拉普拉斯变换 例题解析
拉普拉斯变换
Lt tesd tt1tdest
0
s0
1 te s t 1 e sd tt 1e s t 1
s 0 s0
s2 0 s2
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t)eat
其拉普拉斯变换为：
L e a t e ae tsd tt e (s a )td t1
2.2.4 拉普拉斯变换的根本性质
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L dn dftn (t) snF(s)sn 1f(0)sn2f(0) s(fn2-()0)f(n1-()0)
假如：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n 2 ) ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 0
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u221
复变函数的虚部 v2
拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个根本数学方法，其
优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变
0f1(t)f2()df1(t)f2(t)
称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积
拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义
将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之 为拉普拉斯反变换。其公式：
f(t) 1 ajF(s)eadt s 2πjaj
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK
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0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
拉普拉斯变换实验报告答案
评分：《信号与系统》实验报告实验题目：拉普拉斯变换实验班级：姓名：学号：指导教师：实验日期：拉普拉斯变换实验一、实验目的：1、了解拉普拉斯变换及其逆变换的符号方法；2、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形；3、了解由系统函数零、极点分布决定时域特性，并绘制出图形。
二、实验设备：多媒体计算机，matlab软件。
三、实验内容：１．例题4-8 求下示函数的逆变换F（s）=10(s+2)(s+5)/s(s+1)(s+3)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容syms s; %定义系统sf = ilaplace(10*(s+2)*(s+5)/s/(s+1)/(s+3)) %进行拉式变换实验结果:f =100/3 - (10*exp(-3*t))/3 - 20*exp(-t)2.例题4-9 求下示函数的逆变换F（s）=(s^3+5s^2+9s+7)/(s+1)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,5,9,7]; %函数分子的系数a1 = [1,1]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-12p =-2-1k =1 23.例题4-10 求下示函数的逆变换F（s）=(s^2+3)/(s^2+2s+5)(s+2)该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,0,3]; %函数分子的系数a1 = [1,2,5]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,2]; %函数分母第二个因式的系数a = conv(a1,a2); %令a的值使a1，a2收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =-0.2000 + 0.4000i-0.2000 - 0.4000i1.4000p =-1.0000 + 2.0000i-1.0000 - 2.0000i-2.0000k =[]4.例题4-12 求下示函数的逆变换F(s)=(s-2)/s(s+1) ^3该题中，所编程序为：clear all, close all, clc; %清除所有变量并清除屏幕内容b = [1,-2]; %函数分子的系数a1 = [1,0]; %函数分母第一个因式的系数a2 = [1,1] %函数分母第二个因式的系数a = conv(conv(a1,a2),conv(a2,a2)); %令a的值使a1，a2收敛的收敛[r,p,k] = residue(b,a) %是函数部分分式展开运行结果为：r =2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.0000k =[]５.例题4-17图4-17所示电路在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=VmSIN(wt),电感起始电流等于零，求电流i(t)。
已知开环传递函数用拉普拉斯变换求阶跃响应例题
已知开环传递函数用拉普拉斯变换求阶跃响应例
题
例题一
题目：已知单位负反馈系统开环传递函数为G（s）
=4/s(s+5)，求单位阶跃响应。
解答：
对于一个负反馈网络，设开环增益为G(s)，负反馈系数为F，则闭环增益:
对于单位负反馈系统F=1，因此闭环增益:
对闭环增益做Laplace逆变换得到冲激响应，观察可知采用部分分式分解法较为简单:
阶跃响应等于冲激响应的积分，因此阶跃响应为:
解析：拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个因数为实数t（t≥
0）的函数转换为一个因数为复数s的函数。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。
拉普拉斯变换是一个可将有实数变量t的函数变为变量为复数s的函数的线性变换：
例题二
题目：已知单位反馈系统的开环传递函数为，试求该系统的单位阶跃响应。
解答：。
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
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第二章：控制系统的数学模型§2.1 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。
·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅=↓ci C u =⋅& c c c u u C R u C L +′⋅⋅+′′⋅⋅= 11c c c R u u u u r LLC LC′′′∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =−=−∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =− 解出012i A x k k x x −=代入B 等式：020012i x k )x x k k xf(=−−&&& 02012i x k x k k 1f(xf ++=⋅&& 得：()i 1021021x fk x k k xk k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：┈安培i C M m m ⋅=力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿变量关系：m mb aM E i u ω−−−− 消去中间变量有：a m m m m u k T =+ωω& [][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R RJ T m e m mm m e m m m（4）X-Y 记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+Δ⋅==Δll 4p 3m 2am m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ&&& a m r p u u u u l θθΔ−−−−−−−−−−− 消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T kk k k l T k k k k k l T 1l =++&&&2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 z 线性系统便于分析研究。
z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。
z 非线性元部件微分方程的线性化。
例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程()ααcos E y 0=解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： ()()()()0000sin E y y ααααα−−+= 令 ()()0y -y y αα=Δ 0ααα−=Δ 得 ααΔ⋅−=Δ00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） a u l l l 222=++&&& ()()()s2s 2U s L 22s s :L a 2==++()()22s s s 2s L 2++=()()[]s L L t :L -11=−l复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=（2）复数模、相角()()xy 2y 2x F F arctgs F F F s F =∠+= （3）复数的共轭 ()y x jF F s F −=（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。
2 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0−∞⋅==∫⎩⎨⎧：像：像原F(s))t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0t 10 t 0t 1()[]]()s110s 1e s1dt e 1t 1L 0st0st =−−=−=⋅=∞−∞−∫2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0t e 0t 0)t (fat ()[]as 1)10(a s 1e as 1 dte dt e e )]t (f [L 0t)a s (0t a s stat−=−−−=−−==⋅=∞−−∞−−−∞∫∫3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0t 0)t (f ω[][][]22220t )j s (0t )j s (0)t j s ()tj -(s -st 0t j tj 0st s s 2j 2j 1 j s 1j s 12j 1 e j s 1e j s 12j 1 dt e e 2j 1 dt e e e 2j 1 dte t sin )t (f L ωωωωωωωωωωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=−=⋅−=⋅=∞+−∞−−∞+−−∞−∞−∫∫∫4 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()()()()()()()stst 0-ststst0f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0s f t e dt sF s f 0 ∞∞−−∞∞−∞−′=⋅=⎡⎤=−⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=−=∫∫∫∫证明：左右零初始条件下有：()()()()()()()()()n n n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0−⎡⎤′=−−−−−⎣⎦L 进一步：-2n 1()()[]()s F s t f L n n ⋅= z 例1：求()[]t L δ()(t 1t ′=)δQ 解：()[]()[]()1010s1s t 1L t L =−=−⋅=′=∴−δδ z 例2：求[]t cos L ω 解：[]2222s s s s 1t n si L 1t cos ωωωωωωω+=+⋅⋅=′=Q （3）积分定理：()[]()()()0f s1s F s1dt t f L 1-+⋅=∫ （证略）零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=∫ 进一步有：{()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫L Lz 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ∫=Q[]()[]20t s 1t s 1s 1s 1dt t 1L t L =+⋅==∴=∫ z 例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2t L 2解：∫=tdt 2t 2Q[]3t 222s 12t s 1s 1s 1tdt L 2t L =⋅+⋅==⎦⎤⎢⎣⎡∴=∫ （4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=−ττz 例5：()()s F 0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f −−= ()()s s e 1s1e s1s1s F −−−=⋅−=∴虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅ （证略） z 例6：求[]at e L:解[]()[]as 1e t 1L e L at at −=⋅= z 例7：[]()223s s 223t -53s 3s 5s s cos5t e L +++=+=⋅+→z 例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t2t ππ ()()222s 152s s 22s 15-52s 2s e 5s s e +++⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+−+→ππ （5）终值定理（极限确实存在时）()()()s F s lim f t f lim 0s t ⋅=∞=→∞→证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0−=′−∞∫取极限： ()()()0f s sF lim dt e t f lim0s st0s −=′→−∞→∫()[]()()()()()()0f s sF lim 0f f t f dt 1t f dt lime t f 0s 0s st 0−==−∞==⋅⋅′=′=→∞∞→−∞∫∫右左∴有：证毕()() s sF lim f 0s →=∞z 例9：()()() b s a s s 1s F 求++=()f ∞解： ()()()ab1b s a s s 1slim f 0s =++=∞→z 例10：()0s slim t sin f 220s t =+≠=∞→∞→ωωω拉氏变换附加作业一． 已知f(t),求F(s)=?()1-t T111T1).f(t)1-eF s 11s s s s T T ==−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠=()22221s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=−=−=⎢⎥++⎣⎦ s 15222250.866s 2.53).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5ππ+=+==++s 5()0.4t 222s 0.4s 0.44).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16s 0.412−++===++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅−−⎣⎦()()0t s0211t s e F s s −−+=()()()223s 2s 86).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞+++已知求== 二．已知F(s),求f(t)=?()222s 5s 11).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1−+==++()4t 24t s2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint −−==++=−o +t 132113).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181−−0t19t +==+++− ()2-2t t 23s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s −++==++++⋅()()t 32s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412s s 1s 3t −−+==−++++ 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：∫∞+∞−=j j stds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)a s (s 1)s (1.F 求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=++=a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a1)t (f −−=∴ 微分方程一般形式：r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L)0(:L 设初条件为[][]R(s)b s b s b s b )s (C a s a s a s a sm 1-m 1m 1m 0n 1-n 2-n 21-n 1n++++=+++++−L L)s (A )s (R ).s (B a s a s a s a s )R(s)b s b s b s (b C(s)n1-n 2-n 21-n 1n m 1-m 1m 1m 0=+++++++++=∴−L L )p s ()p s )(p s ()s (R ).s (B n 21−−−=L∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211 p s cp s c p s c p s c p s c )s (C L 特征根:p i ∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L模态:e t p i )s (F 的一般表达式为：[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L 来自：（I）)m n (a s a s a s a s b s b s b s b )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1n m1-m 1m 1m 0>+++++++++==−L L其中分母多项式可以分解因式为：(II))p s ()p s )(p s ()s (A n 21−−−=L的根(特征根)，分两种情形讨论：)s (A p i 为I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 0)s (A =)s (F∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211p s cp s c p s c p s c p s c )s (F L∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：i c i c(Ⅲ) )s (F ).p s (lim c i p s i i−=→ ip s 'i )s (A )s (B c ==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) )● 例2：34s s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=2131213)1)(s (s 2s )1s (lim c 1s III1=+−+−=++++=−→2113233)1)(s (s 2s )3s (lim c 3s III2=+−+−=++++=−→3s 211s 21)s (F +++=∴ 3t t e 21e 21)t (f −−+=∴● 例3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s (s 2s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++=++++++= 3t t e 21e 21)t ()t (f −−++=∴δ● 例4：j1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：2j j2j)1j)(s -1(s 3s )j -1s (lim c j1s 1+=+++++=+−→2jj-2j)1j)(s -1(s 3s )j 1s (lim c j-1s 2−=++++++=−→j)t1(t )j 1(e 2jj -2e 2j j 2)t (f −−+−−+=∴ []jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j1−−+=− （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=−−−Q） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j1t t+=+=−− 1)1s (21)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2222++++++=++++=+++=Qt t e .2sint e .cost )t (f −−+=∴虚位移定理解法二：)( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理−−+=++++++=++++=+++=II：有重根时： 0)s (A =设为m 阶重根，为单根 .则可表示为：1p n 1m s ,s L +)s (F nn1m 1m 111-m 11-m m 1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++LL其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算.n 1m c ,c L +重根项系数的计算公式：(说明原理)][]]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=−=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (ds d lim j!1c (IV) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m 1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j(j)j -m m1p s 1-m m 1p s m 1111L L []V)( e c e .c t c t )!2m (c t )!1m (c p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c L )s (F L )t (f t p n 1m i i t p 122m 1-m 1m m n n 1m 1m 111-m 11-m m 1m 11i 1∑+=−−++−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++==∴L L L●例5 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=21)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 221s IV2−=+−−+−=++++=−→ 43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d limc 221221s IV1−=++++−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=−→−→s s s s s s s s 323)(s 1)s(s 2s s.lim c 20s 3=+++=→1213)(s 1)s(s 2s 3).(s lim c 2-3s 4=++++=→ 3s 1.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++−+−=∴3t t t e 12132e 43te 21)t (f −−−++−−=∴3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++⎪⎩⎪⎨⎧===1(t)(t)u 011r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［2)2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e −−=－：－－1Sin(t 45) 121cos tcos t ttt −=+o je e λ−−±⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩，特征根：＝－模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。