八年级四边形几何证明提高题
八年级下册四边形提高练习
1D CB A xO y 一、一次几何综合1、如图：在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b 的关系式为 ．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AD =3，A （12，0）， B （2，0），直线y =kx +b 经过B ，D 两点． （1）求直线y =kx +b 的解析式；（2）将直线y =kx +b 平移，若它与矩形有公共点，直接写出b 的取值范围．3、已知直线334y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ． (1)求BAO ∠的平分线的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）(2)点M 在已知直线上，点N 在坐标平面内，是否存在以点M 、N 、A 、O 为 顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．O11yxO11yx二、勾股定理：1、已知：点P 为正方形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC ，若AP 2+CP 2=2PB 2， 求证：A 、P 、C 三点共线2、 请阅读下列材料：问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得BP AP +的值最小．小明的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点'A ，连接B A '，则B A '与直线l 的交点P 即为所求.P BAll图2图1AB请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设'AA 与直线l 的交点为C ，过点B 作l BD ⊥，垂足为D . 若1=CP ，2=PD ，1=AC ，写出BP AP +的值为 ； （2）将（1）中的条件“1=AC ”去掉，换成“AC BD -=4”，其它条件不变，写出此时BP AP +的值 ；图3lCABPA'D（3）1)32(2+-m +4)28(2+-m 的最小值为．3. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：222.a b c+=证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+a b．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴222.a b c+=请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：222.a b c+=FCDBAE4. 有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm ，BC = 8cm .①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，则CD = _________ cm .图1 图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，点C 与AB 中点H 重合，点M 、N 分别在AC 、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.三、正方形压轴：1．设E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上滑动保持且∠EAF =45°．若AB =5，求△ECF的周长．2.如图，P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点E 在BC 上，且PE=PB .（1）求证：PE=PD ；（2）连接DE ，试判断∠PED 的度数，并证明你的结论.APABHM N AC BD3．如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC ，BD 的交点， 点E 在CD 上，且DE =2CE ，连接BE .过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F ， 连接OF .求（1）CF 的长； （2）OF 的长.4. （1）如图1，将∠EAF 绕着正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交BC 于E ，交CD 于F ，连接EF ．若∠EAF=45°，BE 、DF 的长度是方程2560x x -+=的两根，请直接写出EF 的长；（2）如图2，将∠EAF 绕着四边形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交CB 的延长线于E ，交DC 的延长线于F ，连接EF ．若AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，∠EAF=21∠BAD ，请直接写出EF 与DF 、BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长．图1（1）EF 的长为： ； （2）数量关系： ； 证明：EDB DC5、如图，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ,连结BE 、DG ． (1)求证：BE =DG ，BE ⊥DG ；（2）连接BD 、EG 、DE ,点M 、N 、P 分别是BD 、EG 、DE 的中点，连接MP,PN,MN ,求证：MPN ∆是等腰直角三角形；（3）若AB =4，EF，45DAE ∠=o,直接写出MN = ．6、如图，在正方形ABCD 外侧作直线DQ ，点C 关于直线DQ 的对称点为P ，连接DP 、AP ，AP 交直线DQ 于点F ,交BD 于点E ． （1）依题意补全图形；（2）若25QDC ∠=︒，求DPA ∠的度数；（3）探究线段AE 、EF 、FP 的等量关系并加以证明．7.已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在正方形ABCD的边AB ，CD ，DA 上，AH=2，连接CF ． （1）当DG=2时，求证：菱形EFGH 是正方形； （2）设DG=x ，用含x 的代数式表示FCG △的面积； （3）判断FCG △的面积能否等于1，并说明理由．A DH QDCBAGFEDCBA8、操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与射线DC相交于点Q. 设AP ＝x.（1）当Q点在CD上时，线段PQ与线段PB的大小关系怎样？并证明你的结论；（2）当Q在CD上时，设四边形PBCQ面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动，且Q在DC延长线上时，△PCQ能否为等腰三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由.（1）结论：PQ_____PB 证明：（2）解：（3）解：图1图2（备用）图3（备用）9．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点．．．．，连接AM 、CM ．其中BN=BM ，∠MB N=60°，连接 EN ． （1）证明：△A BM ≌△EBN（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 1时，求正方形的边长．五、涉及中点类：1．在中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF =∠ABD , 连接EF 、 EC , M 、N 、P 分别为EF 、EC 、BC 的中点，连接NP ．请你发现∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，并证明．2.如图1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC ，AE=DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，点D 在AC 上．（1）若F 是BD 的中点，求证：CF=EF ；（2） 将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使AE 恰好在AC 上（如图2）．若F 为BD 上一点，且CF=EF ，求证：BF= DF ；（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F 是BD 的中点．探究CE 与EF 的数量关系，并证明你的结论．附加题(本题10分，每小题5分）26．Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD 的长为 .3. 在△ABC 中，D 为BC 中点，BE 、CF 与射线AE 分别相交于点E 、F （射线AE 不经过点D ）. （1）如图①，当BE ∥CF 时，连接ED 并延长交CF 于点H . 求证：四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②，当BE ⊥AE 于点E ，CF ⊥AE 于点F 时，分别取AB 、AC 的中点M 、N ，连接ME 、MD 、NF 、ND . 求证：∠EMD =∠FND .图① 图②FHDBEN MFDBE4.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值范围：_________．5. 阅读下列材料：问题：如图1，在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，∠EAB =60°，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .求证：EG =AG +BG .小明同学的思路是：作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H ，构造全等三角形，经过推理解决问题.参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB =60°”改为“∠EAB =90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论. （1）证明：（2）解：线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系为____________________________.M NEDCBA 图1图26．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的和谐线；（2）图2和图3中有三点A、B、C，且AB=AC，请分别在图2和图3方框内．．．作一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．．．．．．．．．．．．．．．．．．）；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD 的度数．(1)证明：(2)在方框内用尺规作图，．．．．．．．．．．保留作图痕迹，不写作法．．．．．．．．．．．(3)解：图1图3图27、如图，菱形ABCD 的对角线长分别为2和5，动点P 在对角线AC 上运动（不与点A 或C 重合），且PE ∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F.请问：阴影部分的面积是否随点P 的运动而变化？若变化，说明理由；若不变，求出相应的值。
【中考冲刺】解答题分类专练-8分题夺分专练-几何证明
【8分题夺分专练】【几何证明】1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E,使CE=BC,连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.求证：（1）△ADF≌△ECF;(2)四边形ABCD是平行四边形.2.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．3.如图.已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线.设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2.且S1=S2.(1)求线段CE的长.(2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证:HD=HG.4.如图，在口ABCD中对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE,连接CG.（1）求证：△ABE≌△CDF ;（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.5.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．6.如图,矩形EFGH的顶点E,C分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD 上.(1)求证:BG＝DE;(2)若E为AD中点,FH＝2,求菱形ABCD的周长.7.如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，连接CE 、DG ．（1）求证：△DOG ≌△COE ；（2）若DG ⊥BD ，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，AM ＝12，求正方形OEFG 的边长．8.如图，已知在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连结DF ，EF ，BF ．（1）求证：四边形BEFD 是平行四边形；（2）若∠AFB ＝90°，AB ＝6，求四边形BEFD 的周长．9.在菱形ABCD 中,点P 是BC 边上一点,连接AP,点E,F 是AP 上的两点,连接DE,BF,使得∠AED ＝∠ABC,∠ABF ＝∠BPF.求证:(1)△ABF ≌△DAE;(2)DE ＝BF+EF.FE D C B A10.如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ． （1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．11.如图，在□ABCD 中，∠ACB ＝45°，点E 在对角线AC 上，BE ＝BA ，BF ⊥AC 于点F ，BF 的延长线交AD 于点G ．点H 在BC 的延长线上，且CH ＝AG ，连接EH ． （1）若BC ＝122，AB ＝13，求AF 的长； （2）求证：EB ＝EH ．12.如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD//EC ， ∠AED=∠B.（1）求证：△AED ≌△EBC. （2）当AB=6时，求CD 的长.24题图HG FEDC BA13.如图，在ABCD中，分别以边BC，CD作腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE.（1）求证：△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.【8分题夺分专练】【几何证明】1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E,使CE=BC,连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.求证：（1）△ADF≌△ECF;(2)四边形ABCD是平行四边形.解：（1）证明：∵AD∥BC,∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF,∵点F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△ECF;（2）∵△ADF≌△ECF∴AD=CE，∵CE=BC，∴AD=BC,∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.2.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE．∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形．又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形．（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2．设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x，∵∠FDE ＝90°，∴22+（6－x ）2＝x 2，解得x ＝，∴CE ＝，∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝×2＝．3.如图.已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线.设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2.且S 1=S 2. (1)求线段CE 的长.(2)若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证:HD=HG. 【解题过程】（1）设正方形CEFG 的边长为a ， ∵正方形ABCD 的边长为1，∴DE=1-a ， ∵S 1=S 2，∴a 2=1×（1-a ）， 解得，（舍去），，即线段CE 的长是； （2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH==，∵CH=0.5，CG=，∴HG=，∴HD=HG ．4.如图，在口ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG =AE ,连接CG .（1）求证：△ABE ≌△CDF ;（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由.【解题过程】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，//AB CD ，OB OD =，OA OC =，ABE CDF ∴∠=∠， 点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， 12BE OB ∴=，12DF OD =，BE DF ∴=，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CDBAE CDFBE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）解：当2AC AB =时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： 2AC OA =，2AC AB =， AB OA ∴=，AG OB ∴⊥， 90OEG ∴∠=︒，同理：CF OD ⊥， //AG CF ∴， //EG CF ∴，EG AE =，OA OC =， OE ∴是ACG ∆的中位线， //OE CG ∴， //EF CG ∴，∴四边形EGCF 是平行四边形， 90OEG ∠=︒，∴四边形EGCF 是矩形．5.如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE=CF ，AF 与BE 相交于点G ．（1）求证：BE=AF ；（2）若AB=4，DE=1，求AG 的长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD ，∵DE=CF ，∴AE=DF ，在△BAE 和△ADF 中，AB=AD 、∠BAE=∠ADF 、AE=DF ，∴△BAE ≌△ADF （SAS ），∴BE=AF ；（2）解：由（1）得：△BAE ≌△ADF ，∴∠EBA=∠FAD ，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE=22AB AE +=5，在Rt △ABE 中，12AB×AE=12BE ×AG ，∴AG=345⨯=125．6.如图,矩形EFGH 的顶点E,C 分别在菱形ABCD 的边AD,BC 上,顶点F,H 在菱形ABCD 的对角线BD上.(1)求证:BG ＝DE;(2)若E 为AD 中点,FH ＝2,求菱形ABCD 的周长.解：(1)在矩形EFGH 中,EH ＝FG ,EH ∥FG ,∠GFH ＝∠EHF.∠BFG ＝180°－∠GFH,∠DHE ＝180°－∠EHF,∠BFG ＝∠DHE,在菱形ABCD 中,AD ∥BC,∠GBF ＝∠EDH,△BGF ≌△DEH(AAS),BG ＝DE; (2) 如图,连接EG,在菱形ABCD 中,AD ∥BC,AD ＝BC,∵E 为AD 中点,AE ＝ED,BG ＝DE,∴AE ＝BG ,∴四边形ABGE 是平行四边形,∴AB ＝EG ,在矩形EFGH 中,EG ＝FH ＝2,AB ＝2,∴菱形周长为8.7.如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝12，求正方形OEFG的边长．（1）证明：如图，∵正方形OEFG，∴GO=EO,∠GOE=90°. ∵正方形ABCD，∴OD=OC，∠DOC=90°，∴∠GOE=∠DOC，∴∠GOE-∠DOE=∠DOC-∠DOE,即∠DOG=∠COE，∴△DOG≌△COE.（2）∵DG⊥BD，AC⊥BD，∴DG∥AC，∴∠GDM=∠OAM.∵∠DMG=∠AMO,∴△GDM∽△OAM，∴AM AO DM DG.∵AD=2，AM＝12，∴DM=1.5，∵2GD=32∴Rt△OGD中，OG2=OD2+DG2，∴OG=25∴正方形OEFG的边长为258.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；解：（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴EF∥AB，DF∥BC．∴四边形BEFD是平行四边形．（2）∵∠AFB＝90°，AB＝6，D点是AB的中点，∴DF＝DB＝12AB＝3．∴平行四边形BEFD是菱形．∴BE＝EF＝DF＝BD＝3．∴四边形BEFD的周长为4DF＝12．9.在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED＝∠ABC,∠ABF＝∠BPF.求证:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE＝BF+EF.解：(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD,AD∥BC,∴∠BPA＝∠DAE.在△ABP和△DAE中,又∵∠ABC＝∠AED,∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF且∠BPA＝∠DAE,∴∠ABF＝∠DAE,又∵AB＝DA,∴△ABF≌△DAE(ASA);(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE＝BF,DE＝AF,∵AF＝AE+EF＝BF+EF,∴DE＝BF+EF.10.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．解：（1）证明：由题意可得，∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠CEB ，∴∠FGE ＝∠FEG ，∴FG ＝FE ，∴FG ＝EC ，………………………………………………………………………………4分∴四边形CEFG 是平行四边形．………………………………………………………5分又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．………………………………………………6分（2）∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，………………………………7分∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10，∴AF ＝8，∴DF ＝2．设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x ，……………………………………………………8分∵FDE ＝90°，∴22+（6－x ）2＝x 2，解得x ＝，……………………………………………………………………………12分 ∴CE ＝，∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝×2＝．…………………………………13分11.如图，在□ABCD 中，∠ACB ＝45°，点E 在对角线AC 上，BE ＝BA ，BF ⊥AC 于点F ，BF 的延长线交AD 于点G ．点H 在BC 的延长线上，且CH ＝AG ，连接EH ．（1）若BC ＝2AB ＝13，求AF 的长；（2）求证：EB ＝EH ．【解题过程】解：（1）∵BF ⊥AC ，∴∠BFC ＝∠AFB ＝90°．在Rt △FBC 中，sin ∠FCB ＝BF BC，而∠ACB ＝45°，BC ＝2 ∴sin45122． ∴BF ＝2sin45°＝222＝12． 24题图 HG F E DC BA在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF ＝22221312AB BF -=-＝5．（2）方法一：如下图，在BF 上取点M ，使AM ＝AG ，连接ME 、GE ．MAB C D E FG H∵∠BFC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴△FBC 是等腰直角三角形．∴FB ＝FC ．∵在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GAC ＝∠ACB ＝45°．∴∠AGB ＝45°．∵AM ＝AG ，AF ⊥MG ，∴∠AMG ＝∠AGM ＝45°，MF ＝GF ．∴∠AMB ＝∠ECG ＝135°．∵BA ＝BE ，BF ⊥AE ，∴AF ＝EF ．∴四边形AMEG 是正方形．∴FM ＝FE ．∴BM ＝CE ．又∵CH ＝AG ，∴CH ＝AM ．∴△AMB ≌△CHE ．∴EH ＝AB ．∴EH ＝EB ．12.如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD//EC ，∠AED=∠B.（1）求证：△AED ≌△EBC.（2）当AB=6时，求CD 的长.【思路分析】（1）利用平行线的性质得∠A=∠BEC 再用ASA 证明△AED ≌△EBC（2）利用一组对边AD,EC 平行且相等得四边形AECD 是平行四边形得CD=AE=3【解题过程】解(1)∵AD ∥EC,∠A=∠BECE 是AB 中点,∴AE=BE∵∠AED=∠B,∴△AED ≌△EBC(2)∵△AED ≌△EBC,∴AD=EC∵AD ∥EC,∴四边形AECD 是平行四边形,∴CD=AE.∵AB=6, ∴CD=21AB=313.如图，在ABCD 中，分别以边BC ，CD 作腰△BCF ，△CDE ，使BC=BF ，CD=DE ，∠CBF=∠CDE ，连接AF ，AE.（1）求证：△ABF ≌△EDA ；（2）延长AB 与CF 相交于G ，若AF ⊥AE ，求证BF ⊥BC.【思路分析】（1）由平行四边形得到对边相等，对角相等，再由题上已知条件得到两个三角形对应边相等，通过等量代换，得到∠ABF=∠EDA ，故全等可证；（2）证垂直即证90°的角，将∠FBC 分为两个角∠FBG 和∠CBG ，通过等量代换，得到∠FBC=∠EAF ，即证得垂直【解析】（1）在ABCD 中，AB=DC ，BC=AD ，∠ABC=∠ADC ，AD ∥BC ，因为BC=BF ，CD=DE ，所以AB=DE ，BF=AD ，又因为∠CBF=∠CDE ，所以∠ABF=360°-∠ABC-∠CBF ，∠EDA=360°-∠ADC-∠CDE ，所以∠ABF=∠EDA ，又因为AB=DE ，BF=AD ，所以△ABF ≌△EDA ；（2）由（1）知∠EAD=∠AFB ，∠GBF=∠AFB+∠BAF ，因为AD ∥BC ，所以∠DAG=∠CBG ，所以∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°，所以BF ⊥BC。
初二几何证明与计算拔高题
1、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ,点D在射线BC上(与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB =2,则GE的长为_______,并简述求GE长的思路．2、如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发,沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。
（1)如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，①△ADE的面积是否存在最大值或最小值?若存在，直接写出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由;②求点E移动的路径长．（2）如图②,当点D经过点C,并在继续移动的过程中,点E能否移动至直线AB上？为什么?A AAAB CE F D3、如图，正方形ABCD 、BGFE 边长分别为2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线GC AE 、想交于点H 。
(1)在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中,∠AHC 的大小是否始终为90°，请说明理由；（2）连接BH DH 、，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，①求DH 的最大值;②直接写出DH 的最小值.4、如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，F 为AC 的中点，过点C 作CE//AB 交DF 的延长线于点E,连结AE ．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．(2）若EF=22,∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC 的长．如图,在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 的延长线上，连接EF 与边CD 相交于点G ,连接BE 与对角线AC 相交于点H ,AE =CF ，BE =EG ．（1）求证：EF ∥AC ；（2）求∠BEF 大小；（3）若EB =4，求△BAE 的面积．. 解：(1） ①补全图形,如图1所示． ………………………1分图1②BC 和CG 的数量关系：BC CG =,位置关系：BC CG ⊥．…………………2分证明： 如图1．∵，∴，．∵射线、的延长线相交于点，∴．∵四边形为正方形,∴,．∴．∴△≌△．…………………3分∴．∴45B G ∠=∠=︒，90BCG ∠=︒．∴BC CG =，BC CG ⊥．…………………4分（2） ．…………………5分思路如下：a 。
难点详解京改版八年级数学下册第十五章四边形专项攻克试卷(含答案详解)
京改版八年级数学下册第十五章四边形专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、下列四个图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（）A．75°B．60°C．55°D．40°4、下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）A．16 B．24 C．32 D．406、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（）A．135°B．360°C．1080°D．1440°7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．88、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2∠+∠的度数是（）9、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中αβA．180°B．220°C．240°D．260°10、下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（）A ．40分B ．60分C ．80分D ．100分第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点E ，F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，AC ＝10，AE ＝CF ＝3，则四边形BFDE 的面积为 _____．2、已知正方形ABCD 的一条对角线长为______．3、点P （1，2）关于原点中心对称的点的坐标为_______．4、一个多边形的内角和为1080°，则它是______边形．5、如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC 是格点三角形，点D 为AC 的中点，则线段BD 的长为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：C ABE DF ≌△△； （2）当AE CE =时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于B 的2倍的所有角．2、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，连接BD ，ED ，EB ．求证：∠1＝∠2．3、如图，四边形ABCD 是一个菱形绿草地，其周长为，∠ABC ＝120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH ，其四个顶点恰好在菱形ABCD 各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/m 2取1.732）4、如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，（1）如图1，求证：CD ＝12BE（2）如图2，过点A 作AF ⊥BE ，写出AF ，BD ，CD 之间的数量关系并说明理由．5、（1）如图1，∠ADC =120°，∠BCD =140°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠AFB 的度数是 ；（2）如图2，若∠ADC =α，∠BCD =β，且180αβ+>︒，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠AFB =（用含α，β的代数式表示）；（3）如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，当∠DAB 和∠CBE 的平分线AG ,BH 平行时，α,β应该满足怎样的数量关系？请说明理由；（4）如果将（2）中的条件180αβ+>︒改为180αβ+<︒，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，∠AFB 与α，β满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．-参考答案-一、单选题1、A【分析】把一个图形绕某点旋转180︒后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.【详解】解：选项A 中的图形是中心对称图形，故A 符合题意；选项B 中的图形不是中心对称图形，故B 不符合题意；选项C 中的图形不是中心对称图形，故C 不符合题意；选项D 中的图形不是中心对称图形，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．3、C【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B=55°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．5、C【分析】BC，根据平行线的性由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=12质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，BC，∴DE//BC，DE=12∵∠ABC ＝90°，∴∠ADE =∠ABC =90°，在△MBD 和△EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△MBD ≌△EDA ，∴MD =AE ，DE =MB ，∵DE //MB ，∴四边形DMBE 是平行四边形，∴MD =BE ，∵AC ＝18，BC ＝14，∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．6、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为45︒, 求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.【详解】 解： 正多边形的一个外角等于45°，∴ 这个正多边形的边数为：3608,45∴ 这个多边形的内角和为：821801080,故选C【点睛】本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.7、A【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．8、A【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，AB，∴CD=12∵AB的长为10，∴DC=5，故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．9、C【分析】根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，∴3606060240αβ∠+∠=︒-︒-︒=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．10、B【分析】分别根据菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质进行判断即可．【详解】解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的；（2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的；（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的；（4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的；（5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的，∴文易同学答对3道题，得60分，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键二、填空题1、20【分析】连接BD ，交AC 于O ，根据题意和正方形的性质可求得EF =4，AC ⊥BD ，由DEF BEF BFDE S SS =+四边形即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，交AC 于O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC ＝10，∴AC ＝BD ＝10，AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝5，∵AE ＝CF ＝3，∴EO ＝FO ＝2，∴EF =EO +FO =4， ∴11==2022DEFBEF BFDE S S S EF OD EF OB =+⋅+⋅四边形 故答案为：20．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的对角线相等且互相垂直平分是解题的关键．2、6【分析】正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可.【详解】解：正方形ABCD的一条对角线长为123236,S2故答案为：6.【点睛】本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键. 3、（-1，-2）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．据此作答．【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（1，2）关于原点中心对称的点的坐标为（-1，-2）．故答案为：（-1，-2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．4、八【分析】n-⨯︒ (n大于等于3且n为整根据多边形的内角和公式求解即可．n边形的内角的和等于：()2180数）．【详解】解：设该多边形的边数为n ，根据题意，得()18021080n ︒-=︒，解得8n =，∴这个多边形为八边形，故答案为：八．【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．5## 【分析】根据勾股定理列式求出AB 、BC 、AC ，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：3AB ==BC ===AC222AB BC AC ∴+=，∴∠ABC ＝90°，∵点D 为AC 的中点，∴BD 为AC 边上的中线，∴BD ＝12AC =【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC 是直角三角形是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）,,,.BAD AFC AEC BCD【分析】（1）先证明,,,AB CD B D AD BC 再证明,BE DF =从而可得结论；（2）证明,ABE DCF 是等边三角形，再分别求解,B ∠ ,,,,BAD AFC AEC BCD 从而可得答案.【详解】证明（1） 平行四边形ABCD 中，，,,,AB CD B D AD BC点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，,BE DF ∴=∴ C ABE DF ≌△△（2） 2BC AB =，,,AD BC AB DC,AB BE CE CD DF AF,AE CE = C ABE DF ≌△△,AB BE CE CD DF AF AE CF,ABE DCF 是等边三角形，60,BAEBEA DFC DCF D B 120,AEC AFC四边形ABCD 是平行四边形，,AD BC ∥ 而60,B D 120BAD BCD ，所以等于B的2倍的角有：,,,.BAD AFC AEC BCD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“,ABE DCF是等边三角形”是解（2）的关键.2、见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质即可证明．【详解】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC和△ADC是直角三角形，∵点E是AC的中点，∴EB＝12AC，ED＝12AC，∴EB＝ED，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3、2598元【分析】根据菱形的性质，先求出菱形的一条对角线，由勾股定理求出另一条对角线的长，由三角形的中位线定理，求出矩形的两条边，再求出矩形的面积，最后求得投资资金．【详解】连接BD，AD相交于点O，如图：∵四边形ABCD 是一个菱形，∴AC ⊥BD ，∵∠ABC =120°，∴∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，∵菱形的周长为，∴菱形的边长为，∴BD ＝，BO ＝m ，∴在Rt△AOB 中，OA ==m ，∴AC ＝2OA ＝，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EH ＝12BD ＝，EF ＝12AC ＝，∴S 矩形＝＝2，则需投资资金元【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键．4、（1）证明见解析；（2）BD = CD +2AF ，理由见解析【分析】（1）延长BA 与CD 的延长线交于点G ，先证明△ABE ≌△ACG 得到BE =CG ，由BD 是∠ABC 的角平分线，得到∠GBD =∠CBD ，即可证明△BDG ≌△BDC 得到CD =GD ，则1122CD CG BE ==； （2）如图所示，连接AD ，取BE 中点H ，连接AH ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12AH BH BD ==，1122AD CD CG BE ===，则AD AH BH CD ===，再由∠BAC =90°，AB =AC ，得到∠ABC =45°，根据BD 平分∠ABC ，即可推出∠AHF =∠ABH +∠BAH =45°，从而得到AF =HF ，则DH =2AF ，由此即可推出BD =BH +HD =BH +2AF =CD +2AF ．【详解】解：（1）如图所示，延长BA 与CD 的延长线交于点G ，∵∠BAC =90°，∴∠CAG =90°，∵CD ⊥BE ，∴∠EDC =∠GDB =∠BAE =90°，又∵∠AEB =∠DEC ，∴∠ABE =∠DCE ，在△ABE 和△ACG 中，BAE CAG AB ACABE ACG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACG （ASA ），∴BE =CG ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠GBD =∠CBD ，在△BDG 和△BDC 中，BDG BDC BD BDGBD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BDG ≌△BDC （ASA ），∴CD =GD ， ∴1122CD CG BE ==；（2）BD = CD +2AF ，理由如下：如图所示，连接AD ，取BE 中点H ，连接AH ，由（1）得CD =GD ，12CD BE =，∵△BAE 和△CAG 都是直角三角形，H 为BE 中点，D 为CG 中点， ∴12AH BH BD ==，1122AD CD CG BE ===， ∴AD AH BH CD ===，∴∠ABH =∠BAH ，∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠ABC =45°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABH =∠BAH =22.5°，∴∠AHF =∠ABH +∠BAH =45°，∵AF ⊥DH ，∴HF =DF ，∠AFH =90°，∴∠HAF =45°，∴AF =HF ，∴DH =2AF ，∴BD =BH +HD =BH +2AF =CD +2AF ．【点睛】．本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5、（1）40°；（2）119022αβ+-︒；（3）若AG ∥BH ，则α+β=180°，理由见解析；（4）121902αβ︒--，图见解析． 【分析】（1）利用四边形内角和定理得到∠DAB +∠ABC =360°-120°-140°=100°．再利用三角形的外角性质得到∠F =∠FBE -∠FAB ，通过计算即可求解；（2）同（1），通过计算即可求解；（3）由AG ∥BH ，推出∠GAB =∠HBE ．再推出AD ∥BC ，再利用平行线的性质即可得到答案；（4）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠MAB-∠ABF，通过计算即可求解．【详解】解：（1）∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB =360°-120°-140°=100°．又∵∠F+∠FAB=∠FBE，∴∠F=∠FBE-∠FAB=12∠CBE−12∠DAB=12(∠CBE−∠DAB)=12(180°−∠ABC−∠DAB)=12×(180°−100°)=40°．故答案为：40°；（2）由（1）得：∠AFB=12(180°−∠ABC−∠DAB)，∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB．∴∠AFB=12(180°−360°+∠D+∠DCB)=12∠D+12∠DCB−90°=12α+12β−90°．故答案为：119022αβ+-︒；（3）若AG∥BH，则α+β=180°．理由如下：若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，∴∠DAB=∠CBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；（4）如图：∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE，∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β，∴∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β，∴∠DAB-∠CBE=180°-α-β，∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF=∠NBE，又∵∠F+∠ABF=∠MAB，∴∠F=∠MAB-∠ABF，∴∠F=12∠DAB−∠NBE=12∠DAB−12∠CBE=12(∠DAB−∠CBE)=12(180°−α−β)=90°-12α−12β．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．。
初二数学几何证明题（5篇可选）
初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。
2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
3.。
如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。
4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。
5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。
1.求证四边形ABCD是菱形。
2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。
7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。
求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。
M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。
2024年数学八年级几何证明专项练习题1(含答案)
2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。
A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。
A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。
A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。
A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（）2. 在等腰三角形中，底角相等。
（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。
（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
四边形证明题的经典问题(优秀学生在几何证明方面应知必会的习题)
EMF DCB A 四边形证明题的经典问题1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DA 的中点，且BC=DC+AB 。
求证：BE ⊥EC 。
2．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC 的长；(2）求证AM=DF+ME 。
3.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE (1)若正方形ABCD 的边长为4,BE=3,求EF 的长？ (2)求证：AE=EC+CD ．BD F EG H F E D C B A4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G,BH ⊥DC 于H ，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且EF ∥DC 。
(1)若AD=3，CG=2，求CD;(2)若CF=AD+BF ，求证：EF=21CD.5.如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE ． （1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ 的长．6.已知，如图，//,90,AD BC ABC AB BC ∠==，点E 是AB 上的点，45ECD ∠=，连接ED ，过D 作DF BC ⊥于F .(1)若75,3BEC FC ∠==，求梯形ABCD 的周长.(2)求证：ED BE FC =+；7．如图1，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=，45D ∠=. （1）若6AB c m =，3sin 5BCA ∠=，求梯形ABCD 的面积；（2）如图2，若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF GH =，EFH FHG ∠=∠，求证：HD BE BF =+8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AC=AB，∠DAC=30度．点E、F是梯形ABCD外的两点，且∠EAB=∠FCB，∠ABC=∠FBE，∠CEB=30°．（1）求证：BE=BF；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求的长．BC45,(1)求证: DE-EF=BF(2)若AD=3,∠BAF=︒15;求∆AEF的面积FAB11．在ABCD中，对角线,⊥为延长线上一点且BD BC G BD∠的平分线相交于点E，∠、CBDABG∆为等边三角形，BAD连接AE BD F交于，连接GE。
八年级几何综合：四边形压轴题综合训练1(50道真题)含解析
几何综合压轴题专题1．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME＝PM，连结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请说明理由．（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．2．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．（1）求证：EO平分∠AEB；（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为（直接写出结果，不要写出证明过程）；（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．3．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．4．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF ⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．5．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90o，若AC＝12，BC＝5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．【思维运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．【问题拓展】（3）如图3，AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上．∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为．（直接写出结果，不需要写过程）6．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．7．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．（1）如图（1），若BE平分∠DBC时，①直接写出∠FDC的度数；②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想．8．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．（1）求证：HE＝HG；（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）当t＝3时四边形OQCD的面积为多少？（3）是否存在t的值，使△AQP为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．11．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、∠ACD的平分线于点E、F．（1）猜想与证明，试猜想线段OE与OF的关系，并说明理由．（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．12．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．13．问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连结AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD＝AE，根据∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，得到∠BAD＝∠CAE，结合AB ＝AC，AD＝AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD＝CE，位置关系为BD⊥CE；（1）探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13cm，CD＝5cm，求AD 的长．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．15．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．16．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F 两点（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）求证：BE+CF＝AC；（3）若BC的长为16，求四边形AEDF的面积．17．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．18．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠FEM；（2）如图（1），当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（2），当点E在AB边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．21．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．22．在△ABC方格纸中的位置如图1所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）图1中线段AB的长是；请判断△ABC的形状，并说明理由．（2）请在图2中画出△DEF，使DE，EF，DF三边的长分别为，，．（3）如图3，以图1中△ABC的AB，AC为边作正方形ABPR和正方形ACQD，连接RD，求△RAD的面积．23．有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，已知△ABC，点C在AB的垂直平分线上，E在边AB上，D是△ABC内一点，连接ED，CD，∠AED＝60°，∠BCD＝30°，若四边形BCDE是邻余四边形，BC是邻余线．①ED与BC有什么位置关系？说明理由．②判断△ABC形状，说明理由．24．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB ＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．25．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，已知AB1C1≌△ABC，BC与B1C1相交于点D，AC与B1C1相交于点E，AB1与BC相交于点F．（1）如图1，观察并猜想CE和B1F有怎样的数量关系？并说明理由．（2）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，证明四边形AFDE是筝形．（3）如图2，若∠CAC1＝30°，B1C1＝3，其他条件不变，求C1E的长度．27．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为．28．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．29．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．30．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，F是AB边上的中点，将∠AFC绕点F顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤90°）得到∠A'FC'，∠A'FC'的两边分别与AC、BC边相交于点D，E两点，连结DE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）求∠EDF的度数；（3）当△EFB变成等腰直角三角形时，求CE的长；（4）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．31．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．32．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，33．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．34．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．35．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．36．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．37．阅读下面材料，完成相应任务：全等四边形能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．由此可知，全等四边形的对应边相等，对应角相等；反之，四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．根据探究三角形全等条件的经验容易发现，满足1个、2个、3个、4个条件时，两个四边形不一定全等．在探究“满足5个条件的四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是否全等”时，智慧小组的同学提出如下命题：①若AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'；②若AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，AD＝A'D'，∠A＝∠A'，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是命题（填“真”或“假”）．（2）小彬经过探究发现命题②是真命题．请你结合图2证明这一命题．（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若AB＝A′B′，BC＝B'C'，CD＝C'D'，，，则四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'”请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．38．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN＝90°，求证：△AMN为等腰三角形．下面给出此问题一种证明的思路，你可以按这一思路继续完成证明，也可以选择另外的方法证明此结论．证明：在AB边上截取AE＝MC，连接ME，在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC∴∠NMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝180°﹣∠B﹣∠AMB＝∠MAB．（下面请你连接AN，完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，试探究△AMN是何种特殊三角形，并证明探究结论．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，试猜想：当∠AMN的大小为多少时，（1）中的结论仍然成立？39．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．40．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE ＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．41．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）42．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2＝c2．（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是．（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2．（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？43．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是．44．如图①，△ABC中，AB＝AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM＝AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．（l）判断四边形EFDG的形状是（不必证明）；（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状是否发生变化？证明你的结论；（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（Ⅰ）求证：CE＝AD；（Ⅱ）如图2，当点D是AB中点时，连接CD．（i）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（ii）当∠A＝°时，四边形BECD是正方形．（直接写出答案）46．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P 在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在线段PB上有一点M，且PM＝5，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M 的位置．47．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G．求证：AF⊥DE且AF＝DE．（2）如图②，若点E、F分别在CB、DC的延长线上，且BE＝CF，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由．（3）如图③，在图②的基础上连接AE、EF，H、M、N、P分别是AE、EF、FD、DA的中点，请直接写出四边形HMNP的形状．48．已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，AM、AN分别交BD于E、F两点．（1）如图1，求证：CM+CN＝BC；（2）如图2，过点E作EG∥AN交DC延长线于点G，求证：EG＝EA；（3）如图3，若AB＝1，∠AED＝45°，直接写出EF的长．（4）如图3，若AB＝1，直接写出BE+AE的最小值．49．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB＝0.5km，AC＝1.2km，BD＝1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：（1）公园的面积为km2；（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM＝ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．50．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为“不完全矩形”（1）①如图1，在不完全矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝4，则BD＝：②如图2，在平面直角坐标系中，A（0.4），B（6，0），若整点M使得四边形AOBM是不完全矩形，则点M的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是不完全矩形．。
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1、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；
（2）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD=∠BCD ，并说明理由．
2、已知：如图平行四边形ABCD ，DE ⊥AC ，AM ⊥BD ，BN ⊥AC ，CF ⊥BD 求证：MN ∥EF
3、已知：如图菱形ABCD ，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于F ，若AE=AB ，∠DAE=2∠BAE 求证：BE=AF
4、已知：如图正方形ABCD ，P 、Q 分别是BC 、DC 上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
5、已知：如图正方形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是BC 、OD 的中点 求证：AF ⊥EF
6已知：如图，//AB CD ，AE ED =，BF FC =，//EM AF 交DC 于M ，求证：FM AE =。
7、已知：如图，⊿ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 中点，M 、N 是AC 上两点，EM 、FN 交于D ，若AM=MN=NC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
8、已知：如图，12∠=∠，3AB AC =，BE AD ⊥，求证：AD DE =。
9、已知：如图，//AB CD ，090D ∠=，BE EC DC ==，求证：3AEC BAE ∠=∠。
10、已知：如图，AD BC ⊥，2B C ∠=∠，BE EC =，求证：1
2
DE AB =。
11、已知：如图，AB DC =，AE DE =，BF FC =，FE 交BA 、CD 的延长线于G 、H ，求证：12∠=∠。
12、已知：如图，//AB CD ，090ADC ∠=，BE EC =，求证：2AED EDC ∠=∠。
13、已知:如图，正方形ABCD 中，E 是DC 上一点，DF ⊥AE 交BC 于F 求证：OE ⊥OF
14、如图，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
15、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=2，求EB的长．
16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．。