2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高三9月月考数学(文)

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吉林省梅河口市第五中学2020届高三下学期模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2 ⎪梅河口五中高三下学期模拟考试数学（文科）1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0 }，则 A ⋂ B 等于( ) A. {1} B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1, 0,1, 2, 3}2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) ， i 为虚数单位，则 z + 2= ( ) z - 1A. -1 - iB. 1+ i3 C. 1 - i2D. 1 + 3 i23、命题" ∀x ∈ R, x 3- x 2 + 1 ≤ 0 "的否定是()4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ，且 (a + b ) / /(ma - b ) ，则实数 m = （）A. 1B. -1C. 75 D. - 755、已知 a = 21.2 ， b = ⎛ 1 ⎫ ⎝ ⎭-0.8， c = 2 log 5 2 ，则 a , b , c 的大小关系为( )A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 ，则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 A = 30︒, b 2 = 2ac ，则 b sin B =c（）A. 1B. 2C. 12D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ，则sin 2x 的值介于 0 到之间的概率为4 4 2（）A. 34 D. 13B. 23C. 129、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2-= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点，以 AB 为直a 2b 2径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 4a 2 ，则双曲线的离心率为()A.B.C. 2D.10、设函数 f ( x ) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x ∈ D ，都有⎨⎩S 4 f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 2011、已知过球面上三点 A , B , C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( )A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π12、已知直线 l : y = -2 x - m (m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2- 2x - 2 y - 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相交于不同两点 M , N .若| MN |≤ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（）A. 5)B. [2, 3)C. (5,D.2)13、设曲线 y = ax 2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直，则 a =.⎧ x - 2 y ≤ 014、已知 x , y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 ，则 z = x + y 的最小值为．⎪ x ≥ 1 15、已知正数 x , y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 .16、△ ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b则△ ABC 面积的最大值是.17、已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 2 = 8，a 3 + a 8 = 2a 5 + 2 ．(1)求 a n ；(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ，求证T < 3 . n nn18、如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 ，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC , E , F 分别是 A 1C 1 , BC 的中点.2(1).求证：平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ；(2).求证： C 1 F / / 平面 ABE .19、如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ，AB / /CD , AB ⊥ BC , AB = BC = 4, C D = 2CE = 2 .（1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 PDE ；（2）若△PAB 的面积为 P - ADE 的体积.20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x y 2+ = 1 的左顶点为A ，右焦点为 F ，P ， 4 3Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x 2+ y 2= r 2(r > 0) .（1）若 PF ⊥ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；（2）若圆 O 的半径为 2，点 P ，Q 满足 k 值.21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .2OP ⋅ k OQ= - 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大 4（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围；（2）当 a = 0 , b = - 1 时，方程 x 2 = 2mf ( x ) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值. 22、选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系3 ⎧⎪ x =中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 ⎨t( t 为参数)，曲线 C 的极坐标⎛ π ⎫方程为 ρ= 4 s in θ+ ⎪ .⎝ ⎭⎪⎩ y = 1 +(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积．23、已知函数 f (x ) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x ) ≤ 2 的解集；(2)若 f ( x ) 的最大值为 m ，正数 a , b , c 满足 a + b + c = m ，求证： a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .2 ⎪ 551 答案及解析：答案：B解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0}= {x -1 ≤ x ≤ 2 } ，∴ A ⋂ B = {1, 2} .故选 B.2 答案及解析：答案：D 解析：z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3i ，故选 D. z - 1 -2i 23 答案及解析：答案：C解析：由全称命题的否定是特称命题可得命题 ∀x ∈ R,x 3 - x 2 + 1 ≤ 0 的否定是“ 32∃x 0 ∈ R,x 0- x 0 + 1 > 0 ”，故选 C.4 答案及解析：答案：B解析：易知 a + b = (-1,1), ma - b = m (4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ，因为(a + b ) / /(ma - b ) ，所以 (-1) ⨯ (-m - 2) - 1⨯ (4m + 5) = 0 ，解得： m = -1，故选 B.5 答案及解析：答案：A解析：∵ a = 21.2> 2 ， b = ⎛ 1 ⎫⎝⎭ -0.8= 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ，∴ c < b < a .故选 A.6 答案及解析：答案：D解析：输入的 a , b 分别为 8, 2, n = 1第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后 n = 4, a =81, b = 32 ，不满足退出循环的条件， 2第五次执行循环体后 n = 5, a = 243, b = 64 ，满足退出循环的条件， 4故输出的 n = 5 ，故选 D .7 答案及解析：答案：A解析：因为 b 2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 s in A s in C = 2 s in 30 sin C = sin C ，所b sin B 以c sin 2 B= = 1， sin C故选 A.8 答案及解析：答案：Dπ π π 解析：所有的基本事件构成的区间长度为 - (- ) = ，由 0 ≤ sin 2 x ≤，解得：4 4 2 20 ≤ 2 x ≤ π ，则 0 ≤ x ≤ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到之间的3 6 2π - 06 1 概率为 P = π = 3 ， 2故选:D.9 答案及解析：答案：D解析：由题意可得图像如图所示：为双曲线的左焦点2∵AB 为圆的直径∴∠AFB = 90︒根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形∴S = 1 S = S △ABF 2 AFBF ' △FBF '又 b 2 2 2 2S △FBF ' == b tan 45︒= 4a ，可得： c = 5a∴e 2 = 5 ⇒ e =.故选 D.10 答案及解析：答案：B解析：若 a ≤ 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a =| x |= x ，又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x ) = x ，符合题意；⎧- x , 0 < x < a 若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a = ⎨， ⎩ x - 2a , x ≥ a又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x ) 对于任意x ∈ R 恒成立，∴问题等价于将 f ( x ) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f (x + 20) 图象恒在f ( x ) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (-∞, 5) ，故选 B.11 答案及解析：答案：C解析：如图，设球的半径为R,O'是△ABC 的外心，外接圆半径为r, 则OO'⊥面ABC .在1Rt△ACD 中，cosA =，则sinA =.3在△ABC 中，由正弦定理得6sin A3=2r,r ，△ABC 外接圆的半径r ==R ⇒R2 =27，S= 4πR2 = 54π.故选:C.212 答案及解析：答案：B解析：圆C 方程可化为：(x-1)2 +(y -1)2 = 25 ⇒C(1,1) ，圆C 半径r = 5 | MN |≤ 2 | CM +CN |=| MN |2 ≤ 4 | CM +CN |2即| MN |2 ≤ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM ⋅C N∴| MN |2 ≤100 +100 +8 | CM |⋅| CN | cos∠MCN2⇒| MN |2 ≤100 +100 +200⨯25+ 25- | MN |50⇒| MN |≤设圆心C 到直线y =-2x-m 的距离为d则=≤⇒m ≥ 2又直线y =-2x-m 与圆C 相交，可得d <r< 5 ⇒m < 3综上所述：m∈[2, 3)故选B.13 答案及解析：答案：1解析：y ' = 2ax ，所以切线的斜率k = 2a ，⎨ ⎩ 又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0垂直得 2a ⨯ ⎛ - 1 ⎫ = -1 ，解得 a = 1.2 ⎪ ⎝ ⎭14 答案及解析：答案： 32⎧ x - 2 y ≤ 0 解析：作出 x ，y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 对应的平面区域如图： ⎪ x ≥ 1由 z = x + y 得 y = -x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线，平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时，直线 y = -x + z 的截距最小，此时 z最小，⎧ x = 1 1 由 ⎨⇒ A (1, ) ，⎩ x - 2 y = 0 2z = 1 + 1 = 3 ．此时 min2 2 3故答案为：．215 答案及解析：答案：25解析：由正数 x ，y 满足 3x+4y=xy ，∴． ∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当 x=2y=10 时，取等号．∴x+3y 的最小值为 25．故答案为：25．16 答案及解析：⎨答案： + 12解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得，sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ，即 tan B = 1, B = 45︒ .在△ ABC 中，由余弦定理得 a 2 + c 2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a 2 + c 2 = 2 ，又因为 a 2 + c 2 ≥ 2ac ，∴ 2 = a 2 + c 2 ≥ (2 -a c ，由此可得 ac= 2a = c 时等号成立， △ ABC 面积 S = 1 ac sin B =2 += 1 ，2 4 2故△ ABC 面积 S17 答案及解析：答案：（1）设公差为 d ，由题意有 ⎧2a 1 + d = 8 ， ⎩2a 1 + 9d = 2a 1 + 8d + 2解得 a 1 = 3, d = 2 ，所以 a n = 2n + 1 .（2）由（1）知， S n= n (3 + 2n + 1) = n 2 + 2n ，2则 1 = 1 = 1 ( 1 - 1 ) ， S n n (n + 2) 2 n n + 2所以T = 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 )] n2 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 = 1 (1 + 1 - 1 - 1 ) < 3. 2 2 n + 1 n + 2 418 答案及解析：答案：(1).在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， BB 1 ⊥ 底面 ABC所以BB1⊥AB又因为AB ⊥BCBC ⋂BB1=BBC, BB1⊂平面B1BCC1所以AB ⊥平面B1BCC1又AB ⊂平面ABE所以平面ABE ⊥平面B1BCC1(2).证明：AB 取的中点G，连接EG, FG因为E, F 分别是A1C1, BC 的中点所以FG / /AC ，且FG =1AC2因为AC / /A1C1，且，AC =A1C1，所以FG / /E C1，且FG =EC1，所以四边形为FGEC1平行四边形所以C1F / /EC又因为EG ⊂平面ABE ，C1F ⊄平面ABE所以C1F / / 平面ABE19 答案及解析：答案：（1）在直角梯形ABCD 中，AB =BC =4 ，CD =2 ，CE = 1，ÐABE = ÐECD \ DE ==AB == 5AD ==\ DE2 +AE2 =AD2 ，\ AD ^ DEQ PD ^ 平面ABCD ，DE Ì平面ABCD ，\ PD ^DE ，又AD I PD = D\ DE ^ 平面PAD ，又DE Ì平面PDE ，\ 平面PAD ^ 平面PDE\ Sy2⎝⎪（2）设PD =h ，BD ==，AD =\ PA =PB =ΔPAB= 1 鬃=22\ h又S△ADE= 1 AD×DE = 52\ 1VP- ADE=S△ADE×h3 320 答案及解析：x2答案：（1）因为椭圆C 的方程为2+=1，所以A (-2, 0),F (1.0).4 3因为PF ⊥x 轴，所以P⎛1,±3 ⎫，而直线AP 与圆O 相切，2 ⎪⎝⎭根据对称性，可取P⎛1, 3 ⎫，⎭则直线AP 的方程为y =1 (x +2)，即x -2y +2 = 0 .24由圆O 与直线AP 相切，得r =，所以圆O 的方程为x2 +y2 =.5（2）易知，圆O 的方程为x2 +y2 =3.①当PQ ⊥x 轴时，k ⋅k=-k 2 =-3，所以k =±，OP OQ OP 4 OP 2此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y =kx +b ，P (x1 , y1 ),Q (x2 , y2 )(x1 x2 ≠ 0)，228kb 4b 2 -12 ）式，得 2b 2 = 4k 2 3 + 4k 2 代入（* 3 + 4k 2首先由 k ⋅ k = - 3 ，得 3x x+ 4 y y= 0 ， OP OQ41 2 1 2 即 3x 1 x 2 + 4 (kx 1 + b ) (kx 2 + b ) = 0 ，所以 (3 + 4k) x 1 x2+ 4kb ( x 1 + x 2 ) + 4b= 0 （*）⎧ y = kx + b⎪ 联立 ⎨ x 2 ⎪ y 2+ = 1 ，消去 x ，得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kbx + 4b 2 - 12 = 0 ，在 ∆ > 0 时 ⎩4 3x 1 + x 2 = - , x 1 x 2 = + 3 .由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l =k = 0 时，l 有最大值>，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为21 答案及解析：答案：（1）由题意，函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) ，则导数为 f '( x ) = 1- ax - bx由 f (1) = 0 ，得 b = 1 - a ，∴ f '( x ) = 1- ax + a - 1 =-(ax + 1)( x - 1)x x①若 a ≥ 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 .当 0 < x < 1时， f '( x ) > 0 ，此时 f ( x ) 单调递增；当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，此时 f ( x ) 单调递减. 所以 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点②若 a < 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = - 1.a因为 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，所以 - 1 > 1 ，解得 -1 < a < 0 a综合①②：a 的取值范围是 a > -1⎪2（2）因为方程 2mf ( x ) = x 2 有唯一实数解，所以 x 2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解2 x 2 - 2mx - 2m 设 g ( x ) = x 2- 2m ln x - 2mx ，则 g '( x ) = ，x令 g '( x ) = 0 ，即 x 2 - mx - m = 0 .m 因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x 1 =2 m < 0 （舍去）， x 2 = 2当 x ∈ (0, x 2 ) 时， g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在 (0, x 2 ) 上单调递减，当 x ∈ (x 2 , +∞) 时， g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 ( x 2 , +∞) 单调递增当 x = x 2 时， g '( x ) = 0 ， g ( x ) 取最小值 g ( x 2 )⎧g ( x ) = 0 ⎧ x 2 则 2 ，即 2 - 2m ln x 2 - 2mx 2 = 0 ， ⎨ ⎩g '( x 2 ) = 0 ⎨ 2⎪⎩ x 2 - mx 2 - m = 0所以 2m ln x 2 + mx 2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x 2 + x 2 -1 = 0(*)设函数 h ( x ) = 2 ln x + x - 1，因为当 x > 0 时， h ( x ) 是增函数，所以 h ( x ) = 0 至多有一解m 因为 h (1) = 0 ，所以方程 (*) 的解为 x 2 = 1 ，即2 = 1 ，解得 m = 1222 答案及解析：⎧⎪ x 答案：(1)由 ⎨- t，消去参数 t + y = 4 ，直线 l 的普通方程为+ y - 4 = 0 . ⎪⎩ y = 1 +⎛ π ⎫由 ρ= 4 sin θ+⎪ = 2 sin θ+ θ 得，ρ = 2ρsin θ+ 2 3， ⎝3 ⎭即 x 2 + y 2 = 2 y + ，∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x - 2 + ( y - 1)2 = 4 .(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d == 2 .直线 l 过圆 C 的圆心，∴ MN = 2r = 4 ，⎨3 所以△MON 的面积 S = 1MN ⨯ d = 4 . 2解析：23 答案及解析：答案：（1）当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 x + 3 ≥ 2 ，解得x ≥ -1 ，此时 -1 ≤ x ≤ 0 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 3 - 3x ≥ 2 ，解得x ≤ 1 ，此时 0 < x ≤ 1； 3 3当 x ≥ 3 时， f (x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 ≤ -6 ，此时不等式 f ( x ) ≥ 2 无解.综上所述，不等式 f ( x ) ≥ 2 的解集为 ⎡-1, 1 ⎤ ；⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎧ x + 3, x ≤ 0（2）由 1 可知 f (x ) = ⎪- 3x , 0 < x < 3 . ⎪- x - 3, x ≥ 3当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x + 3 ≤ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 - 3x ∈ (-6, 3) ；当 x ≥ 3 时，f ( x ) = -x - 3 ≤ -6 .所以，函数y = f ( x ) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 .由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a 2 +b 2 +c 2 )≥ (a + b + c )2，即 3(a 2 +b 2 +c 2 )≥ 32 ，即 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立. 因此， a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .。

2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D【解析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð，由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B.本题考查复数的代数运算，属于基础题. 3．设1,0(){2,0xx x f x x -≥=<，则((2))f f -=（）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确．【考点】复合函数求值．4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =，故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 5．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B【解析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值．【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-，则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位，得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.8．已知a b r r ，满足23a =r ，3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A【解析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.9．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【答案】B【解析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 10．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.11．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( )A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根，则在[0,5]上有4个不同的实数根，当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =，可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点，即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.12．直线330x y -=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u v u u u v，则该椭圆的离心率是（）A ．31B 31- C ．222 D 21【答案】A【解析】由直线330x -+=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(3,0)F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r ，求得332A ⎫⎪⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得2336a +=，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，直线330x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得3x =所以3c =，即椭圆的左焦点为(3,0)F -，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，3,1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b+= ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2336a +=，所以()222242331336c e a ===-=-+，所以椭圆的离心率为31e =-. 故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.14．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，20013x x +>”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．【答案】②【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x”，故①错误；“p ∨q”为假命题说明p 假q 假，则(⌝p)∧(⌝q)为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误． 15．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________．【答案】3【解析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：31sincos3322a b a b b ππ+=+= 3b a ∴=本题正确结果：3 【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c -=, 那么椭圆的方程是．【答案】【解析】【详解】由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ∴tan 360bc︒== 又，∴，∴椭圆的方程为221129x y +=，故答案为221129x y +=．【考点】椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．三、解答题17．在ABC ∆3sin cos a C c A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆，223b c +=+a 的值．【答案】(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（13sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以 3tan A =进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到223b c +=+式得到2a =．解析：（I 3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 3tan 3A =．又因为 ()0,A π∈，所以 6A π=．（II ）由11sin 324ABC S bc A bc ∆===，得43bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222238312a b c bc bc b c =+--=+--，因为223b c +=+，解得 24a =. 因为 0a >，所以 2a =.18．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.（1）求证：CG AF ⊥；（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，CG AF ⊥.（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可.【详解】（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴CF AB ⊥. 又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BC CF C =I ，∴AB ⊥平面BCF . ∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF . ∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥.（2）∵CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，∴DE ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F .∴()2,0,1AE =-u u u r ，()0,2,1EF =u u u r ，()0,2,0DC =u u u r. 设(),,n x y z =r为平面AEF 的法向量，则·0·0n AE n EF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则()1,1,2n =-r.由题意知()0,2,0DC =u u u r为平面BCF 的一个法向量， ∴()6cos ,||||62n DC n DC n DC ===⨯r u u u rr u u u r g r u u u r∴平面BCF 与平面AEF 26301()66--=.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19．在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点， 6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 33，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）312986；（Ⅲ）见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置. 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD P ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =r,则：40333022m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv r u u u v r ，据此可得平面POE 的一个法向量为)3,1,0m =-r，而()0,33,4PB =-u u u v，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则333sin 12986213PB m PB m θ⋅===⨯⨯u u u v r u u uv r (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,6,33,0,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，据此可得：()()3,,3,33,0x y z λ+=-，即：33330x y z λλ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F 的坐标为()33,33,0F λλ--，据此可得：()33,3333,0BF λλ=---u u u v ,()3,0,4PA =-u u u v ，结合题意有：()()223310591271BF PA BF PA λλ⋅==⨯⨯++-u u u v u u u v u u u v u u u v ，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =+. （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，O是原点，且OAB S =V k 的值. 【答案】（1）(1)( 1.1)-⋃-⋃；（2）0k =或2k =±. 【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，由（1）可得12,x x 关系，再由直线l 过点(0,1)，可得1212OAB S x x =-=V ，进而建立关于k 的方程，求解即可. 【详解】（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩有两个不同的实数根，整理得()221220kxkx ---=，()222104810k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩，解得k <<且1k ≠±.双曲线C 与直线l 有两个不同交点时， k的取值范围是(1)( 1.1)-⋃-⋃.（2）设交点()11,,A x y ()22,B x y ，直线l 与y 轴交于点(0,1)D ，1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-∴⎨-⎪⋅=⎪-⎩，1212OAB S x x =-=V Q ()2212x x ∴-=，即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭，整理得42230k k -=，解得0k =或232k =0k ∴=或2k =±.又k <<Q 0k ∴=或k =时，AOB V. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()(0)x axf x a e=≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，如果方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，求实数t 的取值范围，并证明122x x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(,1)-∞；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，分别求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）由（1）得出()f x t =有两解时t 的范围，以及12,,t x x 关系，将122x x +>，等价转化为证明()()121212121x x x x x x e e ---+>-，不妨设12x x >，令12m x x =-，则0,m >1m e >，即证(2)20mm e m -++>，构造函数()(2)2(0)xg x x e x x =-++>，只要证明对于任意0,()0x g x >>恒成立即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且(1)()xa x f x e -'=. 由10x x e ->，得1x <；由10x xe-<，得1x >. 故当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(,1)-∞.（2）由（1）知当1a =时，()x xf x e =，且max1()(1)f x f e==. 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.∴当10t e<<时，直线y t =与()y f x =的图像有两个交点， ∴实数t 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Q 方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，11x x t e ∴=，22x x t e=，11x x te ∴=，22x x te =， ()1212x x x x t e e ∴-=-，即122x x x t e e -=-.要证122x x +>，只需证()122x xt e e +>，即证()()1212122x x x x x x e e e e-+>-，不妨设12x x >.令12m x x =-，则0,m >1m e >，则要证()121m m m e e +>-，即证(2)20mm e m -++>.令()(2)2(0)x g x x e x x =-++>，则()(1)1xg x x e '=-+. 令()(1)1xh x x e =-+，则()0xh x xe '=>，()(1)1x h x x e ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴>=.()0g x '∴>，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0g x g ∴>=，即(2)20x x e x -++>成立，即(2)20mm e m -++>成立.122x x ∴+>.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=.【解析】（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线l 的方程. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），可得曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=，因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=，即2sin 0ρθ-=.（2）因为直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线，曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=，所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1).∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.23．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．【解析】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【考点】不等式选讲.。

2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高二9月月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高二9月月考数学（理）试题一、单选题1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可推得::3:7:8a b c =，再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判断三角形形状．【详解】因为sin :sin :sin 3:7:8A B C =，所以::3:7:8a b c =，设3a k =，b k =，8c k =，则角C 为ABC ∆的最大角，由余弦定理可得2222949641cos 0427k k k C k +-==-<，即2C ππ<<，故ABC ∆是钝角三角形.【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题． 2．在等比数列{}n a 中，若15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =（） A ．1 B ．﹣1C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用等比数列的基本量表示出已知条件可得到首项和公比，然后利用通项公式可得答案. 【详解】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若15152a a -=-，即()411512a q -=-，若其前四项的和45S =-，则有()414151a q S q-==--，解可得12q =-，又由()411512a q-=-，则18a =-，则33411(8)12a a q ⎛⎫=⨯=-⨯-= ⎪⎝⎭；故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．等差数列{}()*n a n N∈的公差为d ，前n 项和为nS，若1390,0,a d S S ><=，则当n S 取得最大值时，n =（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由39S S =可知670a a +=，又10,0a d ><，即670,0a a ><。

吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线:10l x +=的倾斜角是（）A ．0B ．π2C ．πD ．不存在 2．下列方程中表示圆心在直线 y x =上，半径为 2，且过原点的圆的是（）A ．()()2211x y -+-=B ．()()2211x y -++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22112x y -+-=3．如图，空间四面体ABCD 的每条棱都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则FG AB ⋅u u u r u u u r 等于（）A B ．14 C ．12 D 4．已知直线1l ：10ax y --=，2l ：()210.ax a y ++-=若12l l //，则实数a =（） A ．0或3- B ．3- C ．0 D ．1-与0 5．若点()1,1在圆220x y x a +--=的外部，则a 的取值范围为（）A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞6．圆221:2880C x y x y +++-=与直线:2(3)260l x k y k +-++=的交点个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．与k 的取值有关 7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则直线,AC FB 所成角的正弦值为（）A B C D 8．设P 为椭圆22143x y +=上一动点，12F F ､分别为椭圆的左､右焦点，已知点()1,1D ，则1PF PD +的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．过点(4,3)A -作圆22(3)(1)1x y -+-=的切线，所得切线方程为（）A ．4x =B ．158360x y +-=C ．=3y -D ．81530x y --=10．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F ∆的周长为8B ．存在点P ，使得1 2.5PF =C ．12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的取值范围为[)2,3D ．12||||PF PF 的取值范围为(]3,4 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D EC ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知向量()2,3,4a x =r ，()0,1,2b =r ，()1,0,0c =r ，若a r ，b r ，c r 共面，则x =．13．圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得公共弦长为．14．加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆222:17x y C a +=，若直线:43200l x y -+=上存在点P ，过P 可作C 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.四、解答题15．已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.(1)若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；(2)若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.16．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值.17．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，(1)求点M 的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C ，过定点()1,0的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 的中心记为点C ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB AN ∥，1AB =，2NA =，4BM =，CN =(1)证明：MB ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得平面EBN 与平面BND 夹角的余弦值为CE EM 的值，若不存在请说明理由． 19．阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线1l 绕1l 与2l 的交点逆时针方向旋转到与直线2l 第一次重合时所转的角为θ，则称θ为1l 到2l 的角，当直线1l 与2l 不垂直且斜率都存在时，2112tan 1k k k k θ-=+（其中12,k k 分别为直线1l 和2l 的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()12,,2,1F F A -为椭圆上一点，()0,1B -，四边形12AF BF 的面积为O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；(3)过点A 的且斜率存在的直线12,l l 分别与椭圆交于点,P Q （均异于点A ），若点B 到直线12,l l 的距离相等，证明：直线PQ 过定点.。

吉林省梅河口五中(实验班)等联谊校2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)

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则数列 an 的前 7 项和为 : S7 7 a1
d 7 13 21 ( 3) 28 ，
2
故选 C.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前
n 项公式，属于基础题 .
【详解】 B 1 ， A 2 ； B 4 ， A 3 ； B 13 ， A 4 ； B 40 ， a 5 . 因为 5 4 ，所以输出 B 40 .
【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果
.
4. 已知等差数列 { an}, 若 a2=10,a5=1,则 { an} 的前 7 项和为
C. { x | x 5}

D. { x | 5 x 0}
【答案】 A 【解析】【分析】
求出集合 A 后，根据补集定义求得结果 . 【详解】 A x x2 5x 0 x x 0 或 x 5 本题正确选项： A
【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题
CR A x 0 x 5
.
2.设复数 z 满足 z(2 i) 1 i (i 为虚数单位 )，则 z 的共轭复数的虚部为
1
所以复数 z 的共轭复数为
5
故选 B.
3 i ，所以复数 z 的共轭复数的虚部为
5
3 -，
5
【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念
, 属于基础题 .
3. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
B
A. 4
B. 13
C. 40
D. 41
【答案】 C
【解析】【分析】
运行程序，进行计算，当 A 5 时退出循环，输出 B 的值 .
2019-2020 学年度上学期联谊校高三期中考试文科数学

2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高三上学期9月月考数学试题及答案

高三数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A. B.CD.3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.14.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）.A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象5.用一个边长为4正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.πB. C.4πD.6.若112025sin ,cos ,tan 202520252025a b c ===︒，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）的A.12B.35C.716D.11168.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-10. 已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（）.的A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =11.如图所示曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（）A.|OP |B.若()00,x y是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．14.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．四、解答题：本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；的（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P Q R 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *的表达式．高三数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤【答案】A 【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.【详解】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，{}{201B x x x x x =->=>或}0x <，则{}R,12A B A B x x ⋃=⋂=<≤，所以()A B A B ⋃⋂=ð{1x x ≤或x >2}.故选：A.2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x x f x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.1【答案】D 【解析】【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，由此建立a ，c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，∴2AF =，∴)1212AF AF c a +==，∴1c e a===-，故选：D.4.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象【答案】C 【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A ，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：由图可知1A =，32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数过点3,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即13388sin 2f ππϕ⎡⎤⎛⎫=⨯+= ⎛⎫-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以2,2328k k Z πϕππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝-+∈⎭，解得52,4k k Z πϕπ=+∈，因为ϕπ<，所以34πϕ=-，所以()3sin 24f x x π⎛=-⎫⎪⎝⎭，故A 错误；因为23sin 88412sin f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= =⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎭，所以函数关于8x π=对称，故B 错误；令3222,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移58π个单位得5sin 2cos 248i 23s n 2y x x x πππ⎤⎛⎡⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D 错误；故选：C5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.π B. C.4πD.【答案】A 【解析】【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，计算比较即可.【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2所以两个圆锥体积的最大值为112π13V =⨯⨯=．方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，，母线长为，所以两个圆锥体积的最大值为2212ππ3V=⨯⨯=．12V V=>=，故选：A．6.若112025sin,cos,tan202520252025a b c===︒，则,,a b c的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】D【解析】【分析】结合结论若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，证明1>ab，由此可得a b>，再证明1a c<=，由此可得结论.【详解】若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，且112025sin0,cos020252025a b=>=>，所以1sin11202520252025tan20251120252025cos2025ab==>⨯=，所以a b>，因为112025sin2025120252025<⨯=，tan2025tan451︒=︒=，所以c a>，所以c a b>>，故选：D．7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺，直至某一串灯笼被摘完为止，则右侧灯笼先被摘完的概率为（）A.12B.35C.716D.1116【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，可得：当两次摘完时，可得概率为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭；当三次摘完时，可得概率为31211C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭；当四次摘完时，可得概率为41313C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11311441616P =++=.故选：D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析，不难得到231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出910p p ,即可判断.【详解】由题意可知231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，则456783,5,8,13,21r r r r r =====，99101134,34,55,89r r r r ====，则①正确；显然1n n r r +>，故②正确；因为1189r =，经过数字5的路线共有51365⨯=条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有51365⨯=条.则58965248989p -==，故③正确；同理可得91089342218955134,,89898989p p -⨯-⨯====即有910p p <，故④错误.故选:A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A ：ππππ2024sin 22024sin 20246662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =对称，A 说法正确；选项B ：5π5ππ2024sin 22024sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 说法正确；选项C ：当ππ66x -<<时，πππ2662x -<+<，因为sin y x =在ππ,62⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，C 说法错误；选项D ：当ππ32x -≤≤时，ππ7π2266x -≤+≤，因为sin y x =在π7π,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,1-，所以()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-，D 说法正确；故选：ABD10.已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =的焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（）A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =在为【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A ；求出线段MF 的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B ；设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立方程，根据0∆=，结合直线的斜率公式即可判断C ；根据焦半径公式即可判断D.【详解】对于A ，由抛物线抛物线2:4C y x =，得C 的准线方程为1x =-，故A 正确；对于B ，F (1,0)，则线段MF 的中点坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则224m =，解得m =±B 正确；对于C ，设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消x 得204k y y m -+=，则Δ10km =-=，所以1km =，则1MF MN k k m k ⋅=-⋅=-，所以直线MN 与直线MF 垂直，故C 正确；对于D ，设()00,Q x y ，则013QF x =+=，所以02x =，所以208y =，所以OQ ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（）A.|OP |B.若()00,x y 是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14【答案】ACD 【解析】【分析】根据对称性可知P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，即可求解A ，根据特殊位置法即可求解B ，利用y x =与Γ的交点，即可结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >求解C ，利用判别式可得12y ≤，即可求解D.【详解】由双纽线的对称性可知：当P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，不妨设此时P 在x 轴的正半轴上，设此时OP t =，由21212114PF PF F F ==，得()()111t t +-=，解得t =，故|OP |A 正确，设P (x,y )1=，令1x =1=，解得22y =-，而此时222x =，不满足y >，故B 错误，1=与y x =1=，解得0x =，故直线y x =与曲线Γ只有一个交点，而π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，由A 易知双纽线中x ⎡∈⎣，根据对称性，只需研究x ⎡∈⎣上Γ与tan y x =的交点情况，显然只有原点这1个交点，C 正确，对于D 1=可得()422242220x y x y y +-++=，令2x t =，则()22242220t y t y y +-++=，该方程有实数根，故()()2224Δ22420y y y =--+≥，解得214y ≤，故12y ≤，11111112224OPF P P P S OF y y y ==⨯=≤ ，故D 正确，故选：ACD1=与y x =的交点，结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，可判断Γ与tan y x =的交点，由二次型方程()22242220t y t y y +-++=的根，利用判别式可求解最大的纵坐标.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．【答案】125##2.4【解析】【分析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，根据抛物的定义表示出1x ，2x ，再根据三角形相似得到21121294y x y x ==，即可求出p .【详解】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为2px =-，因为3AF =，2BF =，根据抛物线的定义可得132p x =-，222px =-，过点A 作1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB x ⊥轴于点1B ，则11AFA BFB ∽，所以1132AA AF BB BF==，所以211121222924y px x y px x ===，即439222p p ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125=p ．故答案为：125．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．【答案】8【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与2(2)1(0)y ax a x a =+++≠，消元，根据0∆=计算可得.【详解】由ln y x x =+，所以1y x x'=+，则1|2x y ='=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，由2(2)121y ax a x y x ⎧=+++⎨=-⎩，可得()2200ax ax a ++=≠，则280a a ∆=-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：814.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．【答案】6481【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为32453455552121264C C C 3333381P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭.故答案为：6481.四、解答题：本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，进而可得面积的最大值.【小问1详解】cos cos sin sin b B C b C a B ⎫-==⎪⎭，sin cos cos )sin B C B C A -=，)sin B C A A +==，tan A =，0πA << ，π3A ∴=；【小问2详解】由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc +-=，则22122b c bc bc +=+≥，12bc ∴≤，当且仅当b c =时，等号成立．11sin 1222S bc A ∴=≤⨯=，ABC ∴面积的最大值为16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）123()n n a n N -+⋅=⋅∈（2）1(21)3344n n n T +-⋅=+【解析】【分析】（1）由,n n a S 的关系可得1131n n S S ++=+，求出n S ，再由,n n a S 的关系，得到n a ，进而根据等比定义求得{a n }的通项公式；（2）3nn b n =⋅，由错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．小问1详解】()111122,131,31n n n n n n n S S S S S S S ++++-=++=+=+,{}1n S +为首项是3，公比为3的等比数列，31n n S =-，【当2n ≥时，()111313123---=-=---=⋅nn n n n n a S S ，当1n =时，112a S ==，符合上式，()123n n a n -+∴=⋅∈N 【小问2详解】2323,3,n n n n n b na n b n ==⋅∴=⋅ 231231323333n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅++⋅ ，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，231233333n n n T n +-=++++-⋅ ，1(21)3344n n n T +-⋅=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3S a c l =+-，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24cos cos tan Sa B ab A B=+，所以214si n cos 2cos cos si n ac B Ba B ab AB⨯=+，即2cos cos cos c B a B b A =+，由正弦定理，得()2sin cos sin cos sin cos sin C B A B B A A B =+=+，因为A B C π+=-，所以2sin cos sin C B C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =+-，所以()293a c ac =+-，即()2193ac a c ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，因为1sin 2S ac B ==，3l a c =++，所以S l ==，所以()3S a c l =+-，又()24a c ac +≤（当且仅当a c =时取等号），所以()2293a c ac =+-≥（当且仅当3a c ==时取等号），所以6a c +≤（当且仅当3a c ==时取等号），所以()()363S a c l =+-≤⨯-=（当且仅当3a c ==时取等号），即S l18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P QR 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接,AC PR ，利用已知可得四边形APRC 是平行四边形，进而可得//PR 平面OABC ，由线面平行的性质可得//AC l ；（2）以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形OPQR 是平行四边形，进而可得·sin OPRQS OP OR POR =∠ ，结合已知计算可求四边形OPQR 面积的最大值.【小问1详解】连接,AC PR ，由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得111////OO A C A C ，AO OC =，90PAO RCO ∠=∠=︒，又因为OP OR =，所以由勾股定理可得AP CR =，又11//AA CC ，所以RC AP P ，所以四边形APRC 是平行四边形，所以//PR AC ，又AC ⊂平面OABC ，PR ⊄平面OABC ，所以//PR 平面OABC ，又平面//OPQR 平面OABC ，平面OPQR ⋂平面OABC l =，所以//PR l ，所以//AC l ；【小问2详解】以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为OB =，又底面OABC 是正方形，所以1OA OC ==，又,AOP COR ∠α∠β==，所以tan ,tan AP CR αβ==，所以(1,0,tan ),(0,1,tan ),(0,0,0)P R O αβ，所以(1,0,tan ),(0,1,tan )OP OR αβ== ，所以(1,0,tan )(0,1,tan )1001tan tan tan tan OP OR αβαβαβ==⨯+⨯+=，||||OP OR ==== 由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得平在面11//OCC O 11ABB A ，又,,,O P Q R 四点共面，过,,,O P Q R 有唯一平面OPQR ，又平面OPQR ⋂平面11O OR OCC =，平面OPQR ⋂平面11A PQ ABB =，所以//OR PQ ，同理可得//OP QR ，所以四边形OPQR 是平行四边形，又π4αβ+=，所以π1tan tan tan()41tan βαββ-=-=+，所以tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又tan 0,tan 0αβ≥≥，所以1tan tan αβ≤-，解得0tan tan 1αβ≤≤-，所以|||sin |||||OPRQ OP OR POR OP OR S ∠==========≤，所以四边形OPQR .19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *表达式．【答案】（1）（ⅰ）107243；（ⅱ）12；（ⅲ）12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）（ⅰ）当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =；（ⅱ）***1*1,01211,12p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【解析】【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合累加法得出通项公式；（2）针对定义域分段求解函数表达式.【小问1详解】（ⅰ）设事件A ：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件B ：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件C ：“这个人在第5步掉入陷阱”，的则他在5步内掉入陷阱的概率()()()231211211072333333243p p A p B p C ⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（ⅱ）他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率为1p ，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以2111233p p =+，由此可得11p =（舍去）或112p =．（ⅲ）由（ⅱ）可知，112p =，方法一：由111233n n n p p p -+=+，得()1112n n n n p p p p +--=-，所以{}1n n p p --是以1012p p -=-为首项，12为公比的等比数列，则11111222n nn n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则1022111,21,21,2nn n p p p p p p -⎧-=-⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩累加得011122111212nn n p p ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-=- ⎪⎝⎭-，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．方法二：由111233n n n p p p -+=+，得111101111,02222n n n n n n p p p p p p p p +-+-=--=-=，即112n n p p +=，所以{}n p 是以112p =为首项，12为公比等比数列，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．的【小问2详解】（ⅰ）由题意得，当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =．（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以()**2111p p p p =+-，即()()**11110p p p p ⎡⎤---=⎣⎦，得()**1*11p p p p =≠-或11p =．因为1p 是关于*p 的连续函数，所以当*10,2p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，*1*1p p p =-，当*1,12p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11p =．所以***1*1,0,1211, 1.2p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式.。

两条直线的位置关系与距离公式

7．已知 x，y 满足 x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2 的最小值为( )
A．54
B．25
C．2 5 5 答案 A
D．
10 5
解析 (x－1)2＋(y－1)2 表示点 P(x，y)到点 Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点 P 在直线 l：x＋2y－5＝0 上，所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d＝|1＋21×2＋12－2 5|＝255，所以(x－1)2＋(y－1)2 的最小值为 d2 ＝45.故选 A．
又 a，b 为正数，所以 2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b＝13＋6ba＋6ab≥13＋2 ＝25，当且仅当 a＝b＝5 时取等号．故 2a＋3b 的最小值为 25.
6a 6b b ·a
12.如图，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(0，2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上(不含端点)，则直线 FD 的斜率的取值范围为________．
10．(多选)经过点 P(0,1)的直线 l 与两直线 l1：x－3y＋10＝0 和 l2：
2x＋y－8＝0 分别交于 P1，P2 两点，且满足P→1P＝2P→P2，则( )
A．点 P1 的坐标为0，130 C．点 P2 的坐标为(7,1)
B．|P1P2|＝221 D．直线 l 的方程为 y＝1
答案 BD
A．0
B．1
C．－2
D．－1
答案 C
解析因为 l1，l2 平行，所以 1×n＝2×(－2)，解得 n＝－4，所以直线
l2 的方程为 x－2y－3＝0.又 l1，l2 之间的距离是 5，所以|m1＋＋34|＝ 5，解得

吉林省梅河口市届高三数学9月月考试题文PDF

3
21．(本小题满分 12 分) 已知函数 f x ke x （其中 k R, e 是自然对数的底数）.
x 2
上的单调性；（Ⅰ）若 k 0 ，试判断函数 f x 在区间 0，
1 2 i 5 5
B．
2 1 i 5 5
C．
2 1 i 5 5
）
1 2 i 5 5
3．命题“对任意 x R，都有 x 2 0 ”的否定为（ A．对任意 x R，都有 x 2 0 C. 存在 x0 R，使得 x0 2 0
B．不存在 x R，都有 x 2 0 D. 存在 x0 R，使得 x0 2 0
（1）求函数 f ( x ) 的单调递增区间；（2）若 f
2 ，求 cos( 2 ) 的值． 3 2 3
18．(本小题满分 12 分) 在数列 an 中，前 n 项和为 S n ，且 S n （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；（Ⅱ）设 bn
nn 1 . 2
B．2cosx
C．－2sinx
D．－2cosx
9.已知三棱锥 S--ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， SA=SB=SC=AB=2,设 S.A.B.C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则 O 到平面 ABC 的距离为（ A．）
3 3
B．
2 2
C．
6 3
3 .
D．
2 4
） D. 4 .
an ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn 的取值范围。 2n
19. (本小题满分 12 分) 如图所示的长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， O 为 AC 与 BD 的交点，

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2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高三9月月考数学
（文）
总分：150分时量：120分钟
班级：姓名：
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．已知集合，则( )
A. B. C. D.
2．已知函数，则等于( )
A．1 B．-1 C．2 D．
3．若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为( )
A. 0
B.
C. 1
D.
4．下列四个函数中,在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
5. 下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．若为真命题，则、均为真命题.
C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
6．设为定义在上的奇函数，当时，，则（） A.-1 B.-4 C.1 D.4
7．等差数列的前项和为，若，则等于
A．52 B．54 C．56 D．58
8．函数的零点所在的大致区间是( )
A．（0，1） B （1，2）C．（2，e） D．（3，4）
9.不等式的解集为，则函数的图象大致为( )
A B C D
10．若0<x<y<1，则 ( )
A．3y<3x B．log x3<log y3 C．log
4
x<log
4
y D．(
1
4
)x<(
1
4
)y
11．已知函数在[2，+)上是增函数，则的取值范围是( )
A.（
B.（
C.（
D.（
12．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有( )
A．10个B．9个C．8个D．1个
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．定义在R上的函数是增函数，则满足的取值范围是 _______．14．函数的定义域为_____________．
15.已知满足约束条件，则的最小值为_______．；
16．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝(
1
2
)1－x，则
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝(1
2
)x－3.
其中所有正确命题的序号是_______．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17、(本题满分10分) 在△中，角所对的边分别为，已知，，
．
(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．
18、(本题满分12分) 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
19．(本题满分12分) 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
20、(本题满分12分)某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
21、(本题满分12分)已知函数（为常数,且）的图象过点.
（1）求实数的值;
（2）若函数,试判断函数的奇偶性,并说明理由.
22．(本小题满分12分) 已知函数在和处取得极值. （1）求f（x）的表达式和极值．
（2）（2）若f（x）在区间 [m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．
2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高三9月月考数学（文）
参考答案一、选择题
二、填空题 13、 ; 14、
; 15、 -5 ; 16、 ①_② .
三、解答题
17、解：(Ⅰ)由余弦定理得：
，………2分
得
，
．………3分
（2）由余弦定理，得
………2分
∵是的内角，∴．………3分 18、解：设，则
，
．
又是奇函数，，
．
当
时，
．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为
，．
19、解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎨⎧
Δ＝m 2
－4>0，
m >0，
解得m >2，即p ：
m >2.
若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得
1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎨
⎧
m >2，
m ≤1或m ≥3，或⎩⎨
⎧
m ≤2，1<m <3，
解得m ≥3或1<m ≤2.
20、解:（1）由题设可知,第3组的频率为0．06×5=0．3，
第4组的频率为0．04×5=0．2，
第5组的频率为0．02×5=0．1． ………………3分（2）第3组的人数为0．3×100=30，第4组的人数为0．2×100=20，第5组的人数为0．1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为：第3组：
×6=3；第4组：
×6=2；第5组：
×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人． ………………7分（3）记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1．
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A 1,A 2）, （A 1,A 3）,（A 1,B 1）,（A 1,B 2）,（A 1,C 1）,（A 2,A 3）,（A 2,B 1）,（A 2,B 2）,（A 2,C 1）,（A 3,B 1）,（A 3,B 2）,
（A 3,C 1）,（B 1,B 2）,（B 1,C 1）,（B 2,C 1），共有15种．其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有：
（A 1,B 1）, （A 1,B 2）, （A 2,B 1）, （A 2,B 2）, （A 3,B 1）, （A 3,B 2）, （B 1,B 2）, （B 1,C 1）, （B 2,C 1），共有9种．
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为． ………………12分
21、解：（1）由题意得解得
（2）由（1）得
函数是奇函数。

22、解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b
∴f′(-1)=0 f′(2)=0即6-2a+b=0 24+4a+b=0解得a=-3 b=-12
∴f（x）=2x3-3x2-12x+3 f′（x）=6x2-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，只需
m+4≤-1或m≥-1,m+4≤2或m≥2所以m≤-5或m≥2。