4，又∵AP ＝x ，CE ＝y ，∴CP ＝4－x ， ∴224－x＝x y ，即y ＝－24x 2＋2x ，(0<x <4) 当CE ＝38BC 时，即CE ＝y ＝38×22＝324， ∴324＝－24x 2＋2x ， 解得x 1＝1，x 2＝3，∴y ＝－24x 2＋2x (0<x <4)，当x ＝1或3时，CE ＝38BC ； (3)解：猜想：PF ＝EQ .证明：①当点F 在线段AD 上时，如解图①，在CE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，则∠QEH ＝∠QHE ，第8题解图①在正方形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴∠DFE ＝∠QEH ， ∴∠DFE ＝∠QHE ， ∴∠AFP ＝∠CHQ ，由(1)知△ABP ≌△CBQ ，AP ＝CQ ，∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， ∴∠F AP ＝∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， 在△AFP 和△CHQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AP ＝∠HCQ ∠AFP ＝∠CHQ AP ＝CQ， ∴△AFP ≌△CHQ (AAS)， ∴PF ＝HQ ， 又∵HQ ＝EQ ， ∴PF ＝EQ ；②当点F 在线段AD 延长线上时，如解图②，在BE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，第8题解图②同理可证△AFP ≌△CHQ (AAS)，得FP ＝HQ ＝EQ.9．如图，在△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG 沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE 和DF相交于点C.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．第9题图(1)证明：∵△AEB由△AEG翻折得到，∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，∵△AFD由△AFG翻折得到，∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠F AG，AD＝AG，∵∠EAG＋∠F AG＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AG＝AD，∴四边形ABCD是正方形；(2)解：MN 2＝ND 2＋DH 2， 理由：如解图，连接NH ，第9题解图∵△ADH 由△ABM 旋转得到， ∴△ABM ≌△ADH ，∴AM ＝AH ，∠BAM ＝∠DAH ，∠ADH ＝∠ABM ＝45°，∴∠HAN ＝∠DAH ＋∠DAN ＝∠BAM ＋∠DAN ＝∠EAG ＋∠F AG ＝∠EAF ，∵在△AMN 和△AHN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ∠MAN ＝∠NAH AN ＝AN， ∴△AMN ≌△AHN (SAS)， ∴MN ＝NH ， 由(1)知∠ADB ＝45°，∴∠HDN ＝∠ADH ＋∠ADN ＝90°， ∴在Rt △DHN 中，DH 2＋DN 2＝NH 2，∴MN2＝ND2＋DH2.10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．第10题图解：(1)∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴O是线段AC的中点，∵CF＝AC，∴△ACF是等腰三角形，又∵CE平分∠ACF，∴E是AF的中点，∴EO是△ACF的中位线，∴CF＝2EO＝22，∴AC＝22，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝22×22＝2， ∴正方形ABCD 的边长为2. (2)猜想：EM ＝12CN . 证明：如解图，连接BE ，第10题解图由(1)知，E 是AF 的中点， ∴在Rt △ABF 中，EB ＝AE ＝12AF ， ∴∠ABE ＝∠BAF ，∵AC ＝CF ，CE 平分∠ACF ， ∴CE ⊥AF ，∴∠F ＋∠BCN ＝90°， 又∵∠F ＋∠BAF ＝90°， ∴∠BCN ＝∠BAF ，∵AB ＝BC ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°， ∴△ABF ≌△CBN (ASA)， ∴AF ＝CN ，∴EB ＝12AF ＝12CN ，又∵∠EBM ＝∠ABE ＋∠ABO ＝∠BAF ＋∠OBC ＝∠BCE ＋∠OBC ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ，∴EM ＝12CN .11．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD 交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，DF ，且BE 平分∠ABD .求证：四边形BFDE 是菱形；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG ＝BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG .试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；第11题图(1)证明：如解图①，第11题解图①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠FBO OD ＝OB∠EOD ＝∠BOF， ∴△DOE ≌△BOF (ASA)， ∴EO ＝OF ， ∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形； (2)解：IH ＝3FH .理由：如解图②，延长BE 到点M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ .第11题解图②如解图①，∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBO ＝∠FBO ，又∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBO ，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠FBO ＝30°， ∴∠EBF ＝60°，如解图②，由四边形BFDE 是菱形可得EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DHJ ＝∠GHF DH ＝GH∠JDH ＝∠FGH， ∴△DHJ ≌△GHF (ASA)， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝BI ，∠M ＝∠EBF ＝60°， 在△BIF 和△MJI 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BI ＝MJ ∠B ＝∠M BF ＝IM， ∴△BIF ≌△MJI (SAS)，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI＋∠BIF＝120°，∴∠MIJ＋∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴IH＝3FH.12．如图①，两个全等的等边三角形纸片ABC和DEF，其中点C和点F重合，点A、D均在直线l上，且AB⊥l，DE⊥l.如图①，保持纸片DEF不动，将△ABC沿l向右平移，直到AB与DE重合时停止，如图②，设BC与EF相交于点G，AC与DF相交于点H.(1)证明：四边形CGFH是菱形；(2)当AD＝AB时，直接写出S△AHD与S菱形CGFH的关系；第12题图(1)证明：根据平移性质可知，GF∥HC，GC∥FH，∴四边形CGFH是平行四边形，∵AB⊥l，DE⊥l，∴∠BAD＝∠EDA＝90°，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠BAC＝∠EDF＝60°，∴∠CAD＝∠FDA＝30°，∴HA＝HD，∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AC－AH＝DF－DH，∴HC＝HF，∴四边形CGFH是菱形；(2)解：S菱形CGFH＝(8－43)S△AHD.【解法提示】如解图，过点H作HM⊥AD于点M，连接GH，设AB＝AD＝6a，第12题解图∵HA＝HD，HM⊥AD，∴AM＝MD＝3a，∵∠HAM＝30°，∴HM＝33AM＝3a，AH＝2HM＝23a，∴HC ＝AC －AH ＝6a －23a ， ∵∠C ＝60°，四边形CGFH 是菱形， ∴△CGH 和△FGH 都是等边三角形，∴S 菱形CGFH ＝2S △CHG ＝2×34CH 2＝32(6a －23a )2＝(243－36)a 2， ∵S △ADH ＝12AD ·HM ＝12·6a ·3a ＝33a 2， ∴S △AHDS 菱形CGFH ＝33a 2（243－36）a 2＝18－43， 即S 菱形CGFH ＝(8－43)S △AHD .13．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED . (1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)连接AE ，若AB ＝6 cm ，BC ＝ 5 cm.求sin ∠EAD 的值．第13题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且AC 、BD 互相平分， ∴DO ＝CO .∵△COD 与△CED 关于CD 对称， ∴△COD ≌△CED ，∴CO＝CE，DO＝DE，∴CE＝CO＝DO＝DE，∴四边形OCED是菱形；(2)解：如解图，连接EO交CD于点F，延长交AB于点H.第13题解图∵四边形ABCD是矩形，AB＝6 cm，∴BC⊥CD，CD＝AB＝6 cm.∵四边形OCED是菱形，∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分，∴EF＝FO，DF＝FC＝3 cm，FO∥BC，即EH∥BC，又∵CE∥OB，∴四边形OBCE为平行四边形．又∵BC＝ 5 cm，∴EF＝FO＝12BC＝52cm.∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形FHBC是矩形，∴FH＝BC＝ 5 cm，HB＝FC＝3 cm，∴AH＝AB－HB＝3 cm，EH＝EF＋FH＝352cm.∵AB ∥CD ，EH ⊥CD ， ∴EH ⊥AB ，∴在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2＋EH 2＝32＋(352)2＝814 cm 2， ∴AE ＝92 cm ，∴sin ∠AEH ＝AH AE ＝392＝23，∵EH ∥BC ，AD ∥BC ，∴AD ∥EH ，∴∠EAD ＝∠AEH ，∴sin ∠EAD ＝sin ∠AEH ＝23. 14．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点． (1)求证：DE ＝DC ； (2)求证：AF ⊥BF ；(3)当AF ·GF ＝28时，请直接写出CE 的长．第14题图(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DCE ＝∠CEB ， ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DEC ＝∠DCE ， ∴DE ＝DC ；(2)证明：如解图，连接DF ，第14题解图∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ， ∴∠DFC ＝90°， 在矩形ABCD 中， AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12EC ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCE ， ∴△ABF ≌△DCF (SAS)，∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°，∴AF ⊥BF ；(3)解：CE ＝47.【解法提示】∵∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°， ∵EH ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BEH ＝90°， ∴∠FEH ＋∠CEB ＝90°，∵∠ABF ＝∠CEB ，∴∠BAF ＝∠FEH ， ∵∠EFG ＝∠AFE ，∴△EFG ∽△AFE ， ∴EF AF ＝GFEF ，∴EF 2＝AF ·GF ，∵AF ·GF ＝28，∴EF ＝28＝27，∴CE ＝2EF ＝47.15．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，E 是边CD 上的点，F 是DA 的延长线上的点，且CE ＝AF .将△BCE 沿BE 折叠，得到△BC ′E ，延长BC ′交AD 于点G . (1)求证：△BCE ≌△BAF ； (2)①若DG ＝1，求FG 的长；②若∠CBE ＝30°，点B 和点H 关于DF 对称，求证：四边形FHGB 是菱形．第15题图(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠F AB＝∠C＝90°，第15题解图又∵CE＝AF，∴△BCE≌△BAF(SAS)；(2)①解：如解图，连接EG，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴AD＝AB＝BC＝4，∴AG＝AD－GD＝3，在Rt△ABG中，依据勾股定理可知BG＝5.由翻折的性质可知EC′＝EC，BC′＝BC＝4，∴C′G＝BG－BC′＝1，∴C′G＝DG＝1.在Rt△C′GE和Rt△DGE中，C′G＝DG，EG＝EG，∴Rt△C′GE≌Rt△DGE(HL)，∴C′E＝DE，∴EC＝DE＝2，∴AF＝CE＝2，∴FG＝AF＋AG＝2＋3＝5；②证明：由翻折的性质可知∠C ′BE ＝∠CBE ＝30°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＝30°，∴AG ＝AB ·tan30°＝433.∵在Rt △BCE 中，∠EBC ＝30°，∴EC ＝BC ·tan30°＝433，∴AG ＝CE ，又∵CE ＝AF ，∴AF ＝AG .又∵点B 和点H 关于DF 对称，∴BH ⊥FG ，AH ＝AB .∵AF ＝AG ，AH ＝AB ，∴四边形FHGB 是平行四边形，又∵BH ⊥FG ，∴四边形FHGB 是菱形．。
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案2
DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一. 解答题1．（1）如图①, ▱ABCD的对角线AC, BD交于点O, 直线EF过点O, 分别交AD, BC于点E, F．求证: AE=CF.（2）如图②, 将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠, 点A落在点A1处, 点B落在点B1处, 设FB1交CD于点G, A1B1分别交CD, DE于点H, I．求证：EI=FG.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）. 718351分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形, 可得AD∥BC, OA=OC, 又由平行线的性质, 可得∠1=∠2, 继而利用ASA, 即可证得△AOE≌△COF, 则可证得AE=CF.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质, 易得A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 继而可证得△A1IE≌△CGF, 即可证得EI=FG．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG.（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明: （1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOE和△COF中,, ∴△AOE≌△COF（ASA）, ∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C, ∠B=∠D, 由（1）得AE=CF,由折叠的性质可得: AE=A1E, ∠A1=∠A, ∠B1=∠B,∴A1E=CF, ∠A1=∠A=∠C, ∠B1=∠B=∠D, 又∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∵∠5=∠3, ∠4=∠6, ∴∠5=∠6, 在△A1IE与△CGF中,, ∴△A1IE≌△CGF（AAS）, ∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中, 注意掌握折叠前后图形的对应关系, 注意数形结合思想的应用．2. 在△ABC中, AB=AC, 点P为△ABC所在平面内一点, 过点P分别作PE∥AC交AB于点E, PF∥AB交BC于点D, 交AC于点F. 若点P在BC边上（如图1）, 此时PD=0, 可得结论: PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）, △ABC外（如图3）时, 上述结论是否成立？若成立, 请给予证明；若不成立, PD, PE, PF与AB之间又有怎样的数量关系, 请写出你的猜想, 不需要证明．考点：平行四边形的性质. 718351专题：探究型.分析：在图2中, 因为四边形PEAF为平行四边形, 所以PE=AF, 又三角形FDC为等腰三角形, 所以FD=PF+PD=FC, 即PE+PD+PF=AC=AB, 在图3中, PE=AF可证, FD=PF﹣PD=CF, 即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解: 图2结论: PD+PE+PF=AB.证明: 过点P作MN∥BC分别交AB, AC于M, N两点,∵PE∥AC, PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC, PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE=PF, ∠EPM=∠ANM=∠C,∵AB=AC,∴∠EMP=∠B,∴∠EMP=∠EPM,∴PE=EM,∴PE+PF=AE+EM=AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD.∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.图3结论：PE+PF﹣PD=AB.图3结论: PE+PF﹣PD=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质, 难易程度适中, 读懂信息, 把握规律是解题的关键．3. 如图, △ABC是等边三角形, 点D是边BC上的一点, 以AD为边作等边△ADE, 过点C作CF∥DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图①）, 求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B.C外如图②）, 那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请给出证明；若不成立, 请说明理由.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质. 718351专题：证明题.分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形, D是BC的中点, ED∥CF, 求证△ABD≌△CAF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC, 结合∠ACB=60°, 得出∠ACF=∠BAD, 求证△ABD≌△CAF, 得出ED=CF, 进而求证四边形EDCF是平行四边形, 即可证明EF=DC．（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC.（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明: ∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点,∴AD⊥BC, 且∠BAD= ∠BAC=30°,∵△AED是等边三角形,∴AD=AE, ∠ADE=60°,∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°, ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,∴∠ACF=∠BAD=30°, 在△ABD和△CAF中,，∴△ABD≌△CAF（ASA）, ∴AD=CF, ∵AD=ED,∴ED=CF, 又∵ED∥CF, ∴四边形EDCF是平行四边形, ∴EF=CD．（2）解: △AEF和△ABC的面积比为: 1: 4；（3）解: 成立.理由如下: ∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF, ∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA,在△ABD和△CAF中,∴△ABD≌△CAF（AAS）,∴AD=FC,∵AD=ED,∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=DC.∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多, 综合性较强, 难度较大．4. 如图, 在菱形ABCD中, AB=10, ∠BAD=60度. 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）.（1）点N为BC边上任意一点, 在点M移动过程中, 线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 在什么时刻, 梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动, 过点M作MP∥AB, 交BC于点P．当△MPN≌△ABC时, 设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S, 求出用t表示S的关系式, 井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质. 718351专题：压轴题.分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分, 那么分成的两个梯形的面积相等, 而两个梯形的高相等, 只需上下底的和相等即可.（2）易得菱形的高, 那么用t表示出梯形的面积, 用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半, 求得不重合部分的面积, 让菱形面积的一半减去即可．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解: （1）设: BN=a, CN=10﹣a（0≤a≤10）因为, 点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动, 点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以, AM=1×t=t（0≤t≤10）, MD=10﹣t（0≤t≤10）.所以, 梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,即t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）所以, 当t+a=10, （0≤t≤10）, （0≤a≤10）时, 可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动, 设点N移动的时间为t, 可知0≤t≤5,因为AB=10, ∠BAD=60°, 所以菱形高=5 ,AM=1×t=t, BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5 ×= t（0≤t≤5）.所以当t=5时, 梯形ABNM的面积最大, 其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时,则△ABC的面积=△MPN的面积, 则△MPN的面积为菱形面积的一半为25 ；因为要全等必有MN∥AC,∴N在C点外, 所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25 ﹣,当S=0时, 即PM在CD上,∴a=2.∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质, 注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5. 如图, 在下列矩形ABCD中, 已知: AB=a, BC=b（a＜b）, 假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形, 现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题:命题（Ⅰ）: 图①中, 若AH=BG=AB, 则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）: 图②中, 若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点, 则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中, 若EF垂直平分对角线AC, 变BC于点E, 交AD于点F, 交AC于点O, 则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题:（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个, 并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的, 但不全等的内接菱形）.（3）试探究比较图①, ②, ③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理. 718351分析：（1）①先证明是平行四边形, 再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形, 再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线, 在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交, 连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积, 根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系, 分a＞2b, a=2b和a＜2b三种情况讨论．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论.（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解: （1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下:∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∵AH=BG,∴四边形ABGH是平行四边形,∴AB=HG,∴AB=HG=AH=BG,∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ）, 证明如下:∵矩形ABCD,∴AB=CD, AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵E、F、G、H是中点,∴AE=BE=CG=DG, AH=HD=BF=FC,∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ）, 证明如下∵EF垂直平分AC,∴FA=FC, EA=EC,又∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,在△AOF和△COE中,，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE,∴AF=FC=CE=EA,∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示: AH=CF, EG垂直平分对角线FH, 四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ,SEFGH= ab,S菱形AECF= ,∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞SABGH.∵﹣ab= = = ＞0,∴S菱形AECF＞SEFGH.∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b, 即0＜b＜2a时, S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a= b, 即b=2a时, S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b, 即b＞a时, S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述:当O＜b＜2a时, SEFGH＜SABGH＜S菱形AECF.当b=2a时, SEFGH=SABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时SABGH＜SEFGH＜S菱形AECF.点评：本题主要考查了菱形的判定与性质, 三角形中位线定理, 全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论, 以防错解．6. 在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线交直线BC于点E, 交直线DC的延长线于点F, 以EC.CF为邻边作平行四边形ECFG.（1）如图1, 证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2, 若∠ABC=90°, M是EF的中点, 求∠BDM的度数；（3）如图3, 若∠ABC=120°, 请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质. 718351分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC, AB∥CD, 再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE, 根据等角对等边可得CE=CF, 再有条件四边形ECFG是平行四边形, 可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形, 再证明△BME≌△DMC可得DM=BM, ∠DMC=∠BME, 再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC, 求证四边形CEGF是平行四边形, 再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB, 求证△BEG≌△DCG, 然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形. 由AD ∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.（3）分别连接GB.GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解: （1）证明: ∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF, ∠BAF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,又∵四边形ECFG是平行四边形,∴四边形ECFG为菱形.（2）如图, 连接BM, MC,∵∠ABC=90°, 四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,又由（1）可知四边形ECFG为菱形,∠ECF=90°,∴四边形ECFG为正方形.∵∠BAF=∠DAF,∴BE=AB=DC,∵M为EF中点,∴∠CEM=∠ECM=45°,∴∠BEM=∠DCM=135°,在△BME和△DMC中,∵，∴△BME≌△DMC（SAS）,∴MB=MD,∠DMC=∠BME.∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形,∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°,延长AB.FG交于H, 连接HD.∵AD∥GF, AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形,∵∠ABC=120°, AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°, ∠ADC=120°, ∠DFA=30°,∴△DAF为等腰三角形,∴AD=DF,∴平行四边形AHFD为菱形,∴△ADH, △DHF为全等的等边三角形,∴DH=DF, ∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE, CE=CF, CF=BH,∴BH=GF,在△BHD与△GFD中,∵，∴△BHD≌△GFD（SAS）,∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.点评：此题主要考查平行四边形的判定方法, 全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质, 菱形的判定与性质等知识点, 应用时要认真领会它们之间的联系与区别, 同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7. 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 若点D在线段BC上, 以AD为边长作正方形ADEF, 如图1, 易证: ∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上, 其他条件不变, 写出∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系, 并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上, 其他条件不变, 直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351专题：几何综合题.分析：（1）∠AFC.∠ACB.∠DAC的关系为: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, 理由为: 由四边形ADEF为正方形, 得到AD=AF, 且∠FAD为直角, 得到∠BAC=∠FAD, 等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF, 再由AB=AC, AD=AF, 利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等, 根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 又∠ACB为三角形ACD的外角, 利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC, 变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°, 可以根据∠DAF=∠BAC=90°, 等号两边都减去∠BAF, 可得出∠DAB=∠FAC, 再由AD=AF, AB=AC, 利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等, 由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 根据三角形ADC的内角和为180°, 等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC 的内角和为180°，等量代换可得证.（2）∠AFC、∠ACB.∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC.∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解: （1）关系: ∠AFC=∠ACB﹣∠DAC, …（2分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴AD=AF, ∠FAD=90°,∵∠BAC=90°, ∠FAD=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD, 即∠BAD=∠CAF, …（3分）在△ABD和△ACF中,，∴△ABD≌△ACF（SAS）, …（4分）∴∠AFC=∠ADB,∵∠ACB是△ACD的一个外角,∴∠ACB=∠ADB+∠DAC, …（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC,∵∠ADB=∠AFC,∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC.∠ACB.∠DAC满足的关系式为: ∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°, …（8分）证明: ∵四边形ADEF为正方形,∴∠DAF=90°, AD=AF,又∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF, 即∠DAB=∠FAC,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF（SAS）,∴∠ADB=∠AFC,在△ADC中, ∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°,则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°.则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定与性质, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角性质, 熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8. 已知四边形ABCD是正方形, O为正方形对角线的交点, 一动点P从B开始, 沿射线BC运动, 连接DP, 作CN⊥DP于点M, 且交直线AB于点N, 连接OP, ON. （当P在线段BC上时, 如图1: 当P在BC的延长线上时, 如图2）（1）请从图1, 图2中任选一图证明下面结论: ①BN=CP；②OP=ON, 且OP⊥ON；（2）设AB=4, BP=x, 试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质. 718351专题：代数几何综合题.分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC, ∠DCB=∠CBN=90°, 求出∠CPD=∠DCN=∠CNB, 证△DCP ≌△CBN, 求出CP=BN, 证△OBN≌△OCP, 推出ON=OP, ∠BON=∠COP, 求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时, OP=ON, OP⊥ON, 图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP, 代入求出即可；图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN, 代入求出即可．（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可.（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明: 如图1,∵正方形ABCD,∴OC=OB, DC=BC, ∠DCB=∠CBA=90°, ∠OCB=∠OBA=45°, ∠DOC=90°, DC∥AB,∵DP⊥CN,∴∠CMD=∠DOC=90°,∴∠BCN+∠CPD=90°, ∠PCN+∠DCN=90°,∴∠CPD=∠CNB,∵DC∥AB,∴∠DCN=∠CNB=∠CPD,∵在△DCP和△CBN中∴△DCP≌△CBN,∴CP=BN,∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP,∴ON=OP, ∠BON=∠COP,∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠NOP=∠BOC=90°,∴ON⊥OP,即ON=OP, ON⊥OP．（2）解: ∵AB=4, 四边形ABCD是正方形,∴O到BC边的距离是2,图1中, S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,= ×（4﹣x）×2+ ×x×2,=4（0＜x＜4）,图2中, S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x= x2﹣x（x＞4）,即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：.即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: ．即以O、P、B.N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质, 全等三角形的性质和判定, 分段函数等知识点的应用, 解（1）小题的关键是能运用性质进行推理, 解（2）的关键是求出符合条件的所有情况, 本题具有一定的代表性, 是一道比较好的题目, 注意：证明过程类似．9. 如图, 四边形ABCD是正方形, 点E, K分别在BC, AB上, 点G在BA的延长线上, 且CE=BK=AG. （1）求证: ①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图: 以线段DE, DG为边作出正方形DEFG（要求: 只保留作图痕迹, 不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF, 猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形, 并证明你的猜想:（4）当时, 请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图. 718351分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等, 再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F, 得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形, 然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值.（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA, ∠DCE=∠DAG=90°.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA,又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG.（2）解: 如图.（3）解: 四边形CEFK为平行四边形.证明: 设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,∴AB∥CD, AB=CD, EF=DG, EF∥DG,∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD是平行四边形,∴CK=DG=EF, CK∥DG,∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CEFK为平行四边形.（4）解: ∵,∴设CE=x, CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2,点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图, 解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论, 此题较复杂．10. 如图, 点P是正方形ABCD对角线AC上一动点, 点E在射线BC上, 且PB=PE, 连接PD, O为AC中点. （1）如图1, 当点P在线段AO上时, 试猜想PE与PD的数量关系和位置关系, 不用说明理由；（2）如图2, 当点P在线段OC上时, （1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3, 当点P在AC的延长线上时, 请你在图3中画出相应的图形（尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法）, 并判断（1）中的猜想是否成立？若成立, 请直接写出结论；若不成立, 请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 718351分析：（1）根据点P在线段AO上时, 利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD, PE=PD；（2）利用三角形全等得出, BP=PD, 由PB=PE, 得出PE=PD, 要证PE⊥PD；从三方面分析, 当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时, 当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 当点E在BC的延长线上时, 分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上, 利用垂直平分线的性质只要以P为圆心, PB为半径画弧即可得出E点位置, 利用（2）中证明思路即可得出答案．（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案.（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解: （1）当点P在线段AO上时,在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PB=PE,∴PE=PD,过点P做PM⊥CD, 于点M, 作PN⊥BC, 于点N,∵PB=PE, PN⊥BE,∴DM=NE,在Rt△PNE与Rt△PMD中,∵PD=PE, NE=DM,∴Rt△PNE≌Rt△PMD,∴∠DPM=∠EPN,∵∠MPN=90°,∴∠DPE=90°,故PE⊥PD,PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD, PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形, AC为对角线,∴BA=DA, ∠BAP=∠DAP=45°,∵PA=PA,∴△BAP≌△DAP（SAS）,∴PB=PD,又∵PB=PE,∴PE=PD.（i）当点E与点C重合时, 点P恰好在AC中点处, 此时, PE⊥PD.（ii）当点E在BC的延长线上时, 如图．∵△ADP≌△ABP,∴∠ABP=∠ADP,∴∠CDP=∠CBP,∵BP=PE,∴∠CBP=∠PEC,∴∠PEC=∠PDC,∵∠1=∠2,∴∠DPE=∠DCE=90°,∴PE⊥PD.综合（i）（ii）, PE⊥PD；（3）同理即可得出: PE⊥PD, PD=PE.点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识, 此题涉及到分类讨论思想, 这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练:1．如图, 矩形ABCD的对角线交于点O, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 连接AF, CE．（1）求证: 四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G, 则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质. 718351专题：证明题；几何综合题；探究型.分析：（1）根据矩形的性质可知: AB=CD, ∠ABE=∠CDF, ∠AEB=∠CFD=90°, 得到△ABE≌△CDF, 所以AE∥CF, AE=CF, 可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG, 得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD, 得到∠BAG=∠DAG, 从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G, 可得△CAG是等腰三角形．（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE. 利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO. 所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形.（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明: ∵矩形ABCD,∴AB∥CD, AB=CD.∴∠ABE=∠CDF, 又∠AEB=∠CFD=90°,∴AE∥CF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∴四边形AECF为平行四边形.（2）解: △ACG是等腰三角形.理由如下: ∵AE∥FG,∴∠G=∠GAE.∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG.又OA= AC= BD=OD,∴∠ODA=∠DAO.∵∠BAE与∠ABE互余, ∠ADB与∠ABD互余,∴∠BAE=∠ADE.∴∠BAE=∠DAO,∴∠EAG=∠CAG, ∴∠CAG=∠G,∴△CAG是等腰三角形.∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定, 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件．2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, E, F分别是BC, AC的中点, 延长BA到点D, 使AD= AB. 连接DE, DF. （1）求证: AF与DE互相平分；（2）若BC=4, 求DF的长．考点：平行四边形的判定. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）连接EF、AE, 证四边形AEFD是平行四边形即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可.（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质: 平行四边形的对边相等，求得AE长即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明: 连接EF, AE.∵点E, F分别为BC, AC的中点,∴EF∥AB, EF= AB.又∵AD= AB,∴EF=AD.又∵EF∥AD,∴四边形AEFD是平行四边形.∴AF与DE互相平分.（2）解: 在Rt△ABC中,∵E为BC的中点, BC=4,∴AE= BC=2.又∵四边形AEFD是平行四边形,∴DF=AE=2.点评：本题考查了平行四边形的判定, 有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3. 如图, 以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD.△BCE、△ACF.请回答下列问题:（1）求证: 四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定. 718351专题：证明题；探究型.分析：1.本题可根据三角形全等证得DE=AF, AD=EF, 即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形, 必须让∠FAD=90°, 则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2.要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明: （1）∵等边△ABD.△BCE、△ACF,∴DB=AB, BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA, ∠ABC=60°﹣∠EBA,∴∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△CBA. ∴DE=AC.又∵AC=AF, ∴AF=DE．同理可证: △ABC≌△FCE, 证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形.（2）假设四边形ABCD是矩形, ∵四边形ADEF是矩形, ∴∠DAF=90°.又∵等边△ABD.△BCE、△ACF, ∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°.当△ABC满足∠BAC=150°时, 四边形ADEF是矩形．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.4. 已知: 如图, 矩形ABCD中, AB=2, AD=3, E、F分别是AB.CD的中点.（1）在边AD上取一点M, 使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上. 设BM与EF相交于点N, 求证: 四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点, ∠PFB=3∠FBC, 求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质. 718351专题：计算题；证明题.分析：（1）设AG交MN于O, 由题意易得AO=GO, AG⊥MN, 要证四边形ANGM是菱形, 还需证明OM=ON, 又可证明AD∥EF∥BC. ∴MO: ON=AO: OG=1: 1, ∴MO=NO；（2）连接AF, 由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF, ∴PA=PF, ∴PA= , 求得PA= ．（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= ，求得PA= .（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明: 设AG交MN于O, 则∵A.G关于BM对称,∴AO=GO, AG⊥MN.∵E、F分别是矩形ABCD中AB.CD的中点,∴AE=BE, AE∥DF且AE=DF, AD∥EF∥BC．∴MO: ON=AO: OG=1: 1.∴MO=NO.∴AG与MN互相平分且互相垂直.∴四边形ANGM是菱形.（2）解: 连接AF,∵AD∥EF∥BC,∴∠PAF=∠AFE, ∠EFB=∠FBC.又∵EF⊥AB, AE=BE,∴AF=BF,∴∠AFE=∠EFB.∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC.∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC. ∴∠PFA=∠FBC=∠PAF.∴PA=PF.∴在Rt△PFD中, 根据勾股定理得: PA=PF= ,解得：PA= .。
四边形地证明和计算
四边形的证明和计算（一）一、以特殊平行四边形为背景图形1．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG.求证：四边形 ECGD是矩形.2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．3．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．EDABGEDB OCA4． 如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E .（1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD =时，求tan ∠EAD 的值.5．如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形； （2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值．23ODA7．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6， 求四边形OFCD 的面积．8．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．9．如图，已知点E ,F 分别是□ABCD 的边BC ,AD 上的中点，且∠BAC =90°． （1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积．DO FECABB10．如图，将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 的落点记为点D ′ ，折痕为EF ，连接CF ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）若∠B =45°，∠FCE =60°，AB=D ′F 的长．11. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿直线BD 翻折，得到△BED ． （1）画出△BED ，连接AE ；（2）求AE 的长．12. 如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠FAD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．OABCDGF OB C DEA四边形的证明和计算（二）二、以三角形为背景的图形1．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE =AF ；（2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．2．如图，点O 是△ABC 一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG .（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）如果∠OBC =45°，∠OCB =30°，OC =4，求EF 的长．3．已知，ABC △中，D 是BC 上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED ⊥AD 交AC 于点E ，BFACE D4AE =，2EC = (1)求证：AD=CD ；(2)若tan B=3，求线段AB 的长．4. 如图，△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且CA =CD ，∠ACB 的平分线交AD 于点F ，E 是AB 的中点．（1）求证：EF ∥BD ；（2）若∠ACB =60°，AC =8，BC =12，求四边形BDFE 的面积．5．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，∠ABC =30º，BC=AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD ，连接BD ．（1）求四边形ABCD 的面积；（2）求BD 的长．6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ．AB C D（1）求证: 四边形BCFD是平行四边形；（2）若BD=4，BC=6，∠F=60°，求CE的长.四边形的证明和计算（三）1．如图，点F在□ABCD的对角线AC上，过点F、 B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE=5，AD=8，21sin=∠CBE，求AC的长.2.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）如果DF=22∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．AEFDFEDCA3．如图，在ABC ∆中，M ，N 分别是边AB 、BC 的中点，E 、F 是边AC 上的三等分点，连接ME 、NF 且延长后交于点D ，连接BE 、BF （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形（2）若32AB =，︒=∠45A ，︒=∠30C ，求：四边形BFDE 的面积4．如图.在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B =90°，AG //CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG .（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）如果点G 是BC 的中点，且BC =12，DC =10，求四边形AGCD 的面积.5．如图，四边形ABCD 为矩形，DE ∥AC ，且DE =AB ，过点E 作AD 的垂线交AC 于点F ． （1）依题意补全图，并证明四边形EFCD 是菱形； （2）若AB =3，BC =33，求平行线DE 与AC 间的距离DNMBCFAEFAEGADEGF ED CBA6．如图7，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形； （2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值. 7． 如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，//CE AD 且CE AD =.（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若ABC ∆是边长为4的等边三角形，AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积。
中考二轮复习 数学 题型七 与四边形有关的证明与计算 课件
7．(2020·荆州)如图，在矩形ABCD中，AB＝20， 点E是BC边上的一点．将△ABE沿着AE折叠， 点B刚好落在CD边上点G处．点F在DG上， 将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处， 此时S△GFH∶S△AFH＝2∶3. (1)求证：△EGC∽△GFH； (2)求AD的长； (3)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF. 又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)； (2)解：当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形． 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，∴AC⊥EF. ∵DE＝BF，OB＝OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
4．(2020·云南)如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点， 点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为点E， 点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为点F. (1)若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形； (2)若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∵H 为对角线 AC 的中点，∴EH＝FH＝12 AC.∵∠CAE＝30°，
5．(2020·内江节选)如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个 动点(不与 A，C 重合)，连接 BP.将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ， 连接 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F. (1)连接 CQ，求证：CQ＝AP；
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热点 四边形的证明与计算
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ）
A ．对角线互相平分的四边形是菱形；
B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A ．
12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ）
A ．任意三角形
B ．任意四边形
C ．正五边形
D ．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．75°
6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③
7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m•取值范围是（ ）
A ．1<m<11
B ．2<m<22
C ．10<m<12
D ．5<m<6
（1） (2) (3) (4) 8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
9．如图3，ABCD 中，P 是对角线BD 上的任意一点，过点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，•则下列说法不正确的是（ ）
A ．S AEPG =S PHCF
B ．图中有3对全等三角形
≠S GHCD
C．图中共有9个平行四边形D．S
10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）
A．80° B．70° C．65° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________．
(5) (6) (7) (8)
12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．
13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．
14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________c m2．
15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2．
17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．
18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？
21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这六个圆心，得到六边形ABCDEF．
求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．
22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
积．
24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t 为何值时．
（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
答案:
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题
11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．52
三、解答题
19．证明：（1）,90D BC BD CD
DE AB DF AC BED CFD B C ⇒=⎫⎪
⊥⊥⇒∠=∠=︒⎬⎪∠=∠⎭
是的中点⇒
△BDE ≌△CDF ．
（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：
AEDF BED CFE DE DF ⎫
⇒⎬∆≅∆⇒=⎭
四边形是矩形
矩形AEDF 是正方形．
20．解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，
则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形． 21．解：（1）由多边形内角和定理知：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°． （2）S 阴影=
720360
πr 2
=2π． 22．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ．
∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．
而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ． ∴四边形AFCE 是菱形．
23．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：
△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=
1
2
BE=6． 过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD
24．解：（1）四边形OECF 的面积不变．
因为在旋转过程中，始终有△ODF≌△OCE，故S四边形OECF=S△OEC+S△OFC=S△OCD．
（2）由（1）知S四边形OECF=S△OCD=1
4
×4=1．
25．解：（1）∵PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形．而PD=24-t，CQ=3t，
∴24-t=3t，解得t=6．
当t=6时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2cm．
当CQ-PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．
即3t-（24-t）=4．∴t=7．。