组合数学练习题_带答案
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。
如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。
将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。
试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。
用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。
然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。
试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。
求这条弦的长度小于8的概率。
答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。
通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。
然后，利用面积比来计算概率。
圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。
最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。
试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。
答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。
试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。
问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
组合数学练习题及解析
组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。
它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。
本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。
2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。
3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。
二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。
2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。
3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页
组合数学 双卢 答案1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
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组合数学练习题第一章排列组合1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？本题分为四种情况:1位整数有4个: 2, 4, 6, 82位整数有4*4种方案, 有16个3位整数有4*4*3种方案, 有48个4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个总共有4+16+48+96=164个这样的整数.2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来就是结果.C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以方案数为--- 2 (n!)2(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数除以2n, 所以方案数为--- (n!)2/n(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以方案数为--- 2n n!/n4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 28005, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。
按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？(1) C(10,5) = 10!/((10-5)!5!) = 252(2) C(10+5-1,5) = 14!/((14-5)!5!) = 20026,证明 ()∑=nk k n kC 1,＝12-n n 。
证明:将等式左边展开为:C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+kC(n,k)+…+ (n-1)C(n,n-1)+nC(n,n)设这个多项式等于Q设等式1为Q = Q将等式1左右两边分别加上下面的等式P:nC(n,0)+(n-1)C(n,1)+…+C(n,n-1)得到等式2, 等式右边合并项为: nC(n,0)+nC(n,1)+…+nC(n,n -1)+nC(n,n)提取公因子n, 等于n[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n -1)+C(n,n)]根据定理, 等式右边等于n2n由定理C(n,r) = C(n,n-r) 可将P 变型为P’:nC(n,n)+(n-1)C(n,n-1)+…+2C(n, 2)+C(n,1)P’就等于Q等式2左边是Q+P, 等于2Q等式2左右两边同时除以2, 得到等式3: Q = n2n /2 = n2n-1多项式Q 就是题目中等式的左项, 所以证明题目中等式左右相等第二章 母函数与递推关系1, 设平面内有n 条直线两两相交，且无三线共点。
问这样的n 条直线把平面分割成多少个不重叠的区域？解：设集合{a 0,a 1,…,a n }为本题的解，当有0条线的时候，平面只有一个区域，所以a 0=1，当有1条直线的时候，平面被分为2个区域，当有2条线的时候，平面被分为4个区域，也就是说每增加一条直线，这条直线都会穿过上次每条线所构成的相邻的区域，被穿过区域的个数为(n-1)+1个，即n 个，所以有下面的递推关系：a n = a n-1 + n 初始条件为：a 0=1 a 1=2先求一般解设特征方程：X - 1 = 0 r = 1a’n = A ×1n = A再求特解, 因为1是特征方程的根, 所以设特解a*n = k 0n + k 1n 2, 代入原特征多项式a n – a n-1 = k 0n + k 1n 2 - k 0(n-1) - k 1(n-1)2 = k 0 + 2 k 1n – k 1 = n可得出k 0 = k 1 = 1/2特解为: a*n = n/2 + n 2/2一般解为: a n = A + n/2 + n 2/2当n=0时，有A = 1a n = 1 + n(n+1)/22, 求下列递推关系的一般解：（1）11425,2.n n n a a a -⎧-=⨯⎨=⎩；解: 先求一般解设特征方程：X - 4 = 0 r = 4a ’n = A ×4n再求特解, 因为3是特征方程的根, 所以设特解a*n = p5n , 代入原特征多项式a n – 4a n-1 = p5n – 4p5n-1 = 2×5n当n=1 时, 有5p – 4p = 10 所以p = 10特解为: a*n = 10×5n ,一般解为: a n = A ×4n + 10×5n当n=1时，有2 = 4A + 50，所以A = -12a n = (-12) ×4n + 10×5n（2） 1201693,1, 3.n n n n a a a a a --⎧-+=⎨==⎩。
解: 先求一般解设特征方程：X 2 - 6X + 9 = 0 (X - 3)2 = 0 r 1 = r 2 = 3通解为: a ’n = (A + B*n)3n = 3n再求特解, 因为3是特征方程的重根, 所以设特解a*n = pn 23n , 代入原特征多项式a n – 6a n-1 + 9a n-2 = pn 23n - 6p(n-1) 23n-1 + 9p(n-2) 23n-2 = 3n当n=2时, 有36p – 18p = 9 所以p = 1/2特解为: a*n = n23n/2,一般解为: a n = (A + B*n +n2/2)3n根据a0和a1的值，可列出方程组：A = 13(A + B + 1/2) = 3 可求出B = -1/2一般解为: a n = (1 –n/2 +n2/2)3n3, 求解下列递推关系: (n-1)a n-(n-2)a n-1-2a n-2=0(n 2), a0=0,a1=1.4, 设有2个红球，1个黑球，2个白球，问(1)有多少种不同的选取方法，试加以枚举？(2),从中任取3个，有多少种不同的取法？解: 设红球多项式为1+t+t2, 黑球多项式为1+t, 红球多项式为1+t+t2所以的取球方法可以用多项式(1+t+t2)( 1+t)( 1+t+t2)表示多项式展开=1+3t+5t2+5t3+3t4+t5一共有1+3+5+5+3+1=18种选取方式从中任取3个球的方式有5种5, 用{1, 3,6,8}组成的3和6出现偶数次的4位数的个数是多少?解：根据题目可设指数型母函数为：G e(x) = (1 + x + x2/2! + x3/3! +x4/4!)2×( 1 + x2/2! +x4/4!)2将等式右侧展开，其中x4项为：80×x4/4!即可以组成80个不同的4位数6, 求由直线x+2y=n与坐标轴围成的三角形内(含边界)整点的个数S n第三章 容斥原理与鸽巢原理1,求由1、2、3、4组成的10位数中，1、3、4都至少出现一次的数的个数。
解: 设A1为1不出现的集合, A2为3不出现的集合, A3为4不出现的集合，可求出: 全集个数为|U| = 410每个数字分别不出现的个数为|A1| = |A2| = |A3| = 310分别有2个数字不出现的个数为|A1|∩|A2| = |A1|∩|A3| = |A 2|∩|A 3| = 210分别有3个数字不出现的个数为|A1|∩|A2|∩|A3| = 110题目所求为:|A1|∩|A2|∩|A3|= |A1|U|A2|U|A3|= |U| - C(3,1)×|A1| + C(3,2)×|A1|∩|A2| - |A1|∩|A2|∩|A3|= 410 - 3×310 + 3×210 - 12,求从10到9999的正整数中是n 2是但不是n 3,n 4形式的数的个数解: 从10到9999中一共有9990个正整数, 其中为n 2的数有99-3=96个,n 为4到99,设这个集合为全集,这其中又为n 2的数有9-1=8个,n 为2到9,设这个集合为A1,全集中为n 3的数有4-1=3个,n 为2,3,4,设这个集合为A2, A1中的82=64，A2中的43=64，所以|A1|∩|A2|=1，题目所求为:|U| - |A1|U|A2| = |U| - |A1| - |A2| + |A1|∩|A2| = 96 – 8 – 3 + 1 = 86 (个)3, 设n 为大于1的奇数，证明：在1221,21,,21n --- 中必有一个数能被n 整除.4, 某学者每周上班工作35小时，每天工作的小时数是整数，每天工作时间不少于5小时也不多于8小时。