最新组合数学习题解答

第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。

解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。

如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。

而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。

故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。

1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。

1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0， 例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。

第二章：2.3. 在边长为1的正三角形内任意放置5个点，则其中至少有两个点的距离≤1/2。

解：将边为1的正三角形分成边是为1/2的四个小正三角形，将5个点放入四个小正三角形中，由鸽笼原理知，至少有一个小正三角形中放有2个点，而这两点的距离≤1/2。

1/2 1/2 1/22.5. 在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。

解：每列着色的方式只可能有224⨯=种，现有5列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式相同。

⎪2.7. 一个学生打算用37天总共60学时自学一本书，他计划每天至少自学1学时，证明：无论他怎样按排自学时间表，必然存在相继的若干天，在这些天内其自学总时数恰好为13学时。

解：设1a 是第一天自学的时数，2a 是第一，二天自学的时数的和，j a 是第一，二，… ，第j 天自学时数的和，1,2,,37j =⋅⋅⋅⋅⋅⋅于是，序列1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是严格递增序列(每天至少一学时)，而且，1371,60a a ≥= 于是序列13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+也是严格递增的序列，故371373a +=因此74个数137137,,13,,1373a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=都在1和73两个整数之间，由鸽笼原理知，这74个数中必有两个是相等的，由于1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅中任何两数都不相等，故13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数,i j 使得 1313i j i j a a a a =+→-=因此，在1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些天中，这个学生自学总时数恰好为13。

⎪2.10. 证明：在任意52个整数中，必存在两个数，其和或差能被100整除。

证明：设52个整数a 1，a 2，….，a 52被100除的余数分别为r 1，r 2，….， r 52,而任意一整数被100除可能的余数为0，1，2，….,99，共100个，它可分为51个类：{0}，{1，99}，{2，98}，…..{49，51}，{50}。

因此，将51个类看做鸽子笼，则由鸽笼原理知，将r 1，r 2，….，r 52 个鸽子放入51个笼中，，至少有两个属于同一类，例如r i ,r j,于是r i =r j 或r i +r j =100,这就是说a i —a j 可100整除，或a i + a j 可被100整除。

第三章3.2. 求1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数。

解：设S ＝{1,2,…,1000};1A 表示1到1000中完全平方数的集合，则1A 表示1到1000中不是完全平方数的集合；2A 表示1到1000中完全立方数的集合，则2A 表示1到1000中不是完全立方数的集合。

故__2__1A A 表示1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数的集合，由容斥原理（（3.5）式）知：212121A A A A S A A +--= (3.5)其中||S ＝1000，1||31A ==,2||10A == 21A A 表示1到1000中既是完全平方又是完全立方的数的集合，故21A A ==3,将以上数值代入(3.5)式得21A A ＝1000－(31+10)+3=962故1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数为962。

3.8. 在所有的n 位数中，包含数字3，8，9但不包含数字0，4的数有多少？解：除去0，4，则在1，2，3，5，6，7，8，9这8个数字组成的n 位数中， 令S 表示由这8个数字组成的所有n 位数的集合。

则|S|=8n . P 1表示这样的性质：一个n 位数不包含3； P 2表示这样的性质：一个n 位数不包含8； P 3表示这样的性质：一个n 位数不包含9；并令A i 表示S 中具有性质P i 的元素构成的集合（i=1,2,3）。

则A A A 321 表示S 中包含3，又包含8，又包含9的所有n 位数的集合。

由容斥原理（（3.5）式）得|321A A A |=||||||||32131A A A AA A S ji jii i-+-∑∑≠= （3.5）而777321,,nnn A A A ===666323121,,nnnA A A A A A ===5321nA A A = ，代入（3.5）式得123837365n n n n A A A =-∙+∙-故所求的n 位数有n n n n 563738-⨯+⨯-个。

3.10. 求重集{}3,4,5B a b c =⋅⋅⋅的10-组合数。

解：构造集合B ′=},,{c b a ⋅∞⋅∞⋅∞。

令集合B ′的所有10-组合构成的集合为S 。

由第一章的重复组合公式(1.11)有||S ＝F （3，10）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+101103=66。

令p 1表示S 中的元素至少含有4个a 这一性质，令p 2表示S 中的元素至少含有5个b这一性质，令p 3表示S 中的元素至少含有6个c 这一性质，并令A i (i =1,2,3)表示S 中具有性质p i (i =1,2,3)的元素所构成的集合，于是B 的10-组合数就是S 中不具有性质p 1,p 2,p 3的元素个数。

由容斥原理（（3.5）式）有：|321A A A |=||||||||32131A A A AA A S ji jii i-+-∑∑≠= (3.5)由于已经求得||S =66，下面分别计算(3.9)式右端其他的项。

由于A 1中的每一个10-组合至少含有4个a ，故将每一个这样的组合去掉4个a 就得到集合B ′的一个6-组合。

反之，如果取B ′的一个6-组合并加4个a 进去，就得到了A 1的一个10-组合。

于是A 1的10-组合数就等于B ′的6-组合数。

故有||1A =F （3，6）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6163＝28同样的分析可得||2A =F （3，5）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+5153＝21||3A =F （3，4）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+4143＝15用类似的分析方法可分别求得||21A A ＝F （3，1）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1113＝3||31A A ＝F （3，0）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+0103＝1||32A A ＝0（因为5＋6＝11>10） ||321A A A ＝0 （同上）将以上数值代人(3.9)式得到：|321A A A |＝66－（28＋21＋15）＋（3＋1＋0）－0＝6故所求的10-组合数为6。

3.14. 求由数字1，2，⋅⋅⋅8所组成的全排列中，恰有4个数字在其自然位置上的全排列个数。

解：4个数在其自然位置共有⎪⎪⎭⎫⎝⎛48种方式，对某一种方式，均有4个数字不在其自然位置，这正好是一个错排，其方式数为4D （见定理3.2），由乘法规则有，恰有4个数字在其自然位置上的全排列数为484D ⎛⎫⎪⎝⎭＝630。

第四章4.6 求重集}7,5,3,{d c b a B ⋅⋅⋅⋅∞=的10-组合数。

解：设重集B 的n-组合数为n a ，则序列{n a }的普通母函数为2232345()(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x =+++++++++++234567(1)x x x x x x x ⨯+++++++=xx x x x x x --⋅--⋅--⋅-11111111864=(1-x 4-x 6-x 8+x 10+x 12+x 14-x 18)∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+033k kx k所以a 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3033233433633103=286-84-35-10+1=158 故重集B 的10－组合数为158。

4.9. 设重集{}123456,,,,,B b b b b b b =∞∞∞∞∞∞,并设r a 是B 满足以下条件的r-组合数，求序列()01,,,,r a a a 的普通母函数。

a. 每个I b 出现3的倍数次。

()1,2,3,4,5,6I =b. 1b ,2b 至多出现1次，34,b b 至少出现2次，56,b b 最多出现4次。

c. 1b 出现偶数次，6b 出现奇数次，3b 出现3的倍数次，4b 出现5的倍数次。

d. 每个I b ()1,2,3,4,5,6I =至多出现8次。

解：a. 3696()(1)f x x x x =++++30(6,)()k k F k x ∞==∑b. 223422342()(1)()(1)f x x x x x x x x x =++++++++c. 2435369510()(1)()(1)(1)f x x x x x x x x x x x =+++++++++++++(1x x x ⨯232++++) d. 2386()(1)f x x x x =++++4.10 有两颗骰子，每个骰子六个面上刻有1，2，3，4，5，6个点。