题型五三角形四边形的证明与计算

二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°)中，1. 在△ABCAB=11111.F两点于D、分别交AC、BC图②图①第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（(1)证明：EA=FC;211. ED的长（3）在（2）的情况下，求2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2. （2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.（1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由；（2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.图①图②第2题图3. 如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF.1图①图②图③第3题图（1）DE,DF的数量关系；（2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF；（3）如图③，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】针对演练1.（1）证明：∵AB=BC,∴∠A＝∠C,∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC, 11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C ,AB=BC=AB=BC, 1111∴∠A＝∠C,1在△ABE和△CBF中，12C??A??1?BC?AB，?1?BFC?ABE???1(ASA),BF∴△ABE≌△C1,BF∴BE=, BF=BC-∴AB-BE1.FC即EA=1是菱形，理由如下：：四边形BCDA(2)解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1, BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，(180°-120°)∴∠A＝∠C2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11, =150°+30°=180°∠ABC+∠A1,AD∥BCAB∥CD, ∴11 BCDA是平行四边形，∴四边形1,AB=BC又∵1.DA是菱形BC∴四边形1, 于点GE作EG⊥AB（3）解：如解图，过点=30°，）得∠A=∠ABA由（211=1, AG=BG=AB∴2321AG＝中，AE在Rt△AEG==，3Acos cos30题解图第1 2由（）知AD=AB=2,32 AE=2-∴DE=AD-3, H交EBDG于点2.解：(1)如解图①，延长是正方形，ABCD与四边形AEFG∵四边形, AE，AG=DAG=∠BAE=90°，∠∴AD=AB≌△ABE(SAS)，∴△ADG AEB，∴∠AGD=∠=90°，中，∠AGD+∠ADG在△ADG 90°，+∠ADG＝∴∠AEB.BEDGDHE=90°，即⊥∴∠题解图①第2 AEFG(2)∵四边形ABCD与四边形都是正方形，, AG=AEDAB=∠GAE=90°，,∴AD=AB∠G, BA=∠GAE+∠BAG∴∠DAB+∠BAE.G=∠∴∠DA∠∵，,AG=AD=AB,AEDAG=∠BAE(SAS), ABE∴△ADG≌△.DG=BE∴，=AMD∠AMG=90°于点作如解图②，过点AAM⊥DGM，∠的一条对角线，第14题解图③是正方形∵BDABCD.MDA=45°∴∠AD=45°中，∵∠△在RtAMDMDA，=2，32 =，=∴DMAM 中，Rt△AMG在222, =∵AM AG +GM2222)-((22)2AM-AG,∴GM ==6,∴GM=62,GM+=∵DG=DM+62题解图②第2 ∴BE=DG = + ..DFDE=3.解：(1) ，如解图①，连接CD(2), =CA△ABC中，CB∵在, ∠CBA∴∠CAB=, ∠MAC∵∠MBC=, MBAMAB=∠∴∠.BM∴AM= 的中点，D是边AB∵点上，M在CD∴点，M平分∠FCE∴CCD.EFCD=∠∴∠第3题解图①，∵ME⊥BC于EMF⊥AC于F,.=ME∴MF CME中，在△CMF和△MEMF???ECM???FCM, ??CMCM??(SAS). CME∴△CMF ≌△.CE∴CF= 中，CFD和△CED在△CE?CF??ECD??FCD?, ??CDCD??(SAS). CFD≌△CED∴△. DE=DF∴.DE=DF(3), HE、、DHGF、BM如解图②，作AM的中点G，的中点H,连接DG 的中点，∵点D 是边AB1. =BMDG∴DG∥BM,21=,DH. 同理可得：DH∥AMAM2是BM的中点，EME ∵⊥BC于，H1 BH=HEBEMRt∴在△中，BM=，24,HE∴DG=. FG同理可得：DH=,DH∥AM∵DG∥BM,∴四边形DHMG是平行四边形，.∠DHM∴∠DGM=, ∠MBCMAC,∠MHE=2∵∠MGF=2∠, ∠MAC且∠MBC= MHE，∴∠MGF=∠题解图②第3 ∠MGF=∠DHM+∠MHE，∴∠DGM+,DHE∴∠DGF=∠中，DHE与△FGD在△EH?DG??EHD??DGF?, ??FG?DH?(SAS). FGD∴△DHE≌△. DE=DF∴三角形、四边形的证明与计算题型四有直角三角形，通常作斜边上的中线类型二针对演练重A、BE是线段AB上一动点（点E不与AB=AC,∠BAC=90°，点D是斜边BC的中点，点ABC1. 在等腰Rt△中，.连接EF交DEAC于点F,合），连接DE,作DF⊥EF的长；，当E是线段AB的中点时，求线段(1)如图①，如果BC=42）AF；（AE（2）如图②，求证：BC+=的度若存在，求∠EAM=4AM?，使得AM,在线段AB上是否存在点EBCEF（3）如图③，点M是线段的中点，连接.数；若不存在，请说明理由图③图①图②题图1第的中点，连接是线段上，点在，点AED=，∠=,=,AED和△2. 如图①，在ACB△中ACBCAEDEACB ∠=90°EABFBD5.FECE、2 EF=3的长；，BE=4（1）若AD，求2;=（2）求证：CEEF，连接AC在同一条直线上（如图②）的一边AE恰好与△ACB的边顺时针旋转，使（3）将图①中的△AED绕点AAED.2）中的结论是否仍然成立，并说明理由的中点F，并连接EF,问（BD，取BD图②图①第2题图答案】【针对演练E1.(1)解：∵点D、分别是BC、AB的中点，∴，DE∥AC 90°，＝∠BAC=BED＝∠AED∴∠，DE,∠FDE=90°又∵DF⊥, ∴∠FDE＝∠AED, ∴ABDF∥的中点，F是AC∴点ABC的中位线，是∴EF△1∴EF＝=2; BC2, (2)证明：如解图①,连接ADABC斜边的中点，D是Rt△∵点11 =45°，＝∴AD=BCCD,∠EAD=∠BAC22 =∠ADB ∠ADC=90°，∵∠C45°，＝,C∴∠EAD=∠1 第，∠,+∵∠ADE∠ADF=90°∠CDF+ADF＝90°题解图①,CDF=∴∠ADE∠CDF中，ADE在△与△C?EAD????CDAD?，??CDF??ADE??(ASA), ≌△∴△ADECDF,=FCAE∴222).(AEAF++BC(=AC= FCAF)=∴. AB解(3)：在线段上存在点=4AMBCE，使得DM，,AD如解图②，连接D,=∵BC4AM =2A∴AD=2AM, 题解图②第 16为EF的中点，△△EAF和RtEDF中点M∵在Rt1, =EF∴AM=DM 2,DM ≥AD∵AM+ ∴2AM ≥AD,. EAM=45°显然只有AM和AD共线时，以上表达式等号才成立，此时∠2, =3，AE=DE,AD 2.（1）解：∵∠AED=90°=3, AE=DE∴中，BDE在Rt△∵=4, DE=3,BE=5, ∴BD 是线段BD的中点，又∵F1=2.5. BD∴EF＝2. ：如解图①，连接CF（2）证明的中点，=90°点F是BD∵∠BED=∠AED=∠ACB,FDEF= FB = =∴CF, BEF∠ABD=∠∴∠DFE＝∠ABD+∠BEF,, ABDDFE＝2∠∴∠∠CFD＝2CBD同理∠∠CBD)= 90°，DFE+∠CFD=2(∠ABD+∴∠即∠CBD= 90°2第2题解图①CE= EF. ∴.(3)解：(2)中的结论仍然成立，G交CB于点,如解图②连接CF，延长EF =90°∠AED，∵∠ACB=,DE∥BC∴,∠GBF∴∠EDF= 中，EDF在△与△GBFGBF?EDF????BF?DF, ??GFB???EFD?, GBF≌△（ASA）∴△EDF,=AEDE∴EF=GF,BG= 2 第题解图②, =∵ACBC, CE∴=CG,=EFCF，=90°∴∠EFC ∴△CEF为等腰直角三角形，，45°＝∴∠CEF2. EF=CE∴7题型四三角形、四边形的证明与计算类型三截长补短针对演练1. 如图，D为△ABC外一点，过D作DE⊥AB交AB延长线于E,过D作DF⊥AC交AC延长线于F，且DE=DF.（1）求证：AE=AF;（2）若∠CAB=60°，∠BDC=60°，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程；（3）若题中条件“∠CAB=60°”改为∠CAB=α，则∠BDC满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？并说明理由.备用图第1题图2. 已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=BC.（1）如图①，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的长度；1∠ADC; -+CQ，求证：∠PBQ=90°=、、（2如图②，点PQ分别在线段ADDC上，满足PQAP 2（3）如图③，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ,则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出∠PBQ 与∠ADC的数量关系，并给出证明过程.8图③图②图①题图第2. ABC=∠，点P是三角形外一点，且∠APB3. 如图，△ABC中，AB=AC; PB的长PA=2，求）如图①，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，（1; PC的数量关系，并证明,PB,2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA（3PA+PCBAC=120°=，请证明：PB. 3（）如图③，若∠图①图②图③第3题图94. 已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE,交AC于点F.（1）如图①,当点D、B重合时，求证：EF=BF;（2）如图②,当点D在线段AB上，且∠DCB=30°时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由;（3）如图③，在（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP=60°，交∠DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG=FQ.图①图②图③第4题图10答案】【针对演练ADF中，ADE与△1.（1）证明：在△FDED?????90??AFD?AED,??AD?AD?(SAS), ADF∴△ADE≌△.AF∴AE=: 理由如下+CF,猜想:BC＝BE解(2):7, ∠1）得：∠6=由（, =60°∵∠BAC,7=30°6=∠∴∠, =60°∠ADF∴∠ADE=, =60°∵∠BDC3, ∠∠2=∴∠1=60°- 4＝∠，同理∠2 DG，FG=BE，连接如解图所示，在AF延长线上取点G，使得中△∵在△BDE与GDF FD?ED??,90BED??GFD?????GFBE??GDF≌△(SAS), BDE∴△题解图1第，∠∠BD∴=GD,1=5, 1=2+5=4+=∴∠GDC ∠∠∠∠∠=60°∠ADE=BDC BDC△在与GDC△中，11BD?GD???BDC??GDC，??DC?DC?∴△BDC≌△GDC(SAS),∴BC=CG=CF+FG=CF+BE.1 (180°－α)时，(2)中结论仍然成立，满足∠(3)解：∠BDCBDC= 2理由如下：由（2）知△BDE≌△GDF(SAS),∴BD=GD,∠1=∠5.又∵BC=CF+BE=CF+FG=CG,∴在△BDC与△GDC中,BD?GD??DC?DC, ??BC?CG?∴△BDC ≌△GDC（SSS）,∴∠BDC=∠GDC,又∵∠GDC=∠4+∠5=∠4+∠1,∠EDF=180°-∠CAB=180°-α,1 (180°-α). BDC=∠4+∠1=∴∠22.(1)解：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD＝90°，∴∠BCD=90°,在Rt△BAD和Rt△BCD中，BD?BD?, ?AB?BC?∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL),∴AD=CD,∵AD=2,∴CD=2.（2）证明：如解图①，延长DC，在上面找一点K，使得CK＝AP,连接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BCD+∠BCK=180°,∴∠BAD=∠BCK,在△BPA和△BKC中，AP?CK???BAP??BCK, ??AB?BC?∴△BPA≌△BKC(SAS),∴∠1＝∠2，BP=BK.∵PQ=AP+CQ=CK+CQ=KQ,,KQ=∴PQ KBQ和△在PBQ△中，12BP?BK??BQ?BQ, ??PQ?KQ?∴△PBQ≌△KBQ(SSS), 第2题解图①∴∠PBQ=∠KBQ,∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ,1∠ABCPBQ=. ∴∠2∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-∠ADC,11∠ABC＝90°-∠ADC，∴221.ADC-∠∴∠PBQ＝90°21∠ADC，）中结论不成立，应该是：∠PBQ=90°+（3）解：（2 2证明：如解图②，在CD延长线上找一点K，使得KC＝PA，连接BK，∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BAD+∠PAB=180°,∴∠PAB=∠KCB,∴在△BPA和△BKC中，AP?CK???BAP??BCK，??AB?BC?∴△BPA≌△BKC(SAS),∴∠ABP=∠CBK,BP=BK,, KQ+CQ=AP+CQ＝CK∵PQ=,KQPQ=∴中，△KBQ在△PBQ和BK?BP??BQ?BQ, ??KQ?PQ?题解图②第2 ）≌△∴△PBQKBQ（SSS,,KBQPBQ=∠∴∠, =360°∠ABCPBK=2∠PBQ+∴2∠PBQ+∠, ADC)=360°PBQ+(180°-∠∴2∠1. ADC=90°+∠∴∠PBQ2, =60°∠BAC=AC,3.(1)解：∵AB 是等边三角形，∴△ABC, ∠ABC∵∠APB=,=60°APB∴∠的平分线上，恰巧在∠ABCP又∵点, ABP=30°∴∠, =90°∴∠PAB,=∴BP2AP13=2, ∵AP=4.∴BP.=PB:结论：PA+PC(2)解AD，使PD=PA，连接证明：如解图①，在BP上截取PD,,APB=60°∵∠ADP是等边三角形，∴△=60°，∴∠DAP,=AD1=∠2,PA∴∠ACP中，在△ABD与△DAPA???2?1??, ??ACAB??(SAS), ∴△ABD≌△ACP,∴PC=DB 题解图①第3 A∴P+PC=PB.，于点FAD，过点A作AF⊥BP于点(3)证明：如解图②，以点A为圆心，以AP的长为半径画弧交BPD，连接,=APAD∴, BAC=120°∵∠, =30°∴∠ABC, =30°∴∠APB, =120°∴∠DAP2,∠∴∠1= 第3题解图②△在ABD与△ACP中，ACAB???1??2?，??AP?AD?(SAS), ACP∴△ABD≌△P, CDB=∴, PDAF⊥∵3, A=∴PFP2,APAD=∵3, P＝∴PD=2PFA3 PB+PC∴=PA, AB=CB：∵∠4.(1)证明ABC=90°,, ∠ACB=45°∴∠A=, =CDCE∵⊥CD,CE, E=45°∴∠EBC=∠,=90°BCE∵∠, =45°=∠EBC=45°∴∠ACE=∠E,∠ACB, BF=CF∴EF=CF,.=BF∴EF CF+.理由如下：EF2（）解：=DF ，如解图①，点使得GFG=CF上找到在EF,∠=30°∵∠DCB,ACB=45°14∴∠ACD=15°,∴∠CFG=∠CDE+∠ACD=60°,∵FG=CF,∴△CFG是等边三角形，,FCG=60°GF,∠∴CG=CF=, ＝∠ACD-15°-60°=15°∠ACD-∠FCG=90°∴∠ECG=∠ECD-DCF中，ECG和△在△CF?CG??DCF??ECG?，??CD?CE?(SAS),DCF∴△ECG≌△题解图①第4 =∴EGDF,, GFEG+∵EF=.CFDF+∴EF= 如解图②，GH,FH=FG，连接（3）证明：在FQ上找到H点，使得，平分∠DFG ∵FQ, =60°∴∠QFG,FHFG=∵FGH是等边三角形，∴△, =FH,GH=FG∴∠GHF=∠FGH=60°, CD=60°CDE+∠A∵∠AFD=∠, DFG=120°∴∠GHQ=∠, =60°+∠QGH+∠DGH=60°,∠DGH∵∠FGD,QGHFGD=∠∴∠中，和△QHG∵在△DFG?QHG?120?DFG????HGFG?，??HGQFGH???? 4题解图②第≌△QHG(ASA), F∴△DG, QH∴DF=, FQFH+QH=∵. FQFG+FD=∴三角形、四边形的证明与计算题型四类型四构造适宜的三角形或四边形针对演练.、BEFG均为正方形1. 如图，四边形ABCD; CE的数量关系和位置关系并证明、CE，判断AG 和（1）如图①，连接AGEMB,求出∠，CE相交于点M连接MB、，<βBEFG（2）将正方形绕点B顺时针旋转角（0°β<180°)如图②，连接AG;的度数，求在这个旋转过程中线段）<180°<角（顺时针旋转绕点，将正方形，连接BC=2）若（3BE，=6DGBEFGBβ0°β.DG长度的取值范围15图②图①题图第12. 四边形ACBD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于点M、N，交直线AB于E、F两点.（1）当点E、F均在边AB上时（如图①），求证：BM+AN=MN;（2）当点F、E分别在边BA及其延长线上时（如图②），线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系：;（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长图②图①. 题图第216的中点，DE，点P是AD，EF=BE中，∠如图①，在菱形ABCDABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥3..GAD于点连接FP并延长交13AB，求DG=，BE⊥AB，垂足为H，若DH的长；=2 1 （）过D点作DH4（2）连接CP，求证：CP⊥FP;（3）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB 的延长线上运动，且BE=BF，PF的值；若不成立，请说2，那么第（）问的结论成立吗？若成立，求出的中点，连接FP、CPP连接DE，点为DE CP.明理由图②图①题图第3174. 如图①，△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC, AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE.（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长;（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G.①如图②，若点E是AC边的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE;②如图③,若点E是AC边上的动点，连接DF.当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变？如果不变，请求出∠DFG的度数;如果要变，请说明理由.图③图②图①题图第418. DE于点D，连接于点E，AD⊥BC5. 如图①，△ABC中，BE⊥AC 的周长；△ABC=1，BE=3，求BC （1）若AB=，DE2DE；F，求证：BF==BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点=（2）如图②，若ABBC，AD （3）如图③，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论.图③图②图①5题图第19答案】【针对演练CE，证明如下：AG=CE,AG⊥1.解：（1）BEFG均为正方形，∵四边形ABCD、, =BCBG=BE,BA∴∠GBA=∠EBC=90°, EBC中，在△GBA和△BE?BG??EBC??GBA?,??BC?BA?(SAS), EBC∴△GBA≌△,BCE,∠GAB=∠∴AG=CE, =90°BGA+∠GAB∴∠BGA+∠BCE=∠.CE∴AG⊥Q，可知四边形BPMQ为矩形，垂足分别为EC,BQ⊥MA,P、(2)如解图,过B作BP ⊥, +∠PBG=90°∴∠PBE+∠PBG=∠QBG,PBE=∠QBG∴∠和△BQG中，在△BPE QBGPBE?????BQG???BPE, ??BGBE??(AAS), ≌△BQG∴△BPE, PM且BP=BQ,BQ=∴,PM∴BP= 第1题解图∴△BPM为等腰直角三角形，∴∠EMB=45°上时，BDG点在线段DG，CD＝6,由勾股定理可求得＝10，当6+2(3)当在初始位置时，DG最大，此时GC＝＝822210.＜-2≤,所以DG的范围为：＝2，BD＝66，所以DG＝DG6-2，而旋转角取不到0°DG最小，此时BG，如解图①，△DAQ逆时针旋转DBM绕点D120°得到2.证明：把△Q, =D则DM,=BMAQ,BDM∠ADQ=∠∠=BDM∠∠ADQ+ADN=∠+∠ADN∠ADB-MDN =∵∠QDN第2题解图①-60°=120°=60°,, MDN=60°∠QDN∴∠= 在△△和MNDQND中，20DM?DQ???QDN??MDN, ??DN?DN?∴△MND≌△QND(SAS),∴MN=QN,∵QN=AQ+AN=BM+AN,∴BM+AN=MN.(2)解：MN+AN=BM.【解法提示】理由如下：如解图②，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP,则DN=DP,AN=BP,∵∠∠DBP=90°, DAN=∴点P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN＝120°-∠MDN＝120°-60°＝60°，∴∠MDP=∠MDN=60°,中，和△MPD在△MND DP?DN??MDN??MDP?, ??MD?MD?≌△MPD(SAS),∴△MND 题解图②第2, MPMN=∴, BPMP+∵BM=.BMAN=∴MN+ ，于点H于点G，交DN：如解图③，过点M作MH∥AC交AB(3)解∵△ABC是等边三角形，BMG是等边三角形，∴△,=BGBM=MG∴, ∠MND可得∠QND=1）中△MND≌△QND根据（N, H=∠MMH根据∥AC可得∠QND, MHNMND=∠∴∠,MH∴MN=, BM=AN-MG=MN-∴GH=MH,=GH即AN 中，△ANE和△GHE在MHN???QND??GEH???AEN, ??GH?AN? 2题解图③第GHE∴△ANE≌△(AAS),=1, =GE∴AE=5, ∵AC=5,=AC∴AB=5-1-1=3, EGAB-AE-∴BG==3.BG∴BM= 60°，＝）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC（3.1 CBA=60°，∠,,DA∥BCCD=CB ∠CDG=∴, =60°∠∴∠DAH=ABC DHA,⊥∵DHAB∴∠=90°，21DH, ∠DAH=△在RtADH中，sin AD32DH==4,∴AD= sin?DAH3211AB=×4＝1, 又∵AB=AD,∴BE=44∵EF∥AD,∴∠PDG=∠PEF,∵P为DE的中点，∴PD=PE,∴∠DPG=∠EPF,∴△PDG≌△PEF（ASA）,∴DG=EF,∥BC,∴EF∥∥AD,ADBC, ∵EF∴∠FEB=∠CBA=60°，∵BE=EF,∴△BEF为等边三角形，∴EF=BE=1,∴DG=EF=1.(2)证明：如解图①,连接CG、CF,由（1）知△PDG≌△PEF,∴PG=PF,∵BF=EF,DG=EF,∴BF=DG,在△CDG与△CBF中，CD?CB???60CBF??CDG????,BFDG??, SAS）CDG≌△CBF（∴△.⊥FPPF,∴CP∴CG=CF,∵PG= 3题解图①第CF，，连接CG、D作EF的平行线，交FP的延长线于点G解（3）：CP⊥FP仍成立.理由如下：如解图②，过, PDG△PEF≌△易证,BF=EF=∴DG, P=∠FEPDG∥EF,∴∠GD∵,DA∥BC∵,=∠PEC∴∠ADP, ∠PECE=∠FP-∴∠GDP-∠ADP 题解图②第3 ∠BEF=60°，=∴∠GDA, =120°+∠GDA∠∴∠CDG=ADC, =120°-∠EBF∵∠CBF=180°△CBF中，△在CDG和CBCD???CBFCDG???(SAS), ≌△CBF,∴△CDG??,?BFDG?B,CDCG=∠F=∴CGCF，∠, =∠FCP⊥,∴CPPF，∠GCPPF∵PG=, ABC=120°∵∠DCB=180°-∠, =120°DCG+∠GCE∴∠，=120°=120°+∠GCE,即∠GCFFCE∴∠1 =60°＝FCP∴∠∠GCF，222PF3. tan∠FCP=tan60°==在Rt△CPF中，CP的中线，是△ABE,AB=AC,AF4.解：（1）∵∠BAC=90°=10, 2AF∴BE==6,AE∵22BE-AE =∴AB=AC=8,∴CE=AC-AE=2,∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD,∵BF=EF,∴FD是△BEC的中位线，1CE=1. DF=∴2(2)①证明：如解图，过点C作CM⊥AC交AG延长线于点M，在△ABE和△CAM中，?ABE??CAM??AB?CA，???BAE??ACM?∴△ABE≌△CAM（ASA）,∴AE=CM,∠AEB=∠M,BE=AM,, =EC∵AE,=CM∴EC, BAC=90°AC,∠∵AB=, ACB=45°ABC=∠∴∠, =90°ACM∵∠,ACG=45°=∠∴∠GCM=90°-45°题解图第4 △在△EGC和MGC中，MC?EC??,MCG???ECG??CGCG??(SAS), ≌△MGC∴△EGC,=GM∴GE, +GEGM=AG∴AM=AG+BE=AM, ∵∴;BEG+AGE= 的大小不会改变，②∠DFG 的高，△ABEAFBC于点D,是∵AD⊥, =90°∠ADB∴∠AFB= F四点共圆，B,,D,∴A, AFD=180°∴∠ABD+∠, =180°+AFD∠DFG∵∠. ABDDFG=∠∴∠, =ABAC∵∠BAC=90°,,ABC=45°∴∠.=45°=∠ABDDFG∴∠解：如解图①所示：15.（）ACBEBCAB∵=，⊥，23=∴AECE，∠AEB=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，1 AE=，AC=∴DE2 =1，=2，AE2DE∴AC=22101031?，∴BC＝，∴AB==10 5题解图①第BC∴△ABC的周长=AB++AC =2 +2.AF，如解图②所示：（2）证明：连接AC，=BC，BE⊥∵AB 4，∴∠3=∠BD，ADC=90°，AD=∵∠∴△ABD是等腰直角三角形，=∠DBA=45°，∴∠DAB ∴∠3=22.5°，∠3+∠C=90°，∵∠1+∠C= ∴∠1=∠3=22.5°，第5题解图②∵DF平分∠ADB，∴∠ADF=∠BDF，中，在△ADF和△BDF BD?AD??BDF?ADF??，∴△ADF≌△BDF（SAS），??DF?DF?，，∠2=∠3=22.5°∴AF=BF 1+∠2=45°，EAF∴∠=∠2 F=，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AAE2. =DE∵DE=AE，∴BF AE.理由如下：解）：BE=DG+（3 ，如解图③所示：于DH⊥DE交BEH 作，⊥AC，AD⊥BC∵BE 2+∠ACD=90°，∠∴∠1+ACD=∠，1=∠2∴∠∠BDH，∴∠ADE=90°-∠ADH= 中，BDH在△ADE和△2??1???BDAD?，??BDH???AADE?ASA），ADE∴△≌△BDH（，，DH=DEAE=BH∴∴△DHE是等腰直角三角形，∴∠DEH，=45°DEH=45°，3=90°∴∠-∠题解图③第 5 ，△ACADC∵△沿着翻折至AGC ，∠=DE∴GE3=，∠4=45°=∴∠DEGDH，EDH∠=90°GE=，24∴DH∥GE，∴四边形DHEG是平行四边形，∴DG=EH，∴BE=EH+BH=DG+AE.题型四三角形、四边形的证明与计算类型五有角平分线,作到角两边的垂线针对演练1. 在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F 是AB延长线上一点，且CE=BF.（1）求证：DE=DF；（2）在图①中，若G在AB上,且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系,并证明；（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为“∠CAB=a，∠CDB=180°-a”，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长.图②图①题图第125【答案】针对演练=180°，ABDCDB=120°，∴∠C+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°，∠1.（1）证明:∵∠A+∠DBF，∠DBF=180°，∴∠C=∠∵∠ABD+BFCE???DBF???C,△DFB中，在△DEC和??BDCD??. =DFDEC≌△DFB，∴DE∴△. =EG解：CE+BG（2）, DA，如解图①证明：连接AB?AC??AD?AD ABD中，在△ACD和△??BD?CD?，∴△ACD≌△ABD=∠BDA=60°，∴∠CDA ∠GDB=60°，∠EDA+∠ADG=∠ADG+∵∠EDG= =∠GDB，∴∠EDA =，∠CDE∵∠BDF ，BDF=60°∴∠GDB+∠1题解图①第△在△DGF和DGE中EDFD???EDG?FDG??，，∴△DGF≌△DGE??DG?DG?. EG，∴CE+BG=FG∴=EG，∵CE=BF1. （180°-a）（3解：∠EDG=）2 AD的延长线于M，,过C作CM⊥AD交）（4解：如解图②中△ABC在△AMC和ABC???AMC??BAC??MAC?，??AC?AC? AB,CM=BC，ABC∴△AMC≌△，∴AM= ，BE=DE）由（1）（2（3）可知：DM+ 第1题解图②，∴=90°AE∵=3，∠AED，∠DAB=60°AD=6，3,DE由勾股定理得：=3 ，BEABAM=-AD=-6=BE+3-6=-3DM∴133+3). BE-3+∴BEBE=3，即(3= 226。