五种最优化方法
最优化理论与方法概述
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
、大豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164x1 0.0463x2 0.1250x3 s.t. x1 x2 x3 100
0.380 0.380
x1 x1
0.001x2 0.001x2
Байду номын сангаас
0.002x3 0.002x3
0.012 100 0.008100
0.09x2 0.50x3 0.22100
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
2
x2
f X
x2
2x2
2
x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
f X
x3
2
x3
恒有 f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x*，) 使得对于
一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
五章 优选法
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
9
10
二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
五种最优化方法精编版
五种最优化方法1. 最优化方法概述1.1最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法2.1简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
2.2 原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）3.1最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；3.2 最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)4.1 简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤5.评价函数法5.1 简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))s.t. g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2 线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
数学五年级第14讲：最优化问题(最新数学课件)
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3尺4尺
例题二
用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙 两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎 样截法最合算？
3尺 4尺 3尺4尺
先10取尺50根竹竿按第一种方法截取，可以得到100
第一种截法：3根尺3、尺3长尺的、竹4尺竿，和残50留根04尺尺。长的竹竿。 第二种截法：3尺、还3尺差、503根尺4，尺残长留的1竹尺竿。，可以按第三种方法截取， 第三种截法：4用尺去、245尺根，竹残竿留。2尺。
河对面
过河的时间取决于最 慢30的＋牛30，＋回50来＋的2时0 ＋间30 ＝取1决60于（最分快钟的）牛。
答：最少需要160分钟。
甲乙 丙丁
20分钟 30分钟 40分钟 50分钟
练习五（选讲）
阿派、米德、欧拉、卡尔四人要从河的东岸到西岸。现在 只有一条木欧拉需要2分钟，卡尔需要5 分钟；那么他们至少需要多少分钟才能都安全地渡过河？
第二次6名下属通知：6×6=36（人），知道开会的一共有：36+6+1=4（3 人）；
所以，6名执委会成员通知的人数：43×6=258（人）； 答：有258人知道要开会。
例题四
一天，某诊所只有王大夫值班。三个病人同时来诊所， 甲量血压需3分钟，乙拿药需2分钟，丙打针需5分钟。王 大夫怎样安排就诊的顺序，才能使他们等候时间的总和最 短？最短是多少分钟？
所以 5 分钟就足够了。
答：王老师至少需要5分钟。
练习三
一个执委会的6名成员要召开一次会议。于是这6 名成员给各自的6个下属打电话，每个下属又给各自 的6个下属再打电话。若每个人都只被通知了一次， 那么有多少人知道要开会？
1名执委会成员通知的人数：
第一次执委会成员通知的人数是：6人，知道开会的一共有：6+1 人；
最优化方法讲稿
最优化方法讲稿一、啥是最优化方法呀。
同学们！今天咱来唠唠这最优化方法。
简单来说呢，最优化方法就是在给定的条件下，找到最好的方案或者结果的一套方法。
比如说，你要规划一次旅行，你得考虑时间、费用、想去的景点这些条件，然后找出一个最让你满意的旅行计划，这就是在运用最优化方法啦。
再举个例子哈，工厂生产产品，要考虑成本、产量、质量等各种因素，通过最优化方法，就能找到一种生产方式，既能保证产品质量，又能降低成本，还能提高产量，是不是很厉害呀？二、最优化方法的常见类型。
1. 线性规划。
这个线性规划呢，就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或者最小值。
比如说，一家工厂生产两种产品，每种产品需要不同的原材料和工时，而原材料和工时都是有限的，那怎么安排生产，才能让利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决啦。
它就像是给你画了一个范围，然后在这个范围内找那个最优的点。
2. 非线性规划。
和线性规划不同哈，非线性规划的目标函数或者约束条件里至少有一个是非线性的。
现实生活中很多问题都是非线性的哦。
比如说，设计一个汽车的外形，要考虑空气动力学、美观度等多种因素，这些因素之间的关系往往是非线性的，这时候就需要非线性规划来帮忙找最优解啦。
3. 动态规划。
动态规划就像是走楼梯，一步一步来，把一个大问题分解成一个个小问题，然后依次解决这些小问题，最后得到大问题的最优解。
比如说，计算斐波那契数列，用动态规划的方法就可以避免重复计算，提高效率。
在资源分配、生产计划等很多领域都能用到动态规划哦。
三、最优化方法的求解步骤。
一般来说哈，用最优化方法解决问题有这么几个步骤。
第一步呢，就是要明确问题，确定目标函数和约束条件。
比如说，你要做一个投资计划，目标函数可能就是收益最大化，约束条件可能包括你的资金量、投资风险承受能力等。
第二步呀，要选择合适的最优化方法。
这得根据问题的特点来选，像刚才说的线性问题就选线性规划，非线性问题就选非线性规划。
力学中的优化方法及应用
力学中的优化方法及应用引言：力学是研究物体运动和相互作用的学科，广泛应用于工程、物理学和生物学等领域。
在力学的研究中，优化方法被广泛运用，以寻找最佳解决方案和最优设计。
本文将介绍力学中的一些常见优化方法及其应用。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常见的优化方法，用于寻找函数的最小值。
在力学中，梯度下降法常用于求解最优化问题，例如最小化系统的能量或最大化系统的效率。
该方法通过计算函数的梯度，并沿着梯度的反方向进行迭代，逐步接近最优解。
梯度下降法在力学中的应用包括材料设计、结构优化和流体力学等领域。
二、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过模拟自然选择和遗传机制来搜索最优解。
在力学中，遗传算法常用于参数优化和结构优化问题。
例如，在材料设计中，遗传算法可以用于寻找最佳的材料组合，以满足特定的性能要求。
遗传算法还可以应用于机械结构的拓扑优化，以提高结构的强度和刚度。
三、粒子群优化算法粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化方法，通过模拟个体之间的信息共享和协作来搜索最优解。
在力学中，粒子群优化算法常用于求解多目标优化问题。
例如，在多目标优化中，需要在多个冲突的目标之间找到一个平衡点。
粒子群优化算法可以帮助找到这样的平衡点，并提供一组最优解供决策者选择。
四、拓扑优化拓扑优化是一种通过改变结构的拓扑形状来优化结构性能的方法。
在力学中，拓扑优化常用于设计轻量化结构。
通过在结构中添加或删除材料，可以调整结构的刚度和强度，以满足特定的性能要求。
拓扑优化方法可以与其他优化方法结合使用，例如梯度下降法和遗传算法，以提高优化效果。
五、应用案例1. 材料设计：利用优化方法可以寻找具有特定性能的新材料。
例如，通过梯度下降法优化材料的晶格结构，可以提高材料的导电性能。
2. 结构优化：通过优化方法可以改善结构的强度和刚度。
例如，使用遗传算法优化机械结构的参数，可以减少结构的重量并提高其性能。
3. 流体力学：优化方法可以用于改进流体力学问题的求解。
五种最优化方法
五种最优化方法 Prepared on 22 November 2020五种最优化方法1. 最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)). g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
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五种最优化方法
1.最优化方法概述
1.1最优化问题的分类
1）无约束和有约束条件；
2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；
3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；
4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：
min f（X）
XeΩ
h√X）= OJ = U1 L
s.t
S i（X）≥ OJ = l9‰u,m
式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），Si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。
化过程就是优选X ,使目标函数达到最优值。
2.牛顿法
2.1简介
1）解决的是无约束非线性规划问题；
2）是求解函数极值的一种方法；
3）是一种函数逼近法。
2.2原理和步骤
■1：顿法的直本思想显*在扱小点附近用-阶T吓1小多顶式近似［3标函数［'、宀进而求出极小点的估计值，
老億问题
min FWHElRl < 9i 3. 1 }
令
祕Jr） = /（√i,） +/（J iit Xx-J ut） +y∕（j't,K4T-J01 }' .
耳令
√（+f > - ∕t d时）+ j f*<J tn X J-- FN、= O
得到啊2的肛.E L记作工"小侧
在点√*j WiE./ P*r h因此可用函数刊幻的极小点作为目标函数丿（』）的极小点的估计•如里「J⅛ /-r）的极小点的个估计，那么利⅛9,312）⅛可且得到极小点.的•个进吵的估讣.这样*利用迭代公式（乩3・2）可以得到个洋列U 可以证明"⅛定条件F・这个序列收敛于冋题（9飞”门的⅛⅛优解，而且是2级收敛
3.最速下降法（梯度法）
3.1最速下降法简介
1）解决的是无约束非线性规划问题；
2）是求解函数极值的一种方法：
3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向;
3.2最速下降法算法原理和步骤
≡F 降法的迭代公式是 九是从严出发沿方向
屮进彳f 一维搜索的步长，即Ju 满足
f{x kk, + A⅝J l *') = mnf(x Ik) +M") a
计算步骤如下; ∏) ⅛⅛⅜1⅛ jr ^∈^，允许误差 e>0τKI = L （2）计算搜索方向d 出—V/（X It ））.
⑶若L F I! ≤,则停止计算;否则,从厂出发,沿进行一维搜索,求秸,使
f(x J ÷λ⅛rf k )= Ininy(X^ +λtf J
、、
(4)令严山=χ,i, Mal t ≡⅛^A + l ,转步骤(2).
4•模式搜索法（步长加速法）
4.1简介
1） 解决的是无约束非线性规划问题； 2） 不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函 数的优化问题时非常有效。
3） 模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的 是探测有利的
下降方向，而 模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤 (10. L 10) 其中旷是从屮咄发的搜索方向,
处的量速下睫方I 治 E∣J
(IOaJl)
这里取在点
S模式搜索法
(A)轴向移动用y表示
•每次轴侖移动的开⅛⅛点称为参耆点
♦心•…给定的初始魚.—初抬秦考点X^= >
A Vb广…第盘+1次轴向移动揩束时所得到的点,丈=IZ…
• ⅛ ∕<^∙ι> < f(Xi^闻从点Jt屮出发作按式瘪动一轴侖#多动匱功模式移动
■否碰*判断界否有骯V £( £夬给定的允许慢总)？若有・选代终止；轴向移动失叱找到近似漲优解
I若无，且斗利=岭*则嵋短步i⅛.仍从点打岀发进行下•次轴向移弧
■若无大耐从点岭岀发用步长击进行下枚轴闵移动
5.评价函数法
5.1简介
评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，
衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：
min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0
传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数
学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有
“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2线性加权求合法
6.遗传算法
智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进
而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
6.1遗传算法基本概念
1.个体与种群
个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼' 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。
2.适应度与适应度函数
适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。
适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。
该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数
6.2 遗传算法基本流程
计算适应度
遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、
变异等遗传操作，最终求得最优解或近似最优解。
遗传算法步骤
步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N,交叉率PC 和变异率Pm代数T；
步2随机产生U中的N个个体s1, s2, , , SN组成初始种群S={s1, s2,,, sN},置代数计数器t=1 ；
步3计算S中每个个体的适应度f()；
步4若终止条件满足，则取S中适应度最大的个体作为所求结果，算法结束。
步5负责继续进行选择、交叉、变异等遗传操作，重复以上步骤，直到达到最优结果。