(新教材)【人教A版】20版《高中全程学习方略》必修二6.3.1(数学)
(新教材)【人教B版】20版《高中全程学习方略》必修四11.1.2(数学)
【思考】 (1)如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平
面,l∩α=∅表示什么? 提示:l∩α=∅表示直线l与平面α平行.
(2)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点” 是相同的意义吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内 这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
(3)如何从直线与平面公共点的个数将直线与平面的位 置关系分类? 提示:当直线与平面公共点的个数为0时,直线与平面平 行;当直线与平面公共点的个数为1时,直线与平面相交; 当直线与平面公共点的个数为无数个时,直线在平面内.
(2)点在平面内的射影 给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可 以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平 面α内的射影(也称投影),线段AB为平面α的垂线 段,AB的长为点A到平面α的距离.
(3)直线到平面的距离 当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称 为这条直线到这个平面的距离. (4)平面到平面的距离 当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平 面的距离称为这两平行平面之间的距离.
4.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面 之间的关系:
(1)点C与平面β:______________. (2)点A与平面α:______________. (3)直线AB与平面α:__________. (4)直线CD与平面α:__________. (5)平面α与平面β:__________.
2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的 是( )
A.AB C.DD1
B.BB1 D.B1C1
【解析】选D.AB与AA1相交;BB1与AA1平行;DD1与AA1平 行;B1C1与AA1异面.
3.在以下三个说法中,正确的说法是 ( ) ①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面 平行; ②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
(新教材)【人教B版】20版《高中全程学习方略》必修三单元素养评价(二)(数学)(第八章)
单元素养评价(二)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos215°+cos275°+cos15°cos75°的值是 ( )A. B. C. D.【解析】选D.原式=++=.2.若tan α=2,则的值等于( )A.-B.C. -D.【解析】选B.====.3.若sin=,sin=,则= ( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.sin=sin αcos β+cos αsin β=,sin=sin αcos β-cos αsin β=,由此得sin αcos β=,cos αsin β=,所以=5,所以=4.4.若sin θ<0,cos2θ<0,则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A.π<θ<B.<θ<C.<θ<2πD.<θ<【解析】选B.因为cos 2θ<0,所以1-2sin2θ<0,即sin θ>或sin θ<-,又已知sin θ<0,所以-1≤sin θ<-,由正弦曲线得满足条件的θ取值为<θ<.5.三角形ABC中,若C>90°,则tan A·tan B与1的大小关系为( )A.tan A·tan B>1B.tan A·tan B<1C.tan A·tan B=1D.不能确定【解析】选B.在三角形ABC中,因为C>90°,所以A,B都为锐角.则有tan A>0,tan B>0,tan C<0.又因为C=π-(A+B),所以tan C=-tan(A+B)=-<0易知1-tan A·tan B>0,即tan A·tan B<1.6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b ,则a与b的夹角θ是( )A. B. C. D.【解析】选B.因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,所以a2=b2=2a·b ,|a|=|b|,所以cos θ===.所以θ=.7.已知0<α<<β<π,又sin α=,cos(α+β)=-,则sin β等于( ) A.0 B.0或C. D.±【解析】选C.因为0<α<<β<π且sin α=,cos(α+β)=-,所以cos α=,<α+β<π,所以sin(α+β)=±,当sin(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=;当sin(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-×-×=0.又β∈,所以sin β>0,故sin β=.8.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为m·n=sin Acos B+sin B·cos A=sin(A+B)=sin C=1-cos C,所以sin=,又因为0<C<π,所以C+=,故C=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列计算正确的是( )A.=1B.1-2sin275°=C.cos4-sin4=D.cos275°+cos215°+cos75°c os 15°=【解析】选A、C、D. 对于选项A,=tan 45°=1;对于选项B,1-2sin275°=cos 150°=-,对于选项C,cos4-sin4==cos=;对于选项D,原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=.10.若函数y=sin cos+cos·sin,则( )A.函数的周期为2πB.函数的一个对称中心为C.函数的一条对称轴为x=πD.函数的值域为【解析】选A,C,D.y=sin·cos-cos sin=sin=sin=cos x,故周期为2π,x=π是函数y=cos x的一条对称轴,值域为.11.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是 ( )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥【解析】选A,B,C.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1, 所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥.12.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tanβ+tan αtanβ=,则( )A.<α<B.β<<αC.<α<βD.<β<α【解析】选A,B.因为α为锐角,sin α-cos α=>0,所以<α<.又tan α+tan β+tan αtan β=,所以tan(α+β)==,所以α+β=,又α>,所以β<<α.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.函数f(x)=sin2的最小正周期是________.【解析】因为f(x)==(1-sin 4x),所以最小正周期T=.答案:14.tan+tan+tan·tan的值是________.【解析】因为tan=tan==,所以tan+tan+tan tan=.答案:15.若=2 020,则+tan 2α=________.【解析】+tan 2α======2 020.答案:2 02016.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________.【解析】设a,b的夹角为θ.因为|a|=1,|b|=2,所以|a+b|+|a-b|=+=+.令y=+,则y2=10+2.因为θ∈[0,π],所以cos2θ∈[0,1],所以y2∈[16,20],所以y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].答案:4 2四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)求值:.(2)已知sin θ+2cosθ=0,求的值.【解析】(1)原式====2+.(2)由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ,又cos θ≠0,则tan θ=-2,所以====.18.(12分)已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值.(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.【解析】(1)因为a与b互相垂直,则a·b=sin θ-2cos θ=0,即sin θ=2cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1得, sin θ=±,cos θ=±,又θ∈,所以sin θ=,cos θ=.(2)因为0<φ<,0<θ<,所以-<θ-φ<,则cos(θ-φ)==,cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=. 19.(12分)求函数f(x)=sin x的最小正周期与最值. 【解析】f(x)=sin x=sin x·2cos sin=-sin xcos=-=-sin+.所以最小正周期为T==π.因为sin∈[-1,1],所以f(x)max=,f(x)min=-.20.(12分)已知ω>0,a=(2sinωx+cosωx,2sinωx-cos ωx),b=(sin ωx,cosωx),f(x)=a·b,f(x)图像上相邻的两个对称轴的距离是.(1)求ω的值.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】f(x)=a·b=(2sin ωx+cos ωx)sin ωx+(2sin ωx-cos ωx)cos ωx =2sin2ωx+3sin ωxcos ωx-cos2ωx=1-cos 2ωx+sin2ωx-(1+cos 2ωx)=(sin 2ωx-cos 2ωx)+=sin+.(1)因为函数f(x)的图像上相邻的两个对称轴间的距离是,所以函数f(x)的最小正周期T=π,则ω=1.(2)f(x)=sin+.因为x∈,所以∈,则当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1;当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值.21.(12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.(1)求tan(2α-β)的值.(2)若<α<π,0<β<,求α+β.【解析】(1)由三角函数的定义知tan α=-,所以tan 2α==.又由三角函数线知sin β=.因为β为第一象限角,所以tan β=,所以tan(2α-β)==.(2)因为cos α=-,sin β=,<α<π,0<β<,所以sin α=,cos β=.<α+β<.因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-×=.又因为<α+β<,所以α+β=.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB、AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.【解析】连接PA,设∠PAE=θ,如图所示.设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cos θ,PN=HN-HP=10-9sin θ.所以S=PM·PN=(10-9cos θ)(10-9sin θ)=100-90sin θ-90cos θ+81sin θcos θ.设sin θ+cos θ=t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为θ∈,所以t=sin θ+cos θ=sin∈[1,],所以当t=时,S min=,故矩形PMCN的面积的最小值为.关闭Word文档返回原板块。
【全程复习方略】高中数学(人教A版必修二)多媒体教学优质课件-第三章 直线与方程1
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程1
二、两条直线垂直的判定
y
设 两 条 直 线 l 1 与 l2 的 斜 率 分 别 为 k 1 , k 2 ， l2
l1
两直线的斜
率均存在. O
x
l1⊥ l2 k1k2=-1.
特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的 倾斜角为0°，两直线互相垂直.
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行
或重合.
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程1
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)， 试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率
kBA
=
思 考 1 设 两 条 直 线 l 1 , l 2 的 斜 率 分 别 为 k 1 , k 2 ，
y
l1
1
O
l 1 ∥ l2 时 ， k 1 与 k 2 满 足 什 么 关 系 ？
l2
2
α1 = α2
x
即k 1 = k 2
k1 = k2
l1∥l2 ,
或
l1与
l2重
合
思 考 2 设 两 条 直 线 l 1 , l 2 的 斜 率 都 不 存 在 ，
例4 已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3） 三点，试判断△ABC的形状. 分析：结合图形可猜想AB⊥BC，
△ABC为直角三角形.
解 ： 直 线 AB的 斜 率 kAB=-2 1,
直 线 BC的 斜 率 kBC=2,
因 为 k A B k B C=- 1 , 所 以 直 线 A B ⊥ B C ， 即 ∠ A B C=9 0 o , 所 以 Δ A B C 是 直 角 三 角 形 .
(新教材)20《高中全程学习方略》必修一课件：1.1.2(数学)
1. 1.2集合的基本关系汉聲提示如果您在现石木年件旳辻芳中出"••字他泉・折吳同幷宥幻灯片・可正*恋・新版课程标准学业水平要求★水平一I.能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念・（数学抽象）1.理解集合之间包含与相等的含义•能识别给定集2.能识别给定集合的子集、真子集・（逻辑推理）合的子集:3.会判断集合间的关系•并能用符号和维恩图表小.（直观想象）2•能使用维恩图表达集合的皋本关系•体会图形对★水平二理解抽象概念的作用；1・掌握列举冇限集的所冇子集的方法•（逻辑推理）2 •能根据集合之间的关系•利用数形结合的思想求参数的值或取1必备知识•素养奠基1・维恩图用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图.2 •子集和真子集【思考】(1) 任意两个集合之间是否有包含关系?提示：不一定,如集合A={1 z 3} z B={2 , 3} z这两个集合就没有包含关系.(2) 符号与乜”有什么区别?提示：① y 是表示元素与集合之间的关系,比如IWN , -ieN.②y”是表示集合与集合之间的关系，比如NUR ,{1,2, 3}C{3 , 2 , 1}・③的左边是元素，右边是集合，而 V 的两边均为集合.3 •关于子集和真子集的结论⑴空集是任意一个集合A 的子集，即0CA.(2) 对于集合A, B, C,如果A C B, B C C,(3) 对于集合A, B, C,如果A B, B C,呈辜 2贝ijAcC.4 •集合相等与子集的关系⑴如果ACB且BCA,贝iJA=B. ⑵如果A=B,贝iJAcB-SBcA.【素养小测】1 •思维辨析(对的打“十'，错的打“X”)(1) 任何集合至少有两个子集. ((2) {0, 1, 2}c{2, 0, 1}.()(3) 若AcB,且AHB,则A B. ((4) 集合{0, 1}的子集是{0},⑴，{0, 1}.提示：⑴x.0只有一个子集.z2}c (2)<{0 , 1 , 2}={2 ,0,1},所以{0 , 1 {2,0,1}.⑶7.若AcB z且AHB z则A B.(4) x.0也是集合{0 , 1}的子集.2下列图形中，表示MCN的是（）C D【解析］选C・根据题意可知z M中的任意一个元素都是N中的元素,故C正确.3•已知集合A={・1, 3, m}, B={3, 4},若BcA,则实数________________【解析】因为BCA , B={3 z 4} z A={-1 , 3 z m} z比较A , B中的元素可知m=4. 答案：4关键能力类型一集合间夫:乐tl'J刊助【典例】1 •下列各个关系式中，正确的是A.0={O} B. WQC.{3, 5}#{5, 3}D.{1}C{X|X2=X}•素养形成^三()2•己知集合A={x|x<-2或x>0}, B={x|0<x<1},则（A.A=B B.A BC.B AD.AcB辜3 •判断下列各组中集合之间的关系：(1)A={x|x是12的约数}, B={x|x是36的约数}；6= Rix2+1 =01 •⑶A={x|x是平寻四边形}, B={x|x是爰形}, C={x|x是四边形}, D={x|x是正方形}；(4)M= f , N=< xlx=-, neZ >2< xlx=一- n, neZ2【思维•引】1 •先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系，然后根据集合中元素的特征逐项判断.2画出数轴，观察数轴判断集合A与B的关系.3•首先确定集合由哪些元素构成，然后判断集合之间的关系.【解析】1 •选D•因为0 {0} , GQ, {3 , 5}={5 , 3} z所以A , B z C错误,{x|xM={0 , 1] 所以{1}C{X|X2=X}成立2选C.由数轴知B A.Bo --------- 1 ------- 6 -------- 6-23.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2) 因为A={x|x2-x=0}={0, 1}, B={xeR|x2+1=O}=0, 所以B A.(3) 由图形的特点可画出维恩图如图所示,从而C A BD.呈w(4) 方法一：对于集合M ,其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N ,其组成元素是H + n二，分子部分表示所有的奇数•由真子集的概- 念知z N M. 212n+l2方法二：用列举法表示集合如下：M=N= 所以N M.< ---1 -1 0 - 1 - 2 -〔2 2 2 2 2[3 113 5 ]I・・・・・・,,2 2 2 2 2…厶【内化•悟】1・区别属于关系和包含关系的关键是什么？提示:关键是结合具体情境识别集合还是元素.2当集合中元素有无限多个时，常用哪些方法判断集合之间的关系?提示：常用的方法有以下两种(1)画数车由，⑵适当变韧寻找联系，例如：对于集合 A= B= /将集合A 变为A= 不难观察出A B.2k X = 一 6< x x 二一，kwZ> 1 6 J【类题•通】1 •集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2证明集合相等的两种方法(1)用两个集合相等的定义，证明两个集合A, B中的元素全部相同，即可证明心8・⑵证明A C B,同时B C A,推出A=B.【习练•破】1 •已知集合A={x|x=3k, kGZ}, B={x|x=6k, kGZ}, 则A与B之间最适合的关系是（）A.AcBB.AaBC.A BD.A B【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍z所以集合B是集合A的真子集.2已知集合U, S, T, F之间的关系如图所示，下列关系中错误的有____________ ・（只填序号）2T；F； )F s ②④ — s s F【解析】根据子集、真子集的定义, 由维恩图的关系，可以看出S U,S T ②④错误.答案：②④,F U正确，【加练個】1 •已知集合A=B=则集合A, B的关系为< xlx 壬1』3Vxlx = 2n + l,neZ。
人教版高中数学必修二章节思维导图全套
人教版高中数学必修二章节思维导图全套《6.1 平面向量的概念》思维导图
《6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算》思维导图
《6.3.2 平面向量数量积的坐标表示》思维导图
《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用》思维导图
《6.4.2 余弦定理、正弦定理》思维导图
《6.4.3 余弦定理、正弦定理的实际运用》思维导图
《7.1 复数的概念》思维导图
《7.2 复数的四则运算》思维导图
《7.3 复数的三角表示》思维导图
《8.1 基本立体图形》思维导图
《8.2 立体图形的直观图》思维导图
《8.3 简单几何体的表面积与体积》思维导图
《8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系》思维导图
《8.5 空间直线、平面的平行》思维导图
《9.1 随机抽样》思维导图
《10.2 事件的相互独立性》思维导图
《10.3 频率与概率》思维导图。
人教版高一数学必修第二册(A版)电子课本课件【全册】
0002页 0083页 0183页 0244页 0274页 0309页 0392页 0469页 0547页 0567页 0614页 0650页
第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.4 平面向量的应用 7.1 复数的概念 7.3 * 复数的三角表示 8.1 基本立体图形 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.5 空间直线、平面的平行 第九章 统计 9.2 用样本估计总体 第十章 概率 10.2 事件的相互独立性
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】6.3 平面向量基本定理及 Nhomakorabea标表 示
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
6.4 平面向量的应用
7.2 复数的四则运算
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
第七章 复数
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
7.1 复数的概念
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
第六章 平面向量及其应用
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
6.1 平面向量的概念
人教版高一数学必修第二册(A版)电 子课本课件【全册】
6.2 平面向量的运算
人教A版数学必修第二册【高清教材】
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【全程复习方略】高中数学(人教A版必修二)多媒体教学优质课件-第三章 直线与方程4
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
所 以 12或 13,
m
m2
解得0 m 或 1 2当mm=00时, ，直线l的方程为x=0， 23
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
探 究 3 如 果 直 线 l1,l2的 方 程 为 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠ 0,A2B2C2≠ 0), 若 l1//l2,则 A1,A2,B1,B2， C1， C2满 足 什 么 条 件 ？
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
A1A2 +B1B2 =0.
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1， 则直线l的点斜式方程是___y_-_0_=_x__+_4_. 直线l的斜截式方程是____y_=__x_+_4__. 直线l的一般式方程是___x__-y__+_4_=__0.
y
O
4x
-5
【全程复习方略】高中数学（人教A版 必修二 ）多媒 体教学 优质课 件：第 三章 直线与方程4
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提示：(1)×.根据基底的概念可知，平面内不共线的向 量都可以作为该平面内向量的基底. (2)√.根据平面向量基本定理知，平面内任一向量都可 以由向量e1，e2线性表示. (3)×.当e1与e2共线时，结论不一定成立. (4)×.基底向量是不共线的，一定是非零向量.
2.已知AD是△ABC的BC边上的中线，若
uuur AB
=a，
uuur AC
=b，
则
uuur AD
=
(
)
A. 1 (a-b)
2
C.- 1 (a+b)
2
B.- 1 (a-b)
2
D. 1 (a+b)
2
【解析】选D.如图所示，
因为
uuur uuur uuur uuur AE＝AB＋AC＝2AD，
所以
uuur uuur DA与BC
共线；③
uuur uuur CA与DC
不共线；④
uuur OD
uuur OB
，则
uuur uuur OD与OB
共线.由平面内向量基底的概念知，只有不共
线的两个向量才能构成一个基底，故①③满足题意.
2.选A.选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面 内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任 一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式，故λ1e1+λ2e2一 定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的， 而不是有无数对.
这个平行四边形所在平面的一个基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④
2.若使e1，e2是平面α内所有向量的一个基底，那么下 列命题正确的是 ( ) A.若实数λ1，λ2，使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1， λ2∈R
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平 面内所有向量的基底. ( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1+ λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.
() (3)若ae1+be2=ce1+de2(a，b，c，d∈R)，则a=c，b=d.
uuur uuur uuur AC)＝rAB＋sAC，
44
所以 r＝3，s＝ 3，所以r+s ＝3 3＝0.
4
4
44
角度2 向量方程组法 【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a= 3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用向量a和b表示c. 世纪金榜导学号
C.对实数λ1，λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1， λ2有无数对
【思维·引】1.根据基底的构成条件判断. 2.由平面向量基本定理内容理解判断.
【解析】1.选B.①
uuur uuur AD与AB
不共线；②
uuur DA
BuuCur ，则
6, 3，
解得x-y=3.
答案：3
类型二 用基底表示向量
角度1 线性运算法
【典例】(2019·洛阳高一检测)若D点在三角形ABC的
边BC上，且 CuuDur＝4DuuBur＝rAuuBur＋sAuuCur，则3r+s的值为
世纪金榜导学号( )
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
5
5
5
5
【思维·引】利用三角形或平行四边形法则.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向 量的一个基底.
【解析】选C.如图
因为
uuur uuur uuur uuur CD＝4DB＝rAB＋sAC，
所以
uuur CD＝
4
uuur CB＝
4
uuur (AB
uuur AC)
55
uuur uuur ＝rAB＋sAC，
所以 r＝4，s＝ 4，
5
5
所以 3r＋s＝12 4＝8 .
5 55
【素养·探】
本题考查平面向量基本定理与向量的线性运算，解答
时一般要结合图形分析，体现了直观想象的核心素养.
本例若改为“
uuur uuur uuur uuur CD＝3DB＝rAB＋sAC
”，其他条件不变，
求r+s的值.
【解析】因为
uuur uuur uuur uuur CD＝3DB＝rAB＋sAC，
所以
uuur CD＝
3
uuur CB＝
3
uuur (AB
【内化·悟】 两个向量能否作为一个基底的条件是什么？ 提示：两个向量不共线.
【类题·通】 对平面向量基本定理的理解 (1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解 成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非 零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量 的分解式是唯一的，即0=λ1e1+λ2e2，且λ1=λ2=0.
【思考】 (1)定理中的“不共线”能否去掉？
提示：不能，两个共线向量不能表示平面内的任一向 量，不能作为基底.
(2)平面内的每一个向量都能用e1，e2唯一表示吗？ 提示：是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确 定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的. (3)基底是固定不变的吗？ 提示：不是，平面内的基底不唯一，只要平面内的两 个向量不共线，就可以作为基底，它有无数个.
AuuDur＝1 (a+r OA
可用向量e1，e2表示为_____.
【解析】由图可知，OuuAur =4e1+3e2. 答案：OuuAur =4e1+3e2
类型一 平面向量基本定理的理解 【典例】 1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向 量组： ①AuuDur与AuuBur；②DuuAur与BuuCur；③CuuAur与DuuCur；④OuuDur与OuuBur，其中可作为
(2)对于固定基底而言，平面内任一确定的向量的分解 是唯一的.
【习练·破】 已知平面向量e1，e2是一个基底，实数x，y满足(3x4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y=________.
【解析】因为平面向量e1，e2是一个基底，所以向量
e1，e2不共线，所以
3x 2x
4y 3y