第三章 机器人运动学

将上式求逆，得到特定的差动驱动机器人的运动学方程：
1 1 1 0 1 0 l 2 2 J J 1 1 I R( ) 1 0 l 2 R( ) 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 2l 2l
.
.
.
动分量。
• 3.2.2 前向运动学模型 给定机器人的几何特 征和它的轮子速度，机器 人如何运动？即前向运动 学模型。 该差动机器人有2个轮 图3.3在全局参考框架中差动驱动的机器人 子，半径为r，给定中心处 为两轮之间的点P，各轮 . 距P的距离为l。 x 给定r,l,θ和各轮的转速， . . . . 前向运动学模型会预测全 I y f (l , r , , 1 , 2 ) 局参考框架中机器人的总 . 速度：
• 3.3.2 活动性的程度 活动性表示机器人在环境中直接运动 的能力。限制活动性的基本约束就是加在 轮子上的滑动约束。 滑动约束如前所示为：
• 在数学上， C1 (s ) 的零空间是空间N，使得对任 C1 (s )n 0 。为了满足约束， 何N中的向量n， 。 运动向量 R( ) I 必须属于投影矩阵 C1 (s ) 的零 空间。若遵守运动学约束，则机器人的运动必定 总是在该空间N内。 在几何上，利用机器人的瞬 时转动中心 可以同时说明运动学的约束。
这里限定沿YI的运动分量为零，由于YR 和YI在本例中平形，所以轮子不会侧向滑动。 如果不是特殊情况，则会形成全局参考框架下的轨迹（速度）约束方程。
可操纵标准轮的运动学约束：
• 可操纵的标准轮的滚动和滑动约束方程： 式中β ＝β(t)。
小脚轮运动学约束：
小脚轮的滚动和滑动约束方程：
上式表明：任何正交于轮子平面的运动必须被一个等效的且 相反的小脚轮操纵运动量所平衡，这对小脚轮的成功是至关 重要的，因为通过设置操纵量，任意的横向运动是可以被接 受的（即使得约束被满足）。所以只带有小脚轮的机器人可 按任意的速度在可能的机器人运动空间中运动，我们称此系 统为全向的。
.
.
.
.
（1）
• 其次，计算在YR 方向的贡献
由于没有一个轮子可以提供侧向运动， 所以沿YR 方向的速度总是零。 • 最后，计算旋转角速度分量。可独立的计 算各轮的贡献，且只要简单相加即可。 . .
r 1 r 2 1 2 2l 2l
（2）
• 联合式（1）和式（2）得到差动驱动机器人的 运动学模型如式（3）所示：
I R( ) J J 2
1 1 1f. . 4 I y 3 . 7 3
• 3.3移动机器人的机动性 机器人可操纵的总自由度，包括通过改 变轮子的速度，机器人直接操纵的自由度 （活动性）和通过改变操纵的配置和运动， 间接操纵的自由度（可操纵度）两个方面。
图3.4 固定标准轮和它的参数
• 固定标准轮A的位置用机器人局部参考框架 下的极坐标（ l ，α）来表示。轮子平面相 对于地盘的角度用β表示，该角度为固定值。 具有半径r的轮子在轮子平面内可自由转动。
由于所有在方程中的其他参数α、β等均是依据机器人 的局部参考框架，所以必须将全局参考框架下的运动变换 到机器人局部参考框架内的运动。
对于简单的差动驱动情况，上式展示了轮子滚动和滑动约束的联合描述了运动学的 行为。另外，上式与图3.1所对应的运动学模型表示完全一致。
• 一个有3个90度瑞典轮的全向机器人对所有 轮子和。机器人的局部参考框架和全局参 考框架是一致的，即夹角为0。如果轮1，2， 3分别以速度4，1，2旋转，那么整个机器 人的最终运动会是什么样呢？
. . (1 / 2) r 1 (1 / 2) r 2 . 1 I R ( ) 0 . r . 1 r 2 2l 2l
（3）
• 其中：
cos sin 0 1 R( ) sin cos 0 0 0 1
x I y
• 为了根据分量的移动描述机器人的移动， 需要将全局参考架下的移动映射到局部参 考框架下的运动。该运动可由正交旋转矩 阵来完成：
举例（example）
图3.2 与全局参考框架并排的机器人
• 给定在全局参考框架下某个速度( x, y, ) ，我们 可以计算沿机器人局部参考框架轴XR和YR的运
J1 f
和
C1 f
首先辨识各轮α和β的值。对图3.1，右轮α＝－π /2， β＝ π；左轮α＝π/2， β＝ 0。由于，两个标准轮是平行的，所以，只有一个独立的滑动约束方程 总的运动约束方程如式：
1 0 l J2 1 0 l R ( ) I 0 1 0 0

• 建模策略：首先计算在局部参考框架下各轮对 机器人运动的贡献，然后再将其影射到全局参 考框架下。 首先，考虑在+XR方向上各轮的转动速度对
点P的平移速度的贡献。
计算如果一轮旋转，而另一轮无贡献且不 动，则点P的平移速度为
xr1 xr 2 (1/ 2)r 1 (1/ 2)r 2
• 小结：对于小脚轮、瑞典轮和球形轮，由 于其内部的自由度，并未对机器人的运动 施加实质上的约束，即机器人可在全局参 考框架下自由运动。也就是说，只有固定 标准轮和可操纵标准轮会对机器人的运动 施加约束。
• 3.2.4 机器人运动学约束 给定一个具有M个轮子的机器人，将全 部由所有轮子引起的运动学约束适当的联 合起来，以此来描述机器人的运动学约束。 假定机器人总共有N个标准轮，由Nf个固定 标准轮和Ns个可操纵标准轮组成。βs(t)表 示可操纵标准轮的可变操纵角。βf表示固定 标准轮的方向。
• 3.3.2可操纵度
s
对于可操纵的标准轮，通过改变操纵角，可间接改变机器人的姿态。
s＝rank[C1s(s )]
可操纵度即表示独立的可操纵的参数的数目。
举例（example）
• 一个差动驱动机器人（针对图3.3所示机器人） 将滚动约束和滑动约束方程联合起来可得到式：
J1 ( s ) J C ( ) R( ) I 2 1 s 0
由于小脚轮无动力，并可在任何方向自由运动，因此可忽略第三个接触点。 其余两个轮不可操纵，因此 J1 ( s ) 和 C1 ( s ) 分别简化为
图3.1 全局参考框架和局部参考框架
• （XI，YI）为全局参考框架 • (XR，YR) 为机器人的局部参考框架，相对于机 器人底盘上的点P • 在全局参考框架下，P的位置由坐标x和y确定， 全局框架和局部框架的角度差由θ表示。 • 机器人的姿态可由这三个元素组成的向量来描述， 即在全局参考框架下该姿态的基为：
.
•
在全局参考框架下，机器人沿着y轴， 以速度1旋转的同时以速度3瞬时的移动。 另外，机器人沿x轴的速度为零。 • 给定各轮的速度，用运动学建模的方 法，可提供有关机器人移动的信息。然而， 我们希望，对于机器人的地盘结构，要确 定机器人可能运动的空间。所以在建立运 动学模型的基础上必须进一步描述各轮加 到机器人运动上的约束。
固定标准轮的滚动和滑动约束方程：
（1）
（2）
举例（example）
• 假定轮A处在一个位置使得α＝90，β＝0，如 果θ＝0，那么滑动约束方程（2）可简化为：
. . x x 1 0 0 . . 0 1 0 0 1 0 y 0 1 0 y 0 . . 0 0 1
滚动约束：
滑动约束：
• 上述表达式对单个轮子的滚动和滑动约束具有强 的相似性，但矩阵代替了单个值，因此把全部轮 子的约束都考虑进去了，J1 (s ) 表示一个投影矩 阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到沿 着各个轮子平面上的运动。 C1 ( s ) 也表示一个投 影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影 到各个轮子的法平面内。
瑞典轮运动学约束：
瑞典轮的滚动和滑动约束方程为：
90度瑞典轮时，滚动方程简化为固定标准轮的滚动约束。但 由于滚柱，正交于轮子平面没有滑动约束。改变主动轮的转速 可以产生任何期望的运动向量以满足滚动约束方程，所以轮子 是全向的。 0度瑞典轮时，滚柱有一个平行于主轮旋转轴的转动轴。若将 该值代入滚动约束方程，则得到的却是固定标准轮的滑动约束 方程，即瑞典轮的滚动约束消失（主轮不需要旋转）。
• 3.2.3 轮子运动学约束 首先讨论单个轮子的约束，再将单独轮 子的约束联合起来计算整个机器人的运动。 两点假设：1 轮子的平面总是和地面保 持垂直，并且在任何时候，轮子和地面之 间只有一个单独的接触点。2 该接触点无滑 动，即只存在纯滚动。 标准轮分为固定标准轮和可操纵标准轮。 下面首先介绍固定标准轮的运动学约束。
• 一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机 器人：
0 rank[C1 (s )] 3
• 秩等于零：在这种情况下，机器人未安装标准轮 • 秩等于3：机器人在任何方向是完全受约束的， 它将不可能在平面中运动。
• 活动性程度 m ：
m dim N[C1 (s )] 3 rank[C1 (s )]
• 3.2 运动学模型和约束 为整个机器人运动推导一个模型，是 一个由底向上的过程。我们必须用相对清 晰和一致的参考框架来表达各轮的力和约 束，由于移动机器人的独立和移动本质， 需要在全局和局部参考框架之间有一个清 楚的映射。
• 3.2.1 表示机器人的位置 在整个分析过程中，我们将机器人建模成 轮子上的一个刚体，运行在水平面上。为 了确定机器人在平面中的位置，我们建立 了平面全局参考框架和机器人局部参考框 架之间的关系如图所示
• 瞬时转动中心 ICR （instantaneous center of rotation） 在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为 R的某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心 处在零运动直线上，该中心称为瞬时转动 中心。它可以位于沿零运动直线的任何地 方。