人教版八年级下册特殊四边形的证明与计算专题(无答案)
人教版八年级数学下册特殊平行四边形课后练习及详解
第十九章特殊平行四边形练习题题一：以下说法中，正确的选项是( )A．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线必然相互垂直题二：如图，四边形ABCD中，AB∥CD．那么以下说法中，不正确的选项是( )A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形题三：如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H别离为AB、BC、CD、DA的中点，题四：①求证：四边形EFGH是平行四边形．题五：②探索下列问题，并选择一个进行证明．题六：a．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形E FGH是矩形．题七：b．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形EFGH是菱形．题八：c．原四边形ABCD的对角线AC、BD知足________时，四边形EFGH是正方形．题九：如下图，在△ABC中，别离以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC知足_________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC知足_________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC知足_________条件时，以D、A、E、F为极点的四边形不存在．题十：如下图，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．题十一：(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；题十二：(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？什么缘故？题十三：(3)若四边形AECF是矩形，试判定四边形ABCD是不是为矩形，没必要写理由．题十四：如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各极点别离作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH 的形状会有哪些转变？完成以下题目：题十五：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；题十六：②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH别离是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必需知足如何的条件？题十七：如图，在矩形ABCD中，M、N别离是AD、BC的中点，P、Q别离是BM、DN的中点．题十八：(1)求证：△MBA≌△NDC；题十九：(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．题二十：在折纸这种传统手工艺术中，包括许多数学思想，咱们能够通过折纸取得一些特殊图形．把一张正方形纸片依照图①～④的进程折叠后展开．(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；(2)请证明你所得到的数学猜想．题二十一：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．题二十二：(1)试说明△PCM≌△QDM；题二十三：(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．题二十四：如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D动身，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D动身，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N 同时动身，当一个点抵达终点时，另一个点也随即停止运动．题二十五：(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，通过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？题二十六：(2)动点M、N在运动的进程中，线段MN是不是通过矩形ABCD的两条对角线的交点？若是线段MN过此交点，请求出运动的时刻；若是线段MN只是此交点，请说明理由．题二十七：如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．题二十八：已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD的面积．特殊平行四边形课后练习参考答案题一：C．详解：A．对角线相互垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C．题二：C．详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；选项C的结论错误，判定结果为矩形，不必然是正方形；选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；故选C．题三：见详解．详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H别离为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EH G=90°，∴四边形EFGH是矩形．b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=12AC，EH=12BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD知足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．题四：见详解．详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为极点的四边形不存在．题五：见详解．详解：连AC，设AC、BD相交于点O，(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；(3)四边形ABCD不是矩形．题六：见详解．详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；(2)结合图形，联想特殊四边形的特点及识别很容易发觉，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．②若ABCD为矩形，那么EFGH为菱形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．∴四边形EFGH为菱形．(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必需知足：对角线相互垂直．当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必需知足：对角线相等．题七：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N别离是AD、BC的中点，∴AM=12AD，CN=12BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，那么四边形ABNM是矩形，∴AN和BM相互平分，那么A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q别离是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=12AN，∴MQ=12BM，∵MP=12BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．题八：见详解．详解：(1)四边形ABCD是菱形；(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=12∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=12∠CAN，∠DCA=∠MCD=12∠ACM，∠ACB=∠NCB=12∠ACN，∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．题九：见详解．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)÷2=，∴当PC=时，四边形ABPQ是平行四边形．题十：见详解．详解：(1)∵点N只在AD上运动，∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，即＜t＜，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右边，如图：此时AN=EM，那么四边形AEMN是平行四边形，∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，∵＜t＜，∴t =1舍去；②当M点在B点与E点之间，如图，那么MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t-11=10-t，解得t =7，现在符合，∴当t =7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；(2)动点M、N在运动的进程中，线段MN能通过矩形ABCD的两条对角线的交点，现在M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，设N运动的时刻是t秒，那么10-t=2t -5，解得：t =5，即动点M、N在运动的进程中，线段MN能通过矩形ABCD 的两条对角线的交点，现在运动的时刻是5秒．题十一：8．详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．题十二：18．详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，∴EB=AD=3，DE=AB=4，∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3，∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，∴四边形ABCD的面积是：12(AD+CB)•DE=12(3+6)×4=18．。
专题训练(四) 特殊平行四边形的证明与计算
12．(2017·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E， 75° ． F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝_____ 13 ．(2017·绍兴) 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形， 点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线 为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 4600 100 m，则小聪行走的路程为_______m.
5．(导学号 69654100)(2017· 苏州)如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60° ， AD＝8，F 是 AB 的中点．过点 F 作 FE⊥AD，垂足为点 E. 将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到△A′E′F′. 设 P，P′分别是 EF，E′F′的中点，当点 A′与点 B 重合时， 四边形 PP′CD 的面积为( A ) A．28 3 C．32 3 B．24 3 D．32 3－8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)作 AH⊥BD 于点 H，由题意知∠AGB＝60° ，∠ABG＝45° ， ∴△ABH 为等腰直角三角形，△AGH 为含 30° 角的直角三角形． 2 6 2 6 ∵AB＝1，∴AH＝BH＝ 2 ，HG＝ 6 .∴BG＝ 2 ＋ 6 .
解：(1)证明：如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE. 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.∴∠DBE＝∠ADB. ∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形． (2)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
解： (1)AG2 ＝ GE2 ＋ GF2. 证明：连接 GC ，由正方形的性质知 AD ＝ CD ，
八年级下学期-特殊平行四边形的判定与性质专题
(1)求证：四边形 ADCE 为矩形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并 给出证明．
12．(1)证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝ ∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC ＝∠CEA＝90°，∴四边形 ADCE 为矩形；
(1)求证：BF＝DE； (2)当点 E 运动到 AC 的中点时(其他条件都不变)，四边形 AFBE 是 什么特殊四边形？说明理由．
13.(1)证明：∵正方形 ABCD，∴AB＝AD，∠BAD ＝90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠EAD. 在△ADE 和△ABF 中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE ＝AF，∴△ADE≌△ABF(SAS)，∴BF＝DE；
(A ) A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
4．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，以对角线 AC 为一边作菱形
AEFC，AF 与 BC 交于点 G，则∠BCE 的度数与 BE 的长分别为( C )
A．30°，2 2－2
B．30°，2 2－1
C．22.5°，2 2－2
D．22.5°，2 2－1
(2)解：当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边形 ADCE 是一个正方形．证 明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥ BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.∵四边形 ADCE 为矩形， ∴矩形 ADCE 是正方形．
人教版八年级数学下册18.2 专题训练 特殊平行四边形的性质和判定(含答案)
18．2 专题训练特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB 的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD 的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．9．如图，在▱ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD 上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．11．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.图1 图2(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．14．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，分别延长OA，OC 到点E，F，使AE ＝CF，依次连接B，F，D，E各点．(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA＝20° 时，四边形BFDE是正方形．15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．18．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．20．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．参考答案18．2 专题训练特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB 的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．解：(1)证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AEBD是矩形．(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD.又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD.∴矩形AEBD是正方形．4．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵CF＝AE，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝CF2＋BF2＝62＋82＝10.∴AD＝BC＝10.又∵DF＝10，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA.∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.∴∠DAF＝∠FAB.∴AF是∠DAB的平分线．5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD 的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由题意，得EF＝12AC，EH＝12BD，GH＝12AC，GF＝12BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC.同理：EH∥BD，EH＝12BD，GF＝12BD，GH＝12AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．又∵AH⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)∵四边形EBFC是菱形，∴∠ECH＝∠FCH＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠CAH＝12∠BAC.∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCH.∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠FCH＋∠ACH＝∠ACF＝90°.∴AC⊥CF.7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形．证明：∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵BM＝DN，∴AB－BM＝AD－DN，即AM＝AN.∴四边形AMEN是菱形．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．解：(1)△BEC是直角三角形．理由：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.由勾股定理，得CE＝CD2＋DE2＝22＋12＝5，BE＝AB2＋AE2＝22＋（5－1）2＝2 5.∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形．∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.∴四边形AECP是平行四边形．∴AP∥CE.又∵BE∥DP，∴四边形EFPH是平行四边形．又∵∠BEC＝90°，∴四边形EFPH是矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB.∴∠CDB＝∠ABD.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠FDB＝12∠CDB，∠EBD＝12∠ABD.∴∠FDB＝∠EBD.∴DF∥EB.又∵AD∥BC，∴四边形DFBE是平行四边形．∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD.∴∠DEB＝90°.∴四边形DFBE是矩形．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD 上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．(1)求证：四边形PBQD 为平行四边形；(2)若AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度向点D 匀速运动．设点P 运动时间为t s ，问四边形PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OD ＝OB .∴∠PDO ＝∠QBO .在△POD 和△QOB 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠QBO ，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB ，∴△POD ≌△QOB (ASA)．∴OP ＝OQ .又∵OB ＝OD ，∴四边形PBQD 为平行四边形．(2)点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t )cm.当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t )cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°.在Rt △ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t )2，解得t ＝78.∴点P 运动时间为78 s 时，四边形PBQD 为菱形．11．如图1，在▱ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于点F ，CE 平分∠BCD交AD 于点E.图1 图2(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)如图2，若BE ⊥EC ，求证：四边形ABFE 是菱形．证明：(1)∵AF 平分∠BAD ，CE 平分∠BCD ，∴∠FAE ＝12∠BAE ，∠FCE ＝12∠FCD.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAE ＝∠FCD ，AD ∥BC.∴∠FAE ＝∠FCE ，∠FCE ＝∠CED.∴∠FAE ＝∠CED.∴AF ∥EC.又∵AE ∥CF ，∴四边形AFCE 为平行四边形．(2)∵AF ∥EC ，BE ⊥EC ，∴∠AOE ＝∠BEC ＝90°.∴∠AOE ＝∠AOB ＝90°.在△ABO 和△AEO 中，⎩⎨⎧∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∠AOB ＝∠AOE ，∴△ABO ≌△AEO(ASA )．∴BO ＝EO.同理可得△ABO ≌△FBO ，∴AO ＝FO.∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AF ⊥BE ，∴平行四边形ABFE 是菱形．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD .∴∠OBE ＝∠ODF .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)．∴EO ＝FO .又∵OB ＝OD .∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝13 3.∵BD＝AD2＋AB2＝213，∴OB＝12BD＝13.∵BD⊥EF，∴EO＝BE2－OB2＝213 3.∴EF＝2EO＝413 3.13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°.又∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．14．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别延长OA ，OC 到点E ，F ，使AE ＝CF ，依次连接B ，F ，D ，E 各点．(1)求证：△BAE ≌△BCF ；(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA ＝20° 时，四边形BFDE 是正方形． 证明：∵在菱形ABCD 中，BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA .∴∠BAE ＝∠BCF .在△BAE 和△BCF 中，⎩⎨⎧BA ＝BC ，∠BAE ＝∠BCF ，AE ＝CF ，∴△BAE ≌△BCF (SAS)．15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么条件时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D.又∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BE ＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )．(2)当AB 与BC 满足AB ⊥BC 时，四边形AEOF 为正方形．理由如下： ∵E ，O 分别是AB ，AC 的中点，∴EO ∥BC.又∵BC ∥AD ，∴OE ∥AD ，即OE ∥AF.同理可证OF ∥AE ，∴四边形AEOF 为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB, AD 的中点，∴AE ＝AF.∴四边形AEOF 为菱形．∵AB ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠B ＝90°.∴四边形AEOF 为正方形．16．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB≠CD ，BD ＝AC.(1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.∵AB CK ，∴四边形ABKC 是平行四边形．∴AC BK.∴∠ACD ＝∠K.∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.∴∠ACD ＝∠BDC.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS )．∴AD ＝BC.(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE.∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点，∴EH 为△ABD 的中位线．∴EH ＝12AD.同理：GF ＝12AD ，EG ＝12BC ，HF ＝12BC.又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE.∴四边形EHFG 是菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．17．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠∥∥BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC.求证：四边形ADCF 是菱形．证明：∵AF ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE.在△AFE 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠CDE ，∠AEF ＝∠CED ，AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )．∴AF ＝CD.∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∴AE ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠BAD.又∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD(SAS )．∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．18．如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．证明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD.∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.∴∠CEB＝∠CBE.(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．20．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝12∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．。
人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲
菱形的性质
性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂 直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．
例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E． 求证：∠ AFD= ∠CBE ．
例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于 E、 F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
然后再加上相
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例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 OB 上的一点， DG ⊥ AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证： OE=OF ．
O， E 是
例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、 C 两点作 l 1∥ l2，作 BM ⊥ l 1 于 M ， DN ⊥ l1 于 N ，直线 MB 、DN 分别交 l 2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .
（ 1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥ PD ； （ 2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
A
B
E
D
C
图5
例题讲解 例一 .分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形
人教版数学八年级下册专题训练：特殊平行四边形中的解题方法.doc
学校班级姓名解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1.245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3.245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52 解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52. (2)22 解析：连接BP ，过点E 作EH ⊥BC 于H .∵S △BPE ＋S △BPC ＝S △BEC ，∴BE ·PM2＋BC ·PN 2＝BC ·EH 2.又∵BE ＝BC ，∴PM 2＋PN 2＝EH 2，即PM ＋PN ＝EH .∵△BEH 为等腰直角三角形，且BE ＝BC ＝1，∴EH ＝22，∴PM ＋PN ＝EH ＝22. 4．3 25．证明：延长CB 到点H ，使得HB ＝DF ，连接AH .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABH ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∴△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABH 重合，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .∵∠HAE ＝∠HAB ＋∠BAE ＝∠DAF ＋∠BAE ＝90°－∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠HAE ＝∠EAF ＝45°.又∵AE ＝AE ，∴△AEF 与△AEH 关于直线AE 对称，∴S △AEF ＝S △AEH ＝S △ABE ＋S △ABH ＝S △ABE ＋S △ADF .6．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°.将△OCP 顺时针旋转90°至△OBE (如图所示)，∴OE ＝OP ，BE ＝CP ，∠OBE ＝∠OCP ，∠BOE ＝∠COP .∵BP ⊥CP ，∴∠BPC ＝90°.∵∠BOC ＋∠OBP ＋∠BPC ＋∠OCP ＝360°，∴∠OBP ＋∠OCP ＝180°，∴∠OBP ＋∠OBE ＝180°，∴E ，B ，P 在同一直线上．∵∠POC ＋∠POB ＝∠BOC ＝90°，∠BOE ＝∠COP ，∴∠BOE ＋∠POB ＝90°，即∠EOP ＝90°.在Rt △EOP 中，由勾股定理得PE ＝OE 2＋OP 2＝OP 2＋OP 2＝2OP .∵PE ＝BE ＋BP ，BE ＝CP ，∴BP ＋CP ＝2OP .中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
特殊四边形的计算与证明问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题14特殊四边形的计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率十年8考特殊四边形的计算与证明（大题）2013.2014.2015.2016.2017.2020.2021.2022以四边形为载体的计算与证明是北京市中考数学常考的一类解答题，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=1BC，连结DE，2CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE∠AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF∠AB，OG∠EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE∠ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC 的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在∠ABC中，∠BAC=90∘，AD∠BC，垂足为D，AE∠BC，CE∠DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt∠ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．∠依题意补全图形；∠用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC上，AB∥DE，AE 平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE∠BC，AF∠CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD∠AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF∠AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE∠BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，∠ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC 于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∠BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∠CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP 交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．BC，27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE，且AE=12连结DE．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在∠ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA∠AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在∠ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。
特殊四边形的证明与计算
特殊四边形的证明与计算1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED .(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：四边形ADEF 是平行四边形．第1题图证明：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°，由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°.在△BCE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60°CE ＝CD， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)；(2)∵△BCE ≌△ACD ，∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ，∵△BEF 是等边三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴AD＝EF，∵△ABC与△BEF均是等边三角形，∴∠BCE＝∠BEF＝60°，∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF，∴∠CBE＝∠AEF，∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．第2题图(1)证明：如解图，延长CE交AB于点G，第2题解图∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠GAE ＝∠CAE ，在△AGE 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE∠AEG ＝∠AEC， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)，∴GE ＝EC .∵点D 是边BC 的中点，∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线，∴DE ∥BF .又∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形；(2)解：BF ＝12(AB －AC )．理由如下：由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形，∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ，∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．3．如图，已知边长为22的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，当x为何值时，S的值最小，求出最小值．第3题图(1)证明：如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，第3题解图①∴∠MEN＝90°，∴∠MEF＋∠FEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＋∠FEN＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ，在△DEN 和△FEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DNE ＝∠FME ＝90°EN ＝EM∠DEN ＝∠FEM， ∴△DEN ≌△FEM (ASA)，∴DE ＝EF ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；(2)解：∵在正方形ABCD 中，AB ＝22，∴AC ＝4，∠DAE ＝45°，如解图②，过点E 作EH ⊥AD 于点H ，第3题解图②∵AE ＝x (0<x <4)，∴AH ＝EH ＝22x ，在Rt △DHE 中，DH ＝AD －AH ＝22－22x ，EH ＝22x ，根据勾股定理得，DE2＝DH2＋EH2＝(22－22x)2＋(22x)2＝x2－4x＋8，∵四边形DEFG为正方形，∴S＝DE2＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4，∴当x＝2时，S有最小值，即为4.4.如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB ＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．第4题图(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝90°＋∠ACB＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF ＝CD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABF ＝∠ACD BF ＝CD，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AD ＝AF ；(2)解：四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝90°，∴∠ABN ＝90°，由(1)知△ABF ≌△ACD ，∴∠F AB ＝∠CAD ，∴∠F AB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∵∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，∵AB ＝AC ＝AE ，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)．∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°，∵∠EAB＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB 的中点，F是AC延长线上的一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论．(请先补全图形，再解答)第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC.∴AC＝BC，AC⊥BC，如解图，连接CE，第5题解图∵E为AB的中点，∴AE ＝EC ，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，∴∠DAE ＝∠ECF ＝135°，又∵∠AED ＋∠CED ＝∠CEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF (ASA)，∴ED ＝EF ；(2)解：补全图形如解图，四边形ACPE 是平行四边形；证明：∵由(1)得△AED ≌△CEF ，∴AD ＝CF ，∴AC ＝CF ，又∵CP ∥AE ，∴CP 为△F AB 的中位线，∴CP ＝12AB ＝AE ，∵CP ∥AE ，∴四边形ACPE 是平行四边形．6．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE 、FG 相交于点H .(1)判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．第6题图(1)解：FG⊥DE.理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠GFE＋∠DEB＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥DE；(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG 是正方形．7．如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，AD ＝1.将△BCD 沿射线BD 方向平移到△B ′C ′D ′的位置，使B ′为BD 中点，连接AB ′，C ′D ，AD ′，BC ′.如图②.(1)求证：四边形AB ′C ′D 是菱形； (2)四边形ABC ′D ′的周长为________．第7题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC .由平移性质可知AD ∥B ′C ′，AD ＝B ′C ′， ∴四边形AB ′C ′D 为平行四边形， ∵∠DAB ＝90°，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD . ∵B ′为BD 中点， ∴AB ′＝12BD ， ∴AD ＝AB ′，∴四边形AB ′C ′D 是菱形；(2)解：4 3.【解法提示】如解图，连接AC′交B′D于点O，第7题解图∵四边形AB′C′D是菱形，∴AC′⊥BD′，OA＝OC′，OD＝OB′，又∵BD＝B′D′，∴BB′＝DD′，∴OB＝OD′，∴四边形ABC′D′是菱形，∴tan∠ABD＝tan30°＝33＝ADAB＝1AB，得AB＝3，∴四边形ABC′D′的周长是4 3.8.边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P 与A、C不重合)．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝38BC；(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．第8题图(1)证明：由题意知BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°， 在正方形ABCD 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠PBQ ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠PBQ －∠PBC ，即∠ABP ＝∠CBQ ， 在△ABP 和△CBQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABP ＝∠CBQ BP ＝BQ， ∴△ABP ≌△CBQ (SAS)， ∴CQ ＝AP ；(2)解：在正方形ABCD 中，AC 为对角线， ∴∠BAP ＝∠PCE ＝45°，由旋转可知△PBQ 为等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠PQB ＝45°，在△ABP 中，∠BPC ＝∠BAP ＋∠ABP ＝45°＋∠ABP ， 又∵∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPE ＝45°＋∠CPE ，∴∠ABP ＝∠CPE ， 又∵∠BAP ＝∠PCE ， ∴△BAP ∽△PCE ， ∴AB CP ＝AP CE ，在等腰直角△ABC 中，AB ＝22， ∴AC ＝4，又∵AP ＝x ，CE ＝y ，∴CP ＝4－x ， ∴224－x＝x y ，即y ＝－24x 2＋2x ，(0<x <4) 当CE ＝38BC 时，即CE ＝y ＝38×22＝324， ∴324＝－24x 2＋2x ， 解得x 1＝1，x 2＝3，∴y ＝－24x 2＋2x (0<x <4)，当x ＝1或3时，CE ＝38BC ； (3)解：猜想：PF ＝EQ .证明：①当点F 在线段AD 上时，如解图①，在CE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，则∠QEH ＝∠QHE ，第8题解图①在正方形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴∠DFE ＝∠QEH ， ∴∠DFE ＝∠QHE ， ∴∠AFP ＝∠CHQ ，由(1)知△ABP ≌△CBQ ，AP ＝CQ ，∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， ∴∠F AP ＝∠BAP ＝∠BCQ ＝45°， 在△AFP 和△CHQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AP ＝∠HCQ ∠AFP ＝∠CHQ AP ＝CQ， ∴△AFP ≌△CHQ (AAS)， ∴PF ＝HQ ， 又∵HQ ＝EQ ， ∴PF ＝EQ ；②当点F 在线段AD 延长线上时，如解图②，在BE 上取一点H ，使HQ ＝EQ ，第8题解图②同理可证△AFP ≌△CHQ (AAS)，得FP ＝HQ ＝EQ.9．如图，在△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG 沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE 和DF相交于点C.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．第9题图(1)证明：∵△AEB由△AEG翻折得到，∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，∵△AFD由△AFG翻折得到，∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠F AG，AD＝AG，∵∠EAG＋∠F AG＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AG＝AD，∴四边形ABCD是正方形；(2)解：MN 2＝ND 2＋DH 2， 理由：如解图，连接NH ，第9题解图∵△ADH 由△ABM 旋转得到， ∴△ABM ≌△ADH ，∴AM ＝AH ，∠BAM ＝∠DAH ，∠ADH ＝∠ABM ＝45°，∴∠HAN ＝∠DAH ＋∠DAN ＝∠BAM ＋∠DAN ＝∠EAG ＋∠F AG ＝∠EAF ，∵在△AMN 和△AHN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ∠MAN ＝∠NAH AN ＝AN， ∴△AMN ≌△AHN (SAS)， ∴MN ＝NH ， 由(1)知∠ADB ＝45°，∴∠HDN ＝∠ADH ＋∠ADN ＝90°， ∴在Rt △DHN 中，DH 2＋DN 2＝NH 2，∴MN2＝ND2＋DH2.10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．第10题图解：(1)∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴O是线段AC的中点，∵CF＝AC，∴△ACF是等腰三角形，又∵CE平分∠ACF，∴E是AF的中点，∴EO是△ACF的中位线，∴CF＝2EO＝22，∴AC＝22，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝22×22＝2， ∴正方形ABCD 的边长为2. (2)猜想：EM ＝12CN . 证明：如解图，连接BE ，第10题解图由(1)知，E 是AF 的中点， ∴在Rt △ABF 中，EB ＝AE ＝12AF ， ∴∠ABE ＝∠BAF ，∵AC ＝CF ，CE 平分∠ACF ， ∴CE ⊥AF ，∴∠F ＋∠BCN ＝90°， 又∵∠F ＋∠BAF ＝90°， ∴∠BCN ＝∠BAF ，∵AB ＝BC ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°， ∴△ABF ≌△CBN (ASA)， ∴AF ＝CN ，∴EB ＝12AF ＝12CN ，又∵∠EBM ＝∠ABE ＋∠ABO ＝∠BAF ＋∠OBC ＝∠BCE ＋∠OBC ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ，∴EM ＝12CN .11．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD 交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，DF ，且BE 平分∠ABD .求证：四边形BFDE 是菱形；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG ＝BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG .试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；第11题图(1)证明：如解图①，第11题解图①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠FBO OD ＝OB∠EOD ＝∠BOF， ∴△DOE ≌△BOF (ASA)， ∴EO ＝OF ， ∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形； (2)解：IH ＝3FH .理由：如解图②，延长BE 到点M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ .第11题解图②如解图①，∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBO ＝∠FBO ，又∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBO ，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠FBO ＝30°， ∴∠EBF ＝60°，如解图②，由四边形BFDE 是菱形可得EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DHJ ＝∠GHF DH ＝GH∠JDH ＝∠FGH， ∴△DHJ ≌△GHF (ASA)， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝BI ，∠M ＝∠EBF ＝60°， 在△BIF 和△MJI 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BI ＝MJ ∠B ＝∠M BF ＝IM， ∴△BIF ≌△MJI (SAS)，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI＋∠BIF＝120°，∴∠MIJ＋∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴IH＝3FH.12．如图①，两个全等的等边三角形纸片ABC和DEF，其中点C和点F重合，点A、D均在直线l上，且AB⊥l，DE⊥l.如图①，保持纸片DEF不动，将△ABC沿l向右平移，直到AB与DE重合时停止，如图②，设BC与EF相交于点G，AC与DF相交于点H.(1)证明：四边形CGFH是菱形；(2)当AD＝AB时，直接写出S△AHD与S菱形CGFH的关系；第12题图(1)证明：根据平移性质可知，GF∥HC，GC∥FH，∴四边形CGFH是平行四边形，∵AB⊥l，DE⊥l，∴∠BAD＝∠EDA＝90°，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠BAC＝∠EDF＝60°，∴∠CAD＝∠FDA＝30°，∴HA＝HD，∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AC－AH＝DF－DH，∴HC＝HF，∴四边形CGFH是菱形；(2)解：S菱形CGFH＝(8－43)S△AHD.【解法提示】如解图，过点H作HM⊥AD于点M，连接GH，设AB＝AD＝6a，第12题解图∵HA＝HD，HM⊥AD，∴AM＝MD＝3a，∵∠HAM＝30°，∴HM＝33AM＝3a，AH＝2HM＝23a，∴HC ＝AC －AH ＝6a －23a ， ∵∠C ＝60°，四边形CGFH 是菱形， ∴△CGH 和△FGH 都是等边三角形，∴S 菱形CGFH ＝2S △CHG ＝2×34CH 2＝32(6a －23a )2＝(243－36)a 2， ∵S △ADH ＝12AD ·HM ＝12·6a ·3a ＝33a 2， ∴S △AHDS 菱形CGFH ＝33a 2（243－36）a 2＝18－43， 即S 菱形CGFH ＝(8－43)S △AHD .13．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED . (1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)连接AE ，若AB ＝6 cm ，BC ＝ 5 cm.求sin ∠EAD 的值．第13题图(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且AC 、BD 互相平分， ∴DO ＝CO .∵△COD 与△CED 关于CD 对称， ∴△COD ≌△CED ，∴CO＝CE，DO＝DE，∴CE＝CO＝DO＝DE，∴四边形OCED是菱形；(2)解：如解图，连接EO交CD于点F，延长交AB于点H.第13题解图∵四边形ABCD是矩形，AB＝6 cm，∴BC⊥CD，CD＝AB＝6 cm.∵四边形OCED是菱形，∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分，∴EF＝FO，DF＝FC＝3 cm，FO∥BC，即EH∥BC，又∵CE∥OB，∴四边形OBCE为平行四边形．又∵BC＝ 5 cm，∴EF＝FO＝12BC＝52cm.∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形FHBC是矩形，∴FH＝BC＝ 5 cm，HB＝FC＝3 cm，∴AH＝AB－HB＝3 cm，EH＝EF＋FH＝352cm.∵AB ∥CD ，EH ⊥CD ， ∴EH ⊥AB ，∴在Rt △AEH 中，AE 2＝AH 2＋EH 2＝32＋(352)2＝814 cm 2， ∴AE ＝92 cm ，∴sin ∠AEH ＝AH AE ＝392＝23，∵EH ∥BC ，AD ∥BC ，∴AD ∥EH ，∴∠EAD ＝∠AEH ，∴sin ∠EAD ＝sin ∠AEH ＝23. 14．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点． (1)求证：DE ＝DC ； (2)求证：AF ⊥BF ；(3)当AF ·GF ＝28时，请直接写出CE 的长．第14题图(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DCE ＝∠CEB ， ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DEC ＝∠DCE ， ∴DE ＝DC ；(2)证明：如解图，连接DF ，第14题解图∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ， ∴∠DFC ＝90°， 在矩形ABCD 中， AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12EC ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCE ， ∴△ABF ≌△DCF (SAS)，∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°，∴AF ⊥BF ；(3)解：CE ＝47.【解法提示】∵∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°， ∵EH ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BEH ＝90°， ∴∠FEH ＋∠CEB ＝90°，∵∠ABF ＝∠CEB ，∴∠BAF ＝∠FEH ， ∵∠EFG ＝∠AFE ，∴△EFG ∽△AFE ， ∴EF AF ＝GFEF ，∴EF 2＝AF ·GF ，∵AF ·GF ＝28，∴EF ＝28＝27，∴CE ＝2EF ＝47.15．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，E 是边CD 上的点，F 是DA 的延长线上的点，且CE ＝AF .将△BCE 沿BE 折叠，得到△BC ′E ，延长BC ′交AD 于点G . (1)求证：△BCE ≌△BAF ； (2)①若DG ＝1，求FG 的长；②若∠CBE ＝30°，点B 和点H 关于DF 对称，求证：四边形FHGB 是菱形．第15题图(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠F AB＝∠C＝90°，第15题解图又∵CE＝AF，∴△BCE≌△BAF(SAS)；(2)①解：如解图，连接EG，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴AD＝AB＝BC＝4，∴AG＝AD－GD＝3，在Rt△ABG中，依据勾股定理可知BG＝5.由翻折的性质可知EC′＝EC，BC′＝BC＝4，∴C′G＝BG－BC′＝1，∴C′G＝DG＝1.在Rt△C′GE和Rt△DGE中，C′G＝DG，EG＝EG，∴Rt△C′GE≌Rt△DGE(HL)，∴C′E＝DE，∴EC＝DE＝2，∴AF＝CE＝2，∴FG＝AF＋AG＝2＋3＝5；②证明：由翻折的性质可知∠C ′BE ＝∠CBE ＝30°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＝30°，∴AG ＝AB ·tan30°＝433.∵在Rt △BCE 中，∠EBC ＝30°，∴EC ＝BC ·tan30°＝433，∴AG ＝CE ，又∵CE ＝AF ，∴AF ＝AG .又∵点B 和点H 关于DF 对称，∴BH ⊥FG ，AH ＝AB .∵AF ＝AG ，AH ＝AB ，∴四边形FHGB 是平行四边形，又∵BH ⊥FG ，∴四边形FHGB 是菱形．。
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特殊四边形的证明与计算
一. 一组对边平行+一组对角相等=平行四边形
1. 四边形ABCD 中，AB//CD,D B ∠=∠,BC=6,AB=3,求四边形ABCD 的周长。
二. 平行四边形的性质与判定的贡献
2.如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE∠AC
(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；
(2)如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长。
3.已知：如图,D,E,F 分别是∠ABC 各边上的点,且DE∠AC,DF∠AB.延长FD 至点G ，使DG=FD ，连接AG.
求证：ED 和AG 互相平分。
三.菱形四边相等为全等提供了可能
4.如图1，菱形ABCD中，点E.F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF.
(1)求证：CE=CF；
(2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.
四. 含60︒的菱形与等边三角形结合在一起
5.(1)如图，菱形ABCD 中，︒
=∠60C ，O 为BD 的中点，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，且︒=∠120EOF ，求证：AB BF AE 21=+.
(2)如图，菱形ABCD 中，︒
=∠60C ，O 为BD 的中点，E ，F 分别在DA ，AB 的延长线上，︒=∠120EOF ，试探究AE ，BF ，AB 之间的数量关系.
五. 从对称的角度考虑菱形问题。
6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E. F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 。
7.如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为___.
六.利用矩形对角线分得的四个等腰三角形进行角度计算
8.如图所示，矩形ABCD中，AE∠BD,∠DAE：∠BAE=3：1，求∠BAE,∠EAO的度数.
七．利用矩形对边平行且相等，邻边垂直解决问题
EF⊥.
9.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,ED
∠.
求证:AE平分BAD
10.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= .
八．平移矩形的一组对角线，得到等腰三角形
∆中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边11.如图，在ABC
形ADCE是矩形。
九.利用直角三角形的“斜中”解决问题
2+，12.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，斜边AB上的中线CD=1，∠ABC的周长为6
求∠ABC的面积.
十.矩形的判定思路：平行四边形+矩形特征
十一.矩形的折叠问题（折叠的基本方法试运用勾股定理建立方程）
13.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AD上一个动点,把∠BAE沿BE向矩形内部折
CA的长为______.
叠,当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时,则
1。