组合数学练习题_带答案

组合数学练习题

第一章排列组合

1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？

本题分为四种情况:

1位整数有4个: 2, 4, 6, 8

2位整数有4*4种方案, 有16个

3位整数有4*4*3种方案, 有48个

4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个

总共有4+16+48+96=164个这样的整数.

2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学

没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)

从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另

外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3

名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名

同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加

起来就是结果.

C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+

C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)

(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14

名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5

种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学

进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5

名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名

同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐

法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果.

C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，

又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案?

(1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种

方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以

方案数为--- 2 (n!)2

(2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数

除以2n, 所以

方案数为--- (n!)2/n

(3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周

全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以

方案数为--- 2n n!/n

4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？

根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案

(1) 方法一, 分成6种情况: 1) 这2名选手全部打前锋; 2) 这2名选手全部打后卫; 3) 从

2名选手中选出1名打前锋, 另一名不上场; 4) 从2名选手中选出1名打后卫, 另一名不上场; 5) 2名选手全部上场, 分别打前锋和后卫; 6) 2名选手全部不上场; 把这些方案加起来就是全部选法.

C(8,5)*C(6,4)+C(8,7)*C(6,2)+2C(8,6)*C(6,4)+2C(8,7)*C(6,3)

+C(8,6)*C(6,3)+C(8,7)*C(6,4) = 2800

(2) 方法二, 分成3种情况: 1) 把这2名选手全部加入前锋后选组进行组合; 2) 把这2名

选手合部加入后卫后选组进行组合; 但这两种方案中这2名选手全部不上场的方案是重复的, 所以要减掉一个2名选全部不上场的方案数; 3) 上面的方案中也包括了2名选手中只有1名上场的情况, 所以省下只考虑2名选手都上场, 但分别打前锋和后位的方案; 把这些方案加起来就是全部选法.

C(6,4)*C(10,7)+C(8,4)*C(8,7) -C(8,7)*C(6,4)+ C(6,3) *C(8,6) = 2800

5, 从1到10这10个正整数中每次取出一个并登记，然后放回，连续取5次，得到一个由5个数字组成的数列。按这种方式能够得到多少个严格递减数列？能够得到多少个不减数列？

(1) C(10,5) = 10!/((10-5)!5!) = 252

(2) C(10+5-1,5) = 14!/((14-5)!5!) = 2002

6,证明 ()∑=n

k k n kC 1

,＝12-n n 。 证明:

将等式左边展开为:

C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+kC(n,k)+…+ (n-1)C(n,n-1)+nC(n,n)

设这个多项式等于Q

设等式1为Q = Q

将等式1左右两边分别加上下面的等式P:

nC(n,0)+(n-1)C(n,1)+…+C(n,n-1)

得到等式2, 等式右边合并项为: nC(n,0)+nC(n,1)+…+nC(n,n -1)+nC(n,n)

提取公因子n, 等于n[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n -1)+C(n,n)]

根据定理, 等式右边等于n2n

由定理C(n,r) = C(n,n-r) 可将P 变型为P’:

nC(n,n)+(n-1)C(n,n-1)+…+2C(n, 2)+C(n,1)

P’就等于Q

等式2左边是Q+P, 等于2Q

等式2左右两边同时除以2, 得到等式3: Q = n2n /2 = n2n-1

多项式Q 就是题目中等式的左项, 所以证明题目中等式左右相等