二阶系统阻尼比公式
二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率
二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率引言：欠阻尼系统是一种常见的动力学系统，其在许多工程领域中都有广泛的应用。
其中，二阶欠阻尼系统是一类重要的系统，其振荡频率是研究和分析的重点之一。
本文将介绍二阶欠阻尼系统的阻尼振荡频率及其相关概念。
一、什么是二阶欠阻尼系统？二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，其中包含质量、弹簧和阻尼器。
该系统的动力学行为可以通过二阶常微分方程来描述。
在实际应用中，二阶欠阻尼系统常用于模拟各种振动系统，如机械振动、电路振动等。
二、阻尼振荡频率的定义阻尼振荡频率是指二阶欠阻尼系统在振荡过程中的频率。
在阻尼比小于1的情况下，二阶欠阻尼系统会产生振荡。
阻尼振荡频率与系统的质量、刚度和阻尼系数相关。
三、阻尼振荡频率的计算阻尼振荡频率可以通过二阶常微分方程的特征方程来计算。
特征方程的解决方法有多种，其中一种常用的方法是使用特征根法。
特征根法是通过求解特征方程的根来确定阻尼振荡频率。
对于二阶欠阻尼系统，特征方程的一般形式为：s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2 = 0其中，s为特征方程的根，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
解特征方程可以得到两个特征根：s_1和s_2。
根据特征根的实部和虚部，可以确定阻尼振荡频率的类型。
当特征根为实数时，阻尼振荡频率为零，即系统不会振荡。
当特征根为复数时，阻尼振荡频率为非零，即系统会产生振荡。
此时，阻尼振荡频率的计算公式为：f_d = (1 - ζ^2)^0.5 * ω_n / 2π其中，f_d为阻尼振荡频率，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
四、阻尼振荡频率的影响因素阻尼振荡频率受到多个因素的影响，主要包括系统的质量、刚度和阻尼系数。
较大的质量和刚度会导致阻尼振荡频率减小，而较大的阻尼系数则会导致阻尼振荡频率增大。
阻尼振荡频率还受到外部扰动的影响。
外部扰动包括强制振动和非线性振动等。
这些扰动会改变阻尼振荡频率的大小和形态，使其产生偏移。
五、实际应用阻尼振荡频率在实际应用中有着广泛的应用。
自动控制原理 二阶系统的响应
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
自然频率和阻尼比计算
自然频率和阻尼比计算
自然频率和阻尼比是振动系统中的重要参数，它们可以通过一些公式进行计算。
自然频率是指在没有外部干扰的情况下，系统的固有振荡频率。
对于二阶系统，其自然频率可以通过以下公式进行计算：
ωn=√(k/m)
其中，ωn表示自然频率，k表示系统的刚度，m表示系统的质量。
这个公式反映了系统的固有特性与其刚度和质量的关系，可以帮助工程师和科学家分析系统的振动行为。
阻尼比则是衡量系统阻尼效果的参数，它反映了系统在受到外部激励后振动的衰减形式。
阻尼比的计算公式为：
ξ=c/(2√(km))
其中，ξ表示阻尼比，c表示系统振动系统的阻尼系数，k表示系统内部弹簧的弹性系数，m表示系统的质量。
需要注意的是，在计算自然频率和阻尼比时，需要准确地测量系统的参数，包括刚度、质量、阻尼系数等。
此外，还需要考虑系统的非线性特性，因为在实际应用中，许多系统都存在非线性特性，这会对计算结果产生影响。
总之，自然频率和阻尼比是振动系统中的重要参数，它们可以通过公式进行计算，对于工程师和科学家来说，了解这些参数有助于更好地分析系统的振动行为并设计出更加有效的控制系统。
二阶欠阻尼系统上升时间公式
一、介绍二阶欠阻尼系统是指在控制工程中常见的一种系统结构，其特点是系统动态响应存在振荡现象。
上升时间是评价系统动态性能的重要指标之一，它描述了系统从初始状态到稳定状态所需的时间。
对于二阶欠阻尼系统来说，上升时间的计算是非常重要的，可以帮助工程师们对系统的性能有一个清晰的认识。
二、二阶欠阻尼系统的数学模型二阶欠阻尼系统的数学模型可以表示为：\[ H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s +\omega_n^2} \]其中，\[ \omega_n \]是系统的自然频率，\[ \zeta \]是系统的阻尼比。
当\[ \zeta < 1 \]时，系统为欠阻尼系统。
三、二阶欠阻尼系统上升时间的定义上升时间指的是系统从零输出到其最终稳定值的时间。
对于二阶欠阻尼系统，上升时间可以用\[ t_r \]来表示。
四、二阶欠阻尼系统上升时间的计算工程师们通常使用一种基于系统自然频率和阻尼比的公式来计算二阶欠阻尼系统的上升时间。
这个公式通常表示为：\[ t_r = \frac{\pi - \arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)}{\omega_n} \]五、二阶欠阻尼系统上升时间公式的推导上升时间公式的推导过程比较复杂，这里不再赘述。
推导过程涉及到拉普拉斯变换、特征方程求解、正弦函数与指数函数的关系等数学知识。
六、二阶欠阻尼系统上升时间公式的意义上升时间公式可以帮助工程师们快速、准确地计算二阶欠阻尼系统的上升时间，从而评估系统的动态性能。
通过上升时间的计算，工程师们可以对系统进行合理的调节，以满足设计要求。
七、二阶欠阻尼系统上升时间公式的应用上升时间公式广泛应用于控制工程、电子工程等领域。
在系统设计和调试过程中，工程师们可以利用该公式快速评估系统的性能，并对系统参数进行调整。
在教学和科研中，该公式也为相关领域的研究者们提供了重要的工具。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
自动控制原理习题解答
第三章3－3 已知各系统的脉冲响应，试求系统的闭环传递函数()s Φ：()()1.25(1)()0.0125;(2)()510sin 445;(3)()0.11t t k t e k t t t k t e --==++=-解答： （1） []0.0125()() 1.25s L k t s Φ==+（2）[])222223222()()5sin 4cos 454441511616116s L k t L t t t s s s s s s s s ⎡⎤Φ==++⎢⎥⎣⎦⎫=++⎪++⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）[]()111()()0.1110313s L k t s s s s ⎡⎤⎢⎥Φ==-=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦ 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为)6.1sin(5.1210)(1.532.1︒-+-=t t h et试求系统的超调量σ%，峰值时间tp和调节时间ts.解答：因为0<ξ<1，所以系统是欠阻尼状态。
阻尼比ξ=cos(1.53︒)=0.6，自然频率26.0/2.1==w n， 阻尼振荡频率wd=6.16.01212=-⨯=-=ξw w n d 1． 峰值时间tp的计算96.16.1===ππwt dp2． 调节时间ts的计算9.226.05.35.3=⨯==w t ns ξ3． 超调量σ%的计算%48.9%1006.0%100%221/6.01/=⨯=⨯=-⨯---eeππξξσ3-5设单位反馈系统的开环传递函数为)6.0(14.0)(++=s s s s G ，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解答：方法一：根据比例-微分一节推导出的公式)135(6.014.0)12/()1()(+⨯⨯+=++=s s s s s s K s G w T n d ξ1)5.2(4.0114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)2()(1)()(22222+++=+++=+++++=+++=+=s s s s s s s s s s s zs z S G s G s s s w w s w nn dn ξφ)1()](1[12)1sin(1)(222222ξξξξξξξπψξddnd dndnn ddn tarctg z arctg z r t w r t h w ww w zw e n d -+--+-=-+-=ψ+-+=-把z=1/Td=2.5,1=wn,5.0=ξd代入可得)3.8323sin(5.005.11)7.9623sin(5.005.11)( ---=--+=t e t t e t t h峰值时间的计算0472.1)1(2=-=ξξβdddarctg ，-1.6877=ψ158.312=--=ξβψdndpwt超调量得计算%65.21%10011%22=⨯--=-ξξξσddetrpd调节时间得计算29.6)ln(21ln )2ln(2131222=--+-+=-ww w z t ndn n d sd z ξξξ方法二：根据基本定义来求解闭环传递函数为114.0)6.0(14.01)6.0(14.0)(1)()(2+++=+++++=+=s s s s s s s s S G s G s s φ当输入为单位阶跃函数时)232()21(21.0)232()21(2)21(116.01)1(14.0)(22++-++++-+=++--+=+++=s s s s s s s s s s s C s s 得单位阶跃响应)23sin(1.0)23cos(1)(2121t t t h e et --⨯--=)3.8423sin(121 +-=-t et )0(≥t 1． 峰值时间tp的计算 对h(t)求导并令其等于零得-0.5023)23cos()23sin(3.843.842121=⨯+-+︒-︒-t e t epp t t p p 3)23tan(3.84=+︒t p t p =2.9 2. 超调量σ%的计算 %100)()()(%⨯∞∞-=h h h t p σ=17.49%3. 调节时间ts得计算05.0)84.523sin(21≤-⨯-t est s5.33=t s3-6.已知控制系统的单位阶跃响应为6010()10.2 1.2t t h t e e --=+- ，试确定系统的阻尼比ζ和自然频率n ω。
二阶方程的固有频率和阻尼比
固有频率和阻尼比是描述振荡系统特性的两个重要参数。
对于
一个二阶线性常微分方程，它的一般形式是：
m*d²x/dt²+ c*dx/dt + k*x = 0
其中，m 是质量，c 是阻尼系数，k 是刚度系数。
1. **固有频率ω**: 固有频率是描述系统振动特性的一个参数，它与系统的质量和刚度有关，而与阻尼无关。
对于上述的二阶方程，固有频率ω可以通过以下公式计算：
ω= sqrt(k/m)
其中，sqrt表示平方根函数。
2. **阻尼比ξ**: 阻尼比是描述系统阻尼特性的一个参数，它
与系统的阻尼系数和质量有关。
对于上述的二阶方程，阻尼比ξ可以通过以下公式计算：
ξ= c/2*sqrt(m*k)
需要注意的是，当阻尼比ξ的值在0和1之间时，系统的阻尼
是有效的；当ξ=0时，系统无阻尼；当ξ>1时，系统可能会发生共振。
因此，要得到二阶方程的固有频率和阻尼比，首先需要知道系
统的质量m、刚度系数k和阻尼系数c。
然后通过上述的公式进行计算即可。
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
二阶系统 阻尼比0.707 超调量
二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，通常用于描述机械系统或者控制系统中的动态特性。
在工程和物理学中，二阶系统的阻尼比和超调量是描述系统动态响应的重要参数。
本文将从阻尼比和超调量两个方面对二阶系统进行深入分析。
一、阻尼比1. 定义：阻尼比是指二阶系统中阻尼元件的阻尼效果相对于临界阻尼的大小。
阻尼比的定义公式为ζ = c / 2√(mk)，其中c为阻尼系数，m为系统的质量，k为系统的刚度。
2. 阻尼比的作用：阻尼比的大小直接影响了二阶系统的动态特性，对系统的稳定性、响应速度和振荡幅度等有着重要影响。
3. 阻尼比的分类：根据阻尼比的大小，可以将二阶系统分为三种类型：超阻尼（ζ > 1）、临界阻尼（ζ = 1）和欠阻尼（ζ < 1）。
4. 超阻尼：当阻尼比大于1时，二阶系统呈现过度衰减的特性，系统的振荡幅度较小，但响应速度较慢。
5. 临界阻尼：当阻尼比等于1时，二阶系统的阻尼效果最佳，系统的响应速度和稳定性达到最优状态。
6. 欠阻尼：当阻尼比小于1时，二阶系统呈现振荡的特性，振荡幅度较大，响应速度较快，但稳定性较差。
二、超调量1. 定义：超调量是指二阶系统在单位阶跃输入下，输出信号超过稳态值的最大幅度与稳态值之比。
2. 超调量的计算公式为Mp = (yss - y0) / y0，其中Mp为超调量，yss为稳态值，y0为初始值。
3. 超调量的作用：超调量是衡量系统动态性能的重要指标，它直接反映了系统的控制质量和稳定性。
4. 超调量的影响：超调量大小的不同会直接影响到系统的稳定性和响应速度，较大的超调量可能导致系统不稳定或者产生过度振荡的现象。
5. 控制超调量：在实际工程中，可以通过调节系统参数或者采取控制策略来限制系统的超调量，以提高系统的动态性能和稳定性。
结论：通过对二阶系统的阻尼比和超调量进行深入分析，可以看出它们对系统的动态特性和稳定性有着重要的影响。
合理选择阻尼比和控制超调量，对于提高系统的响应速度、稳定性和控制质量具有重要意义。
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二阶系统:
凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
许多高阶系统在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
二阶系统控制系统按数学模型分类时的一种形式.是用数学模型可表示为二阶线性常微分方程的系统.二阶系统的解的形式,可由对应传递函数W(s)的分母多项式P(s)来判别和划分.P(s)的一般形式为变换算子s的二次三项代数式,经标准化后可记为
代数方程P(s)=0的根,可能出现四种情况:
1.两个实根的情况,对应于两个串联的一阶系统.如果两个根都是负值,就为非周期性收敛的稳定情况.
2.当a1=0,a2>0,即一对共轭虚根的情况,将引起频率固定的等幅振荡,是系统不稳定的一种表现.
3.当a1<0,a1-4a2<0,即共轭复根有正实部的情况,对应于系统中发生发散型的振荡,也是不稳定的一种表现.
4.当a1>0,a1-4a2<0,即共轭复根有负实部的情况,对应于收敛型振荡,且实部和虚部的数值比例对输出过程有很大的影响.一般以阻尼系数ζ来表征,常取
在0.4~0.8之间为宜.当ζ>0.8后,振荡的作用就不显著,输出的速度也比较慢.而ζ<0.4时,输出量就带有明显的振荡和较大的超调量,衰减也较慢,这也是控制系统中所不希望的.
阻尼比:
阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。
在土木、机械、航天等领域是结构动力学的一个重要概念，指阻尼系数与临界阻尼系数之比，表达结构体标准化的阻尼大小。
阻尼比是无单位量纲，表示了结构在受激振后振动的衰减形式。
可分为等于1，等于0, 大于1，0~1之间4种，阻尼比=0即不考虑阻尼系统，结构常见的阻尼比都在0~1之间。
ζ<1的单自由度系统自由振动下的位移u(t) = exp(-ζ wn t)*A cos (wd t - Φ )，
其中wn 是结构的固有频率，wd = wn*sqrt(1-ζ^2) ,Φ为相位移.Φ和常数A由初始条件决定。
影响因素:
主要针对土木、机械、航天等领域的阻尼比定义来讲解。
阻尼比用于表达结构阻尼的大小，是结构的动力特性之一，是描述结构在振动过程中某种能量耗散的术语，引起结构能量耗散的因素（或称之为影响结构阻尼比的因素）很多，主要有（1）材料阻尼、这是能量耗散的主要原因。
（2）周围介质对振动的阻尼。
（3）节点、支座联接处的阻尼（4）通过支座基础散失一部分能量。
（5）结构的工艺性对振动的阻尼。