非参数统计-非参数密度估计
非参数概率密度估计
非参数概率密度估计非参数概率密度估计是一种常用的统计方法，可以用来估计未知的概率密度函数。
在实际应用中，很多情况下我们不知道数据的概率分布，但是我们可以通过样本数据来对概率密度进行估计。
非参数概率密度估计的基本思路是通过样本数据来构造一个概率密度函数，使得这个函数能够较好地拟合数据。
与参数概率密度估计不同的是，非参数概率密度估计不需要对概率密度函数做出任何假设，因此更加灵活。
常见的非参数概率密度估计方法包括直方图法、核密度估计法、最邻近法等。
下面我们分别介绍一下这几种方法。
1. 直方图法直方图法是最简单的一种非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将数据按照一定的区间划分为若干个小区间，然后统计每个小区间中数据出现的频数，最后将频数除以样本总数和小区间的宽度，得到每个小区间的频率密度。
比如对于分布不均匀的数据，直方图法可能会得到不太准确的结果。
2. 核密度估计法核密度估计法是一种比较常用的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将每个样本点周围的一定范围内加权平均起来，得到一个平滑的概率密度函数。
核密度估计法的优点是可以得到比较平滑的概率密度函数，适用于各种不同形状的分布。
但是它也有一些缺点，比如对于样本数量较少的情况，可能会得到不太准确的结果。
3. 最邻近法最邻近法是一种比较简单的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是对于每个样本点，找到离它最近的k个样本点，然后将这k个样本点按照距离远近进行加权平均，得到一个平滑的概率密度函数。
比如对于样本数量较少或者分布不均匀的情况，可能会得到不太准确的结果。
总之，非参数概率密度估计是一种非常有用的统计方法，在很多领域都有广泛应用。
当我们不知道数据的分布情况时，可以使用非参数概率密度估计来对数据进行分析和建模。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的方法。
统计学习理论中的非参数估计
统计学习理论中的非参数估计统计学习理论是一门研究如何从数据中学习模型和进行预测的学科。
在这一领域中，非参数估计是一种重要的统计方法，它的目标是根据给定的数据，估计出未知的概率分布或者密度函数。
与参数估计相比，非参数估计不需要事先对概率分布做出明确的假设，因此更加灵活和适应性强。
一、什么是非参数估计非参数估计是指在统计学中，对数据的概率分布形式不做出具体的假设，而仅从数据本身出发，通过统计方法推断出未知的概率分布或者密度函数。
换句话说，非参数估计不依赖于具体的参数模型。
二、非参数估计的基本思想非参数估计的基本思想是通过使用核密度估计或直方图等方法，对数据本身的分布进行估计。
核密度估计是一种常用的非参数估计方法，其中密度函数由一系列核函数的线性组合表示。
三、核密度估计的原理核密度估计的原理是通过在每个数据点附近放置一个核函数，并对所有的核函数求和来估计密度函数。
核函数的选取可以采用高斯核函数等，通过调整带宽参数，可以控制核函数的宽窄，从而对密度函数进行估计。
四、非参数估计的优缺点非参数估计的优点在于它不需要对概率分布的形式做出明确的假设，更加灵活和适应性强。
它可以适用于各种类型的数据，并能够准确地反映数据的分布情况。
然而，非参数估计的缺点在于它需要更多的数据量来进行估计，计算复杂度较高。
五、非参数估计的应用领域非参数估计在统计学习理论中有广泛的应用。
在分类问题中，可以使用非参数估计来估计不同类别的概率分布，进而进行分类预测。
在回归问题中，非参数估计可以用于拟合曲线或者曲面，从而进行预测。
六、非参数估计的发展和展望随着统计学习理论的发展，非参数估计方法也在不断改进和扩展。
目前，一些新的非参数估计方法，如支持向量机，随机森林等，已经广泛应用于各个领域。
未来，非参数估计方法将进一步优化，并在更多的实际问题中得到应用。
总结起来，非参数估计是统计学习理论中的重要方法之一，它不需要对概率分布的形式做出明确的假设，更加灵活和适应性强。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(Ⅰ)
非参数统计中的核密度估计使用技巧引言非参数统计是一种不依赖于总体分布形式的统计方法，核密度估计就是其中的一种重要方法。
核密度估计是一种通过核函数对数据进行平滑处理来估计概率密度函数的方法，广泛应用于数据分析、模式识别和机器学习等领域。
在实际应用中，正确使用核密度估计的技巧对于得到准确的概率密度估计是至关重要的。
本文将从数据预处理、核函数选择、带宽选择和可视化等方面介绍非参数统计中核密度估计的使用技巧。
数据预处理在进行核密度估计之前，需要对数据进行一些预处理工作。
特别是在处理实际采集的数据时，数据可能存在缺失值、异常值或者需要进行标准化处理。
对于缺失值和异常值，可以选择删除、填充或者插值等方法进行处理；对于需要标准化的数据，可以进行Z-score标准化或者最小-最大标准化等方法。
数据预处理的目的是保证核密度估计的准确性和稳定性，避免因为数据质量问题而导致估计结果失真。
核函数选择核函数是核密度估计中的重要参数，它决定了对数据进行平滑处理的方式。
常用的核函数包括高斯核、矩核和Epanechnikov核等。
在选择核函数时，需要考虑数据的分布特性和估计的目的。
例如，对于对称分布的数据，可以选择高斯核函数；对于偏态分布的数据，可以选择矩核函数。
此外，还可以根据不同的核函数进行比较，选择最适合的核函数进行估计。
带宽选择带宽是核密度估计中的另一个重要参数，它决定了平滑的程度。
带宽过小会导致估计过拟合，带宽过大会导致估计欠拟合。
常用的带宽选择方法包括最小平均交叉验证法、最小均方误差法和银行估计等。
在选择带宽时，需要注意避免过拟合和欠拟合的问题，选择合适的带宽方法进行估计。
可视化核密度估计的结果可以通过可视化的方式呈现出来，帮助人们直观地理解数据分布的特点。
常用的可视化方法包括直方图、散点图和核密度图等。
通过可视化方法，可以直观地观察到数据的分布形态和密度分布情况，辅助我们对数据进行分析和解释。
结论核密度估计是非参数统计中的一种重要方法，正确使用核密度估计的技巧对于数据分析和模式识别具有重要意义。
非参数密度估计
非参数密度估计非参数密度估计是一种在概率论和统计学中非常重要的技术。
该技术旨在通过从样本数据中推断出其真实数据的概率密度函数，而无需在先验上做任何假设。
与参数化估计技术不同，非参数化技术仅使用可得到的数据，而不需要先假设数据的概率分布。
下面是关于非参数密度估计的一些步骤解析。
1. 理解非参数密度估计的概念在探讨非参数密度估计的各个方面之前，理解该方法的概念非常重要。
非参数密度估计旨在通过从已知数据集中推断出一个未知数据集的概率密度函数。
这种方法通常用于连续型和离散型数据的处理，特别是在数据量较大时使用较为广泛。
2. 特征评估为了进行非参数密度估计，首先需要评估样本数据的一些特征。
这些特征包括样本的平均值、方差、分布形状和分布密度等。
这些特征可以用来确定所需的估计方法的类型以及确定最佳估计量的标准。
3. 创建直方图在进行非参数密度估计时，首先需要创建一个直方图，以了解样本数据的分布形状以及密度。
直方图通过将样本数据分成若干等宽的区间，并计算每个区间中数据的数量来展现数据的分布情况。
在这种情况下，每个区间的高度表示该区间中数据的数量。
4. 核密度估计核密度估计是一种最广泛使用的非参数密度估计技术。
这种方法通过在每个数据点附近放置核心函数，并将它们相加来计算概率密度函数。
核心函数通常采用高斯分布，其平均值为所估计的数据点，方差由样本数据确定。
5. 交叉验证交叉验证是一种可以判断估计量性能优劣的方法。
该方法利用将数据集分成训练集和测试集来评估方法的泛化能力。
如果对测试数据的预测能力很强，那么我们可以确定该方法可以在其他未见数据上得到可靠的效果。
综上所述，非参数密度估计是一种有用的统计分析技术，其主要用途是从样本数据中推断出概率密度函数而无需考虑预先设定的概率分布。
然而，在应用该技术时，必须考虑到数据的特征，创建直方图，应用核密度估计，以及使用交叉验证来评估所用方法的效果。
非参数估计(完整)PPT演示课件
P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的 效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确； 过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x
kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计 最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正
非参数统计非参数密度估计
exp(| u |)
以高斯核函数为例
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1 exp( 1 ( x xi )2 )
2
2h
其中{x1, , xn}为样本序列
用S-Plus编程计算密度估计值. 1) 调用数据文件
A<-read.table("E:\\各种电子课件\\非参数统计 \\data\\newfish.txt",header=T,sep=",")
113 112 250 219 123 197 170 32 92 137 123
k=3 32
数值
19.6 22.3 14.07 8.5 17.3 7.6 6.3 6.5 22.1 2.0 17.3 6.5
R(x,5|ω1)
0.22 0.11 0.94 0.45 0.91 0.54 0.31 0.51 0.18 2.16 0.21 0.19
当带宽h=0.2时,密度函数曲线比较粗糙,噪声很多; 当带宽h=1时,密度函数曲线比较平滑,较为理想; 而带宽h=5时,密度函数曲线最平滑的,但信息损失很多; 如何选择合适的带宽,是核函数密度估计的关键. 考虑估计的均方误差.
MSE(ˆ, ) E(ˆ )2 Dˆ E(Eˆ )2
均方误差
MISE E ( pˆn (x) p(x))2 dx [Bias( pˆn (x)) var(pˆn (x))]dx
nVn i1
hn
核密度估计的定义
定义8.1
假设数据x1,x2,…,xn取自连续分布p(x), 定义核密度估计
pˆn (x)
1 nVn
n K ( x xi )
i 1
hn
其中K ()为核函数
非参数统计方法的介绍
非参数统计方法的介绍统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，为了更好地理解和解释数据，统计学家们发展了各种各样的统计方法。
其中一类重要的方法就是非参数统计方法。
与参数统计方法相对，非参数统计方法不依赖于对总体分布的假设，更加灵活和广泛适用于各种情况。
一、非参数统计方法的概述非参数统计方法是基于数据的排序和秩次的分析方法，不需要对总体参数进行假设。
它的主要特点是：不依赖于总体的分布形式，适用于任意类型的数据；不需要对总体参数进行估计，不需要检验参数值；能够处理非连续型变量和偏态数据。
二、秩次统计法秩次统计法是非参数统计方法中的一种重要方法，主要用于比较两组数据的差异或相关性检验。
这种方法将原始数据转化成秩次或秩次差来进行统计分析，具有较好的稳健性和非正态分布数据的适应性。
三、Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是秩次统计法的一种常见应用，常用于比较两个相关样本或配对样本的差异。
它主要通过将配对观测值的差异转化为秩次，来判断两个总体是否存在差异。
四、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是另一种常见的秩次统计方法，主要用于比较两个独立样本的差异。
该方法不依赖于总体分布的假设，适用于非正态分布和偏态数据。
它通过比较两个样本的秩次和来判断两个总体是否存在差异。
五、Kruskal-Wallis检验Kruskal-Wallis检验是一种非参数多样本比较方法，适用于三个以上独立样本的差异性检验。
该方法通过将原始数据转化为秩次和来判断不同样本组之间是否存在显著差异。
六、Friedman检验Friedman检验是非参数的配对多样本差异比较方法，用于比较同一组样本在不同条件下的差异。
该方法是将样本各组的观测值转化为秩次，再计算秩次和进行统计推断。
七、Bootstrap法Bootstrap法是一种利用从原始数据中随机抽样的方差估计方法，适用于样本较小或者未知分布的情况。
它通过有放回的抽样来生成多个样本，从而对样本的分布进行估计，并得出对总体参数的估计值。
非参数统计方法中的密度估计算法
非参数统计方法中的密度估计算法密度估计是非参数统计学中的一个非常基础的课题，它的核心是从一个数据集中推断出该数据集背后的分布情况。
在实际应用中，分布情况往往是未知的，但是我们可以通过样本数据来近似该分布。
因为密度是一个连续函数，所以密度估计通常也被称为连续分布估计。
由于非参数统计学不依赖于先验假设，所以密度估计算法非常灵活，有很多种不同的方法可以用来近似分布。
这些方法的目标是尽可能准确地估计分布，同时避免过拟合和欠拟合的问题。
本文将介绍一些常见的密度估计算法，包括直方图、核密度估计和K近邻密度估计。
一、直方图法直方图法是一种非常简单的密度估计算法，它将数据集分成若干个等宽的区间，对每个区间内的数据求和，得到该区间内的频数。
然后通过将每个区间内的频数除以数据总量来估计每个区间的密度。
最终的密度估计是由所有区间密度的柱状图组成的。
然而，直方图法的精确度受区间宽度的影响很大。
如果区间宽度太窄，会导致过拟合，而如果区间宽度太宽，会导致欠拟合。
因此，找到合适的区间宽度是直方图法中的一个重要问题。
二、核密度估计法核密度估计法是一种非常流行的密度估计算法，它采用核函数将每个样本点周围的密度贡献到密度估计中。
具体来说，核密度估计法将每个样本点周围的区域作为一个小尺寸的正态分布，将它们加权平均起来作为最后的密度估计结果。
核密度估计法有很多种不同的核函数，包括高斯核、矩形核、三角核等等。
核函数的形式通常是由使用者根据实际应用情况来决定的，核函数的形状会影响最终密度估计过程中的平滑程度和偏压程度。
核密度估计法的优点是可以自适应地适应数据的分布情况，而不需要手动调整区间大小。
但它的缺点是计算成本较高，而且导数可能不连续，使得图形样式不够吸引人。
三、K近邻密度估计法K近邻密度估计法是另一种非参数密度估计方法，它不需要认为数据服从某个特定的分布，它只需要使用一些已知的样本数值来进行估计。
K近邻密度估计法的思想是：一个点的密度应该是在它周围K个点的距离内的点数占总点数的比例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2) 建立高斯函数文件 Ga<-function(x,h,A) {(1/260*h)*sum((1/sqrt(2*pi))*exp(-0.5*((x-A[,1][1:260])/h)^2))}
以高斯核函数为例
3) 调用函数文件 source("d:\\S文件\\Ga.s")
4) 求函数值 > z<-Ga(1,1,A) >z [1] 0.01347425
exp(| u |)
以高斯核函数为例
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1 exp( 1 ( x xi )2 )
2
2h
其中{x1,K , xn}为样本序列
用S-Plus编程计算密度估计值.
1) 调用数据文件 A<-read.table("E:\\各种电子课件\\非参数统计\\data\\newfish.txt",header=T,sep=",")
7) 余弦 8) 指数
核函数
1 I (| u | 1) 2 (1 | u |)I (| u | 1)
3 (1 u2 )I (| u | 1) 4
15 (1 u4 )I (| u | 1) 16
35 (1 u2 )3 I (| u | 1) 32
1 exp( 1 u2 )
2
2
cos( u)I (| u | 1) 42
5) 画图 > x<-seq(1,26,length=52) > z<-rep(0,52) > for(i in 1:52) {z[i]<-Ga(x[i],1,A)} (首先找到A[,1]向量中的最小和最大值,1.09和25.37) > plot(x,z,type="l")
0
5
10
h=0.2
x
0.0
其中，hn是归一化参数，表示每组的组距，称为带宽（窗宽）。 注意：针对连续型的总体X.
例8.1
鲑鱼和鲈鱼的身长(260条)
hist(A[,1], 20)
120
15
100
40
80
10
30
60
20
40
5
10
20
0
0
0
5
10
15
20
25
c1[, 1]
0
5
10
15
20
25
c1[, 1]
鲈鱼比鲑鱼的身长要长。
0
5
10
15
20
25
30
c1[, 1]
推广直方图的密度函数定义。X∈Rd
pˆ(x) ni / n V
1）若V很小，密度值局部变化很大，呈现多峰不稳定的特点； 2）若V较大，从而使估计过于平滑。 如何在稳定与过度平滑之间寻找平衡？ 方法（1）固定体积不变；（2）固定ni不变； 核估计和k-近邻估计。
3. 归类原则：
pˆ (x | 1) pˆ (x | 2 )
x 12 其中,
p(2 | x) p(1 | x) p(2 | x) p(1 | x)
p(i | x)
pˆ (x | i ) p(i )
2
,
pˆ (x | j ) p(j )
j 1
i 1, 2
(贝叶斯公式)
分类问题
序号
113 112 250 219 123 197 170 32 92 137
0.001
z 0.002
0.003
0.004
0.005
0.02
z 0.04
0.06
0.08
15
带宽对估计量的影响
20
25
0
5
10
h=1
x
15
20
25
0.05
0.10
Z 0.15
0.20
0.25
5
10
h=2
x
15
20
25
Parzen窗函数为核函数
h=5
Parzen窗函数 1 I (| u | 1) 2
MSE(ˆ, ) E(ˆ )2 Dˆ E(Eˆ )2
均方误差
MISE E ( pˆn (x) p(x))2 dx [Bias( pˆn (x)) var(pˆn (x))]dx
分析: 1. 带宽hn越小, 核估计的偏差越小, 但方差会增大. 2. 带宽hn越大, 核估计的偏差大, 但方差会变小. 说明hn的变化, 不可能同时使核估计的偏差和方差变小. 只有同时使两者达到一种平衡. 实际上, h的选取要根据数据和密度估计的情况不断调整.
第八章 非参数密度估计
8.1 非参数密度估计
直方图是最基本的非参数密度估计。 假定有数据{x1,x2,…,xn}, 将它由小到大排序，得到数据覆盖的区间(a, b)， 对该区间等间距地分为k组，记为I1,I2,…,Ik，计算Ii中的频率ni/n，则密度 估计为：
pˆ (x)
ni
nh 0,
n
,
x Ii ,i 1, 2,..., k 其他
模式分类问题
一些实际问题: • 鉴定某河流的污染程度; • 通过检查某些指标, 诊断某人是否得了某种疾病; 3. 设备的故障诊断问题; ……
应用密度估计对数据进行分类
1. 假设ω1——鲑鱼， ω2——鲈鱼，它们的先验概率为：
p(1) p(2 ) 1/ 2 (因为两类的频数为130条)
2. 分别估计鲑鱼和鲈鱼的概率密度：
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1I 2
xi x h
1
带宽对估计量的影响
当带宽h=0.2时,密度函数曲线比较粗糙,噪声很多; 当带宽h=1时,密度函数曲线比较平滑,较为理想; 而带宽h=5时,密度函数曲线最平滑的,但信息损失很多; 如何选择合适的带宽,是核函数密度估计的关键.
考虑估计的均方误差.
8.2 核密度估计
设区域R是Rd空间上的d维立方体, 其体积为Vn, h是R的边长, 对任意的 x={x1,x2,…,xn}, 定义x的邻域函数:
(
x)
1,
|
xi
|
1 2
,
iHale Waihona Puke 1,2,...,d
0,
其他
kn
n i 1
( x - xi ) hn
落入x邻域的样本数
pˆ (x) 1 n ( x xi ) 称为Parzen窗密度估计
nVn i1
hn
核密度估计的定义
定义8.1
假设数据x1,x2,…,xn取自连续分布p(x), 定义核密度估计
pˆn (x)
1 nVn
n K ( x xi )
i 1
hn
其中K ()为核函数
只要核函数满足:
K(x) 0, K(x)dx 1
R
本节主要讲一维的密度估计。
常用核函数
核函数的名称 1) Parzen窗 2) 三角 3) Epanechikov 4) 四次 5) 三权 6) 高斯
数值
19.6 22.3 14.07 8.5 17.3 7.6 6.3 6.5 22.1 2.0
P(ω1|x)
0.823 0.731 0.523 0.323 0.546 0.323 0.586 0.238 0.923 0.037